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Tema:
13
Semejanza: planos, mapas y maquetas
1
Matemáticas 1º
Recuerda. Igualdad de figuras
B
A
•
•
B´
•
A´
•
Cuando se utiliza una fotocopiadora con el porcentaje 100%, el original y la
copia son iguales. (Si se superponen, el original y la copia coinciden en todo).
Si dos figuras son iguales, la distancia entre dos puntos y la de sus
correspondientes es la misma: AB = A´B´.
Esta característica permite definir la igualdad de figuras.
Dos figuras son iguales cuando el segmento determinado por dos puntos
cualesquiera del original es igual al segmento determinado por sus
correspondientes en la copia
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Matemáticas 1º
Recuerda. Igualdad de triángulos
Fotocopiamos el triángulo ABC con el porcentaje 100%
Los dos triángulos son iguales.
Con un compás puedes comprobar que:
• Cada lado es igual a su correspondiente.
• Cada ángulo es igual a su correspondiente.
Regla práctica:
Para saber si dos triángulos son iguales basta comprobar que se cumple
una de estas tres condiciones:
• Tienen los tres lados iguales.
• Tienen dos lados iguales y el ángulo que forman igual.
• Tienen un lado igual y los ángulos contiguos iguales. IMAGEN FINAL
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Matemáticas 1º
Ampliación de figuras
Cuando se utiliza una fotocopiadora con el porcentaje 100%, el original y la
copia son iguales. ¿Qué sucederá cuando el porcentaje es mayor?
Original
A
•
•B
Copia
Ampliamos (141%)
A´
•
•
B´
Si aplicamos un porcentaje mayor que 100% (por ejemplo, 141%), la copia
es mayor que el original. La figura se ha ampliado.
Los puntos A y B se transforman en A´ y B´, cumpliéndose que:
A´B´
 1,41 1,41 es la escala
A´B´ = 141% de AB = 1,41 ·AB
AB
La escala es el cociente entre un segmento cualquiera de la copia y el
segmento correspondiente del original. Coincide con el porcentaje de
ampliación o reducción.
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Matemáticas 1º
Reducción de figuras
Cuando se utiliza una fotocopiadora con el porcentaje 100%, el original y la
copia son iguales. ¿Qué sucederá cuando el porcentaje es menor?
Original
A
•
•B
Reducción (70%)
Copia
A´
•
•
B´
Si aplicamos un porcentaje menor que 100% (por ejemplo, 70%), la copia es
menor que el original. La figura se ha reducido.
Los puntos A´ y B´ se transforman en A y B, cumpliéndose que:
AB
0,7 es la escala
 0,7
AB = 70% de A´B´ = 0,7 ·A´B´
A´B´
Recuerda que la escala es el cociente entre un segmento cualquiera de
la copia y el segmento correspondiente del original.
Coincide con el porcentaje de ampliación o reducción.
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Matemáticas 1º
Figuras semejantes
Se ha utilizado la fotocopiadora con una escala distinta a la de 100% y se ha
obtenido el siguiente resultado.
Copia
Original
Escala (?)
A
B
A´
B´
¿Cómo se calcularía la escala?
Elegimos dos puntos A y B del original y sus correspondientes en la copia.
Medimos las distancias y calculamos el cociente A´B´ : AB.
En este caso la distancia en la copia es doble que el original.
Por tanto, la escala es 2 : 1, y el porcentaje de la fotocopiadora, 200%.
Dos figuras son semejantes cuando el cociente de los segmentos determinados
por un par cualesquiera de puntos y su par de puntos correspondientes es
siempre el mismo.
El cociente de dos segmentos correspondientes se llama razón de semejanza.
La distancia entre dos puntos de la copia es igual al producto de la distancia
original por la escala: A´B´= k · AB ( k es la escala).
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Matemáticas 1º
Triángulos semejantes
Ampliamos el triángulo un 200%.
200%
Original
Copia
Los triángulos ABC y A´B´C´ son figuras semejantes. Por tanto, las medidas
de la copia son dobles que las del triángulo original.
En particular, los cocientes entre los lados
correspondientes serán iguales:
a´ b´ c´
   2  k (k es la escala)
a
b
c
También se puede comprobar (con un compás) que:   ´, B̂  B̂´, Ĉ  Ĉ´
Dos triángulos son semejantes si tienen los lados correspondientes
proporcionales y los ángulos correspondientes iguales..
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Matemáticas 1º
Semejanza de triángulos: Criterio 1
La semejanza de triángulos se puede determinar más fácilmente mediante los
criterios de semejanza de triángulos.
Vamos a construir dos triángulos cuyos lados sean proporcionales a 4 cm, 5 cm
y 6 cm. Pueden valer los siguientes:
A´
A
6
4
B
12
8
5
C
B´
10
C´
Midiendo con un transportador puede comprobarse que los ángulos correspondientes
son iguales. (Pero no es necesario. Basta con saber que sus lados son proporcionales).
Criterio 1
Dos triángulos son semejantes si tienen los tres lados proporcionales.
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Matemáticas 1º
Semejanza de triángulos: Criterio 2
El segundo criterio relaciona la igualdad de ángulos correspondientes (conocida)
y la proporcionalidad de lados correspondientes (desconocida).
Vamos a construir dos triángulos de distinto tamaño cuyos ángulos midan 50º,
60º y 70º. Pueden valer los siguientes:
A´
70º
A
70º
60º
B
60º
50º
C
B´
50º
C´
Midiendo con una regla milimetrada los lados de los triángulos puede comprobarse
que los lados correspondientes son proporcionales.
Criterio 2
Dos triángulos son semejantes si tienen los tres ángulos iguales.
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Matemáticas 1º
Mapas y planos
Un mapa es la representación, mediante
un dibujo detallado, de una parte de la
superficie de la Tierra guardando la
semejanza.
´
Por ejemplo, la distancia Madrid–Zaragoza
en el mapa es proporcional a la distancia real.
Escala 1 : 10 000 000
Un plano es la representación, mediante
un dibujo detallado, de un piso, de una
habitación, de una ciudad, etc, guardando
la semejanza.
La constante de proporcionalidad, la razón
de semejanza, es la escala.
La escala es el cociente entre una longitud medida en el mapa o plano, y la
longitud representada, medida en la realidad.
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Matemáticas 1º
Ejercicio resuelto
Los padres de Elena y Esther han comprado un piso. Su futura habitación
está dibujada a escala 1 : 150, en el plano adjunto. ¿Qué dimensiones tiene
su cuarto? Se entiende las dimensiones interiores, sin las paredes.
Escala 1 : 150
20
30
Con una regla milimetrada medimos el largo y el
ancho de la habitación en el plano.
10
Para calcular sus dimensiones habrá que medir
los lados y tener en cuenta la escala.
10
Valores del plano
Ancho: 30 mm
Largo: 35 mm
20
30
Valores reales
30 mm · 150 = 4500 mm = 4,5 m
35 mm · 150 = 5250 mm = 5,25 m
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Matemáticas 1º
Maquetas
Los tres coches que aparecen en la
fotografía de la derecha son maquetas a
escala de coches que circulan.
Las maquetas de los coches suelen tener
1
1
1
1
como escala estándar:
,
,
,
18 24 32 40
Esta otra foto corresponde a la maqueta
de un edificio y su entorno.
En las maquetas, las tres dimensiones,
largo, ancho y alto, del objeto original se
amplían o reducen en la misma proporción
que da la escala.
Una maqueta es una representación de una escultura, edificio, coche, etc., que
guarde la misma forma, es decir, que es semejante al original.
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Matemáticas 1º
Ejercicio resuelto
Lalo tiene en su casa una magnífica réplica
del Jaguar modelo “E” (1961) a escala
1
.
18
La dimensiones de esta maqueta son:
largo: 25,5 cm; ancho: 9,7 cm; alto: 6,5 cm.
¿Cuáles son las dimensiones reales del
Jaguar “E”?
La escala
1
significa 1 a 18; esto es: las medidas reales son 18 veces
18
mayores que las de la maqueta.
Valores de la maqueta
Largo: 25,5 cm
Ancho: 9,7 cm
Alto: 6,5 cm
Valores reales
25,5 cm · 18 = 459 cm = 4,59 m
9,7 cm · 18 = 174,6 cm = 1,747 m
6,5 cm · 18 = 117 cm = 1,17 m
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Matemáticas 1º
Técnicas y estrategias
Para resolver un triángulo: DIBUJAR A ESCALA
Una parcela tiene forma triangular y sus dimensiones son 90 m, 100 m y 70 m.
Se pide el valor aproximado de los ángulos y del área.
Dibujamos a escala 1 : 1000 la parcela real.
70 m : 1000 = 0,07 m = 7 cm
Los lados del triángulo serán: 90 m : 1000 = 0,09 m = 9 cm
100 m : 1000 = 0,10 m = 10 cm
A
En el dibujo a escala medimos los ángulos y la altura.
• Con un transportador se obtienen los ángulos:
43º, 77º, 60º (Estos valores coinciden con los reales)
43º
10 cm
9 cm
·
60º
B
7 cm
77º
C
• Con una regla graduada medimos la altura:
vale 6,1 cm
61 m reales
×1000
Área de la parcela =
100 m · 61 m
 3050 m 2
2
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