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ALUMNO: OMAR DAVID MOLINA GARCIA
LICENCIATURA EN DERECHO
MATRICULA: 317046
MATEMATICAS I
15 DE MARZO DEL 2017
Funciones
Una función es una correspondencia entre dos conjuntos numéricos que
asocia a cada valor, x, del primer conjunto un único valor, y, del segundo.
La variable x
variable independiente
La variable y
variable dependiente.
La expresión analítica: y = f(x)
Ejemplo:
El área de un cuadrado es función del valor de su lado. Si x es la longitud del lado e y
su área.
La expresión analítica de esta función es:
f(x) = x2.
Funciones lineales
Una función lineal establece una relación entre dos magnitudes
directamente proporcionales
Si y es la variable dependiente de la función y x la variable independiente,
el cociente entre dos valores asociados de dos magnitudes proporcionales
es una constante m :
y
m
x
La expresión analítica de la función lineal es y = m ∙ x
Las gráficas de las funciones lineales son rectas que pasan por el origen de
coordenadas.
Una función es lineal si verifica una de las siguientes condiciones:
Su gráfica es una recta que pasa por el origen de coordenadas.
Relaciona variables directamente proporcionales.
Su expresión analítica es de la forma y = m ∙ x.
La gráfica de una función lineal
La gráfica de una función lineal es el conjunto de puntos (x, y) del
plano tales que y = m ∙ x
Observa que:
y
m
x
Esta gráfica es una recta que pasa por el origen
La constante de proporcionalidad, m, se llama pendiente de la recta
y caracteriza la función
Si m > 0 la función y = m ∙ x es creciente.
Si m < 0 la función y = m ∙ x es decreciente.
Si m = 0 la función y = 0 es constante. Su gráfica es el eje de
abscisas.
Funciones de proporcionalidad inversa
• Una función de proporcionalidad inversa es la relación que se
establece entre los valores de dos magnitudes inversamente
proporcionales
• El producto entre dos valores asociados de dos magnitudes
inversamente proporcionales es una constante k, llamada
coeficiente de proporcionalidad inversa,
• Si y es la variable dependiente de la función y x la variable
independiente se verifica que y ∙ x = k, y la expresión analítica de
esta función, con k ≠ 0, es:
k
y
x
Gráfica de la función de la proporcionalidad
inversa
• Las gráficas de las funciones de la proporcionalidad inversa son
hipérbolas equiláteras centradas en el origen de coordenadas.
• Si A (x, y) es un punto de la gráfica, el producto y ∙ x de las
coordenadas del punto es el coeficiente de proporcionalidad
inversa, k, el cálculo de esta constante nos permite determinar
la ecuación de la gráfica y dibujarla
Ejemplos:
Un punto de la gráfica es A(1,1)
¿Cuál es el valor de k?
k=1
¿Cuál es la ecuación?
1
y
x
FUNCION POTENCIA
Función potencial
· Función potencial de exponente natural
Llamaremos función potencial de exponente natural a la función
¨Es continua y estrictamente creciente en [0,+¥] .
¨Su inversa existe en [0,+¥[, es continua y estrictamente creciente
· Función potencial de exponente racional
Llamaremos función potencial de exponente racional a la función
¨El dominio depende de su exponente.
¨La función potencial y = xq, q Î Q+ es continua y estrictamente creciente en [0,+¥[ .
¨La función potencial y = xq, q Î Q- es continua y estrictamente decreciente en [0,+¥[ .
Propiedades:
En las funciones potenciales, tanto si el exponente es natural como racional, se cumplen las siguientes propiedades:
· Función potencial de exponente real
Llamaremos función potencial de exponente real a la función
¨La función potencial y = xa, a Î R+ es continua y estrictamente creciente en [0,+¥[ .
¨La función potencial y = xa, a Î R- es continua y estrictamente decreciente en [0,+¥[ .
FUNCION EXPONENCIAL
Función exponencial
Llamaremos función exponencial a toda función de la forma:
¨Es continua en R:
¨
¨Si a>1, es estrictamente creciente en R . Y se cumple:
¨Si a<1, es estrictamente decreciente en R . Y se cumple:
¨Si a=1, es constante en R .
· Función exponencial de variable racional
Dado el real positivo a diremos que ax es una función exponencial de variable racional y de base a, a la aplicación de Q en R , de forma que a cada racional x le hace
corresponder ax.
Ejemplo: La representación de la función en el intervalo [-4,6] es la siguiente
Notar que si la base es mayor que la unidad, la función es estrictamente creciente y si la base pertenece al intervalo abierto ]0,1[ entonces es estrictamente decreciente.
Un caso particular es tomar la base a = e » 2.71 y se denota ex ; la representación de la función y = ex en el intervalo [-1,4] es:
Ejemplo: comprobar
Demostrar que toda ley de crecimiento exponencial K(t) = K0at, K0 Î R, a Î R+ - {0}, se puede poner de la forma K(t) = K0ebt
Dado el real positivo a, siempre existe un número real b de forma que a = eb
· Propiedades algebraicas de la función exponencial
· Ecuaciones exponenciales
Se llaman ecuaciones exponenciales aquellas ecuaciones en las que la incógnita figura como exponente de una potencia. Para su resolución tomamos logaritmos en los dos
miembros en una base cualquiera, (por ejemplo en base decimal) y aplicamos las propiedades de éstos.
FUNCION LOGARITMICA
• Función logarítmica como inversa de la
exponencial. Las funciones y = bx y y =
logb(x)para b>0 y b diferente de uno
son funciones inversas. Así que la gráfica
de y = logb(x) es una reflexión sobre la recta
y = x de la gráfica de y = bx.
FUNCIONES PERIODICAS
• Es una función cuya representación gráfica se repite a intervalos
regulares. Esta propiedad las hace muy útiles para entender la multitud
de fenómenos periódicos que se dan en nuestro mundo. el día, la noche,
las olas del mar, los latidos del corazón, el movimiento de la cuerda en
una guitarra, todos ellos son ejemplos de fenómenos periódicos. Su
estudio matemático se hizo posible gracias al uso de las funciones seno y
coseno.
Aplicación:
Las aplicaciones de las razones trigonométricas en un triángulo rectángulo
incluyen ángulos de elevación, ángulos de depresión y rumbos usados en
la navegación marítima aérea.
SENO
B
La función seno definida por : f(X)= sen x
Características:
.
Dominio : R : [-1,1]
.
Periodo de la función seno es 2π rad.
La función y = sen x es impar, ya que sen(-x) = -sen x, para
todo x en R.
La grafica de y =sen x intercepta al eje x en los puntos
cuya ascisa son: x=n π para todo numero entero n.
El valor máximo de sen x es 1, y el mínimo valor es -. La
amplitud de la función y = sen x es 1.
P(x;y)
1
A’
α
O
B’
Q
A
COSENO
La función coseno es la función definida por: f(X)=cos x
Características
Dominio: R Rango : [-1,1].
Periodo de la función seno es 2π rad.
La función y = cos x es par, ya que cos (-x) = cos x, para
todo x En R .
La grafica de y = cos x intercepta al eje x en los puntos
cuyas abscisas son: x = 2π + nπ, para todo numero entero
n.
El valor máximo de cos x es 1, y el valor mínimo es -1. La
amplitud de la función y = cos x es 1.
B
N
α
P(x;y)
1
A’
α
O
B’
Q
A
TANGENTE
B
T(1;y)
La función tangente es la función definida por: f (X) = tan x.
N
Características:
Dominio R - { π /2 + nπ/∈ z }
A’
α
O
Rango R.
2.
La función tangente es una función periódica, y su periodo es π.
a función y = tan x es una función impar, ya que tan (-x) = -tan x.
La grafica de y = tan x intercepta al eje x en los puntos cuyas abscisas
son : x = n π, para todo numero entero n.
B’
A
1
COORDENADAS POLARES
• Las coordenadas polares o sistemas polares son un sistema de
coordenadas bidimensional en el que cada punto del plano se determina por
una distancia y un ángulo. Este sistema es ampliamente utilizado
en física y trigonometría.
• De manera más precisa, como sistema de referencia se toma: (a) un punto O del
plano, al que se llama origen o polo; y (b) una recta dirigida (o rayo, o segmento OL)
que pasa por O, llamada eje polar (equivalente al eje x del sistema cartesiano). Con
este sistema de referencia y una unidad de medida métrica (para poder asignar
distancias entre cada par de puntos del plano), todo punto P del plano corresponde a
un par ordenado (r, θ) donde r es la distancia de P al origen y θ es el ángulo formado
entre el eje polar y la recta dirigido que va de O a P. El valor θ crece en sentido anti
horario y decrece en sentido horario. La distancia r (r ≥ 0) se conoce como la
«coordenada radial» o «radio vector», mientras que el ángulo es la «coordenada
angular» o «ángulo polar».
• En el caso del origen, O, el valor de r es cero, pero el valor de θ es indefinido. En
ocasiones se adopta la convención de representar el origen por (0,0º).
COORDENADAS POLARES