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FUNCIONES LINEALES Entre los tipos de funciones posibles
hay uno especialmente importante, el de las funciones cuya
gráfica es una recta o parte de ella. Los fenómenos que
describen se caracterizan porque la variación de la variable
dependiente es proporcional a la variación de la variable
independiente. Una función lineal se expresa de la forma, f( x )
= mx + b con m y b números reales. El dominio de una función
lineal es el conjunto de los números reales. Las ecuaciones y =
mx representan rectas que pasan por el origen de coordenadas,
se llaman funciones de proporcionalidad. ¿Cómo dibujar la
función y x 4 1 = ? Sabemos que pasa por (0,0); basta obtener
otro punto, se consigue dando un valor particular a x, tomemos
x=4, entonces 4 1 4 1 y = ⋅ = . Es una recta que pasa por (0,0) y
(4,1) como la del gráfico. La función de ecuación y= f(x)= x es
de proporcionalidad y se denomina función identidad.
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Observemos las fórmulas en las funciones lineales de los ejemplos
estudiados. En todos aparece la variable dependiente (llamémosla y) igual
a un número sumado a otro que multiplica a la variable independiente
(llamémosla x). Por ejemplo, en la función costo del gas consumido
(Ejemplo 7) la fórmula es: La variable dependiente c resulta igual al
número 7,74 sumado al producto de 0,15 por g, que es la variable
independiente. En el Ejemplo 8 con Pedro en la bicicleta, la fórmula es: La
variable dependiente d resulta igual a 2000 sumado al producto de -100
por t, que es la variable independiente. Usted puede comprobar lo mismo
en el ejemplo de las vías del tren.
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Le proponemos que escriba la fórmula de cada función
lineal de las estudiadas hasta aquí al lado de su
correspondiente gráfica, y trate de descubrir alguna
relación entre el número que llamamos a en la fórmula
y = a + b . x y algún punto especial de la gráfica. Los
matemáticos descubren muchas propiedades de las
funciones, de los números, de las figuras geométricas
gracias a su curiosidad y a su capacidad de
observación. Si ya intentó una respuesta, compárela
con la nuestra que le presentamos a continuación.
También existe una relación entre el número b de la
fórmula, la inclinación o pendiente de la recta, y la
variación constante en las funciones lineales..
Se llama función inversa o reciproca de f a otra
función f−1 que cumple que:
Si f(a) = b, entonces f−1(b) = a.
Veamos un ejemplo a partir de la función f(x) = x + 4
 Podemos observar que:
 El dominio de f−1 es el recorrido de f.
 El recorrido de f−1 es el dominio de f.
 Si queremos hallar el recorrido de una función tenemos que
hallar el dominio de su función inversa.
 Si dos funciones son inversas su composición es
la función identidad.
 (f o f−1) (x) = (f−1 o f) (x) = x
 Las gráficas de f y f-1 son simétricas respecto de la bisectriz
del primer y tercer cuadrante.
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Función potencial
· Función potencial de exponente natural
Llamaremos función potencial de exponente natural a la función
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¨Es continua y estrictamente creciente en [0,+¥] .
¨Su inversa existe en [0,+¥[, es continua y estrictamente creciente
· Función potencial de exponente racional
Llamaremos función potencial de exponente racional a la función
¨El dominio depende de su exponente.
¨La función potencial y = xq, q Î Q+ es continua y estrictamente creciente en [0,+¥[ .
¨La función potencial y = xq, q Î Q- es continua y estrictamente decreciente en [0,+¥[ .
Propiedades:
En las funciones potenciales, tanto si el exponente es natural como racional, se cumplen las
siguientes propiedades:
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· Función potencial de exponente real
Llamaremos función potencial de exponente real a la función
¨La función potencial y = xa, a Î R+ es continua y estrictamente creciente en [0,+¥[ .
¨La función potencial y = xa, a Î R- es continua y estrictamente decreciente en [0,+¥[ .
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Función exponencial
Llamaremos función exponencial a toda función de la forma:
¨Es continua en R:
¨
¨Si a>1, es estrictamente creciente en R . Y se cumple:
¨Si a<1, es estrictamente decreciente en R . Y se cumple:
¨Si a=1, es constante en R .
· Función exponencial de variable racional
Dado el real positivo a diremos que ax es una función exponencial de variable racional y de base a, a la
aplicación de Q en R , de forma que a cada racional x le hace corresponder ax.
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Ejemplo: La representación de la función en el intervalo [-4,6] es la siguiente
Notar que si la base es mayor que la unidad, la función es estrictamente creciente y si la base pertenece al
intervalo abierto ]0,1[ entonces es estrictamente decreciente.
Un caso particular es tomar la base a = e » 2.71 y se denota ex ; la representación de la función y = ex en
el intervalo [-1,4] es:
Ejemplo: comprobar
Demostrar que toda ley de crecimiento exponencial K(t) = K0at, K0 Î R, a Î R+ - {0}, se puede poner de la forma
K(t) = K0ebt
Dado el real positivo a, siempre existe un número real b de forma que a = eb
· Propiedades algebraicas de la función exponencial
· Ecuaciones exponenciales
Se llaman ecuaciones exponenciales aquellas ecuaciones en las que la incógnita figura como exponente de una
potencia. Para su resolución tomamos logaritmos en los dos miembros en una base cualquiera, (por ejemplo
en base decimal) y aplicamos las propiedades de éstos.
Ejemplo:
Resuelve la siguiente ecuación:
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Tomando logaritmos decimales a los dos miembros:
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Función logarítmica como inversa de la
exponencial. Las funciones y = bx y y =
logb(x)para b>0 y b diferente de uno
son funciones inversas. Así que la gráfica
de y = logb(x) es una reflexión sobre la recta
y = x de la gráfica de y = bx.
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Es una función cuya representación gráfica se repite a
intervalos regulares. Esta propiedad las hace muy útiles para
entender la multitud de fenómenos periódicos que se dan en
nuestro mundo. el día, la noche, las olas del mar, los latidos del
corazón, el movimiento de la cuerda en una guitarra, todos ellos
son ejemplos de fenómenos periódicos. Su estudio matemático
se hizo posible gracias al uso de las funciones seno y coseno.
Aplicación:
Las aplicaciones de las razones trigonométricas en un triángulo
rectángulo incluyen ángulos de elevación, ángulos de depresión
y rumbos usados en la navegación marítima aérea.
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La función seno definida por : f(X)= sen x
Características:
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Dominio : R : [-1,1]
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Periodo de la función seno es 2π rad.
La función y = sen x es impar, ya que sen(-x) = sen x, para todo x en R.
La grafica de y =sen x intercepta al eje x en los
puntos cuya ascisa son: x=n π para todo numero
entero n.
El valor máximo de sen x es 1, y el mínimo valor
es -. La amplitud de la función y = sen x es 1.
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La función coseno es la función definida por: f(X)=cos x
Características
Dominio: R Rango : [-1,1].
Periodo de la función seno es 2π rad.
La función y = cos xes par, ya que cos (-x) = cos x, para todo x En R .
La grafica de y = cos x intercepta al eje x en los puntos cuyas abscisas
son: x = 2π + nπ, para todo numero entero n.
El valor máximo de cos x es 1, y el valor mínimo es -1. La amplitud de la
función y = cos x es 1.
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La función tangente es la función definida por: f (X) = tan
x.
Características:
Dominio R - { π /2 + nπ/∈ z }
Rango R.
2.
La función tangente es una función periódica, y
su periodo es π.
a función y = tan x es una función impar, ya que tan (x) = -tan x.
La grafica de y = tan x intercepta al eje x en los puntos
cuyas abscisas son : x = n π, para todo numero entero
n.
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Las coordenadas polares o sistemas polares son un sistema de
coordenadas bidimensional en el que cada punto del plano se determina por
una distancia y un ángulo. Este sistema es ampliamente utilizado
en física y trigonometría.
De manera más precisa, como sistema de referencia se toma: (a) un
punto O del plano, al que se llama origen o polo; y (b) una recta dirigida (o
rayo, o segmento OL) que pasa por O, llamada eje polar (equivalente al
eje x del sistema cartesiano). Con este sistema de referencia y una unidad de
medida métrica (para poder asignar distancias entre cada par de puntos del
plano), todo punto P del plano corresponde a un par ordenado (r, θ) donde r es
la distancia de P al origen y θ es el ángulo formado entre el eje polar y la recta
dirigido que va de O a P. El valor θ crece en sentido anti horario y decrece en
sentido horario. La distancia r (r ≥ 0) se conoce como la «coordenada radial» o
«radio vector», mientras que el ángulo es la «coordenada angular» o «ángulo
polar».
En el caso del origen, O, el valor de r es cero, pero el valor de θ es indefinido.
En ocasiones se adopta la convención de representar el origen por (0,0º).