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GEOMETRÍA
1. Puntos y rectas
Los puntos y las rectas son dos de los elementos geométricos fundamentales. Los puntos se
nombran con letras mayúsculas: A, B, C,… La recta está formada por infinitos puntos y se nombra con letras
minúsculas: r, s, t,…
Un punto A de una recta la divide en
dos semirrectas
El trozo de recta comprendido entre dos puntos se
llama segmento
Dos rectas, r y s, pueden tener un punto en común, ninguno o infinitos.
Secantes
P
Paralelas
r
Coincidentes
r
s
Tienen un solo punto en común
r
s
s
No tienen ningún punto en común
Tienen todos los puntos en común
2. Ángulos
Dos rectas secantes dividen el plano en cuatro
regiones llamadas ángulos. El punto de intersección de
las rectas es el vértice del ángulo, y los lados de este son
las dos semirrectas que lo delimitan. Los ángulos se
nombran con letras mayúsculas y el símbolo ^ sobre la
letra, Â , B̂ , …
Dos rectas son perpendiculares si al cortarse forman cuatro ángulos iguales,
llamados rectos.
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2.1. Clasificación de ángulos
Recto
Agudo
Menor que un ángulo
recto
Convexo
Menor que un ángulo llano
Obtuso
Mayor que un ángulo
recto
Llano
Formado por dos rectos
Cóncavo
Mayor que un ángulo llano
2.2. Relación entre ángulos
Opuestos por el vértice
Tienen el vértice en común, y los
lados están sobre la misma
recta.
Complementarios
Al colocarlos consecutivamente
forman un ángulo recto
Suplementarios
Al colocarlos consecutivamente
forman un ángulo llano
2.2.3. Ángulos iguales
 Los ángulos opuestos por el vértice son iguales.
 = B̂
Ĉ = D̂
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 Los ángulos de lados paralelos o son iguales o son paralelos
 = B̂
Los ángulos Ĉ y D̂ son suplementarios
2.3. Medida de ángulos. Operaciones
Cada una de las 90 partes iguales en que se divide un ángulo recto se llama grado, y se
representa por el símbolo º. El grado es una de las unidades de medida de ángulos. El grado
se divide en otras unidades más pequeñas:
● Minuto: cada una de las 60 partes en que se divide un grado. Se representa con el símbolo ‘. 1º = 60’
● Segundo: cada una de las 60 partes en que se divide un minuto. Se representa con el símbolo “. 1’ = 60”
Una medida de ángulos puede ser expresada en:
● Forma compleja: con más de una unidad. Por ejemplo: Â = 15º 13’ 27 “
● Forma incompleja: con una sola unidad. Por ejemplo: B̂ = 54,23º
El transportador de ángulos es un semicírculo graduado que permite construir
y medir ángulos.
2.3.1. Operaciones
 Suma de ángulos
Para sumar ángulos, sumamos las cantidades correspondientes a las mismas unidades, grados con
grados, minutos con minutos y segundos con segundos. Si los minutos o segundos superan los 60, los
transformamos en grados o minutos respectivamente.
Ejemplo: Efectúa la suma 4º 25’ 45’’ + 15º 38’ 29’’
Ejemplo.
36º 54’ 45”
+ 2º 13’ 26”
36º 54’ 45” + 2º 13’ 26” = 39º 8’ 11”
38º 67’ 71”
39º 8’ 11”
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 Resta de ángulos
Para restar ángulos, restamos las cantidades correspondientes a las mismas unidades, empezando
por los segundos. Si el minuendo es menor que el sustraendo, transformamos un minuto del minuendo en
60“, que añadimos a los que ya teníamos. Si es necesario haremos lo mismo con los grados.
38º 13’ 41” – 25º 47’ 6” = 12º 26’ 35”
 Multiplicación por un número natural
Para multiplicar un ángulo por un número natural, multiplicamos por el número dado cada una de las
unidades. Si el resultado de los segundos o los minutos es igual o superior a 60, hay que calcular a cuántas
unidades superiores equivalen, para hacer la transformación.
Ejemplo: Efectúa el siguiente producto (23º 21’ 19’’) · 4
Ejemplo.
27º 18’ 34”
x 4
108º 72’ 136”
136” = 2’ 16” , 74’ = 1º 14’
109º 14’ 16”
 División por un número natural
Para dividir un ángulo por un número natural:
1º Dividimos la unidad de mayor orden entre el número.
2º Multiplicamos el resto de la división por 60 para expresarlo en la
unidad inmediatamente inferior y sumamos el resultado a la unidad
siguiente.
3º Se repite el proceso con todas las unidades.
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3. Polígonos
Al unir sucesivamente varios segmentos se forma una línea a que se llama poligonal. Si el origen del
primer segmento coincide con el extremo del último se llama línea poligonal cerrada, en caso contrario se
llama línea poligonal abierta.
La zona del plano que delimita una línea poligonal cerrada se llama polígono. Alguno de los elementos de un
polígono son:
• Lado: cada uno de los segmentos que forman la línea poligonal cerrada.
• Vértice: cada uno de los puntos de unión de dos lados
• Ángulo interior: ángulo formado por dos lados
• Diagonal: cada uno de los segmentos que une dos vértices no consecutivos.
Suma de los ángulos interiores de un polígono
Al trazar las diagonales de un polígono desde uno de sus vértices queda dividido en triángulos, por
lo tanto, la suma de los ángulos interiores coincide con la suma de los ángulos de los triángulos en los
que haya quedado dividido el polígono
Cuadrilátero
Pentágono
Hexágono
4 lados ……… 2 triángulos
S = 2 · 180º = 360º
5 lados ……… 3 triángulos
S = 3 · 180º = 540º
6 lados ……… 4 triángulos
S = 4 · 180º = 720º
n lados
Las diagonales trazadas
desde un vértice dividen
al polígono de n lados en
n – 2 triángulos, por lo
tanto la suma de los
ángulos interiores es:
S = (n – 2) · 180º
3.1. Clasificación de los polígonos
Los polígonos pueden clasificarse según diferentes criterios:
 Según los ángulos los polígonos se clasifican en dos grandes grupos:
•
•
Convexos: todos sus ángulos interiores son convexos.
Cóncavos: algún ángulo interior es cóncavo
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 Según el número de lados los polígonos se clasifican en:
 Según la igualdad o desigualdad de sus lados los polígonos se clasifican en:
• Irregulares: un polígono es irregular si sus lados o ángulos no son todos iguales
• Regulares: un polígono es regular si todos sus lados y ángulos son iguales. Los polígonos
regulares además de los elementos de un polígono en general tienen los siguientes
elementos:
 Centro: punto que equidista de los vértices.
 Radio: cualquier segmento que une el centro con el vértice.
 Apotema: cualquier segmento que une el centro con el
punto medio de un lado.
 Ángulo central: ángulo determinado por dos radios. El valor
del ángulo central de un polígono regular de n lados es
360 º
n
4. Triángulos y cuadriláteros
4.1. Clasificación de los triángulos
Si el polígono tiene tres lados se llama triángulo. Los triángulos pueden clasificarse según sus lados
y ángulos, obteniéndose los siguientes tipos de triángulos:
Según sus lados
Equilátero
Todos los lados iguales
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Isósceles
Escaleno
Dos lados iguales y uno
desigual
Todos los lados distintos
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Según sus ángulos
Acutángulo
Rectángulo
Obtusángulo
Tres ángulos agudos
Un ángulo recto
Un ángulo obtuso
La suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180º. Â + B̂ + Ĉ = 180º
4.2. Clasificación de los cuadriláteros
Si el polígono tiene cuatro lados se llama cuadrilátero. Los cuadriláteros pueden clasificarse por el
paralelismo y la igualdad de sus lados.
Paralelogramos
2 pares de lados paralelos
Rectángulo
Rombo
Cuadrado
Romboide
D
A
C
B
4 lados iguales
4 ángulos rectos
Lados paralelos iguales
4 ángulos rectos
Isósceles
Trapecios
1 par de lados paralelos
Rectángulo
Escaleno
Dos ángulos rectos
Lados y ángulos distintos
A
B
4 lados iguales
Ángulos iguales dos a dos
Lados paralelos iguales
Ángulos iguales dos a dos
Trapezoides
Ningún lado paralelo
D
C
Lados no paralelos iguales
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5. Circunferencia y círculo
Una circunferencia es una curva cerrada y plana cuyos puntos están todos a la misma distancia de
otro punto fijo llamado centro. La porción del plano que limita una circunferencia se llama círculo.
Los elementos de la circunferencia son:
 Centro: punto fijo O
 Radio: segmento que une el centro con cualquier punto de de la
circunferencia.
 Cuerda: segmento que une dos puntos de la circunferencia.
 Diámetro: segmento que une dos puntos de la circunferencia que
pasa por el centro
 Arco: cada una de las partes en que una cuerda divide a la
circunferencia. Cuando la cuerda es el diámetro, el arco que se
forma se una semicircunferencia.
6. Teorema de Pitágoras
En un triángulo rectángulo, los lados menores son los que forman el ángulo recto y se llaman catetos.
El lado mayor es el opuesto al ángulo recto y se llama hipotenusa.
Teorema de Pitágoras: En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los
cuadrados de los catetos.
Ejemplo: Halla el lado que falta en cada uno de los siguientes triángulos rectángulos:
a)
a2 = 52 + 122
a2 = 25 + 144
a2 = 169 → a = 169 → a = 13 cm
b)
102 = 82 + c2
100 = 64 + c2
100 – 64 = c2
c2 = 36 → c =
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36 → c = 6 cm
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Ejemplo: Para sostener un poste de 1’5 m de alto, lo sujetamos con una cuerda atada a 2’6 m de la base del
poste, como indica la figura. ¿Cuál es la longitud de la cuerda?
l2 = 1’52 + 2’62
l2 = 2’25 + 6’76
l2 = 9’01 → l =
9'01 → l = 3’002 m
La cuerda mide 3’002 m
7. Semejanza.
Dos figuras son semejantes si tienen la misma forma, pero el tamaño es diferente. En figuras
semejantes, los segmentos correspondientes son proporcionales. Se llama razón de semejanza r al
cociente entre dos longitudes correspondientes.
Una fotografía es una reproducción semejante a la realidad, si hacemos una fotocopia ampliada o reducida
obtenemos figuras semejantes a la original, un mapa es una reproducción semejante a la realidad.
Dos polígonos son semejantes cuando sus ángulos correspondientes son iguales, y sus lados,
proporcionales.
Ejemplo: En una fotografía, María y Fernando miden 2’5 cm y 2’7 cm, respectivamente; en la realidad, María
mide 1’67 m. Calcula la altura de Fernando
Altura real de Fernando
Altura real de María
=
Altura en la foto de Fernando Altura en la foto de María
167· 2'7
Altura real de Fernando 167
=
⇒ Altura real de Fernando =
= 180'36
2'7
2'5
2'5
Fernando mide aproximadamente 1'80 m
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7.1. Teorema de Thales
Si varias rectas paralelas cortan a dos rectas secantes, los segmentos correspondientes determinados por las
rectas paralelas sobre las secantes son proporcionales.
AB BC
AC
=
=
= razón de semejanza
A' B' B' C' A' C'
Ejemplo: Halla la longitud del segmento BC de la figura
1'2 BC
1'2 · 3
=
⇒ BC =
= 3'6
1
3
1
7.2. Triángulos en posición de Thales
Dos triángulos están en posición de Thales cuando tienen un vértice en común y los lados opuestos
a ese vértice son paralelos. Los triángulos en posición de Thales son semejantes.
Los triángulos ABC y AB’C’ están en posición de Thales, comparten el ángulo Â, y los lados BC y B’C’
son paralelos. Por tanto, los triángulos son semejantes: los ángulos son iguales y los lados proporcionales:
 B̂ = B̂'
Ĉ = Ĉ'
AB
AC
CB
=
=
A ' B' A ' C ' C ' B'
7.3. Criterios para determinar la semejanza de triángulos
Para demostrar que dos triángulos son semejantes es suficiente comprobar que se verifica alguno de
los siguientes criterios:
• 1er criterio: Dos triángulos son semejantes si tienen dos ángulos iguales.
• 2º criterio: Dos triángulos son semejantes si tienen un ángulo igual y los lados que lo forman
proporcionales.
• 3er criterio: Dos triángulos son semejantes si tienen los tres lados proporcionales.
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Ejemplo: Vamos a confirmar que los triángulos de cada pareja son semejantes entre sí aplicando los criterios
de semejanza.
Primer criterio
Aquí, Â = Â ' = 81º y Ĉ = Ĉ' = 59º
Podemos deducir que:
B̂ = B̂' y
AB
AC
CB
=
=
A ' B' A ' C ' C ' B'
Segundo criterio
Tercer criterio
Como:
AB BC
=
= 0'6
Aˆ = Aˆ ' = 74º y
A' B' B' C'
Al cumplirse que:
AB
AC
CB
=
=
= 0`6
A' B' A' C' C' B'
Podemos deducir que:
AC
Bˆ = Bˆ ' ; Cˆ = Cˆ ' y
= 0'6
A' C '
Podemos deducir que:
 =  '
B̂ = B̂'
Ĉ = Ĉ
Ejemplo: Los siguientes triángulos se encuentran en posición de Tales. Calcula la medida del lado a.
4 6
12
= ⇒ 4 ⋅ a = 6 ⋅ 2 ⇒ 4a = 12 ⇒ a =
= 3 cm
4
2 a
El lado a mide 3 cm.
Ejemplo: Averigua lo que mide la sombra del árbol pequeño, x, si el árbol
grande mide 7,5 m y dista 8 m del pequeño.
Una forma sencilla de resolver este problema es construir un triángulo en la
parte superior semejante al pequeño de la izquierda, según se muestra en
la figura.
Aplicando la semejanza de triángulos
5 8
20
= ⇒ 5 ⋅ x = 8 ⋅ 2,5 ⇒ 5 x = 20 ⇒ a =
= 4 cm
2,5 x
5
La sombra mide 4 cm
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7.4. Escalas. Mapas, planos y maquetas
Existen diferentes formas de representar la realidad mediante objetos semejantes a los reales, pero
más pequeños. Con ellos podemos realizar cálculos y obtener medidas de forma más cómoda.
• Un mapa es la representación gráfica de una zona
geográfica.
• Un plano es la representación gráfica de una
vivienda o una ciudad.
• Una maqueta es la representación reducida de
cualquier objeto, tal como un edificio, un avión, un
coche, …
ESCALA 1 : 100 000
Para trasladar las medidas reales a las del mapa, plano o maqueta es necesario fijar una proporción,
denominada escala. La escala es la relación que existe entre una dimensión medida sobre el plano y la
misma dimensión medida sobre el terreno real.
E=
Distancia en la representación
Distancia en la realidad
Es muy importante que las dimensiones en el plano y el terreno se expresen en la misma unidad de
longitud al definir la escala. Normalmente la escala se suele indicar en los mapas con la notación:
Escala plano : terreno
Por ejemplo, la escala 1 : 100 000 significa que a 1 cm en el plano le corresponden 100 000 cm en la
realidad.
Ejemplo: En un mapa cuya escala es 1 : 20 000, dos ciudades están separadas 7cm, ¿cuál es la distancia
real entre las dos ciudades?
1
7
=
20 000 distancia real
distancia real = 7 · 20 000 = 140 000 cm = 1'4 km
La distancia entre las dos ciudades es de 1’4 km
Ejemplo: En el mapa de una zona montañosa se indica que la escala es 1 : 50 000. Calcula la distancia que
separa dos refugios en el mapa si en la realidad están a 1’75 km
1
distancia en el mapa
=
50 000
1 75 000
distancia en el mapa =
1 75 000
= 3'5 cm
50 000
La distancia en el mapa de los dos refugios será de 3’5 cm
8. Perímetros y áreas
El perímetro de una figura es la suma de las longitudes de sus lados. Esta suma representa una
medida de longitud, por ello las unidades utilizadas son el metro y todos sus múltiplos y submúltiplos.
El área de un polígono es la medida de la porción de plano limitada. Las unidades utilizadas para
medirla son el m2 (metro cuadrado) y sus múltiplos y submúltiplos.
Polígono
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Perímetro (P)
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Área (S)
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a
Triángulo
h
P=a+b+c
c
S=
b
Cuadrado
L
Rectángulo
a
Romboide
b
c
h
b.h
2
P = 4.L
S = L2
P = 2.(a+b)
S = a.b
P = 2.(b+c)
S = b.h
b
L
Rombo
Trapecio
Polígono
regular
d
P = 4.L
D
b
L h
P = B + b + 2·L
B
L
de n lados
P= n·L
ap
Figuras circulares
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S=
Longitud (L)
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S=
D.d
2
(B + b) ⋅ h
S=
2
P.ap
2
Área (S)
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Circunferencia
y círculo
r
Arco y sector
r
nº
L = 2πr
L=
2πrnº
360º
L = Longitud del arco
Segmento
r
circular
+ Longitud de la
cuerda
S = πr2
πr2nº
S=
360º
S = Área del sectorÁrea del triángulo
R
Corona circular
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L = Long. cir. exterior
+ Long. cir. interior
r
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S = π(R2− r2)
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