Download Sin título de diapositiva - Biblioteca Digital Tamaulipas

Tema:
5
Las fracciones
1
Matemáticas 1º
Recuerda. Fracciones equivalentes
Observa las partes coloreadas de naranja que se representan:
3
4
6
8
0
3
4
1
3
4
y
y
6
indican lo mismo.
8
6
están en el mismo punto de la recta numérica.
8
3 : 4 = 0,75
6 : 8 = 0,75
3
de 16 = 12
4
6
de 16 = 12
8
3
6
y
dan el mismo cociente.
4
8
3
6
y
actúan sobre un número de la misma manera.
4
8
Cuando dos fracciones son equivalentes:
Indican lo mismo.
Se representan en el mismo punto de la recta numérica.
Dan el mismo cociente.
Actúan de la misma forma sobre un número.
IMAGEN FINAL
Tema:
5
Las fracciones
2
Matemáticas 1º
Recuerda. Cómo comprobar si dos fracciones son equivalentes
Fíjate en las 64 casillas del tablero de ajedrez.
¿Qué parte del tablero ocupan las 16 figuras
blancas?
Puedes decirlo de muchas maneras:
16
8
4
2
1
64
16
8
4
32
Vamos a comprobar que estas fracciones son equivalentes mediante la
regla de los productos cruzados.
Observa:
16
8

16  32  64  8  512
64
32
8
4

8 16  32  4  128
32 16
Dos fracciones son equivalentes si los productos del numerador de cada una
de ellas por el denominador de la otra son iguales.
4
2

16 8
4  8 = 16  2
IMAGEN FINAL
Tema:
5
Las fracciones
3
Matemáticas 1º
Modos de escribir una fracción
Observa las fracciones:
12 12  2
24 12  3
36




...
16 16  2
32 16  3
48
12
16
Las fracciones
24
32
36
48
24 36
12
12
,
, ... equivalentes a
son fracciones ampliadas de
32 48
16
16
12 12 : 2
6 12 : 4
3

 

...
16 16 : 2
8 16 : 4
4
12
12
6 3
, ... equivalentes a
son fracciones reducidas de
Las fracciones ,
16
16
8 4
Observa estas otras fracciones:
Podemos obtener fracciones equivalentes a una fracción:
Multiplicando sus términos por un mismo número.
Dividiendo sus términos por un mismo número.
(Este número debe ser distinto de cero.)
IMAGEN FINAL
Tema:
5
Las fracciones
4
Matemáticas 1º
Números mixtos
Hay fracciones que representan un número entero de unidades más una parte
fraccionaria. Son fracciones mayores que 1. La parte coloreada de la figura es:
1
9
4 4 1
 2
  
4
4
4 4 4
9
1
 2
Si divides: 9 : 4 = 2, resto 1
4
4
Podemos escribir una fracción mayor que 1, como suma de la parte entera y
de una fracción menor que 1:
1
1
9
1
2

2
El número
se escribe así:
 2
4
4
4
4
Los números fraccionarios escritos de esta forma se llaman números mixtos.
Ejercicio resuelto:
1
41
como número mixto y 7 como fracción.
3
3
41
2
2
 13   13
Dividiendo : 41 : 3 = 13 y resto 2
3
3
3
1
1
21 1
22
7 7 
 
IMAGEN FINAL
3
3
3
3
3
Escribe
Tema:
5
Las fracciones
5
Matemáticas 1º
Simplificación de fracciones
Al dividir numerador y denominador por un mismo número se van obteniendo
fracciones reducidas más sencillas.
:5
:5
Observa:
75
100

:5
La fracción
La fracción
15
20

3
4
:5
3
es especial. No se puede reducir más pues 3 y 4 no tienen ningún
4
divisor común, es decir, son primos entre sí.
3
es irreducible.
4
Se llaman fracciones irreducibles aquellas fracciones cuyo numerador y denominador
son primos entre sí, es decir, no tienen ningún divisor común.
El proceso de obtención de la fracción irreducible equivalente a una dada se llama
simplificación.
Dividiendo por 10
Ejemplo:
30
3 1


1 y 2 son primos entre sí.
60
6 2
IMAGEN FINAL
Dividiendo por 3
Tema:
5
Las fracciones
6
Matemáticas 1º
Reducción de fracciones a común denominador (I)
Tenemos las fracciones:
2
3
1
4
5
6
y queremos encontrar tres fracciones equivalente a cada una de ellas que tengan el
mismo denominador.
Escribimos fracciones equivalentes:
2
6 12
16
20
 


 ... Sus denominadores son múltiplos de 3.
3
9 18
24
30
1
4
6
7
9




 ... Sus denominadores son múltiplos de 4.
4 16
24
28
36
5 15
20
30
40




 ... Sus denominadores son múltiplos de 6.
6 18
24
36
48
Por tanto, el denominador común tiene que ser múltiplo de 3, 4 y 6 a la vez.
Por ejemplo, 24.
16
2

3
24
6
1

4
24
20
5

6
24
IMAGEN FINAL
Tema:
5
Las fracciones
7
Matemáticas 1º
Reducción de fracciones a común denominador (II)
Para reducir fracciones a común denominador
Halla un múltiplo común a los denominadores.
Escribe las fracciones equivalentes con ese denominador.
Hay una forma directa de conseguir fracciones con común denominador.
Lo aplicamos a las fracciones:
2
3
1
4
5
6
Como 3 x 4 x 6 es múltiplos de 3, 4 y 6, se tendrá:.
2
2  (4  6)
48


3
3  (4  6)
72
1
1  (3  6)
18


4
4  (3  6)
72
Otro ejemplo:
Las fracciones:
IMAGEN FINAL
3
2
y
4
5
5
5  (3  4)
60


6
6  (3  4)
72
3
3 5
15


4
45
20
2
2 4
8


5
5 4
20
Tema:
5
Las fracciones
8
Matemáticas 1º
Mínimo común denominador
Vamos a ver otra forma de reducir fracciones con común denominador.
Lo aplicamos a las fracciones:
3
4
y
1
6
9
2
y
12 12
El denominador común tiene que ser múltiplo de 4 y de 6.
Múltiplos de 4:
Múltiplos de 6:
Múltiplos comunes:
4 8 12 16
6 12 18 24
12 24 36 ...
20
30
24
36
28
42
32
48
El menor es 12. Se llama mínimo común múltiplo de 4 y 6.
36
54
40 ...
60 ...
Escribimos:
m.c.m. (4, 6) = 12
Puedes calcular el m.c.m. de varios números así:
Descompones los números en factores primos.
El m.c.m. es igual al producto de los factores primos comunes
y no comunes, elevados al mayor exponente.
Observa:
IMAGEN FINAL
4 = 22
6=23
El m.c.m. debe tener: el 22 por ser múltiplo de 4;
el 2 y el 3 por ser múltiplo de 6. El 2 ya está en 22.
Luego, m.cm. (4, 6) = 22  3 = 12
Tema:
5
Las fracciones
9
Matemáticas 1º
Reducción de fracciones a mínimo común denominador
Para reducir fracciones a mínimo común denominador se elige
como denominador común el m.c.m. de los denominadores.
Lo aplicamos a las fracciones:
7
5
,
10 12
y
3
8
Descomponemos los denominadores en factores primos:
10 = 2  5
12 = 22  3
8 = 23
m.cm. (10, 12, 8) = 23  3  5 = 120
El mínimo común denominador será 120.
7
10
Luego:
7
10

12

?
120
5
12
?
84
120
5
12

10

?
120
3
8
?
50
120
3
8
IMAGEN FINAL

15

?
120
?
45
120
Tema:
5
Las fracciones
10
Matemáticas 1º
Comparación de fracciones
Con el mismo denominador:
0
3
5
1
4
5
4
3

5
5
Si dos fracciones tienen el
mismo denominador, es mayor
la que tiene mayor numerador
Con el mismo numerador:
3
4
3
7
3
3

4
7
Si dos fracciones tienen el
mismo numerador, es mayor
la que tiene menor denominador
Con numeradores y denominadores distintos:
Comparamos:
3
4
y
Para comparar dos
fracciones cualesquiera:
4
5
3 15

Reducimos a común denominador:
4 20
16
15
4 3


Como
20
20
5 4
4
16

5
20
· Se reducen a común
denominador.
· Es mayor la que tiene
mayor numerador.
IMAGEN FINAL
Tema:
5
Las fracciones
11
Matemáticas 1º
Suma y resta de fracciones
Con el mismo denominador:
+
Suma
2 1
2 1 3
 

5 5
5
5
Resta
5 2
52
3
 

7 7
7
7
Se suman los
numeradores
Se restan los
numeradores
En ambos casos se deja el mismo denominador.
Con distinto denominador:
Se reducen antes a común denominador:
Suma
10
3
13
5
1




12 12
12
6
4
m.c.m (6, 4) = 12
Resta
5
1
10
3
7




6
4
12 12
12
Para sumar o restar fracciones con
distinto denominador:
· Se reducen a común denominador.
· Se suman o restan las fracciones
obtenidas con el mismo denominador.
IMAGEN FINAL
Tema:
5
Las fracciones
12
Matemáticas 1º
Suma y resta de fracciones: ejercicios
Ejercicio 1
Calcula:
7
8
6


11 11 11
Como tienen el mismo denominador, para operar se suman o restan los numeradores.
El numerador será el mismo.
Luego:
Ejercicio 2
7
8
6
786
9




11 11 11
11
11
Calcula:
2 4
7
 
5 9 12
Para sumarlas hay que reducirlas a común denominador:
m.c.m (5, 9, 12) = 32 × 22 × 5 = 180
5=5
9 = 32
12 = 22 × 3
×15
×20
×36
Luego:
2 4
7
72
80
105 72  80  105
47
 





5 9 12 180 180 180
180
180
×36
×20
×15
IMAGEN FINAL
Tema:
5
Las fracciones
13
Matemáticas 1º
Multiplicación de fracciones
Un número natural por una fracción
Calculemos 5 veces 2 tercios:
2
2
2
2
2
2  2  2  2  2 5  2 10
2


+
+
+
+
=
=
3
3
3
3
3
3
3
3
3
Para multiplicar un número natural por una fracción se multiplica
el número por el numerador; se deja el mismo denominador.
5
Producto de dos fracciones
Calculemos los 2 quintos de 3 cuartos:
3
4
2
5
6
3 2 3 2
 

4 5 4  5 20
El producto de dos fracciones es una fracción con:
El numerador igual al producto de los numeradores.
El denominador igual al producto de los denominadores
IMAGEN FINAL
Tema:
5
Las fracciones
14
Matemáticas 1º
División de fracciones (I)
Para dividir fracciones es de gran utilidad que las fracciones tengan el
mismo denominador.
¿Cuántos pinchos de
1
2
:
1
de tortilla hay en 1 de tortilla?
8
2
1
8
1 1
4 1
:  :  4 pinchos
2 8
8 8
=
5
1
¿Cuántos vasos de refresco de
de litro pueden llenarse con una botella de
2
8
de litro?
5 1 15 1
: 
:  15 vasos
2 6
6 6
Hemos reducido a
común denominador para dividir
más cómodamente.
9
1
¿Cuántos vasos de leche de
de litro pueden llenarse con una botella de
de
8
4
litro?
9 1
9 2
9
:  : 
8 4
8 8
2
Observa que
9
1
 4
2
2
Pueden llenarse cuatro vasos y medio.
IMAGEN FINAL
Tema:
5
Las fracciones
15
Matemáticas 1º
División de fracciones (II)
Hemos visto que para dividir dos fracciones cualesquiera: primero se
expresan los dos números en las mismas unidades fraccionarias (con el
mismo denominador) y luego se dividen los numeradores.
3 2
3  5 2  4 15 8
15
: 
:

:

4 5
20
20
20 20
8
Directamente, la división se realiza así
3 2
3 5
15
: 

4 5
4 2
8
El cociente de dos fracciones es una fracción con:
El numerador igual al producto del numerador del dividendo por el
denominador del divisor.
El denominador igual al producto del denominador del dividendo por
el numerador del divisor.
IMAGEN FINAL
Tema:
5
Las fracciones
16
Matemáticas 1º
Fracciones opuestas e inversas
Dada la fracción
4
, ¿qué fracción sumada con ella da 0?
7
Dos fracciones
son opuestas cuando
su suma es 0.
4
, la suma es:
4 4
4  ( 4)
0
7



0
7
7
7
7
4
4
Las fracciones
y 
se dice que son fracciones opuestas.
7
7
Si se elige 
La fracción opuesta se obtiene cambiando de signo la fracción dada.
Dada la fracción
4
, ¿qué fracción multiplicada por ella da 1?
7
Dos fracciones
son inversas cuando
su producto es 1.
7
, el producto es:
4 7
47
28
4
 

1
7 4
74
28
4
7
Las fracciones
y
se dice que son fracciones inversas.
7
4
Si se elige
La fracción inversa se obtiene intercambiando los términos de la fracción dada.
IMAGEN FINAL
Tema:
5
Las fracciones
17
Matemáticas 1º
Técnicas y estrategias
PROBLEMA
En la biblioteca hay un estante con libros de aventuras. El jueves se prestaron 16
libros. El viernes se prestaron la mitad de los que quedaban. Después de este préstamo
quedaron 24 libros. ¿Cuántos libros de aventuras había en la biblioteca?
ELABORA UN DIAGRAMA
Se indica por N el número de libros que había antes de realizar ningún préstamo.
Jueves
Viernes
Prestan
16
N
Quedan
Prestan
M
2
Quedan
M
2
N – 16 = M
EMPIEZA POR EL FINAL
M
2
El jueves quedaron en la biblioteca 48 libros de aventuras.
N – 16 = 48
N = 64
Como la mitad de M son 24, se tiene: 24 
= 24
M = 48
IMAGEN FINAL
COMPRUEBA EL RESULTADO
Había 64.
Después del jueves: 64 – 16 = 48
La mitad es: 48 : 2 = 24