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Resolución de
problemas elementales
de FÍSICA y QUÍMICA
HORTENSIO BAILADOR COSCARÓN
M. LUZ LAVEDA CANO
Título: Resolución de problemas elementales de FÍSICA Y QUÍMICA.
Autores: Hortensio Bailador Coscarón y M.Luz Laveda Cano.
I.S.B.N.: 84-8454-046-4
Depósito legal: A-1058-2000
Edita: Editorial Club Universitario
web: www.editorial-club-universitario.es
Printed in Spain
Imprime: Imprenta Gamma. Tlf.: 96 567 19 87
C/ Cottolengo, 25 – San Vicente (Alicante)
e-mail: [email protected]
web: www.1gamma.com
Reservados todos los derechos. Ni la totalidad ni parte de este libro puede
reproducirse o transmitirse por ningún procedimiento electrónico o mecánico,
incluyendo fotocopia, grabación magnética o cualquier almacenamiento de
información o sistema de reproducción, sin permiso previo y por escrito de los
titulares del Copyright.
PRÓLOGO
Este texto está dirigido a alumnos y alumnas que han elegido por vez
primera la Física y la Química, bien pensando en futuros estudios de
Ciencias o Ingeniería, o simplemente por esa curiosidad que supone la
búsqueda de una explicación del orden de la naturaleza.
Los principales objetivos que hemos perseguido en este libro de iniciación a
la Física y la Química son, por una parte, mostrar al estudiante a través de
ejercicios y problemas, los principios básicos de Física y Química y reforzar
la comprensión de conceptos mediante ejemplos de la vida real y, al mismo
tiempo, pretendemos motivar a los estudiantes en la apasionante experiencia
que es conocer la naturaleza, mostrando las reglas fundamentales del juego,
es decir, estudiando Física, que es la más fundamental de las disciplinas
científicas. Nos sentiremos compensados si conseguimos este último
objetivo.
A continuación se describen algunas características de este libro.
Queremos indicar que la finalidad de este libro es servir de soporte y apoyo
al libro de texto habitual de los alumnos. Por esta razón, hemos obviado
algunas explicaciones, que creemos se deben conocer de antemano.
Hemos utilizado la letra negrita para indicar una magnitud vectorial, aunque
la mayoría de las veces resolvemos el problema utilizando la componente
del vector, o bien calculamos el módulo del vector indicando la dirección y
sentido del mismo.
Conceptos como velocidad media y rapidez media se han utilizado
indistintamente puesto que sólo tratamos problemas de movimiento cuya
trayectoria es rectilínea y en este caso, ∆e (desplazamiento sobre la
trayectoria) coincide con ∆r (módulo del vector desplazamiento).
Es de todos conocido la importancia de las matemáticas para comprender la
Ciencia, por eso, hemos pretendido aunar el conocimiento de ideas y
conceptos a través de descripciones con la resolución algebraica de
problemas. En los ejercicios se muestran la mayor parte de los pasos cuando
se desarrollan las ecuaciones básicas.
Al final del texto, aparecen varios apéndices. El primero de ellos constituye
un repaso de las técnicas matemáticas más utilizadas en el texto: notación
científica, álgebra, geometría. Además, los apéndices contienen tablas de
datos físicos, factores de conversión, unidades del S.I. de magnitudes
físicas, el espectro electromagnético y una tabla periódica. A lo largo del
libro se hace referencia a estos apéndices.
Esperamos pues, que los estudiantes consigan adquirir los conocimientos
necesarios para abordar cursos de Física y Química posteriores con
confianza y con la seguridad que da un buen aprendizaje.
LOS AUTORES
“Si os apasiona la Ciencia, haceos científicos. No penséis en
lo que va a ser de vosotros. Si trabajáis firme y con
entusiasmo, la Ciencia llenará vuestra vida.”
Severo Ochoa
“El científico no estudia la naturaleza porque sea útil; la
estudia porque se deleita en ella, y se deleita en ella porque
es hermosa. Si la naturaleza no fuera bella, no valdría la
pena conocerla, y si no ameritara saber de ella, no valdría la
pena vivir la vida.”
Henri Poincaré
A nuestras familias
ÍNDICE
PRÓLOGO
1. CINEMÁTICA
1
2. ESTÁTICA
35
3. DINÁMICA
47
4. TRABAJO Y ENERGÍA
77
5. FLUIDOS
101
6. CALOR Y TEMPERATURA
129
7. ONDAS
143
8. QUÍMICA
157
APÉNDICES
189
Cinemática
1. CINEMÁTICA
1.1. Expresa las siguientes velocidades en m/s y ordénalas de mayor a
menor:
150 m/h, 50 mi (náuticas)/h, 300 m/min, 50 mi (terres. USA)/h, 1 nudo,
72 km/h.
(1 milla náutica es la longitud de 1 min de meridiano = 1 852 m; 1 nudo
= 1 mi/h).
(1 milla terrestre USA = 1 609 m).
Pasamos todas las unidades a m/s.
m 1h
m
mi 1h 1609 m
m
⋅
= 0,042 ;
50 ·
·
= 22,35 ;
h 3 600 s
s
h 3 600 s 1mi
s
m 1 min
m
mi 1 h 1852 m
m
300
·
=5 ;
50 ·
·
= 25,72 ;
min 60 s
s
h 3 600 s 1 mi
s
1 mi/h 1 h 1852 m
m
km 1 000 m 1 h
m
1nudo·
·
·
= 0,51 ;
72
·
·
= 20 ;
nudo 3 600 s 1mi
s
h
1 km 3600 s
s
150
El orden es: 50 mi (náutica)/h > 50 mi (terrestre)/h > 72 km/h > 300 m/min
> 1 nudo > 150 m/h.
1.2. Una chica tarda 20 min en llegar al instituto, que está a 2 500 m de
su casa. ¿Cuál ha sido su velocidad media?
En primer lugar obtenemos el tiempo en s: 20 min·
60s
= 1 200 s.
min
1
Resolución de problemas elementales de Física y Química
Aplicamos la expresión de la velocidad: v =
v=
2 500 m
;
1 200 s
Äx
Ät
v=
(x − x 0 )
(t − t 0 )
v = 2,1 m/s
1.3. La gráfica de la derecha 1250 x (m)
representa el desplazamiento 1000
que realiza una chica desde su 750
casa al parque, para reunirse 500
con sus amigos.
250
a) Describe el movimiento.
0
b) Calcula la velocidad de la
0 10 20
chica a la ida y a la vuelta.
c) Dibuja la trayectoria seguida por la chica.
t (min)
30
40
50
60
70
80
a) En el primer tramo (10 min) la posición cambia uniformemente, es un
MRU, la chica va desde su casa al parque donde se reúne con sus amigos.
En el segundo tramo (de 10 a 60 min) la chica permanece parada en la
misma posición.
En el tercer tramo (de 60 a 80 min) la chica regresa al punto de partida, la
posición cambia uniformemente, es un MRU aunque, como vemos regresa
más despacio, la pendiente de la recta es menor.
b) v =
Äx
Ät
A la ida
A la vuelta
2
v=
v=
(x − x 0 )
(t − t 0 )
(1000 − 0) m
= 100 m/min;
(10 − 0) min
v=
(0 − 1000) m
= 50 m/min;
(80 − 60) min
100
m 1 min
·
= 1,67 m/s .
min 60 s
50
m 1min
·
= 0,83 m/s .
min 60 s
Cinemática
c)
La trayectoria, como vemos, no tiene
nada que ver con la gráfica posicióntiempo.
1.4. En una tormenta pasan 2 s desde que vemos el relámpago hasta que
oímos el trueno. Si la velocidad del sonido en el aire es 343 m/s
(apéndice E.5), ¿a qué distancia se está produciendo la tormenta
eléctrica?
Como la velocidad del sonido es uniforme, ∆x = v ∆t.
∆x = 343 m/s ·2 s;
∆x = 686 m.
Que es la distancia a la que se produjo la tormenta.
Despreciamos el tiempo que emplea la luz en recorrer esa distancia, ya que
es mucho menor de 2 s.
1.5. Un coche que circula a 90 km/h, ¿cuánto tiempo tardará en
recorrer 65 km?
Obtenemos los datos en unidades del Sistema Internacional, SI.
90
km 1 000 m 1h
m
·
·
= 25 ;
h 1 km 3600 s
s
v=
Äx
;
Ät
∆t =
∆x
;
v
65 km ·
∆t =
1000 m
= 65 000 m.
km
65 000 m
;
25 m / s
∆t = 2 600 s.
Que son 43,3 min.
Podemos obtener el resultado utilizando las unidades que nos dan en el
problema.
3
Resolución de problemas elementales de Física y Química
∆t =
∆x
;
v
∆t =
0,72 h ·
65km
;
90 km / h
∆t = 0,72 h.
60 min
= 43,3 min.
h
1.6. Una persona conduce un coche desde una ciudad T hasta una
ciudad B, pasando por una ciudad A. La distancia que separa la ciudad
T de la ciudad A es 50 km, la misma que la que separa la ciudad A de la
ciudad B. La carretera desde T hasta A es peligrosa, por lo que sólo
alcanza una velocidad media de 50 km/h, pero desde la ciudad A hasta
la ciudad B es una autovía y la recorre a una velocidad media de 100
km/h. ¿Cuál es la velocidad media alcanzada por esa persona en el
trayecto de la ciudad T hasta la ciudad B?.
La respuesta que se nos puede ocurrir, la semisuma de las velocidades
medias de cada tramo, o sea 75 km/h, es incorrecta.
v=
A
T
tT,A =
Ésta es la velocidad media.
Calculamos el tiempo que tarda en recorrer cada
tramo.
B
50 km
;
50 km / h
∆x
;
∆t
tT,A = 1 h;
La velocidad media será:
v=
tA,B =
100 km
;
1,5 h
50 km
;
100 km / h
tA,B = 0,5 h.
v = 66,7 km/h.
1.7. En una vuelta ciclista a España por etapas, los ciclistas han
recorrido 2 800 km en un tiempo total de 86,15 h. ¿Cuál ha sido la
velocidad media con que han realizado la vuelta?
4
Cinemática
Podemos realizar las operaciones con las unidades proporcionadas.
v=
Äx
;
Ät
v=
2800 km
;
86,15 h
v = 32,5 km/h.
Ahora pasamos el resultado a unidades SI.
32,5
km 1 000 m 1h
m
·
·
= 9,03 ;
h 1km 3600 s
s
1.8. Los valores de la posición de un móvil en movimiento rectilíneo
están representados en la tabla. Contesta razonadamente a las
siguientes preguntas.
Instante, t (s)
0
Posición, x (m) -20
2
-16
4
-12
6
-8
8
-4
10
0
12
4
a) ¿Cuál es el valor de posición inicial?
b) ¿Cuál es la velocidad? Describe cualitativamente el movimiento.
c) ¿Se produce algún cambio de sentido en el movimiento?
d) Expresa la ecuación temporal de la posición. ¿Cuál es la posición al
cabo de 4,6 s?
e) Calcula el valor de la aceleración.
a) El valor de la posición inicial, es el valor de la posición para
que es: x 0 = -20 m.
t = 0 s,
Äx
, y podemos tomar
Ät
dos posiciones cualesquiera con su correspondiente valor de “t”.
b) Como es un MRU (velocidad constante);
v=
( −12 − ( −20)) m
;
( 4 − 0) s
v=
v = 2 m/s
5
Resolución de problemas elementales de Física y Química
El movimiento representado sobre unos ejes de coordenadas es el de un
móvil que va de izquierda (valores negativos de la posición) a derecha.
c) No, aunque la posición del móvil cambie de signo, siempre va en el
mismo sentido.
d) v =
Äx
;
Ät
∆x = v ∆t;
x f – x 0 = v ∆t;
x f = x 0 + v ∆t;
x f = -20 m + 2 m/s ·∆t;
La posición al cabo de 4,6 s es:
x 4,6 = -20 m + 2 m/s ·(4,6 s – 0 s);
x
4,6
= -10,8 m.
e) La a = 0 m/s2 ya que es un MRU, en un movimiento rectilíneo y con
velocidad constante, no hay aceleración.
1.9. Un coche circula por una carretera con una velocidad constante de
90 km/h, cuando ve a un camión 1,5 km más adelante que circula con
velocidad constante de 20 m/s, en la misma dirección y sentido
contrario. ¿Cuánto tiempo tardará en alcanzar el coche al camión?
¿Qué distancia recorre el camión hasta que es alcanzado?
Obtenemos la velocidad en m/s.
90
km 1h 1000 m
·
·
= 25 m / s ;
h 3 600 s 1km
camión
coche
v 0 = 25 m/s
1 500 m
v 0 = –20 m/s
Ambos móviles circulan con MRU y consideramos el origen de nuestro
sistema de referencia en el coche. Ponemos los datos de cada móvil.
Coche: v = 25 m/s;
x 0 = 0 m;
Camión: v = -20 m/s; x 0 = 1 500 m.
Escribimos la ecuación de la posición de cada móvil: x = x 0 + v ∆t.
Y sustituimos los valores.
6
Cinemática
x coche = 0 m + 25 m/s ·∆t;
x camión = 1 500 m – 20 m/s ·∆t.
En el momento del encuentro la posición final y el tiempo transcurrido han
de ser los mismos para los dos móviles, por lo tanto igualamos las dos
ecuaciones.
x coche = x camión .
0 m + 25 m/s ·Ät = 1 500 m – 20 m/s ·Ät
Y aquí podemos despejar el tiempo “t”.
25 m/s ·(t-0 s) = 1 500 m – 20 m/s ·(t-0 s)
Despejando:
t=
1500 m
;
45 m / s
t = 33,3 s .
Y averiguamos la posición final del camión:
x camión = 1 500 m – 20 m/s · 33,3 s;
x
camión =
833 m.
El espacio recorrido es la diferencia, en valor absoluto, entre las posiciones
final e inicial:
e = 833 m − 1 500 m = 667 m
1.10. ¿En qué se distinguen un MRU y un MRUA?
Ambos movimientos son rectilíneos, pero el MRU tiene velocidad uniforme,
constante, mientras que el MRUA es un movimiento acelerado,
uniformemente acelerado (siempre la misma aceleración), con lo que su
velocidad cambia.
1.11. Una moto que parte del reposo aumenta su velocidad en 1 m/s,
cada segundo, calcula intuitivamente su velocidad a los 10 s.
Comprueba que este resultado coincide con el calculado mediante la
ecuación: ∆ v = a ∆ t.
7
Resolución de problemas elementales de Física y Química
Parte del reposo, y después de 1 s tendrá una velocidad de 1 m/s, después de
2 s, 2 m/s, después de 3 s tendrá 3 m/s... y después de 10 s tendrá 10 m/s.
Si el aumento de la velocidad es 1 m/s cada segundo, implica que la
aceleración es 1 m/s2 .
Utilizando la ecuación: ∆v = 1 m/s2 ·10 s; ∆v = 10 m/s.
Que coincide con el resultado obtenido antes.
1.12. El signo de las magnitudes posición, velocidad y aceleración, para
tres cuerpos A, B y C viene dado en la siguiente tabla. Describe
cualitativamente el movimiento de cada cuerpo.
x
v
a
A
+
+
-
B
+
+
C
-
Fijamos un sistema de coordenadas convencional para estudiar el
movimiento.
El móvil A se encuentra en la parte positiva del eje X y se dirige hacia la
derecha (signo positivo en la velocidad) pero como la aceleración es de
sentido contrario a la velocidad (negativa) hace que reduzca la velocidad.
El móvil B se encuentra en la parte positiva del eje X y se dirige hacia la
izquierda (signo negativo en la velocidad) pero como la aceleración es de
sentido contrario a la velocidad (positiva) hace que reduzca la velocidad.
El móvil C se encuentra en la parte negativa del eje X y se dirige hacia la
izquierda (signo negativo en la velocidad) y como la aceleración es del
mismo sentido que la velocidad (negativa) hace que la velocidad aumente.
Conviene fijarse en que el hecho de aumentar o disminuir el valor de la
velocidad tiene que ver con el hecho de que el signo de la aceleración sea el
mismo o sea distinto.
8
Cinemática
El signo de la posición sólo nos indica en qué parte del eje de coordenadas
está situado el móvil, pero no hacia dónde se dirige, que nos lo indica el
signo de la velocidad.
1.13. Un coche parte del reposo y alcanza los 100 km/h en 9,3 s. ¿Cuál
ha sido su aceleración? ¿Qué espacio ha recorrido en los 9,3 s?
Es un MRUA y para calcular la “a” utilizamos la ecuación:
a=
∆v
.
∆t
Como parte del reposo v 0 = 0 m/s.
Obtenemos la “vf ” en m/s:
100
km 1000 m 1 h
m
·
·
= 27,8 ;
h 1 km 3600 s
s
Y calculamos la “a”;
( 27,8 − 0) m / s
; a = 2,99 m/s2 .
(9,3 − 0) s
Para hallar el espacio recorrido usamos la ecuación de la posición
1
x = x 0 + v 0 Ät + a (∆t)2 .
2
1
x = 0 m + 0 m/s (9,3 s-0 s) + 2,99 m/s2 ·(9,3 s-0 s)2
x = 129 m.
2
a=
1.14. Un ciclista inicialmente en reposo acelera durante 15 s con una
aceleración constante de 0,5 m/s 2 . ¿Qué espacio recorre en ese tiempo?
¿Qué velocidad alcanza?
La velocidad y posición iniciales son nulas; v 0 = 0 m/s, x 0 = 0 m.
Para calcular el espacio recorrido:
x 15 =
1
x = x 0 + v 0 Ät + a (∆t)2 ;
2
1
0,5 m/s2 ·(15 s)2
2
x 15 = 56,3 m.
9
Resolución de problemas elementales de Física y Química
La velocidad alcanzada es:
v = v 0 + a ∆t;
v 15 = 0,5 m/s2 ·15 s;
v 15 = 7,5 m/s.
1.15. Un conductor que circula en su coche a 72 km/h, ve 80 m más
adelante, ponerse en rojo el semáforo. ¿Con qué aceleración debe
frenar para detenerse justo en el semáforo?
Consideramos el origen del sistema de referencia en el punto donde se
encuentra inicialmente el coche y la posición final, el punto donde está el
semáforo.
La velocidad final del coche es cero, ya que se detiene en el punto del
semáforo.
Obtenemos la velocidad en m/s.
72
km 1000 m 1h
m
·
·
= 20 ;
h 1 km 3600 s
s
Colocamos los datos que tenemos: x f = 80 m;
v f = 0 m/s
x 0 = 0 m; v 0 = 20 m/s;
Se trata de un MRUA en el que nos piden la aceleración, para lo que
1
utilizamos las ecuaciones de la posición: x = x0 + v 0 ∆t + a (∆t)2 , y la
2
velocidad: v = v 0 + a ∆t.
En ambas ecuaciones desconocemos la “a” y el “t” por lo que debemos
combinar las dos ecuaciones para obtener: v 2 = v 02 + 2 a ∆x
Y ya podemos obtener la velocidad:
− (20 m / s ) 2
2
0 = (20 m/s) +2 a (80 m – 0 m);
a=
;
a = − 2,5 m / s 2 .
2 ·80 m
El signo es negativo debido a que el coche debe disminuir su velocidad.
10
Cinemática
1.16. ¿Cuál es el valor de la velocidad de un objeto en el momento en
que cambia el sentido de su movimiento?
Para cambiar de sentido el objeto disminuye su velocidad hasta que se hace
cero, y cambia el sentido. Siempre que cambia de sentido el signo de la
velocidad cambia, por lo tanto en un instante debe ser cero.
1.17. Indica los signos de las magnitudes posición, velocidad y
aceleración de un móvil que se encuentra a la izquierda del origen del
sistema de coordenadas que hemos fijado, moviéndose hacia la
izquierda y aumentando el valor de su velocidad.
El signo de la posición es negativo ya que está en la parte negativa del eje.
La velocidad también es negativa ya que el móvil se dirige a la izquierda.
La aceleración es negativa también, ya que si aumenta el valor de la
velocidad, la aceleración debe tener el mismo signo que ésta.
1.18. Un coche parte desde la posición x = 0 m con una velocidad
constante de 20 m/s y, en el mismo instante, una moto parte desde la
posición x = 150 m en la misma dirección y sentido contrario, con una
velocidad constante de 64,8 km/h. ¿Cuánto tiempo pasa hasta el
encuentro? ¿En qué punto se encuentran? ¿Cuál es el espacio recorrido
por cada uno? Representa ambos movimientos en una gráfica posicióntiempo.
Obtenemos la velocidad en m/s.
km 1000 m 1h
m
·
·
= 18 ;
h
1km 3600 s
s
64,8
Ponemos los datos de cada móvil.
coche
x0 = 0 m
v 0 = 20 m/s
moto
x 0 = 150 m
v 0 = -18 m/s
Ambos movimientos son uniformes
y las ecuaciones de posición son:
x c = 0 m + 20 m/s ·∆t.
x m = 150 m –18 m/s ·∆t.
11
Resolución de problemas elementales de Física y Química
El punto en el que se encuentren, la posición final será la misma y el tiempo
transcurrido también, por lo tanto igualamos las dos ecuaciones.
xc =x m.
Entonces:
0 m + 20 m/s·∆t = 150 m –18 m/s·∆t.
Y despejando “t”, ya que t 0 = 0, y ∆t = t:
t=
150 m
;
38 m / s
t = 3,95 s.
Y el punto en el que se encuentran:
x c = 0 m + 20 m/s ·3,95 s;
x c = 79 m.
El espacio recorrido por el coche: e = 79 m − 0 m = 79 m .
El espacio recorrido por la moto: e = 79 m − 150m = 71m .
t (s)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
x coche(m/s) x moto (m/s)
0
150
20
132
40
114
60
96
80
78
100
60
120
42
140
24
160
6
x (m)
x-coche
x-moto
160
140
120
100
80
60
40
20
0
t (s)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
El punto donde se cortan las rectas nos indica la posición y el instante en el
que se cruzan.
1.19. Los valores de la posición y la velocidad de un móvil, están
representados en la siguiente tabla.
12
Cinemática
Instante, t(s)
Posición, x(m)
Velocidad, v(m)
0
-10
5
1
-5
5
2
0
5
3
5
5
4
11
7
5
19
9
6
29
11
7
38,5
8
8
45
5
9
48,5
2
a)
b)
c)
d)
Describe cualitativamente el movimiento en las distintas fases.
Calcula la velocidad media en el intervalo de 1 a 3 s.
Calcula la aceleración media en el intervalo de 6 a 9 s.
Expresa la ecuación temporal de la posición para el intervalo de
0 a 3 s, y para el intervalo de 3 a 6 s.
e) Expresa la ecuación temporal de la velocidad para los intervalos de
0 a 3 s, y 6 a 9 s
f) ¿Cuál es la velocidad al cabo de 6,37 s?
a) En cuanto a la posición, el móvil se encuentra a la izquierda del eje de
coordenadas, moviéndose hacia la derecha.
En cuanto a la velocidad, de 0 a 3 s es un MRU ya que siempre lleva la
misma velocidad, 5 m/s, pero a partir de 3 s ya es un MRUA. Desde 3 s
hasta 6 s aumenta la velocidad a razón de 2 m/s cada segundo (la
aceleración será por lo tanto 2 m/s2 ) y desde 6 s hasta el final (9 s)
disminuye su velocidad a razón de 3 m/s cada segundo (la aceleración será
por lo tanto –3 m/s2 ).
b) En este intervalo la velocidad es constante, por lo tanto su velocidad
media es 5 m/s.
c) En el intervalo de 6 a 9 s la aceleración la podemos deducir de los datos
de la tabla, ya que la velocidad disminuye 3 m/s cada segundo.
Algebraicamente la podemos calcular de la siguiente forma:
∆v
( 2 − 11) m / s
a=
;
a=
;
a = − 3m /s2 .
∆t
(9 − 6) s
d) Para el intervalo de 0 a 3 s es un MRU y la ecuación de la posición es:
x = x 0 + v ∆t .
13
Resolución de problemas elementales de Física y Química
Conociendo la posición inicial y la velocidad (se obtienen de la tabla),
construimos la ecuación temporal:
x = -10m + 5m/s ·∆t.
En el intervalo de 3 a 6 s es un MRUA. La ecuación de la posición es:
1
x = x 0 + v 0 Ät + a (∆t)2 .
2
∆v
La aceleración ya la conocemos, es 2 m/s2 , ( a =
) y el resto de las
∆t
condiciones las obtenemos de la tabla.
La ecuación temporal es:
x = 11 m + 7 m/s ·(t-3 s) +
1
2 m/s2 ·(t-3 s)2 .
2
Fíjate cómo las condiciones iniciales deben ser consideradas para cada
intervalo y por lo tanto la ecuación es válida para cada intervalo concreto.
e) Para el intervalo de 0 a 3 s, es un MRU y por eso la velocidad es
independiente del tiempo, es constante.
Para el intervalo de 6 a 9 s, es un MRUA con aceleración –3 m/s2 (ya
calculada), y el resto de las condiciones las miramos en la tabla.
La ecuación temporal es:
1
x = 29 m + 11 m/s ·(t-6 s) + (-3 m/s2 ) (t-6 s)2 .
2
f) La velocidad al cabo de 6,37 s debe estar comprendida entre los valores
de 11 m/s y 8 m/s, para calcularla aplicamos la ecuación de la velocidad en
función del tiempo.
v = v 0 + a ∆t;
Tomamos el tiempo inicial, 6 s, que es cuando comienza este tramo y por lo
tanto la velocidad inicial es 11 m/s, y la aceleración, ya calculada en el
apartado c), es –3 m/s2 .
14
Cinemática
v = 11 m/s – 3 m/s2 ·(t-6 s);
v
6,37
= 11 m/s – 3 m/s2 ·(6,37 s-6 s)
v 6,37 = 9,89 m/s.
1.20. Un coche de la policía de tráfico, parado, observa el paso de un
vehículo que ha cometido una infracción y que marcha a 126 km/h. El
coche de la policía se pone en movimiento en el mismo instante en que
pasaba el infractor, con una aceleración de 0,25 m/s 2 , hasta que le da
alcance.
a) ¿Cuánto tiempo tarda en darle alcance?
b) ¿Qué espacio recorrió hasta darle alcance?
c) ¿Cuánto tiempo tardó el coche policía en alcanzar la misma
velocidad que llevaba el infractor?
d) Realiza la gráfica posición-tiempo y la gráfica velocidad-tiempo
para ambos móviles y, encuentra en ellas los datos pedidos en los
apartados anteriores.
a) El vehículo infractor va con velocidad constante, MRU:
126
km 1000 m 1 h
m
·
·
= 35 ;
h 1 km 3600 s
s
El coche de policía lleva un MRUA con: v 0 = 0; a = 0,25 m/s2 ; y como la
posición y tiempo iniciales para ambos móviles es el mismo los tomamos
como cero.
policía
infractor
En el momento de alcanzar al infractor la posición final y el tiempo serán el
mismo en ambos casos, así que pondremos las ecuaciones respectivas e
igualamos.
1
x policía = x 0 + v 0 ∆t + a (∆t)2 ;
x infractor = x 0 + v ∆t;
2
0 m + 0 m/s · t +
1
0,25 m/s2 · t2 = 0 m + 35 m/s · t;
2
15
Resolución de problemas elementales de Física y Química
0,125 m/s2 · t2 – 35 m/s · t = 0;
Una solución es:
t = 0 s,
t (0,125 m/s2 · t – 35 m/s) = 0;
y la otra:
t=
35 m / s
;
0,125 m / s 2
t = 280 s.
La solución t = 0 s es la correspondiente al instante inicial, donde también
tienen la misma posición, es una solución correcta matemáticamente pero no
físicamente.
b) El espacio recorrido por la policía, que coincide con su posición, es:
1
x policía = x 0 + v 0 ∆t + a (∆t)2 ;
2
1
x policía = 0,25 m/s2 ·(280 s)2 ;
x policía = 9 800 m.
2
c) Para saber el tiempo que tarda en alcanzar la misma velocidad igualamos
las ecuaciones de las velocidades respectivas.
v policía = v 0 + a ∆t;
v infractor = 35 m/s (cte.);
Igualando:
35m / s
;
t = 140 s.
0,25m / s 2
Alcanzar la misma velocidad es distinto de alcanzar la misma posición.
0,25 m/s2 · t = 35 m/s;
t=
d)
t (s)
0
40
80
120
160
200
240
280
320
x policía (m) x infractor (m)
0
0
200
1400
800
2800
1800
4200
3200
5600
5000
7000
7200
8400
9800
9800
12800
11200
x (m)
x-infractor
12000
10000
8000
6000
4000
2000
t (s)
0
0
16
x-policía
14000
40
80
120 160 200 240 280 320
Cinemática
t(s)
0
40
80
120
160
200
240
280
320
v policía (m/s) v infractor (m/s)
0
35
10
35
20
35
30
35
40
35
50
35
60
35
70
35
80
35
v (m/s)
v-policía
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
v-infractor
t (s)
0
40
80
120 160 200 240 280 320
El tiempo que tarda el coche policía en darle alcance es el tiempo que
transcurre hasta que se igualan las posiciones, (se cruzan en la gráfica) que
como vemos en la gráfica posición-tiempo es 280 s.
El espacio recorrido se ve en la misma gráfica, 9 800 m.
El tiempo que tarda el coche policía en alcanzar la misma velocidad que el
infractor (no significa que lo alcance) lo vemos en la gráfica velocidadtiempo (se cruzan las rectas) y es 140 s.
1.21. Una moto parte del reposo con una aceleración de 0,5 m/s 2 . Al
minuto y medio deja de acelerar y se mantiene con la velocidad
alcanzada. ¿Cuál ha sido la velocidad alcanzada al minuto y medio de
comenzar a moverse? ¿Qué espacio ha recorrido en el minuto y medio?
¿Cuánto tiempo tardará en recorrer 10 km? Representa la gráfica
velocidad-tiempo.
Como parte del reposo la v 0 = 0 m/s, el tiempo que está acelerando es 90 s y
a = 0,5 m/s2 . Aplicamos la ecuación de la velocidad: v = v 0 + a ∆t;
v 90 = 0 m + 0,5 m/s2 · 90 s;
El espacio recorrido en ese minuto y medio:
v 90 = 45 m/s.
1
x 90 = x 0 + v 0 ∆t + a (∆t)2 .
2
17
Resolución de problemas elementales de Física y Química
x 90 = 0 m + 0 m +
1
0,5 m/s2 ·(90 s)2 ;
2
x 90 = 2 025 m.
Para recorrer 10 000 m (10 km), sabemos que 2 025 m ya los ha recorrido
con MRUA y los restantes (10 000 m - 2 025 m) los recorre con velocidad
constante (45 m/s).
∆t =
10 000 m = 2 025 m + 45 m/s ·∆t;
(10 000 m − 2 025 m )
;
45 m / s
∆t = 177,2 s.
Y el tiempo total será:
t = 90 s + 177,2 s;
t = 267,2 s
Gráfica velocidad-tiempo:
t (s)
0
15
30
45
60
75
90
105
120
v (m/s)
0
7,5
15
22,5
30
37,5
45
45
45
50
v (m/s)
40
30
20
10
t (s)
0
0
15
30
45
60
75
90 105 120
1.22. Un cohete ha tardado 2 min en alcanzar una velocidad de
5·104 km/h partiendo del reposo. Calcula la aceleración media.
Si el cohete mantiene esa aceleración constante, ¿a qué altura debe
ascender para doblar la velocidad anterior?
Obtenemos la velocidad en unidades SI.
5·10 4
18
km 1 000 m 1 h
m
·
·
=13 889 ;
h 1 km 3600 s
s
Cinemática
La aceleración es: a =
a=
∆v
;
∆t
(13 889 − 0) m/s
;
(120 − 0) s
a = 115,7m/s2 .
La altura a la que debe ascender para alcanzar 27 778 m/s la calculamos con
la expresión:
v 2 = v 02 + 2 a ∆y.
Empleamos ∆y para representar la altura, ya que es un movimiento vertical.
En los problemas anteriores usábamos ∆x, porque eran movimientos
horizontales.
( 27 778 m / s ) 2
(27 778 m/s)2 = (0 m/s)2 + 2 ·115,7m/s2 ·∆y;
∆y =
;
2 · 115,7m / s 2
∆y = 3,334·106 m.
Que es la altura alcanzada.
1.23. En un MRUA:
a) ¿La velocidad media y la velocidad instantánea son, en cualquier
instante de tiempo iguales?
b) ¿En ningún instante de tiempo serán iguales?
a) No, la velocidad media tendrá
siempre el mismo valor, mientras que
la velocidad instantánea cambiará su
valor progresivamente.
b) No, en algún instante de tiempo
deben ser iguales, pero sólo en un
instante.
14
12
10
8
6
4
2
0
v
v-instantánea
v-media
t
0
1
2
3
4
5
6
7
8
1.24. Los valores de la posición y la velocidad de un movimiento
rectilíneo, en momentos sucesivos, están representados en la siguiente
tabla.
19
Resolución de problemas elementales de Física y Química
Instante, t(s)
Posición, x(m)
Velocidad, v(m/s)
0
0
2
1
2
3
4
5
2
2
2
2
2
6
11,75
7
13
8
13,75
9
14
a) Expresa la ecuación temporal de la posición para los intervalos que
van de 0 a 5 s y de 5 a 9 s.
b) Completa los valores de posición y velocidad que faltan.
c) ¿Cuál es el valor de la velocidad al cabo de 7,37 s?
d) Representa gráficamente la posición frente al tiempo.
x = x 0 + v ∆t;
a) De 0 a 5 s es MRU y la ecuación de la posición es:
Tomando valores de la tabla obtenemos la ecuación temporal:
x = 0 m + 2 m/s ·∆t.
A partir de 5 s es un MRUA y aplicamos, x = x
0
+v
0
∆t +
1
a (∆t)2 para
2
calcular la aceleración.
14 m = 11,75 m + 2 m/s ·(9 s – 6 s) +
1
a (9 s-6 s)2 ;
2
a = -0,5 m/s2 .
Y la ecuación temporal de la posición es:
x = 11,75 m + 2 m/s ·∆t +
1
(-0,5 m/s2 ) (∆t)2 .
2
b) De 0 a 5 s es MRU y para completar los valores de posición aplicamos la
ecuación temporal:
x = 0 m + 2 m/s ·∆t.
Sustituyendo los sucesivos valores de “t” tenemos las sucesivas posiciones.
La posición al cabo de 1 s es:
x1 = 0 m + 2 m/s ·1 s;
x1 = 2 m;
Y las siguientes posiciones:
x 2 = 4 m;
20
x 3 = 6 m;
x 4 = 8 m;
x 5 = 10 m;
x 6 = 12 m.
Cinemática
A partir de 5 s es un MRUA. Expresamos la ecuación temporal de la
velocidad aprovechando los datos ya conocidos:
v = v 0 + a ∆t
v = 2 m/s – 0,5m/s2 ·∆t.
Y los sucesivos valores de velocidad son:
v 6 = 2 m/s – 0,5m/s2 ·(6 s-5 s);
v 6 = 1,5 m/s;
Y las demás velocidades:
v 7 = 1 m/s;
v 8 = 0,5 m/s;
v 9 = 0 m/s.
Completamos el cuadro.
Instante, t(s)
Posición, x(m)
Velocidad, v(m/s)
0
0
2
1
2
2
2
4
2
3
6
2
4
8
2
5
6
10 11,75
2
1,5
7
13
1
8
13,75
0,5
9
14
0
c) Para calcular la velocidad a los 7,37 s, aplicamos la ecuación temporal de
la velocidad (sabemos que debe estar entre 1 y 0,5 m/s).
v 7,37 = 2 m/s – 0,5 m/s2 ·(7,37 s-5 s);
v
7,37
5
6
= 0,82 m/s.
d) La gráfica posición-tiempo:
t (s)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
x (m)
0
2
4
6
8
10
11,75
13
13,75
14
16
14
12
10
8
6
4
2
0
x (m)
t (s)
0
1
2
3
4
7
8
9
Vemos que a partir de los 5 s pasa a ser curva, ya que es un MRUA.
21
Resolución de problemas elementales de Física y Química
1.25. El movimiento de un cuerpo
está representado en la siguiente
gráfica.
a) ¿Cuál es el espacio recorrido a
los 12 s?
b) ¿Y la velocidad a los 12 s?
20
v (m/s)
15
10
5
t (s)
0
0
5
10
15
a) Como en 12 s existen dos tipos de movimientos debemos dividirlo en dos
partes. En los primeros 10 s es un MRU, y el espacio recorrido es:
x 10 = v ∆t
x 10 = 15 m/s ·10 s;
x
10
= 150 m.
De 10 a 12 s es un MRUA y para calcular el espacio recorrido debemos
hallar antes la aceleración en ese tramo:
( 0 − 15) m / s
a=
;
a = -3 m/s2 .
(15 −10) s
1
La ecuación de la posición es:
x = x 0 + v 0 ∆t + a (∆t)2
2
Sustituyendo:
1
x 12 = 150 m + 15 m/s ·(12 s-10 s) + (-3m/s2 ) (12 s-10 s)2 ; x 12 = 174 m.
2
b) Para calcular la velocidad a los 12 s: v
12
= v 10 + a ∆t
v 12 = 15 m/s –3 m/s2 ·(12 s-10 s)
v
12
= 9 m/s.
1.26. Los valores de posición y velocidad de un ciclista que corre una
contrarreloj, están representados en la siguiente tabla.
Instante (min)
Posición (m)
Velocidad (m/s)
Aceleración (m/s 2 )
22
0
2
4
6
8
10
0
0
0
12
14
16
0
0
0,05
12
0,05
0
-0,03 -0,03 -0,03
Cinemática
a) Halla la ecuación temporal de la posición para los intervalos de 0 a
4 min, y de 5 a 9 min.
b) Completa los valores de posición y velocidad que faltan.
c) ¿Cuál es el valor de la velocidad a los 7,37 min?
d) ¿Cuál es el valor de la posición a los 15 min?
a) En el tramo de 0 a 4 min es un MRUA con a = 0,05 m/s2 , posición y
velocidad iniciales nulas.
1
La ecuación del MRUA es: x = x 0 + v 0 ∆t + a (∆t)2 .
2
Sustituyendo:
1
x = 0,05 m/s2 · t2 ;
2
Para tener la ecuación temporal en el tramo de 5 a 9 min debemos calcular
primero la posición a los 4 min (240 s) con la ecuación anterior (es un
MRUA) y después la posición a los 5 min (300 s) que ya es MRU, y ésta
pasará a ser la posición inicial en el tramo de 5 a 9 min.
1
x 4 = 0,05 m/s2 ·(240 s)2 ;
x 4 = 1 440 m;
2
x 5 = 1 440 m + 12 m/s ·(300 s –240 s);
x 5 = 2 160 m.
La ecuación temporal en el tramo de 5 a 9 min es:
x = 2 160 m + 12 m/s ·(t –300 s).
b) Los valores de posición y velocidad se completan aplicando las
correspondientes ecuaciones temporales.
Para el primer tramo, de 0 a 4 min (240 s). Se calcula en principio la
posición a los 2 min:
x=
1
0,05 m/s2 · t2 ;
2
1
x 2 = 0,05 m/s2 ·(120 s)2 ;
2
x 2 = 360 m;
La posición a los 4 min es:
23
Resolución de problemas elementales de Física y Química
1
x 4 = 0,05 m/s2 · (240 s)2
2
v = 0,05 m/s2 · t;
x 4 = 1 440 m;
v 2 = 0,05 m/s2 · 120 s;
v 2 = 6 m/s;
Para el tramo de 4 a 12 min es MRU.
x = 1 440 m + 12 m/s ·(t-240 s);
x 6 = 2 880 m;
x 6 = 1 440 m + 12 m/s ·(360 s –240 s);
x 8 = 4 320 m;
x
10
= 5 760 m;
x 12 = 7 200 m.
La velocidad en este tramo es constante 12 m/s.
Para el tramo de 12 min hasta el final es MRUA con aceleración negativa.
Las posiciones son:
1
x = 7 200 m + 12 m/s ·(t-720 s) + (-0,03m/s2 ) (t-720 s)2 ;
2
x 14 = 8 424 m;
x 16 = 9 216 m.
Las velocidades:
v = 12 m/s – 0,03 m/s2 ·(t-720 s);
v 14 = 8,4 m/s;
v 16 = 4,8 m/s.
Y ya se completa la tabla.
Instante (min)
Posición (m)
Velocidad (m/s)
Aceleración (m/s 2 )
0
2
4
6
8
10
0
360
0
12
12
12
12
12
0,05
0,05
0
0
0
0
12
14
16
1 440 2 880 4 320 5 760 7 200 8 424 9 216
12
8,4
4,8
-0,03 -0,03 -0,03
c) La velocidad a los 7,37 min (442,2 s) es constante, la miramos en la tabla,
es 12 m/s.
d) La posición a los 15 min (900 s) la calculamos con la ecuación temporal
de la posición correspondiente a ese tramo.
1
x = 7 200 m + 12 m/s ·(t-720 s) + (-0,03 m/s2 ) (t-720 s)2
2
24
Cinemática
x 15 = 7 200 m + 12 m/s ·(900 s-720 s) +
1
(-0,03 m/s2 ) (900 s-720 s)2 ;
2
x 15 = 8 874 m.
1.27. Si un cuerpo de 2 kg tarda un tiempo “t” en caer desde una altura
de 10 m, ¿cuánto tiempo tardará si el mismo cuerpo es de 4 kg?
El mismo, ya que la aceleración en la caída libre de un cuerpo sigue siendo
la misma, aunque aumente la masa. Por lo tanto, la velocidad será la misma
y el tiempo también.
En la aceleración de caída de un cuerpo influye la densidad del cuerpo
(debido al empuje) o el rozamiento con el aire, pero no influye la masa.
Dos cuerpos de la misma densidad, aunque la masa sea muy distinta, caen
con la misma aceleración, sólo si la densidad es muy diferente, la
aceleración de caída será distinta. Es lo que ocurre cuando dejamos caer una
piedra y un papel desde la misma altura.
Por otra parte, el rozamiento con el aire depende de la forma del cuerpo.
1.28. Si dejamos caer un cuerpo desde una altura de 20 m, sabiendo que
cae con la aceleración de la gravedad, ¿cuál será la velocidad al cabo de
1,2 s? ¿Cuánto tiempo tardará en llegar al suelo?
La velocidad a los 1,2 s será:
v 1,2 = 0 m/s – 9,8 m/s2 ·1,2 s;
v 1,2 = -11,8 m/s.
El signo negativo indica que está cayendo, de acuerdo con el sistema de
coordenadas que venimos utilizando.
El tiempo lo averiguamos considerando la posición final:
0 m = 20 m + 0 m/s ·∆t +
y f = 0 m.
1
(-9,8 m/s2 ) (∆t)2 ;
2
25
Resolución de problemas elementales de Física y Química
Y despejamos el tiempo:
4,9 m/s2 ·(∆t)2 = 20 m;
Y como t 0 = 0 s; entonces:
∆t = 2,02 s;
t = 2,02 s.
1.29. Si lanzamos hacia arriba una pelota con una velocidad inicial de
20 m/s (sólo actúa la aceleración de la gravedad), ¿cuánto tiempo
pasará hasta que su velocidad se anule? ¿Qué altura alcanzará? ¿Cuál
será la velocidad al cabo de 2,4 s?
Aplicamos la ecuación de la velocidad, sabiendo que la velocidad final es
cero:
0 m/s = 20 m/s – 9,8 m/s2 · t;
t = 2,04 s.
Para calcular la altura alcanzada empleamos el tiempo calculado ya que es el
punto en que su velocidad se anula.
y = 0 m + 20 m/s · 2,04 s +
1
(-9,8 m/s2 ) (2,04 s)2 ;
2
La velocidad a los 2,4 s es:
v 2,4 = 20 m/s –9,8 m/s2 ·2,4 s;
y = 20,4 m.
v 2,4 = -3,52 m/s.
El signo es negativo porque está cayendo.
1.30. A partir de la gráfica
averigua el espacio recorrido a
los 10 s, y la velocidad a los 9 s.
Calcularemos el espacio recorrido
en cada tramo averiguando, en
primer lugar, la aceleración
correspondiente.
25
v (m/s)
20
15
10
5
t (s)
0
0
2
4
6
En el primer tramo, de 0 a 2 s:
a=
26
∆v
;
∆t
a i=
(10 − 0) m / s
( 2 − 0) s
a i = 5 m/s2 .
8
10
Cinemática
Y el espacio recorrido:
x i = 0,5 · 5 m/s2 · (2 s)2 ;
x i = 10 m.
En el segundo tramo, horizontal, a ii = 0 m/s2 .
El espacio será:
x ii = 10 m + 10 m/s ·2 s;
x ii = 30 m.
En el tercer tramo:
( 20 − 10) m / s
;
a iii = 5 m/s2 ;
( 6 − 4) s
1
x iii = 30 m +10 m/s · 2 s + 5 m/s2 (2 s)2 ;
x iii = 60 m.
2
a
iii
=
En el cuarto tramo la aceleración será negativa ya que el móvil va
disminuyendo su velocidad:
a iv =
(0 − 20) m / s
;
(10 − 6) s
a iv = - 5 m/s2 .
La posición ahora nos da el espacio recorrido:
x iv = 60 m + 20 m/s · 2 s +
1
(-5 m/s2 ) (2 s)2 ;
2
x iv = 90 m.
La velocidad a los 9 s la podemos calcular bien gráficamente, o bien
aplicando la ecuación de la velocidad al último tramo.
v 9 = 20 m/s –5 m/s2 ·(9 s – 6 s);
v 9 = 5 m/s;
1.31. Desde una altura de 100 m dejamos caer un cuerpo y en ese mismo
instante, en la misma vertical, lanzamos desde el suelo otro cuerpo con
una velocidad inicial de 25 m/s. ¿Cuánto tiempo pasa hasta que se
cruzan? ¿A qué altura se cruzan? ¿Cuál es la velocidad de cada cuerpo
27
Resolución de problemas elementales de Física y Química
en el momento de cruzarse? ¿Qué altura máxima alcanza el cuerpo
lanzado desde el suelo? ¿Cuánto tiempo tarda el cuerpo que cae desde
los 100 m, en llegar al suelo?
Este tipo de problemas es similar a los problemas de encuentros, ya
resueltos anteriormente, con la salvedad de la aceleración, que aquí es la de
la gravedad.
A
y 0 = 10 m
v 0 = 0 m/s
B
v 0 = 25 m/s
y0 = 0 m
Se utiliza la ecuación de la posición del MRUA y se
aplican las condiciones, la posición final y el tiempo
en el momento del encuentro son iguales.
1
y A = 100 m + (-9,8 m/s2 ) t2 ;
2
1
y B = 25 m/s · t + (-9,8 m/s2 ) t2 .
2
Igualamos:
100 m +
1
1
(-9,8 m/s2 ) t2 = 25 m/s · t + (-9,8 m/s2 ) t2 ;
2
2
100 m = 25 m/s · t;
t = 4 s.
La altura a la que se cruzan la calculamos sustituyendo los 4 s en cualquiera
de las ecuaciones de la posición:
y A = 100 m +
1
1
(-9,8 m/s2 ) t2 ;
y A = 100 m + (-9,8 m/s2 ) (4 s)2 ;
2
2
y A = 21,6 m.
Ésta es la altura a la que se cruzan.
La velocidad en el momento de cruzarse:
v A = -9,8 m/s2 · 4 s;
v A = -39,2 m/s
Está cayendo ya que la velocidad es negativa.
28
Cinemática
v B = 25 m/s – 9,8 m/s2 · 4 s;
v
B
= -14,2 m/s.
También está cayendo, por lo tanto cuando se cruzan los dos cuerpos están
cayendo.
Para saber la altura que alcanza el cuerpo B debemos averiguar antes el
tiempo que está subiendo, y lo hacemos calculando el tiempo que tarda en
hacerse su velocidad nula, que supone alcanzar la máxima altura.
0 m/s = 25 m/s - 9,8 m/s 2 · t;
t = 2,6 s;
Este tiempo lo sustituimos en la ecuación de la posición
1
y B = 25 m/s · t + (-9,8 m/s2 ) t2 ;
y B = 31,9 m.
2
El tiempo que tarda en llegar al suelo el cuerpo A lo averiguamos con la
ecuación de la posición, sabiendo que la posición final es cero.
0 m = 100 m +
1
(-9,8 m/s2 ) t2 ;
2
t = 4,5 s.
1.32 Indica razonadamente a qué tipo de movimiento rectilíneo
corresponden las siguientes gráficas:
a) x
b) x
t
c) x
t
d) v
t
t
29
Resolución de problemas elementales de Física y Química
f) a
e) v
t
t
a) Es un MRUA ya que el incremento de posición es mayor a medida que
aumenta el tiempo, la velocidad es cada vez mayor. Puede ser, por ejemplo,
un cuerpo cayendo.
b) Es MRU ya que el incremento de posición siempre es el mismo, para
cada incremento de tiempo, la velocidad siempre es la misma.
c) Es MRUA ya que el incremento de posición es cada vez menor a medida
que aumenta el tiempo, la velocidad es cada vez menor, por eso la curva
tiende ha hacerse horizontal. Puede ser el movimiento de un cuerpo cuando
lo lanzamos hacia arriba.
d) Es un MRUA, la velocidad disminuye hasta hacerse cero y después toma
valores negativos, cada vez mayores, por lo que ha habido un cambio de
sentido. Representa, por ejemplo, un cuerpo que sube, alcanza su máxima
altura y baja, aumentando la velocidad con signo negativo.
e) Es un MRU, la velocidad es constante.
f) Es MRUA ya que la aceleración es distinta de cero y es constante.
1.33. Desde un ático a 10 m de altura lanzamos hacia arriba una pelota
con una velocidad inicial de 5 m/s. ¿Qué altura respecto al ático alcanza
la pelota? ¿Cuál es la velocidad que tiene la pelota cuando vuelve a
pasar enfrente del ático? ¿Cuánto tiempo tarda en llegar al suelo? ¿Con
qué velocidad llega al suelo? Representa las gráficas posición-tiempo y
velocidad-tiempo.
30
Cinemática
Para calcular la altura máxima averiguamos primero el tiempo que tarda en
anularse su velocidad.
v = v 0 + a ∆t;
0 m/s = 5 m/s – 9,8 m/s2 · ∆t;
∆t = 0,51 s.
Este tiempo lo sustituimos en la ecuación de la posición.
y = 10 m + 5 m/s ·0,51 s +
1
(-9,8 m/s2 ) (0,51 s)2 ;
2
y = 11,3 m.
v 0 = 5 m/s
Cuando la pelota vuelve a pasar enfrente del ático la
velocidad será la misma, -5 m/s.
10 m
Analíticamente lo podemos calcular, sabiendo que el
tiempo es el doble (1,02 s).
v = 5 m/s – 9,8 m/s2 ·1,02 s;
v = –5 m/s.
El tiempo que tarda en llegar al suelo lo calculamos considerando la
posición final cero.
1
0 m = 10 m + 5 m/s · t + (-9,8 m/s2 ) t2 ;
2
t=
− 5 m / s ± (5 m / s) 2 − 4 · ( −4,9 m / s 2 ) ·10 m
2 · (−4,9 m / s 2 )
;
t = 2,03 s.
La velocidad al llegar al suelo:
v = 5 m/s – 9,8 m/s2 · 2,03 s;
v = -14,9 m/s.
Las gráficas posición-tiempo y velocidad-tiempo son:
t (s)
0
y (m) 10,0
v (m/s) 5,0
0,2
10,8
3,0
0,4
11,2
1,1
0,6
11,2
-0,9
0,8
10,9
-2,8
1
10,1
-4,8
1,2
8,9
-6,8
1,4
7,4
-8,7
1,6
1,8
2
2,2
5,5
3,1
0,4 -2,7
-10,7 -12,6 -14,6 -16,6
31
Resolución de problemas elementales de Física y Química
v (m/s)
6
3
0
-3 0
0,4
-6
-9
-12
-15
y (m)
12
9
t (s)
0,8
1,2
1,6
2
6
3
t (s)
0
-3 0
0,4
0,8
1,2
1,6
2
-6
1.34. Expresa las siguientes velocidades angulares en rad/s y ordénalas
de mayor a menor:
25 r.p.m., 50 ciclos/s, 30 vueltas por min, 180º en 10 s.
25 r.p.m. son 25 rev/min;
rev 1min 2 π rad
rad
25
·
·
= 0,83 π
= 2,62 rad / s ;
min 60 s 1 rev
s
50 ciclos/s son 50 rev/min;
rev 1 min 2π rad
rad
50
·
·
=1,7π
= 5,2 rad / s ;
min 60 s 1 rev
s
30 vueltas por min son 30 rev/min;
rev 1 min 2π rad
rad
30
·
·
=π
= 3,14 rad / s ;
min 60 s 1 rev
s
180º en 10 s;
180º 2π rad
rad
·
= 0,31 π
= 0,99 rad / s ;
10 s 360º
s
El orden es:
50 ciclos/s > 30 vueltas por min > 25 r.p.m. > 180º en 10 s.
1.35. ¿Cuál es la velocidad angular en unidades SI, de un disco de vinilo
a 45 r.p.m.?
32
Cinemática
45 r.p.m. son 45 rev/min;
rev 1min 2 π rad
rad
45
·
·
=1,5π
= 4,7 rad / s ;
min 60 s 1 rev
s
1.36. ¿Cuál es la velocidad angular de la aguja del minutero de un reloj
de radio 3 cm?. ¿Y si el radio es 1,5 cm?.
La aguja del minutero, al dar una vuelta recorre 2π rad en 60 min (3 600 s).
ω=
∆ϕ
;
∆t
ω=
2 π rad
;
3 600 s
ω = 5,5·10-4π rad /s;
ω = 1,7·10-3 rad/s.
El radio no importa pues el arco que recorre y el tiempo que tarda es el
mismo con uno u otro radio.
1.37. Las dos ruedas están
girando unidas por una cadena.
¿Qué puedes decir acerca de la
velocidad lineal, y angular de los
puntos “A” y “B”?
rA
rB
B
B
A
La velocidad lineal de A y B es la misma ya que están unidas por la cadena
y se mueven a la vez.
La velocidad angular será mayor en el caso de B ya que debe dar más
vueltas para el mismo recorrido de cadena.
v A = v B;
ωA· r A = ωB· r B;
si:
rA>rB
entonces: ωA < ωB;
1.38. ¿Cuál es la velocidad angular de rotación de la Tierra? ¿Y la
velocidad angular de traslación?
En la rotación la Tierra gira 2ð rad en 24 horas (86 400 s):
33
Resolución de problemas elementales de Física y Química
ω=
∆ϕ
;
∆t
ω=
2 π rad
;
86 400 s
ω = 2,3·10-5 π rad/s.
En la traslación gira 2ð rad en 365 días (3,2·10 7 s):
ù=
2 ð rad
;
3,2·10 7 s
ω = 6,2·10-8 π rad/s.
1.39. ¿Cuál es la velocidad lineal de un punto de la superficie de la
Tierra teniendo en cuenta únicamente la rotación?
Como ya hemos visto la velocidad angular es:
ω = 2,3·10-5 π rad/s;
v = ω · r.
El radio de la Tierra es 6,37·106 m (apéndice C):
v = 2,3·10-5 π rad/s · 6,37·106 m;
v = 460 m/s.
¡¡Aproximadamente 1 657 km/h!!
1.40. ¿Cuál es el arco recorrido, en radianes y en grados, por un móvil
que tiene una velocidad angular de 12 rad/s al cabo de 100 s?
El arco recorrido es:
Äϕ = ω·∆t;
∆ϕ = 12 rad/s ·100 s;
∆ϕ = 1 200 rad;
Sabiendo que 360º son 2π rad;
1 200 rad ·
360º
68 755º
= 68 755º, que son
=190,99 vueltas
2π rad
360º
Que son 190 vueltas y 355º (190,99 vueltas).
34