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Matemática y
Razonamiento Lógico
2do. semestre EMT
Semana 1
Orientaciones generales
147
Semana 2
Diagnosis149
Semana 3
Potenciación151
Semana 4
Divisibilidad158
Semana 5
Conjuntos numéricos: naturales y enteros
168
Semana 6
Las fracciones
179
Semana 7
Orden de las fracciones. La adición y sustracción
185
Semana 8
Multiplicación y división de fracciones
198
Semana 9
La proporcionalidad
202
Semana 10
Cuerpos geométricos. Construcción y aplicaciones
211
Semana 11
Elementos geométricos del entorno
217
Semana 12
Gráficos estadísticos
220
Semana 13
Análisis estadístico
227
Semana 14
Consolidación de aprendizajes
228
Referencias
231
Orientaciones generales
Orientaciones generales
Semana 1
Semana 1
Bienvenido y bienvenida a esta primera semana, en la que darás continuidad a tu
proceso de formación en el área de Matemática y Razonamiento Lógico. El objetivo
primordial en este encuentro es que manifiestes tus expectativas e intereses sobre
el área y que, además, hagas un breve repaso de lo que estudiaste en el semestre
pasado.
Actividad 1. Intereses y expectativas
1. Forma un pequeño grupo, de 4 ó 5 participantes, con los que puedas relacionarte
y compartir experiencias.
2. Discute con tus compañeros la experiencia que han tenido en el IRFA.
3. Desde tu experiencia en este programa de estudios, ¿qué aspectos positivos y
negativos podrías señalar? Discute con tu grupo.
4. ¿Cuáles son las expectativas que tienes para este nuevo semestre?
5. En un papelógrafo, escribe las expectativas que tiene el grupo, para que luego
las expongas al resto de los participantes.
Actividad 2. Repasando lo aprendido
Responde las siguientes preguntas individualmente, para que luego las discutas con
tus compañeros en el CCA.
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Semana 1
Orientaciones generales
1. Menciona dos contenidos matemáticos del semestre anterior, que consideres
que has logrado dominar.
2. ¿A cuáles situaciones cotidianas puedes asociar estos contenidos?
3. A partir de tu experiencia en el semestre anterior, ¿consideras que es importante
saber Matemática para comprender y convivir mejor en nuestra cotidianidad?
Explica.
En el transcurso del semestre, iremos trabajando con nuevos contenidos matemáticos
y las aplicaciones de éstos a la vida cotidiana.
Para calentar motores e iniciar con buen pie,
te sugerimos, que para el próximo encuentro,
hagas un repaso detallado de los contenidos
matemáticos estudiados en el módulo anterior.
148
Semana 2
Diagnosis
Diagnosis
Semana 2
Bienvenido y bienvenida a nuestro segundo encuentro. En esta oportunidad nos
planteamos dos objetivos: primero, establecer las formas de evaluación que tendremos a lo largo del semestre y, luego, diagnosticar el nivel de aprendizaje matemático
que has adquirido, tanto empíricamente, como en tus estudios previos.
Los contenidos que trabajaremos en este semestre están relacionados con tu entorno cotidiano. Básicamente, trabajaremos con tópicos muy importantes para el desarrollo de nuestro pensamiento lógico matemático. En primer lugar, abordaremos los
conjuntos numéricos y todas las operaciones y propiedades que se cumplen en éstos,
y además, veremos la gran aplicabilidad que tienen los mismos en nuestro entorno;
luego, trabajaremos con Geometría, una rama de la Matemática, que sin duda, podemos apreciar en todos los aspectos de nuestra vida, desde las estructuras de nuestras
casas, hasta el comportamiento de los astros en el universo. Finalmente, haremos un
trabajo con una rama de la Matemática que no se escapa de nuestra cotidianidad, la
Estadística, con la cual podemos hacer, por ejemplo, un análisis de una temporada de
béisbol y hasta predecir sus resultados. La Estadística, además, es muy útil en los trabajos de investigación, así como en la política, la economía, las ciencias sociales, etc.
Para comenzar a sumergirnos en esta nueva etapa de adquisición de nuevos saberes,
es necesario que, a modo de diagnosis, comencemos recordando algunas ideas que,
quizás, tenemos olvidadas desde hace mucho tiempo. A continuación, se te presentan
una serie de problemas para que trates de responder, a partir de los conocimientos
previos que tú tengas y luego intercambies opiniones con el resto de los participantes
en el CCA. Ten en cuenta que, de momento, no se esperan respuestas acertadas, ni
tampoco justificaciones matemáticas, sólo se busca que respondas con lo que sabes.
1. Una planta que está en una laguna se reproduce de la siguiente manera: el primer día sólo había una planta, el
segundo día había dos plantas, el tercer día había cuatro
plantas, el cuarto día había 8, al siguiente día ya había 16 y
así sucesivamente. a) Después de 10 días ¿cuántas plantas
habrán?; b) Si en el día número 30 la mitad de la laguna
estaba llena de plantas, ¿qué día estará completamente
llena la laguna?
2. Carlos va a la biblioteca cada 3 días y Juan va cada 15 días,
ambos a la misma hora. Si hoy se han encontrado los dos
en la biblioteca, ¿cuándo van a coincidir nuevamente?
149
Semana 2
Diagnosis
3. ¿De cuántas maneras podemos colocar 16 libros en varios
estantes, de modo que cada estante tenga el mismo número de libros?
4. ¿Qué fracción indica la porción de torta que le corresponde a
cuatro personas, si a cada una se le da la misma cantidad?
5. Eduardo gasta de su sueldo: 1/4 en comida, 1/5 en ropa,
1/3 en alquiler, 1/6 en vicios y el resto lo ahorra. ¿Qué parte
del sueldo ahorra Eduardo? Si su sueldo es de 1200 Bs.F.,
¿cuánto gasta?
6. La siguiente figura representa el plano de un parque a)
¿qué figuras geométricas observas en la cancha?, ¿cuáles
se repiten? Clasifícalas de acuerdo a su forma.
Gráfico. Tomado de: http://www.clubdeamigos.org.ar/admin/files/htmlimg/clip_image002.jpg
7. ¿Qué interpretación puedes hacer a partir del siguiente
diagrama?
150
Gráfico: Tomado de: http://www.evp.edu.py/images/EST2P018D0002.png
Potenciación
Potenciación
Semana 3
Semana 3
Bienvenido y bienvenida a nuestro tercer encuentro en este maravilloso mundo de
las matemáticas, mundo en el que subyacen muchas situaciones cotidianas que nos
permiten explorarlo con mucha facilidad.
En el semestre anterior, estudiaste el conjunto de los números naturales y con ellos
algunas operaciones, como la suma, la sustracción, la multiplicación y la división, al
igual que sus propiedades. En esta ocasión, tendremos la oportunidad de hacer un estudio sobre otra operación muy importante en el conjunto de los números naturales:
la potenciación.
Para este encuentro, será necesario que recuerdes las operaciones ya estudiadas,
al igual que sus propiedades (en caso que tengas dudas, recurre a los materiales del
semestre pasado), pues nos basaremos en éstas para definir la potenciación.
Al finalizar la sesión, verás las aplicaciones que tiene la potenciación en la vida cotidiana y podrás hacer cálculos donde interviene esta operación, haciendo uso de sus
propiedades. Para este encuentro es necesario que tengas bien claro cómo se realiza
la multiplicación en el conjunto de los números naturales, así como sus propiedades.
Recuerda que si multiplicas dos números, cada uno de ellos recibe el nombre de
factor y cuando los sumas, cada número recibe el nombre de sumandos.
Con los conocimientos adquiridos en el semestre anterior, trata de analizar la siguiente situación (inicialmente tú, y en el encuentro en el CCA, hazlo con tus compañeros):
Juan es el dueño de un pequeño abasto. Juan debe determinar cuántos huevos tiene
en el abasto, para saber por cuánto tiempo estará surtido. Al hacer el inventario, se
encuentra que tiene ocho (8) “cartones” llenos, conteniendo cada cartón 30 huevos.
¿Existen varias formas de responder a las preguntas de Juan?
Si tienes alguna dificultad, no dudes en consultar con tus compañeros o pregúntale
a tu facilitador.
151
Semana 3
Potenciación
Generalmente las bacterias se reproducen por bipartición, esto es, llegado el momento de la reproducción, se duplican. Un biólogo desea saber cuántas bacterias tendría luego de 10 reproducciones, si inicia su estudio con una sola.
Analicemos en detalle las sucesivas reproducciones, a partir de una bacteria. El diagrama que acompaña a la explicación nos servirá, a su vez, para esquematizar el proceso.
Denominaremos fase al momento de reproducción de una bacteria. Y diremos que
la fase cero significa que la bacteria no se ha reproducido aún por primera vez. Luego,
tenemos que:
Proceso de reproducción de las bacterias
Fases
Diagrama
Fase 0: Existe una bacteria que aún no
se ha reproducido por primera vez.
Fase 1: La bacteria de la fase 0 se ha
reproducido por primera vez “partiéndose” en dos, lo cual da origen a
dos bacterias. Se duplicó el número
de la fase 0.
Fase 2: Las dos bacterias que resultaron de la fase 1 se han reproducido,
originándose de cada una de ellas
dos
nuevas bacterias, quedando un
total de cuatro bacterias en esta fase.
Se duplicó el número de la fase 1.
Fase 3: Las cuatro bacterias de la fase
2 se han reproducido, generándose
de cada una de ellas 2 bacterias, resultando un total de 8 bacterias para
esta fase. Se duplicó el número de la
fase 2.
Fase 4: Las ocho bacterias de la fase 3
dan origen a dieciséis bacterias, dos
por cada bacteria, es decir, nuevamente se ha duplicado el número de
bacterias de la fase anterior.
152
Si seguimos con este análisis hasta llegar a la fase diez, sin duda daríamos respuesta
al biólogo. Sin embargo, podríamos preguntarnos qué haríamos si el biólogo deseara saber el número de bacterias después de 100, 500, 1000 ó más reproducciones.
Semana 3
Potenciación
Hacerlo de esta forma significaría un trabajo arduo. Entonces, acudamos a nuestra
amiga, la Matemática, a ver cómo nos puede ayudar.
Sabemos que, en cada fase, se duplica el número de bacterias, por tanto, tenemos
que:
Fase
Número de bacterias
0
1
1
2x1=2
2
2x2=4
3
2x4=2x2x2=8
4
2 x 8 = 2 x 2 x 2 x 2 =16
5
2 x 16 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 32
Observa que el número de bacterias resultantes en cada fase lo puedes obtener por
dos métodos:
El primero y más natural es multiplicando por dos el número de bacterias de la fase
anterior. Sin embargo, este método presenta un problema y es que, para saber cuántas bacterias hay en la fase 1000, debes saber primero cuántas hay en la fase 999 y
para esto debes saber cuántas hay en la fase 998 y así sucesivamente. Este método
suele llamarse recursivo, porque siempre se requiere del número anterior.
El segundo método, consiste en multiplicar el 2 (que representa en cuántas partes
se divide cada bacteria) por sí mismo, tantas veces como fases hayan transcurrido. Así,
por ejemplo, en la fase 5 habrá 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 32.
Este ejemplo nos puede llevar a definir una nueva operación que llamamos potenciación. En principio, pensemos en esta operación como una multiplicación abreviada, es decir, de ahora en adelante, en vez de escribir: 2 x 2 x 2 x 2 x 2 escribiremos 25
y lo leeremos como: dos elevado a la cinco, donde el 2 representa el número que se
está multiplicando por sí mismo (factor) y el 5 el número de veces que se está multiplicando. Luego, 25 representa el número dos multiplicado por sí mismo cinco veces.
Entenderemos 20 como uno, pues en la fase 0 sólo hay una bacteria. Si queremos saber cuántas bacterias habrán en la fase 1000 simplemente escribimos 21000 en lugar de
escribir el 2 multiplicado mil veces. Este número puede ser obtenido fácilmente con
una calculadora. Sin embargo, nosotros no lo calcularemos, pues nos interesaremos
más en las propiedades de la potenciación.
Así como ocurre en la multiplicación y en la suma, los números involucrados en la
potenciación reciben nombres particulares, observa el ejemplo:
base
25
exponente
}
potencia
153
Semana 3
Potenciación
1. El factor que se repite se llama base.
2. El número que indica las veces que se repite el factor se llama exponente.
3. La expresión completa se llama potencia.
En el ejemplo precedente hemos usado como base el número dos, por la naturaleza
propia del problema. No obstante, la base puede tomar cualquier número natural que
conozcas. Observa la siguiente tabla:
Multiplicación
Potencia
3x3x3x3x3x3
36
10 x 10 x 10
103
7x7x7x7
74
9x9x9x9x9
95
20 x 20 x 20 x 20
204
13 x 13
132
Propiedades de la potenciación
Una vez que hemos entendido el significado de una potencia, podemos preguntarnos cómo operar con ellas, es decir, si puedes multiplicar dos potencias por ejemplo, o
dividirlas y, en tal caso, cuándo lo puedes hacer. Para ello, consideremos los siguientes
ejemplos:
1. Sabemos que 53 lo podemos escribir como 5 x 5 x 5 y que 54 se puede expresar
como 5 x 5 x 5 x 5. Ahora, si intentamos multiplicar estos dos números,
obtendríamos la expresión:
53 x 54 = 5 x 5 x 5 x 5 x 5 x 5 x 5 = 57
53 54
2. Intentémoslo ahora con 72 y 76
72 x 76 = 7 x 7 x 7 x 7 x 7 x 7 x 7 x 7 = 78
154
72 76
Observa que, en ambos ejemplos, hemos multiplicado dos potencias con la misma
base: en el primero, la base es 5 y en el segundo, la base es 7, y el resultado que se ha
Semana 3
Potenciación
obtenido ha sido una potencia con la misma base, elevada a un exponente que tiene
la particularidad de ser el resultado de la suma de los exponentes de las potencias
originales, esto es:
1. 53 x 54 = 53+4= 57
2. 72 x 76 = 72+6= 78
Con estos resultados, podemos mencionar la primera propiedad de esta operación:
Prop.1. Multiplicación de potencias con igual base: Al multiplicar dos potencias que tienen la misma base, siempre obtendremos como resultado una potencia con esa base y un exponente igual a la suma de los exponentes de las potencias
originales.
45
42
Consideremos ahora la siguiente división
Usando la definición que hemos dado de potencia, tenemos que,
45 4.4.4.4.4
=
42
4.4
pero, este cociente lo puedes escribir como,
4.4.4.4.4 4 . 4
=
= 4.4.4 = 1.1.4.4.4 = 4.4.4 = 43
4.4 4
4
45
luego, 2 = 43
4
Fíjate que el resultado que se ha obtenido es una potencia con la misma base, pero
con un exponente que es igual a la resta del exponente que está en
el dividendo, me5
nos el exponente de la potencia que está en el divisor, es decir, 4
= 45-2
42
Con esto, podemos enunciar la segunda propiedad:
Prop. 2. División de potencias con igual base: al dividir dos potencias que tienen la misma base, siempre obtendremos como
resultado una potencia cuyo exponente será la resta del exponente que está en el dividendo, menos el exponente de la potencia que está en el divisor.
3
Veamos esta potencia muy particular (32) . Esta potencia tiene como base otra potencia. Observemos cómo lo podemos resolver:
3
(32) = (32) (32) (32) = 3.3.3.3.3.3 = 36
5
Veamos esta otra (53) , esto es,
5
(53) = (53) (53) (53) (53) (53) = (5.5.5) (5.5.5) (5.5.5) (5.5.5) (5.5.5) =
5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5 = 515
155
Semana 3
Potenciación
Observa que el resultado en ambos casos es otra potencia que tiene la misma base,
con un exponente igual al producto de los exponentes, es decir,
5
(52) = 52.5
Enunciamos así nuestra tercera propiedad:
Prop. 3. Para calcular la potencia de una potencia, basta con
escribir la misma base con un exponente igual al producto de
los exponentes de las potencias iniciales.
Observa una forma de resolver este ejercicio (2.5)3:
(2.5)3 = (2.5) (2.5) (2.5)
Como la multiplicación cumple la propiedad asociativa y conmutativa, entonces podemos escribir
(2.5)3 = 2.2.2.5.5.5 = 2353
Este resultado nos lleva a la siguiente propiedad:
Prop. 4. Para calcular la potencia de un producto, se eleva cada
factor al exponente de la potencia.
Saber más
Para consolidar tus conocimientos sobre la potenciación, visita
la siguiente dirección web, donde encontrarás otros ejemplos,
que te ayudarán a superar tus dificultades.
http://www.rena.edu.ve/TerceraEtapa/Matematica/TEMA2/
potenciacionN.html
1. Toma una hoja de papel, divídela en dos partes iguales. Luego, sin desdoblarla,
vuelve a dividirla en dos partes iguales, y de nuevo, divídela en dos partes iguales.
Al desdoblar la hoja, ¿cuántos cuadrados quedaron marcados?
Si el proceso anterior lo repitieras 6 veces, ¿cuántos cuadros quedarían marcados?
Y si lo haces 7, 8, 9 veces, ¿cuántos quedarían marcados?
156
Semana 3
Potenciación
En el encuentro en el CCA, contrasta tu resultado con el de tus compañeros.
2. Simplifica las siguientes potencias, utilizando las propiedades ya conocidas. Deja
tu respuesta indicada como una potencia.
55
3 4
3
2
2
b)
c)
(7
)
d)
(7x5)
e)
a) 132 x 133
53
4
f ) 33 x 35
g)
47
44
2
h) (34)
3
i) (6x3)
j)
2
3
3
3. En una calle hay 5 edificios, en cada edificio hay 5 pisos, cada piso tiene 5
apartamentos y en cada apartamento viven 5 personas. ¿Cuántas personas
habitan en la calle? Grafica la situación y expresa tu respuesta como una
potencia.
4. Juan se interesó en leer un libro de 100 páginas. El primer día leyó una página,
y cada día leyó el doble de las páginas del día anterior. ¿Para qué día Juan habrá
leído 63 páginas?
5. Carlos tiene sus dos padres; los padres de sus padres son sus abuelos; los
padres de sus abuelos son sus bisabuelos; los padres de sus bisabuelos son sus
tatarabuelos. Entonces, ¿cuántos abuelos tiene Carlos?, ¿cuántos bisabuelos
tiene?, y ¿cuántos tatarabuelos tiene?
6. Pedro y María se casaron y tuvieron tres hijos; cada hijo ha tenido tres hijos más
y cada uno de ellos ha tenido, a su vez, tres hijos. Entonces, ¿cuántos nietos
tendrán en total Pedro y María?
En esta sesión, hemos estudiado la utilidad
que tiene la Potenciación en nuestra cotidianidad. Hemos visto que ésta es definida como
un producto abreviado y que además cumple
ciertas propiedades que facilitan muchos cálculos matemáticos a la hora de resolver algunos problemas.
157
Semana 4
Semana 4
Divisibilidad
Divisibilidad
En este encuentro estudiaremos una herramienta sumamente importante para
nuestras vidas: la divisibilidad. Esta herramienta nos permite dar respuesta a muchas
interrogantes que a diario nos hacemos y que además usamos, sin ser conscientes de
ello. La divisibilidad está presente en todo. Por ejemplo, un albañil que desea terminar
una obra en un par de días puede pensar en buscar un compañero que le ayude, y así
dividir el trabajo entre los dos, logrando terminar su obra más rápido, aunque, obviamente, también se dividiría el pago.
En el semestre anterior, trabajaste con la división y la multiplicación en los números
naturales. Si no lo recuerdas, ubica la semana Nº 5 de la guía de autoaprendizaje del
7mo semestre y repasa ese contenido, pues será de vital importancia para que puedas
comprender las nociones que trabajaremos en esta sesión, donde aprenderás el concepto de divisibilidad y su utilidad para solucionar problemas cotidianos, haciendo
uso de algunos criterios de esta operación. Además, se espera que puedas encontrar
el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de un conjunto de números y
los uses para resolver problemas.
Razona y responde las siguientes interrogantes, para que luego, en el encuentro en
el CCA, las discutas con tus compañeros.
1. ¿Cuántas camisas puedo comprar con 100 Bs.F. si cada una cuesta 20 Bs.F.?
2. ¿Cuántas vueltas le he dado a una plaza en 1 hora, si tardé 15 minutos por cada vuelta?
3. ¿Cómo puedo acomodar 15 camisas en 3 gavetas, si cada gaveta debe tener el
mismo número de camisas?
4. El señor Eduardo ha recibido un bono de 750 Bs.F. por su buen rendimiento laboral.
Él desea repartir ese dinero entre sus 15 nietos, ¿cuánto debe darle a cada uno, si
quiere que éstos no piensen que tiene preferencia por alguno de ellos?
5. Un albañil debe colocarle cerámicas al piso de una habitación. El piso cubre un
área de 16 metros cuadrados. Cada caja de cerámica cubre un área de 1 metro
cuadrado. ¿Cuántas cajas necesita para cubrir el piso completo? Si cada caja
cubriera 2 metros, ¿cuántas se necesitarían?
158
Consideremos la siguiente interrogante: ¿cómo se pueden distribuir 24 libros en 4
compartimientos de un estante, si todos los compartimientos deben tener el mismo
número de libros?
Una forma de dar respuesta a esta pregunta consiste en hacer el proceso de colocar 1
Divisibilidad
Semana 4
libro en cada compartimiento, luego colocamos otro libro en cada compartimiento y
repetimos el proceso hasta que se terminen los libros. La siguiente figura nos ilustra
esta situación.
Sin embargo, este método podría ser poco práctico si aumentáramos el número de
libros, digamos 100 libros, por ejemplo. Sería un poco tedioso ir colocando cada libro
en cada compartimiento a la vez. No obstante, existe otra forma de dar respuesta a la
pregunta que nos hicimos originalmente y sería simplemente dividiendo el número
de libros (24) entre el número de compartimientos (4), esto es, 24 ÷ 4 = 6, este resultado indica que en cada compartimiento debemos colocar 6 libros.
Tratemos de responder la misma pregunta, pero, ahora considerando que se tienen
25 libros. Al hacer la división veríamos que no existe un número entero de libros, de
manera que puedan colocarse en cada compartimiento y que éstos queden con la
misma cantidad, pues deberíamos colocar seis libros y un pedazo de otro en cada
compartimiento, si quisiéramos que todos queden igualmente distribuidos.
En el ejemplo precedente se puede observar que el 4 es un divisor del 24, porque
existe el número 6 que cumple la condición de que 24 = 6 x 4. También podemos decir
que 24 es un múltiplo de 4.
Un número entero positivo (que representaremos con la letra
b) es un divisor de otro entero positivo (representado por la
letra a) si existe otro entero positivo (llamémoslo c) que cumple la condición de que a = b x c. También suele decirse que el
entero positivo a es múltiplo del entero positivo b.
159
Semana 4
Divisibilidad
Veamos otra forma de esta definición:
Si al efectuar la división del número a entre el número b se obtiene un residuo igual
a cero que dice que b es divisor de a, o también podemos decir que a es un múltiplo
de b. Esto es,
a b
0
c
Entonces decimos que b es divisor de a, o bien, a es múltiplo de b.
Veamos otros ejemplos que puedan aclarar estas explicaciones:
• 8 es divisor de 32, o bien 32 es múltiplo de 8.
• 7 es divisor de 35, o bien 35 es múltiplo de 7.
• 23 es divisor de 69, o bien 69 es múltiplo de 23.
• 12 es divisor de 48, o bien 48 es múltiplo de 12.
• 2 es divisor de 32, o bien 32 es múltiplo de 2.
• 8 es divisor de 64, o bien 64 es múltiplo de 8.
En los ejemplos anteriores hemos dicho que 8 es divisor de 32, esto es porque existe
el número 4 que hace que 8 x 4 = 32, o bien podemos decir que:
32 8
0 4
Trata de justificar el resto de los ejemplos que planteamos anteriormente, haciendo
uso de las herramientas que hasta ahora se han proporcionado, y luego discútelos con
tus compañeros en el CCA.
Una vez que tengamos claro lo que es un divisor y lo que es un múltiplo de un número dado, cabe la pregunta natural: ¿cuáles son los divisores y los múltiplos de un
determinado número entero positivo y cómo se pueden encontrar?
Para conocer los múltiplos positivos de un número entero positivo, simplemente se
multiplica dicho número por 1, 2, 3, 4, 5, 6,… Así, los primeros cinco múltiplos positivos del 5, vendrían dados por: 5 • 1 = 5; 5 • 2 = 10; 5 • 3 = 15; 5 • 4 = 20; 5 • 5 = 25.
Si queremos saber si un número a es múltiplo de otro número b, basta con dividir
este otro por el primero y si la división da exacta, es decir, el residuo es igual a cero,
entonces podemos decir que a es múltiplo de b.
160
Por otro lado, si deseamos saber los divisores de un número a, comenzamos a dividir
este número entre 1, 2, 3, 4,… hasta el mismo número a, y todos aquéllos con los cuales obtenga residuo cero serán los divisores de a. Por ejemplo, los divisores del 15 son
los números 1, 3, 5 y 15, porque son los únicos que dividen al quince en un número
exacto. Verifica esto como ejercicio.
Semana 4
Divisibilidad
Números primos y compuestos
Consideremos el caso en el que queramos repartir 8 libretas entre un número determinado de personas, dándoles a cada uno la misma cantidad de libretas. Entonces,
podríamos tener los siguientes casos:
• Las ocho libretas para una sola persona.
• Las ocho libretas repartidas entre dos personas, cuatro para cada una.
• Las ocho libretas repartidas entre cuatro personas, dos para cada una.
• Las ocho libretas repartidas entre ocho personas, una para cada una.
Ahora, consideremos que sólo hay 7 libretas, entonces, tendríamos estos casos:
• Las siete libretas para una sola persona.
• Las siete libretas repartidas entre siete personas, una para cada una.
Los números, como el 7, que sólo aceptan como divisores a él mismo y a la unidad,
se llaman números primos.
Cuando un número no es primo, como el ocho, que también
puede ser dividido por el 2 y por 4, recibe el nombre de número compuesto.
Definimos un número primo como cualquier entero mayor que
el 1 y que sea divisible exactamente por dos números diferentes, él y la unidad.
El primer número primo es el 2, luego el 3, el 5, 7, 11, 13...
Escribe en una lista todos los números primos menores que 100.
Descomposición de un número en factores primos
Veamos cómo descomponer un número dado en factores primos, esto significa, escribir el número como el producto de números primos. Para ello, consideremos el número 360. Procedemos de la siguiente manera:
Primero, dividimos 360 entre el menor número primo posible, en este caso, el 2, y
repetimos el proceso con este número mientras se pueda hacer, nos quedaría:
360
2
1802
90
2
45
161
Semana 4
Divisibilidad
Como el 45 no se puede dividir por el número 2, entonces, procedemos a dividir por
el siguiente número primo posible, en este caso, el 3:
45
3
15
3
5
Como el 5 no es divisible entre 3, entonces, ubicamos el siguiente número primo
posible, el 5. Luego,
55
1
Este proceso se repite hasta que se obtiene 1 en el cociente.
Una vez hecho esto, podemos escribir 360 como el producto de factores primos, es decir,
360 = 2.2.2.3.3.5 = 23 . 32 . 5
Mínimo común múltiplo
Analicemos la siguiente situación: María va a la biblioteca cada 4 días y Carlos va
cada 14 días, ambos a la misma hora. Si hoy se han encontrado los dos en la biblioteca,
¿cuándo van a coincidir nuevamente?
162
Sabemos que María a partir de hoy irá a
la biblioteca nuevamente dentro de:
Por otro lado, Carlos irá a la biblioteca
a partir de hoy dentro de:
4 días por 1era vez
14 días por 1era vez
8 días por 2da vez
28 días por 2da vez
12 días por 3era vez
42 días por 3era vez
16 días por 4ta vez
56 días por 4ta vez
24 días por 5ta vez
70 días por 5ta vez
28 días por 6ta vez
84 días por 6ta vez
32 días por 7ma vez
98 días por 7ma vez
36 días por 8va vez
112 días por 8va vez
40 días por 9na vez
126 días por 9na vez
44 días por 10ma vez
140 días por 10ma vez
48 días por 11va vez
154 días por 11va vez
52 días por 12va vez
168 días por 12va vez
56 días por 13va vez
182 días por 13va vez
Semana 4
Divisibilidad
Observa que el número de días que transcurren para que María vaya a la biblioteca
son los múltiplos de 4, así como el número de días que transcurren para que Carlos
vaya a la biblioteca son los múltiplos de 14.
Podemos ver entonces, que Carlos y María coincidirán de nuevo en la biblioteca
cuando María haya ido por sexta vez y Carlos por segunda vez a partir de hoy, esto
es, dentro de 28 días. Pero, además, volverán a coincidir cuando María haya ido por
décima tercera vez y Carlos por cuarta vez, esto es, dentro de 56 días. Si continuamos
llenando las columnas anteriores, podríamos determinar dentro de cuántos días volverían a coincidir María y Carlos.
Existen muchos números que son múltiplos comunes del 4 y del 14. Sin embargo, el
número 28 es el menor de esos múltiplos comunes; este número recibe el nombre de
mínimo común múltiplo, y lo escribimos así: m.c.m. (4, 14) = 28
Definimos el mínimo común múltiplo de dos o más números
como el menor múltiplo común entre ellos.
Veamos otro ejemplo, un poco más operativo:
Encuentra el mínimo común múltiplo de los números 5 y 16.
Para hallar el mínimo común múltiplo entre dos o más números, no es necesario
encontrar los múltiplos de cada uno de ellos hasta ver cuál coincide. Podemos hacerlo
aplicando un criterio que permite resolverlo directamente:
Si se desea encontrar el mínimo común múltiplo de dos o más números, se debe
descomponer cada uno de ellos en factores primos, y multiplicar los factores comunes
y los no comunes que tengan el mayor exponente.
Ahora bien, para encontrar el m.c.m. (5, 16) procedemos a escribir cada uno de estos
números como el producto de factores primos.
Por un lado, tenemos que el 5 es primo, por lo tanto no podemos descomponerlo.
Por otro lado,
16
2
8
2
4
2
2
2
1
Luego, 16 = 24
En este caso, no hay factores primos comunes, así que multiplicamos los factores no
comunes con su mayor exponente. Así, m.c.m. (5, 16) = 5.24 = 80
163
Semana 4
Divisibilidad
Para el caso de María y Carlos en la biblioteca, tendríamos lo siguiente:
4
2
2
14
2
2
7
1
4 = 22
7
1
14 = 2. 7
Como observamos, el único factor primo común es el 2, por tanto, lo tomamos donde el exponente sea mayor, es decir, 22. El único factor no común es el 7. Luego, tenemos que m.c.m. (4, 14) = 22 . 7 = 4 . 7 = 28.
Supongamos que Martha asiste a la misma biblioteca que Carlos y María, pero cada
15 días. ¿Cuándo coincidirán los tres, si hoy se encontraron en la biblioteca?
Para responder esta pregunta basta con encontrar m.c.m. (4, 14, 15). Ya sabemos que
4 = 22 y 14 = 2. 7, y al descomponer el 15 en factores primos tenemos que 15 = 3. 5.
Luego tenemos lo siguiente:
4 = 22 14 = 2. 7
15 = 3. 5
Para este caso, no existen factores primos comunes para los tres números. Los factores no comunes con su mayor exponente son 22, 7, 3 y 5. Luego, el m.c.m. (4, 14, 15)
= 22. 7. 3. 5 = 420. Por lo tanto, deberán transcurrir 420 días para que los tres vuelvan
a coincidir.
Máximo común divisor
Analicemos el siguiente problema: Eduardo tiene en un recipiente 16 kgs de leche
y en otro recipiente tiene 24 kgs de leche. Su mamá le pide que reparta la leche en
bolsas que tengan la misma capacidad. ¿Cómo podría Eduardo hacer el trabajo?
Si se desea repartir la leche en bolsas que tengan la misma capacidad, procedemos
a buscar primero cuáles son los divisores de 16 y de 24.
Los divisores de 16 son: 1, 2, 4, 8, 16
Los divisores de 24 son: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
Vemos pues que para repartir la leche en bolsas de igual cantidad, podemos usar bolsas de 1, 2, 4 y 8 kgs. Por ejemplo, no podemos usar bolsas de 3 kgs, porque a pesar de
que 24 kgs pueden distribuirse completamente en estas bolsas, se presentaría el problema de repartir los 16 kgs en estas bolsas, pero nos quedaría 1 kg de leche sin repartir.
164
Semana 4
Divisibilidad
Si la mamá de Eduardo desea que la leche quede distribuida en bolsas de igual capacidad, pero, además, desea que la capacidad sea la máxima, entonces, Eduardo deberá empacar la leche en bolsas de 8 kgs. Este número recibe el nombre de máximo
común divisor, y lo escribimos así: m.c.d. (16, 24) = 8
Definimos el máximo común divisor de dos o más números
como el mayor de sus divisores comunes.
Veamos el siguiente ejemplo:
Encuentra el máximo común divisor de los números 32 y 54.
Para encontrar el m.c.d. (32, 54) se aplica un procedimiento similar al que aplicamos
para encontrar el mínimo común múltiplo:
Para encontrar el máximo común divisor de dos o más números, se descomponen
cada uno de éstos en factores primos y el producto de los factores comunes elevados
al menor exponente será el m.c.d.
Encontremos el m.c.d. (32, 54).
Primero, descomponemos ambos números en factores primos:
32 2
16
54 2
8
2
4
2
2
2
27
2
1
32 = 25
3
9
3
3
3
1
54 = 2. 33
El factor común es 2, y se elije el de menor exponente.
Entonces, el m.c.d. (32, 54) = 2.
Para el caso de los 16 y 24 kgs de leche, tendríamos lo siguiente:
16 = 24 y 24 = 23. 3
El factor común es 2, y tomamos el que tenga el menor exponente, es decir, m.c.d.
(16, 24) = 23 = 8.
165
Semana 4
Divisibilidad
Saber más
Para que consolides tus conocimientos sobre Divisibilidad,
visita esta dirección web, donde se presentan algunos problemas y actividades interactivas; trata de analizarlos y,
si tienes dudas, acude a tu facilitador: http://thales.cica.
es/rd/Recursos/rd98/Matematicas/07/matematicas-07.html
1. Verifica si los siguientes números son primos o compuestos:
a) 6 b) 181c) 302d) 3147
e) 321f ) 97 g) 47h) 231
2. Realiza el procedimiento de descomposición de los siguientes números en
factores primos:
a) 240 b) 208
c) 133
d) 645
e) 345f ) 329g) 478h) 219
3. Encuentra el mínimo común múltiplo de las siguientes parejas de números:
a) 28 y 58 b) 22 y 24 c) 46 y 69
d) 12 y 50
e) 20 y 70
4. Encuentra el mínimo común múltiplo de las siguientes ternas de números:
a) 8, 92 y 110
b) 152, 184 y 200 c) 140, 210 y 220
d) 20, 38 y 52
e) 18, 24 y 40
f ) 10, 12 y 14
5. Encuentra el máximo común divisor de las siguientes parejas de números:
a) 76 y 82
b) 140 y 250 c) 11 y 23
d) 12 y 56
e) 21 y 70
6. Encuentra el máximo común divisor de las siguientes ternas de números:
166
a) 14, 16 y 28
b) 27, 74 y 130
c) 34, 72 y 64
d) 46, 86 y 98
e) 120, 210 y 220
f ) 42, 84 y 112
Divisibilidad
Semana 4
7. María y Alberto viajan a Aruba constantemente. María viaja cada 15 días y Alberto
viaja cada 24 días. Hoy se han encontrado los dos en Aruba ¿dentro de cuánto
tiempo volverán a estar juntos en Aruba?
8. Un bombillo se enciente cada 24 horas, otro se enciende cada 48 horas y otro
cada 72 horas. Si a las 12 del mediodía de ayer han coincidido los bombillos
prendidos, ¿cuándo volverán a coincidir?
9. Se desean repartir 180 libros, 240 juguetes y 360 chocolates entre un cierto
número de niños, de tal modo que cada uno reciba un número igual y exacto
de cada uno de esos elementos. ¿Cuál es el mayor número de niños que puede
beneficiarse así y qué cantidad recibe cada uno?
10. Cuatro buques parten para el mismo destino: el primero, cada 10 días; el segundo,
cada 8; el tercero, cada 9 y el cuarto cada 15 días. Suponiendo que hoy salen
todos juntos, ¿cuántos días transcurrirán para la próxima salida simultánea?
11. Dos letreros luminosos se encienden con intermitencias de 42 y 54 segundos. A
las 20 h 15 m se encienden simultáneamente, ¿a qué hora vuelven a encenderse
juntos?
12. Se desean organizar 1830 latas de aceite y 1170 latas de vinagre en un cierto
número de cajones, que contengan el mismo número de latas cada uno, sin que
sobre ninguna y sin mezclarlas. ¿Cuál será el mayor número posible de latas que
puedan ponerse en cada cajón?
En esta sesión hemos estudiado la divisibilidad como una herramienta de suma importancia en nuestras vidas. Vimos que un número divide a otro si el cociente entre este último
y el primero es un número exacto. También
estudiamos los números primos, que sólo admiten como divisores el mismo número y la
unidad.
Finalmente, se trabajó con el mínimo común múltiplo y el máximo común divisor de
dos o más números, y su importante aplicabilidad en la cotidianidad.
167
Semana 5
Semana 5
Conjuntos numéricos:
naturales
y enteros
Conjuntos
numéricos:
naturales y enteros
Los números han surgido a lo largo de la historia, gracias a la necesidad que ha tenido el ser humano de contar, medir, repartir, clasificar, distribuir, etc. El primer conjunto
numérico que surgió fue el de los números naturales; sin embargo, con el correr de los
años, este conjunto no cubría las nuevas necesidades que se presentaban en la vida
cotidiana, motivo por el cual surgieron otros conjuntos numéricos como el de los números enteros, los números racionales, los números reales, entre otros.
Por ejemplo, para contar las cabezas de ganado en un rebaño, se necesitaba asignar
un símbolo que representara esa cantidad y además debía ser único para esa cultura. En el semestre anterior ya has estudiado algunos sistemas de numeración que te
pueden ser útiles en este encuentro, por eso, es recomendable que hagas un repaso
de ello.
A medida que el ser humano va satisfaciendo algunas de sus necesidades, surgen
otras que también debe atender. Por ejemplo, ¿cómo hace un comerciante para representar matemáticamente las deudas que tiene en su negocio o un marinero para
indicar a qué profundidad bajo el nivel del mar se encuentra determinada especie
marina? Pareciera que los números naturales no lograran dar respuesta a estas cuestiones. Sin embargo, estas ideas se pueden manejar matemáticamente dando paso a
un nuevo conjunto numérico: el de los números enteros, donde se incluyen los números negativos. Basándose en este conjunto, un comerciante puede decir que tiene un
saldo de -5000 Bs.F., donde el signo menos “-” representa que 5000 Bs.F. son deudas y
se lee: menos cinco mil bolívares fuertes. Análogamente, se pueden usar los números
negativos para indicar que un pez está a 20 metros bajo el nivel del mar, escribiendo
-20 m.
Curiosamente, a lo largo de la historia, los conjuntos numéricos no surgieron en el
orden que hemos seguido hasta ahora y tampoco fueron aceptados tan fácilmente
como lo pretendemos proponer en la actualidad. El conjunto numérico que más costó
para ser aceptado fue el de los números enteros, ya que, en un principio, los números
negativos no tenían sentido para asociarlos a los problemas cotidianos.
168
Para que profundices en la historia de los conjuntos numéricos, se propone la
Actividad 1 (en la sección de Actividades).
Conjuntos numéricos: naturales y enteros
Semana 5
Esta semana, tenemos como objetivo primordial estudiar los dos primeros conjuntos numéricos antes mencionados, naturales y enteros, de manera que logres distinguir claramente los elementos de cada uno de ellos, así como las restricciones de las
operaciones básicas definidas en cada conjunto.
En adelante, trabajaremos con los dos conjuntos numéricos naturales y enteros, así
como sus operaciones y propiedades. Sin embargo, es necesario que revises el módulo del semestre anterior en el que trabajaste estos contenidos, en especial las operaciones y propiedades en estos conjuntos.
Conjuntos numéricos
En la vida cotidiana se presentan muchos números, pero no todos pertenecen al
mismo conjunto. Estudiemos cada conjunto por separado y sus operaciones.
Los números naturales
Si deseas saber cuántos compañeros tienes en este curso, simplemente los contarías
uno por uno y obtendrías la respuesta. Esa respuesta siempre será un número natural.
Un número natural es todo número que se pueda expresar como una suma de unos.
Por ejemplo, el 3 es natural, pues se puede escribir como 1 + 1 + 1. Sin embargo, el 3,5
no es un número natural, porque no puede ser expresado como suma de unos.
El conjunto de los números naturales los representamos con la letra N, y lo expresamos en forma de conjunto, de la siguiente manera:
N = {1, 2, 3, 4, 5,……..10, 11,………, 100,101,…..}
Los puntos suspensivos que están al final, indican que el conjunto posee infinitos
elementos. Es decir, existen infinitos números naturales. Este conjunto tiene una gran
aplicabilidad en la vida cotidiana; siempre que contamos algo, usamos un elemento
del conjunto. ¿Cuántas sillas hay en la sala?, ¿cuántos perros hay en tu casa?, ¿cuántas
personas viven en tu casa?, ¿cuántos amigos tienes tú?, ¿cuántas veces vas a la biblioteca en una semana?, etc. Todas estas preguntas tienen como respuesta un número
natural. Algunos autores toman el cero como un número natural, aunque no hay un
acuerdo general para ello. Sin embargo, nosotros asumiremos que el cero no es natural, pues, no nos sirve para contar.
Operaciones y sus propiedades en N
Cualquier operación que se defina sobre algún conjunto debe cumplir la propiedad
de clausura, la cual establece que si dos elementos del conjunto se operan, el resultado debe también pertenecer al conjunto.
169
Semana 5
Conjuntos numéricos: naturales y enteros
La adición
La adición en los números naturales cumple la propiedad de clausura para todos
sus elementos. Si sumamos dos números naturales, cualquiera que sea el resultado,
siempre será un número natural. Por ejemplo: 154 + 15 = 169. En general,
Si a y b son números naturales, entonces a + b es un número natural.
Los números que están al lado izquierdo de la igualdad reciben el nombre de sumandos o términos y el número que está a la derecha, recibe el nombre de suma.
Propiedades de la adición
Esta operación cumple con algunas propiedades:
Prop. 1. Conmutativa
Si Juan tiene cinco metras y Carlos tiene 8 metras, ¿cuántas metras tienen entre los
dos? Para responder a esta pregunta, podemos tomar las metras de Juan y sumárselas
a las de Carlos; o bien, tomar las de Carlos y sumárselas a las de Juan. En ambos casos,
la respuesta es la misma: 13. Esto, matemáticamente, significa que: 5 + 8 = 8 + 5 = 13.
En general, podemos decir que,
Si a y b son números naturales, entonces a + b = b + a
Prop. 2. Asociativa
Si además, Pedro tiene 7 metras y queremos saber cuántas metras tienen entre los
tres, podemos sumar las metras de Juan y las de Carlos y sumar el resultado con las
metras de Pedro; o bien, podemos sumar las de Juan con el resultado de sumar las
de Carlos y Pedro. En símbolos, tenemos esto: (5 + 8) + 7 = 5 + (8 + 7) = 20. Donde los
paréntesis indican la operación que se va a realizar primero. En general escribimos:
Si a, b y c son números naturales, entonces (a + b) + c = a + (b + c)
170
Conjuntos numéricos: naturales y enteros
Semana 5
La sustracción
La sustracción se representa con el símbolo “ - “, que se lee: menos. Y escribimos,
por ejemplo, 15 - 3 = 12. Cada uno de estos números recibe un nombre particular. El
primer número del lado izquierdo de la igualdad (15) se llama minuendo, el siguiente
(3) se llama sustraendo y el número que está del lado derecho de la igualdad se llama
diferencia o resta.
Existen muchas situaciones de la vida cotidiana donde usamos la sustracción de números naturales, por ejemplo, si he comprado 20 panes y en el desayuno nos comimos 8, ¿cuántos panes tengo para la cena? La respuesta es muy natural: 12 panes. Lo
que hemos hecho es efectuar la operación 20 - 8 = 12.
En el caso de la sustracción de números naturales, la propiedad de clausura no siempre se cumple; por ejemplo, 154 - 15 = 139. En este caso, hemos restado dos números
naturales y la resta es otro número natural. Si embargo, cuando se nos presenta este
caso: 8 - 14 = ?, la sustracción carece de sentido. Si contextualizamos el problema con
los panes, tendríamos 8 panes de los cuales nos comimos 14, cosa que es absurda,
pues no se pueden comer más panes de los que tengo.
Por esta razón, la sustracción en los números naturales sólo se define cuando el minuendo es mayor que el sustraendo. Así, la diferencia 8 - 14 no está definida en los
naturales, pero si escribimos 14 - 8, entonces sí estaría definida, pues el minuendo es
mayor al sustraendo.
La multiplicación
La multiplicación se suele representar con un punto (•), aunque a veces se utiliza
también el símbolo x. Entonces, podemos escribir 3 • 5 = 3 x 5 = 15. En los casos en los
que no haya lugar a que se presenten confusiones, se puede, incluso, omitir el símbolo. Los números 3 y 5 reciben el nombre de factores y el resultado que es 15, en este
caso, se llama producto.
La multiplicación de dos números naturales siempre es otro número natural; es decir, se cumple la propiedad de clausura. Esto es:
Si a y b son números naturales, entonces a • b es un número natural
Propiedades de la multiplicación
Prop.1. Conmutativa
La propiedad conmutativa advierte que el orden de los factores no altera el resultado. Por ejemplo, 3 x 4 = 4 x 3 = 12. En general,
Si a y b son números naturales, entonces a • b = b • a
171
Semana 5
Conjuntos numéricos: naturales y enteros
Prop. 2. Asociativa Esta propiedad, al igual que para la suma, establece que, si vamos a multiplicar tres
números, podemos hacerlo con los dos primeros factores y el producto obtenido lo
multiplicamos con el tercer factor; o bien, multiplicamos el primer factor con el producto, que se obtiene de multiplicar el segundo y tercer factor. Por ejemplo,
(3 x 2) x 5 = 6 x 5 = 30
3 x (2 x 5) = 3 x 10 = 30
En general,
Si a, b y c son números naturales, entonces (a • b) • c = a • (b • c)
Prop. 3. Existencia de un elemento neutro
En el conjunto de los números naturales existe un número que cumple la propiedad
de que cualquier número del conjunto dé como resultado el mismo número: el número uno, que es el primer elemento del conjunto. Por ejemplo, 5 • 1 = 5, y lo mismo ocurre con todos los elementos del conjunto. En general, escribimos esta propiedad así:
Si a es un número natural, entonces a • 1 = a
Los números enteros
Si al conjunto de los números naturales le agregamos los números negativos -1, -2,
-3, -4, -5,… que son conocidos como los opuestos a los naturales, y, además, agregamos el cero, obtenemos un nuevo conjunto numérico, llamado conjunto de los números enteros. Este conjunto se denota con la letra Z y lo expresamos de la siguiente
manera: Z = {...-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,….}
Los puntos a la izquierda y derecha indican que el conjunto sigue infinitamente hacia ambos lados. Una de las asociaciones que de los números negativos suele hacerse
en la cotidianidad es con las deudas, y los positivos con las ganancias; el cero indica,
entonces, que no hay deudas ni ganancias.
El origen de este conjunto da posibilidades de resolver problemas que, bajo el conjunto de los números naturales, no se podían resolver. Por ejemplo, la ecuación x + 3
= 1 no tiene solución en los números naturales, porque no existe un número natural
que al sumarlo con 3 el resultado sea 1. Sin embargo, en el conjunto de los números
enteros existe el -2, que es la solución de la ecuación, pues -2 + 3 = 1.
172
Conjuntos numéricos: naturales y enteros
Semana 5
Operaciones de los números enteros
En el conjunto de los números enteros también existen algunas operaciones, cada
una de ellas con ciertas propiedades.
Adición
La adición de los números enteros siempre da como resultado un número entero, es
decir, se cumple la propiedad de clausura.
Trata de responder estas preguntas antes de continuar avanzando:
1. Si en tu celular tienes un saldo deudor de 2 Bs.F. y un día logras llamar porque la línea
estaba libre, y consumes en la llamada 3 Bs.F., ¿qué saldo tendrás en tu celular?
2. Supongamos que ahora tienes en tu celular 10 Bs.F. y haces una llamada que te
cuesta 3 Bs.F., ¿cuál es ahora el saldo de tu celular?
3. Si en la llamada anterior hubieras consumido 13 Bs.F., ¿de qué saldo dispondrías
en tu celular?
4. Si ahora tienes 4 Bs.F. y le introduces una tarjeta de 15 Bs.F., ¿cuál es tu nuevo saldo?
Ahora, veamos cómo podemos hacer uso de nuestro nuevo conjunto numérico,
para responder a estas preguntas:
1. Si tengo 2 Bs.F. en saldo deudor, que se representaría así: -2. Y si he llamado,
significa que me he endeudado más; en este caso con 3 Bs.F., que por ser una
deuda lo representamos con -3. El saldo que tendré en mi celular será la suma de
mis deudas, es decir, (-2) + (-3) = -5. Luego, tendré 5 Bs.F. de deuda.
2. Si en mi celular tengo 10 Bs.F. de saldo disponible para llamar, entonces, lo podré
ver como ganancias; es decir, se puede representar con 10. Pero al llamar, he
consumido de mi saldo, lo que se puede interpretar como una deuda que, en
este caso, es de 3 Bs.F., y la representamos con -3. Por lo tanto, el saldo en mi
celular será la suma de las ganancias con las deudas, es decir, 10 + (-3) = 7. El
saldo en mi celular es de 7 Bs.F.
3. Si en lugar de consumir 3 Bs.F. en la llamada, consumo 13 Bs.F., el saldo en mi
celular seguirá siendo la suma de las ganancias con las deudas, esto es, 10 + (-13)
= -3. El signo menos (-), me indica que el saldo ahora será una deuda de 3 Bs.F.
4. Finalmente, si en mi celular tengo una ganancia de 4 Bs.F. y le agrego un monto
adicional de 15 Bs.F., entonces tendré en mi celular un total de 19 Bs.F., esto es, 4
+15 = 19.
173
Semana 5
Conjuntos numéricos: naturales y enteros
Este ejemplo nos ayuda a generalizar unas reglas en la suma de números enteros:
1. Si se suman deudas con deudas el resultado será la suma de las deudas y seguirá
siendo una deuda. Por ejemplo: (-5) + (-3)= -8
2. Si se suman deudas con ganancias, y la ganancia es mayor a la deuda, entonces,
el resultado será una ganancia igual a la resta de la ganancia con la deuda. Por
ejemplo, (-2) + 7 = 5
3. Si se suman deudas con ganancias, y la ganancia es menor a la deuda, entonces,
el resultado será una deuda igual a la resta de la deuda con la ganancia. Por
ejemplo, (-9) + 7 = -2
4. Si sumamos ganancias con ganancias, el resultado es la suma de las ganancias y
seguirá siendo una ganancia. Por ejemplo, 5 + 8 = 13
Propiedades de la adición en Z
La adición en Z cumple la propiedad conmutativa y la propiedad asociativa, al igual
que en los números naturales. Pero además, se cumplen dos propiedades más: existencia de un elemento neutro y existencia de un opuesto para cada elemento del
conjunto.
Prop.1. Conmutativa
Si a y b son dos enteros cualesquiera, entonces a + b = b + a
Prop. 2. Asociativa
Si a, b y c son tres enteros cualesquiera, entonces (a + b) + c = a + (b + c)
Prop. 3. Existencia de un elemento neutro
En el conjunto de los números enteros existe un número que tiene la propiedad que
al ser sumado con cualquier número da como resultado el mismo número. Este número es el cero (0) y se le llama elemento neutro para la suma de enteros. Por ejemplo: 5
+ 0 = 5 ; 0 + (-3) = -3. En general,
Si a es un entero cualquiera, entonces se cumple que a + 0 = a
174
Conjuntos numéricos: naturales y enteros
Semana 5
Prop. 4. Existencia del opuesto aditivo Para cada elemento del conjunto de los números naturales existe un elemento que
cumple la propiedad de que al sumarlos da como resultado el elemento neutro de la
suma, es decir, cero. Por ejemplo, para el -3 existe el 3, tal que (-3) + 3 = 0, para el 7 existe el -7, tal que 7 + (-7) = 0, para el cero está él mismo, que al sumarlo consigo mismo
resulta cero, esto es 0 + 0 = 0. En general,
Si a es un entero cualquiera, entonces se cumple que a + (-a) = 0
Donde -a significa el opuesto de a, es decir el signo menos (-) lo leemos como “el
opuesto de…”.
Observa que el opuesto del cero es él mismo y, además, es el único que tiene esta
particularidad.
Sustracción
La sustracción de dos números enteros cumple con la propiedad de clausura y se
define a partir de la adición. Por ejemplo, si deseamos encontrar la resta 5 - 4 simplemente transformamos esta sustracción como la suma 5 + (-4), si deseamos encontrar
la resta -7 -6 lo escribimos como la suma -7 + (-6), y en cada caso, aplicamos las reglas
para la suma de enteros, que ya hemos trabajado antes. En general,
Si a y b son dos enteros cualesquiera, entonces definimos la
resta a - b como a + (-b), esto es, a - b = a + (-b)
De esta manera, la sustracción en los números enteros no es más que una suma. Por tal
motivo, en adelante, nos abstendremos de
hablar de sustracción y en su lugar sólo hablaremos de suma algebraica, entendiendo
ésta como la suma de dos o más números
enteros cualesquiera. Por ejemplo, (3 - 2) + 4
es una suma algebraica, a pesar de haber un
signo menos en la expresión.
175
Semana 5
Conjuntos numéricos: naturales y enteros
Multiplicación
La multiplicación de dos números enteros da como resultado un número entero;
esto significa que la multiplicación cumple la propiedad de clausura. La notación que
se usa es igual a la usada en los números naturales.
Al igual que en la suma, existen unas reglas que permiten encontrar el producto de
dos enteros cualesquiera, teniendo en cuenta su signo.
Si tienes que multiplicar dos enteros cualesquiera, haces lo siguiente:
1. Multiplicas los números como lo hacías con los naturales, sin tomar en cuenta
sus signos.
2. Si los signos son iguales, el producto siempre es positivo.
3. Si los signos son diferentes, el producto es negativo. Por ejemplo:
a) (-3) • (-2) = 6. Si multiplicamos el 3 con el 2 resulta 6, y como los signos son
iguales, lo colocamos positivo.
b) 8 • 3 = 24. Lo mismo del caso anterior.
c) 4 • (-5) = -20. Al multiplicar el 4 con el 5 resulta 20 y, como los signos son
diferentes, entonces el producto lo colocamos negativo.
Propiedades de la multiplicación en Z
Las propiedades de la multiplicación en el conjunto de los números enteros son las
mismas que las del conjunto de los números naturales.
Prop. 1. Conmutativa
Si a y b son números enteros, entonces a • b = b • a
Prop. 2. Asociativa
Si a, b y c son números enteros, entonces (a • b) • c = a • (b • c)
Prop. 3. Existencia de un elemento neutro
Si a es un número entero, entonces a • 1 = a
176
Semana 5
Conjuntos numéricos: naturales y enteros
Operaciones combinadas
Si en el mismo problema se te presentan varias operaciones combinadas, debes tener en cuenta el orden de prioridad para resolverla. Siempre que vayas a resolver un
problema de este estilo, debes efectuar primero el producto y luego la suma o resta, a
menos que los paréntesis te indiquen lo contrario. Por ejemplo:
1. 3 • (-5) + 2 = -15 + 2 = -13
No puedes cometer el error de sumar algebraicamente el -5 con el 2 y luego multiplicarlo por 3, porque la prioridad siempre será el producto.
2. 3 • (-5) + 2) = 3. (-3) = -9
En este caso, hemos sumado primero el -5 con el 2 y luego multiplicamos por 3 el
resultado, sólo porque los paréntesis indican que lo hagamos primero.
Actividad 1
1.Realiza las lecturas que encontrarás en la siguiente dirección web: http://
personales.ya.com/casanchi/mat/enteros01.pdf
2. ¿Quiénes son los primeros en diferenciar entre los números positivos y los
negativos? Explica cómo lo hacían.
3. ¿Cómo surgen los símbolos que usamos actualmente para representar la suma
(+) y la resta (-)?
4. ¿Quién fue el primero en dar un estatuto legal a los números negativos?
5. Explica cómo surge el conjunto de los números enteros, a partir de los negativos
y los naturales.
Actividad 2
Completa el siguiente cuadro comparativo entre el conjunto de los números naturales y enteros, señalando con un ejemplo las propiedades que se cumplen en cada
conjunto, y con una x las propiedades que no se cumplen.
Operaciones y Propiedades
Adición
Conmutativa
Asociativa
Existencia
Existencia del
Elemento Neutro
Opuesto
Números Enteros
Números Naturales 3 + 4 = 4 + 3 = 7
Multiplicación
Conmutativa
Asociativa
Existencia
Existencia del
Elemento Neutro
Inverso
Números Enteros
X
Números Naturales
X
177
Semana 5
Conjuntos numéricos: naturales y enteros
1. ¿Un número puede ser entero y natural a la vez? Justifica tu respuesta.
2. Menciona 3 situaciones de la vida cotidiana donde uses los números naturales y
3 donde uses los números enteros.
3. Observa la resolución de los siguientes problemas, e indica en el espacio libre la
operación o propiedad que se ha usado.
a) 4.(-3 + 2) + (6 – 3) b) 5. (3 + 0) – 2. (4 – 2)
4.(-1) + (6 – 3) 5. 3 - 2. (4 - 2)
-4 + (6 – 3)
5. 3 - 2. 2
-4 + (6 + (-3)) 15 – 4
-4 + 3
11
-1
4. Completa el espacio en blanco en cada caso:
a) 145 + ______ = 131
b) ______ + 147 = -24
c) 134 - 87 = _______
5. Resuelve aplicando propiedades y menciona cada propiedad al momento de
usarla.
a) (12 - 3) + 3. (4 +3)
b) (-1 + 4). 5 + 4
c) 5. (7 - 12) + 3. (-4)
En esta sesión hemos hecho un estudio de
dos conjuntos numéricos muy importantes,
los números naturales y los números enteros. Hemos visto que éstos surgen a través
de la historia, a partir de las necesidades cotidianas del ser humano y, de allí, se han ido
estudiando y expandiendo, definiéndose algunas operaciones y propiedades en cada
conjunto. Hemos visto las operaciones que se
definen en los naturales y enteros, así como
sus propiedades. Esto último lo has resumido en el cuadro comparativo propuesto en la
Actividad 2.
178
Las fracciones
Las fracciones
Semana 6
Semana 6
La semana anterior estudiamos dos conjuntos numéricos que, de algún modo, permitieron satisfacer algunas necesidades en los problemas cotidianos del ser humano.
Sin embargo, existen otros problemas donde estos conjuntos son insuficientes. Por
ejemplo, si deseo comprar café para llevar a mi casa, y 1 kg es demasiado, ¿cuánto café
podría llevar?, si debo repartir una torta entre 10 niños, ¿qué fracción de la torta debo
darle a cada uno? Para encontrar las respuestas a estas interrogantes, es necesario
acudir a otro concepto matemático: las fracciones.
Las fracciones forman un conjunto que amplía nuestros conjuntos anteriores, permitiendo representar cantidades que no son exactas, por ejemplo la mitad de 1 kg de
café, que lo representamos por 1/2 kg de café, la décima parte de una torta, etc.
El propósito de esta semana será estudiar el concepto de fracción y la diversidad
en los sistemas de representación, así como la aplicabilidad que tienen en la vida
cotidiana.
Trata de responder las siguientes preguntas, para que luego las discutas con tus
compañeros en el CCA.
1. ¿Qué fracción de la semana representan 3 días?
2. Si un corredor tiene que recorrer 18 km y ya ha recorrido 6 km ¿qué fracción del
camino le falta por recorrer?
3. ¿Qué fracción de una hora representan 15 minutos?
4. Si de 48 franelas se repartieron 15. ¿Qué fracción del total de franelas falta por repartir?
5. Un comerciante gastó tres quintos de lo que tenía en la caja y le quedaron 800
Bs.F. para comprar mercancía para su tienda ¿Cuánto dinero tenía en la caja
inicialmente?
6. Para preparar una torta, se necesita ¾ de kg de queso rayado y ½ kg de queso
picado en cuadros. ¿Es suficiente con 1 kg de queso para preparar la torta?
7. Anota en una hoja las edades de las personas que viven contigo. ¿Qué fracción
de tu familia es menor a 20 años?, ¿qué fracción es mayor a 27?
179
Semana 6
Las fracciones
Recuerda que, para leer una fracción, primero debes leer el numerador y luego el
denominador. El numerador lo lees del mismo modo como lees los números: uno, dos,
tres,… y si el denominador es:
2 se lee “medios”
3 se lee “tercios”
4 se lee “cuartos”
5 se lee “quintos”
6 se lee “sextos”
7 se lee “séptimos”
8 se lee “octavos”
9 se lee “novenos”
Si el denominador es mayor a 10, y diferente a 100, 1000,… se le agrega al número el sufijo “avos”. Por ejemplo, 3
se lee tres dieciseisavos.
16
El concepto de fracción
Para poder hablar de fracciones, es necesario tener en cuenta algunos aspectos
importantes:
¿Qué es lo que voy a fraccionar?
¿En cuántas partes iguales lo voy a fraccionar?
¿Cuántas partes se tomarán?
Si tenemos claras estas tres preguntas en el momento de resolver un problema, ya
habremos avanzado bastante. Consideremos la siguiente situación: en una fiesta hay
una torta y la anfitriona debe repartirla entre quince personas, de tal manera que a
cada uno le corresponda la misma cantidad, excepto a su novio (que está entre los 15)
a quien le repartirá un poco más que al resto. La anfitriona decide dividir la torta en 16
pedazos iguales y reparte uno a cada invitado, pero como son 15 personas, sobra un
pedazo y se lo da a su novio. ¿Qué fracción de la torta recibió el novio?
Respondamos las preguntas que en un comienzo nos hemos planteado:
1. ¿Qué hemos fraccionado? La respuesta es: una torta. En adelante, la respuesta a
esta pregunta la conoceremos como el todo.
180
Semana 6
Las fracciones
2. ¿En cuántas partes iguales hemos fraccionado la torta? Evidentemente, en 16 partes.
3. ¿Cuántas partes se tomaron? El novio tomo 2 de las partes iguales de la torta.
Ahora bien, para representar matemáticamente la parte de la torta que ha tomado
2
2
el novio, escribimos 16 de la torta. El número 16 es una fracción de la torta, donde el 2
representa el número de partes que se toman y el 16 el número de partes iguales en
que se divide el todo, en nuestro caso, la torta. Al número 2 se le llama numerador, y al
número 16 se llama denominador.
En general, si tenemos la fracción a
b
a
b
entonces,
Numerador
Denominador
Una fracción es un número que se obtiene de dividir una totalidad en partes iguales, y se escribe de la forma a , donde
b
a y b son números enteros, y se llaman numerador y denominador de la fracción, respectivamente.
Las fracciones en las que el numerador es menor al denominador, reciben el nombre
de fracciones propias.
Por ejemplo, las fracciones ,
2
3
,
5
3
8
5
,
,
,
, son fracciones propias.
9
10
15
19
En caso de que el numerador sea mayor al denominador, decimos que la fracción es impropia.
Como es el caso de las fracciones:
7
5
15
8
13
,
,
,
,
.
3
2
10
7
5
Estas fracciones indican que se han tomado más partes de las que hay divididas en
el todo.
El todo como unidad
Es importante tener bien claro lo que significa el todo, cuando nos referimos a una
fracción. Por ejemplo, si decimos que Juan trabaja las tres cuartas partes de un año,
entonces el todo sería un año (12 meses). Pero si decimos que Juan trabaja la mitad de
lo que trabaja Carlos, entonces el todo. en este caso. es el tiempo que trabaje Carlos.
181
Semana 6
Las fracciones
Consideremos el siguiente ejemplo: María tiene
dos barras de chocolate y las desea repartir entre
sus tres hermanos menores ¿Qué porción de las
dos barras deberá darle a cada hermano?
Para repartir las barras de chocolate, María divide
en tres partes iguales las dos barras de chocolate,
tocándole a cada uno 1 de las dos barras de choco3
late. Ahora, si en lugar de dos barras de chocolate,
María tuviera sólo una barra de chocolate, entonces, le entregaría a cada hermano 1 de la barra de
3
chocolate.
Observa que en ambos casos les está entregando
1
3
del total de chocolates.
Sin embargo, en cantidad de chocolate, no se les estaría entregando lo mismo; esto
se debe a que el todo no es igual en ambos casos, y aunque la fracción ( 1 ) sea la mis3
ma, no está representando igual cantidad. Otro ejemplo más claro, es darse cuenta de
que la décima parte del dinero de Bill Gates1 no es igual a la décima parte del dinero
del panadero de la esquina.
Sistemas de representación de una fracción
Las fracciones pueden representarse por medio de diferentes sistemas:
1. Verbal: normalmente, cuando las madres mandan a sus hijos a hacer compras al
abasto, les dicen, por ejemplo: cómprame medio litro de leche, o un cuarto de kg de
queso, o tres cuartos de kgs de carne, etc. De esta forma, en la vida cotidiana usamos
un lenguaje verbal para referirnos a la fracción de un todo.
2. Numérico: aunque el lenguaje verbal es muy útil, a veces no es suficiente para
trasmitir la idea de fracción. Imagina que vas al supermercado y tienes que preguntar al vendedor la cantidad de leche que hay en un envase, o de cualquier producto
porque no está señalado por algún lado. Para ello, existe el sistema numérico, donde
se explicitan los dos números enteros que establecen la relación entre las partes y el
todo.
Y escribimos
182
1
3
2
1
,
,
,
…
3
4
3
2
3. Gráfico continuo: una forma muy útil de entender la idea de fracción es por medio de un gráfico. Normalmente, se usa una barra continua, pero en algunos casos, se
puede usar también un círculo.
Semana 6
Las fracciones
La barra completa (o el círculo completo) representa el todo.
Cada división interna representa las partes iguales en las que se ha hecho la partición.
El área sombreada representa el número de partes que se han tomado.
Así, tenemos que, en la barra se ha representado
1
se ha representado 3 del total.
3
5
del total, y en el caso del círculo
4. Gráfico discreto: hay algunos casos donde el todo está representado por una cantidad de objetos, por ejemplo, 3 marcadores, 5 estudiantes, 7 libros, etc. En estos casos, es muy útil utilizar un gráfico discreto que está formado por un cuadrado en el
que se ubica el todo, y dentro de él los puntos que representan todas las partes, y a las
partes que se toman se les hace alguna marca. Nosotros hemos usado una cruz.
Por ejemplo, si en un salón de clases hay 12 estudiantes, de los cuales 5 son parientes, ¿qué fracción de la clase
tiene parentesco? Para responder a esta pregunta, acudimos al gráfico discreto.
En total, tenemos 12 estudiantes, representados cada uno por un punto. Como cinco son los que tienen una característica particular (tienen parentesco), entonces los
marcamos con una cruz. Luego, la fracción de la clase que es familia es 5/12.
Observa que para estos casos, el denominador siempre representa el número de
objetos por los cuales está formado el todo.
Continuando con la profundización de nuestro estudio de los conjuntos numéricos,
debemos recordar que éstos surgían de la obligación que sentía el ser humano de
satisfacer ciertas necesidades como: contar, quitar, agregar, etc. Sin embargo, dentro
de estas necesidades existían y aún existen otras más, como el reparto de un herencia,
de un terreno o el pago de una deuda, etc. Situaciones que no recibían respuesta con
el conjunto de los números naturales, de ahí surge la necesidad de construir un nuevo
conjunto numérico: los números racionales.
Saber más
Para que amplíes tus conocimientos sobre este tema, visita la
siguiente dirección web: http://www.caf.com/attach/17/default/N%C2%B09Fracciones.pdf
183
Semana 6
Las fracciones
Realiza la lectura que encontrarás en la siguiente dirección web, y responde las preguntas que se proponen, para que luego las discutas con tus compañeros en el CCA.
http://www.cidse.itcr.ac.cr/revistamate/AportesPe/Teoria/Racionales/Mod1/node1.
html
1. ¿Cuál es el primer documento en el que se hace referencia a los números
racionales?
2. ¿Qué dificultad se le presentó a los egipcios y a los griegos al trabajar con los
números racionales? Explica.
3. ¿Cómo trabajaron los babilonios los números racionales?
1. Escribe en el sistema verbal las siguientes fracciones:
a)
1
2
b)
3
5
c) 3
21
d)
2
7
e)
1
18
f)
9
2
g)
3
17
2. Escribe las siguientes fracciones en el lenguaje numérico:
a) dos quintos
b) tres octavos
c) siete medios
d) un tercio
e) quince dieciseisavos
f ) diecisiete novenos
g) ocho quinceavos
3. La longitud de una pieza de tela es de 5 m. Si se venden las tres cuartas partes
de esa pieza por 560 Bs.F., ¿cuántos metros de tela falta por vender?, ¿cuánto
cuestan los cinco metros de tela? Usa un sistema de representación gráfico
continuo.
4. En un grupo de 18 personas, se sabe que 7 son mujeres, 11 son hombres y 5 son
vegetarianos. Si 2 mujeres son vegetarianas: a) ¿qué fracción de las mujeres son
vegetarianas?, b) ¿qué fracción del grupo son mujeres vegetarianas?, c) ¿qué
fracción del grupo son hombres?, d) ¿qué fracción del grupo son vegetarianos?,
e) ¿qué fracción de los hombres son vegetarianos?
184
Nota: 1 William Henry Gates III, nacido en EEUU el 28 de octubre de 1955, más conocido como Bill
Gates, es cofundador de la empresa de software Microsoft, productora del sistema operativo
para computadoras personales más utilizado en el mundo, Microsoft Windows.
Orden
dede
las fracciones.
La adición y sustracción
Orden
las fracciones.
La adición y sustracción
Semana 7
Semana 7
Bienvenido y bienvenida a nuestro séptimo encuentro. En esta ocasión, trabajaremos en base a lo aprendido en la sesión anterior, las fracciones.
Al igual que los números naturales y enteros, las fracciones se pueden ordenar, bien
sea creciente o decrecientemente, así como también se definen algunas operaciones
que, a su vez, cumplen con ciertas propiedades.
El objetivo de esta semana es que puedas ordenar un grupo de fracciones dadas, en
orden creciente o decreciente, además de reconocer el significado de las operaciones
de adición y sustracción de las fracciones en problemas cotidianos.
Para esta semana, es necesario que tengas claras las nociones de fracciones que trabajaste en el encuentro pasado, incluyendo los sistemas de representación. Si aún presentas algunas dudas con respecto a ese tema, acude a tu facilitador para aclararlas.
Además de esto, es necesario que repases las operaciones y propiedades de los
números naturales y enteros que ya hemos estudiado en sesiones anteriores, como
encontrar el máximo común divisor entre dos o más números. Teniendo estas ideas
claras, podrás terminar con éxito este nuevo tema.
Responde cada una de las siguientes preguntas individualmente y luego, discútelas
con tus compañeros en el CCA.
1. María compró en el supermercado un cuarto de kg de queso, y Martha compró
3 cuartos de kg de queso. ¿Cuál de las dos compró más queso?
2. Entre María y Martha, ¿cuánto queso compraron?
185
Semana 7
Orden de las fracciones. La adición y sustracción
3. La señora Cecilia fue al supermercado y compró un cuarto de kg de ajo, kilogramo
y medio de papas y tres cuartos de kg de tomate. ¿Cuánto peso llevó la señora
Cecilia en su bolsa?
4. ¿Qué pesa más, cinco cuartos de un kg u ocho novenos de un kg?
5. Se desea preparar una torta con los siguientes ingredientes: 2 kgs de harina de
trigo, ½ litro de leche, ¼ kg de mantequilla y 1 kg y medio de azúcar ¿Cuántos
kgs suman estos ingredientes?
Orden de las fracciones
Consideremos el siguiente conjunto de números {1, 3, 2, 7, 5}. Como puedes notar,
estos números pertenecen al conjunto de los números naturales. Ahora bien, si quisiéramos ordenar este conjunto, lo podríamos hacer, bien sea en orden creciente o
decreciente, de la siguiente manera: {1, 2, 3, 5, 7} o bien, {7, 5, 3, 2, 1} respectivamente.
Ordenar el conjunto de esta forma nos da una idea sobre una relación de orden entre
sus elementos. Para ordenarlos, simplemente seguimos la idea de la relación mayor
que (“ >”) o menor que (“<”).
Gráficamente, podríamos saber cuándo un número es mayor o menor a otro, ubicándolos sobre la recta numérica y viendo cuál está más cerca del cero. La regla la
podemos resumir así:
Mientras más se aleje el número hacia la derecha del cero, mayor será, y mientras más se aleje el número hacia la izquierda,
menor será. Cualquier número que esté a la derecha del cero
siempre será mayor a alguno que esté a la izquierda del cero.
De la gráfica que se muestra, podemos decir:
El 3 es mayor que el 1 porque está más lejos del cero hacia la derecha que el mismo 1.
El -2 es menor que el -1 porque está más lejos del cero hacia la izquierda que el menos uno.
El -1 es menor que el 2 porque éste está a la derecha y el -1 está a la izquierda.
-2 -10123
186
Semana 7
Orden de las fracciones. La adición y sustracción
Las mismas relaciones se cumplen en el caso de las fracciones. Sin embargo,
para el caso de las fracciones no siempre es fácil detectar cuando una fracción es mayor o menor a otra. Consideremos los siguientes casos:
1. Fracciones de igual denominador: si tenemos dos fracciones de igual denominador, la mayor será aquella que tenga el mayor numerador, o del mismo modo, la
menor será la que tenga el menor numerador. Por ejemplo:
Si María compra ¼ kg de café y Martha compra ¾ kg de café, entonces decimos que
Martha compró más café que María, pues ambas fracciones tienen el mismo denominador, pero el numerador de ¾ es mayor al de ¼, es decir, 3 es mayor que 1. Luego,
escribimos que ¼ < ¾ o bien, ¾ > ¼
2. Fracciones de diferente denominador: si tenemos fracciones de diferente denominador, entonces, podemos determinar cuál es mayor, usando un gráfico continuo o
un método más aritmético.
Supongamos que María ha comprado ½ kg de café y Martha ¾ de café. Para saber
quién compró más, podemos acudir a un gráfico continuo:
1
2
1
2
1
4
1
4
1
4
1
4
María Martha
Ambas gráficas representan el todo, es decir 1 kg de café. En el lado izquierdo, hemos dividido la barra en dos partes para tomar una, es decir ½ kg de café. Del lado
derecho, dividimos la barra en cuatro partes iguales, y de ellas tomamos tres, es decir,
¾ de café.
Si observamos detalladamente ambos gráficos, vemos que en la barra de la derecha
se ha sombreado un poco más que en la barra de la izquierda, lo cual nos lleva a concluir que ¾ > ¼ o bien, ¼ < ¾
Otro método más aritmético, y en muchas ocasiones, más eficaz, se denomina producto cruzado, que consiste en lo siguiente: ¿cuál número es mayor ¾ ó ¼?
El producto cruzado consiste en multiplicar el numerador de la primera fracción con
el denominador de la segunda fracción y comparar el resultado con el producto que
se obtiene al multiplicar el denominador de la primera fracción con el numerador de
la segunda fracción.
3
1
Así tenemos, 4 y 4 entonces, al multiplicar 3 x 4 = 12 y al multiplicar 4 x 1 = 4,
tenemos que 12 > 4, por lo tanto, 34 > 14
187
Semana 7
Orden de las fracciones. La adición y sustracción
Fracciones equivalentes
La mamá de Juancito tiene una barra de chocolate y le dijo a su hijo que le podía
dar la mitad de la barra o bien dos cuartos de la barra, que él eligiera. ¿Cuál es la mejor
opción de Juancito?
Tratemos de graficar las dos fracciones de chocolate para ver con cuál de ellas le toca
más chocolate a Juancito.
La primera opción es un medio (1/2 ) de la barra, es decir, dividimos la barra en dos
partes iguales y tomamos una. Con un gráfico de barras tenemos lo siguiente:
1
2
1
2
2
Ahora bien, la segunda opción es tomar dos cuartos ( 4 ) de la barra de chocolate, esto significa dividir la barra en cuatro partes y tomar dos de ellas. Gráficamente
tenemos:
1
1
1
1
4
4
4
4
Si observamos las dos barras, vemos que es indiferente la decisión que pueda tomar Juancito, pues en ambos casos le tocará tomar la misma cantidad de chocolate.
Cuando esto ocurre, decimos que las fracciones consideradas son fracciones equiva1
2
lentes, y escribimos 2 = 4
Además, existen otras fracciones que también son equivalentes a estas dos. Por
ejemplo, la fracción 4 que gráficamente representa la misma cantidad de los casos
8
anteriores. El gráfico correspondiente sería:
1
8
1
8
1
8
1
8
1
8
1
8
1
8
1
8
La pregunta natural que nos puede surgir ahora es ¿cómo encontrar una fracción
equivalente a otra?
Para esto, sólo tenemos que multiplicar el numerador y el denominador de la fracción por el mismo número natural. A este procedimiento se le llama amplificación de
fracciones. Por ejemplo,
1
1.2
2
=
=
2
2.2
4
Asi, hemos multiplicado el 1 (numerador) por 2, y a su vez, multiplicamos el 2 (denominador) por el mismo número 2.
1
1.4
4
=
=
2
2.4
8
En el ejemplo anterior, multiplicamos el numerador y el denominador por el factor 4.
188
Orden de las fracciones. La adición y sustracción
Semana 7
También, se pueden encontrar fracciones equivalentes, dividiendo por un divisor
común para el denominador y el numerador distinto de la unidad. A este proceso se
6
le llama simplificación de fracciones. Por ejemplo, si tenemos la fracción 18 , podemos
encontrar una fracción equivalente, dividiendo el 6 y el 18 por algún divisor común
diferente de uno, es decir, el 2 ó el 3.
Si usamos el 3 para dividir, tenemos:
6
6÷3
2
=
=
18 18 ÷ 3 6
Dividamos ahora la fracción equivalente que hemos obtenido por el divisor común
que nos queda. Entonces tenemos,
2
2÷2
1
=
=
6
6÷2
3
Observa que el proceso de amplificación lo podemos repetir las veces que queramos, porque podemos usar cualquier número, mientras que el proceso de simplificación sólo puede aplicarse un número limitado de veces, porque los divisores comunes
entre dos números son limitados.
6
La fracción 18 ha sido reducida, aplicando el proceso de reducción dos veces, obteniendo la fracción equivalente 13 . Esta última fracción no puede seguir siendo reducida porque el 1 y el 3 no tienen divisores comunes distintos de la unidad. A este tipo
de fracciones, se les llama fracciones irreducibles.
De ahora en adelante, cada vez que resolvamos un problema que involucre fracciones, daremos la respuesta final con una fracción reducida.
Operaciones con fracciones
Al igual que en el caso de los números naturales y enteros, las fracciones también
pueden ser relacionadas por medio de algunas operaciones.
Adición de fracciones
Cuando vamos a sumar fracciones, se nos pueden presentar dos situaciones diferentes: que ambas fracciones sean de igual denominador, o, que ambas fracciones
sean de distinto denominador. Veamos cómo abordar cada caso.
Suma de fracciones de igual denominador
Consideremos el siguiente problema: María ha preparado un dulce de lechosa y
2
un dulce de durazno. Para el dulce de lechosa, ha usado 5 kg de azúcar, y para el
dulce de durazno ha usado 4 kg de azúcar. Deseamos saber cuántos kgs de azúcar
5
ha gastado María.
189
Semana 7
Orden de las fracciones. La adición y sustracción
Si usamos un diagrama de barras para ilustrar la situación, tendríamos lo siguiente:
2
5
4
5
+
+
=
6
5
=
La barra completa (el todo) representa un kg de azúcar.
Observa que el resultado obtenido es una nueva fracción impropia que tiene como
numerador la suma de los respectivos numeradores de las fracciones originales, mientras el denominador se mantiene igual.
Esto lo podemos resumir en el siguiente enunciado:
Para sumar dos fracciones de igual denominador, se suman los
numeradores y se coloca el mismo denominador.
Veamos los siguientes ejemplos:
a)
1
3
1+3
4
+ =
=
7
7
7
7
b)
4
5
4+5
9
+ =
=
=3
3
3
3
3
c)
9
5
9+5 14
7
+ =
=
=
8
8
8
8
8
Suma de fracciones con distinto denominador
2
Eduardo y María han salido al supermercado. María ha comprado 3 kg de papa y
Eduardo, por su lado, ha comprado 1 kg de papa. ¿Cuántos kgs de papa han com2
prado entre los dos?
190
Semana 7
Orden de las fracciones. La adición y sustracción
Evidentemente, la respuesta es la suma de ambas compras, pero ¿cómo sumamos
estas fracciones, si sus denominadores no son iguales? Veamos tres métodos para
hacerlo:
1. Haciendo uso de las fracciones equivalentes
La suma que debemos resolver es 23 +
gráfica de cada una de las fracciones:
1
3
1
3
1
2
. Para ello, hagamos una representación
1
3
1
2
1
2
La barra completa representa un kg de papas.
La idea en este método es encontrar dos fracciones que tengan el mismo denominador y así estaríamos en el caso anterior.
2
3
Luego, tenemos por un lado
por 3, respectivamente.
=
4
6
y por otro lado
1
2
=
3
6
, amplificando por 2 y
Haciendo los gráficos correspondientes y sumando fracciones de igual denominador, tenemos:
/6
1
/6
1
/6
1
/6 /6
1
1
4
6
1
+
/6
/6
1
/6
1
1
3
6
Por lo tanto, entre Eduardo y María han comprado
/6
1
/6
=
7
6
/6 1/6 1/6 1/6
1
7
6
kg de papa.
2. Haciendo uso del mínimo común múltiplo
El mínimo común múltiplo entre dos números, que has aprendido en la semana Nº
4, es muy útil para sumar fracciones.
Veamos cómo sumar la cantidad de papas que han comprado María y Eduardo, es
decir, 23 + 12 .
La idea en este método es llevar las fracciones a un mínimo denominador común
y luego sumar las fracciones resultantes. El primer paso, es hallar el mínimo común
múltiplo entre los denominadores, que para nuestro caso es 6. Este número será el denominador de la fracción suma. El numerador de la fracción, se obtiene de la siguiente
manera:
191
Semana 7
Orden de las fracciones. La adición y sustracción
1. Primero dividimos el m.c.m. obtenido antes por cada denominador.
2. El resultado de esta división lo multiplicamos por su respectivo numerador y luego los sumamos. Esta suma será el numerador de la fracción suma.
Para nuestro ejemplo, tenemos:
a)6 ÷3 = 2 dividimos el m.c.m. entre el denominador de la primera fracción.
b) 2 x 2 = 4 multiplicamos el resultado anterior por el numerador de la primera
fracción.
c)6 ÷2 = 3 dividimos el m.c.m. entre el denominador de la segunda fracción.
d) 3 x 1 = 3 multiplicamos el resultado anterior por el numerador de la segunda
fracción.
e) 4 + 3 = 7 sumamos los resultados obtenidos en b) y d).
2
1
4+3
6
El resultado final es: 3 + 2 =
han comprado 5 kg de papa.
7
6
=
, por lo tanto, entre María y Eduardo
6
Este método es muy útil cuando tenemos que realizar una adición de más de una
fracción. Por ejemplo, supongamos que Martha también va al supermercado y compra 7 kg de papa. ¿Cuántos kgs han comprado entre los tres?
8
Debemos encontrar la suma
2
3
+
1
2
+
7
8
Hallemos el m.c.m. (3, 2, 8).
3
3
1
3 = 3 2
2
1
8
2
4
2
2
2 = 2 2
1
8 = 23
Luego, m.c.m. (3, 2, 8) = 3 . 23 = 24
Con esto, hemos hallado el denominador de la fracción suma.
Ahora, encontremos el numerador:
a)24 ÷ 3 = 8 dividimos el m.c.m. entre el denominador de la primera fracción.
b)8 x 2 =16 multiplicamos el resultado anterior por el numerador de la primera
fracción.
c)24 ÷ 2 = 12 dividimos el m.c.m. entre el denominador de la segunda fracción.
d) 12 x 1 = 12 multiplicamos el resultado anterior por el numerador de la segunda
fracción.
192
e)24 ÷ 8 = 3 dividimos el m.c.m. entre el denominador de la tercera fracción.
Semana 7
Orden de las fracciones. La adición y sustracción
f ) 3 x 7 = 21 multiplicamos el resultado anterior por el numerador de la tercera
fracción.
g) 16 + 12 + 21 = 49 sumamos los resultados obtenidos en b), d) y f ).
El resultado final es:
2
3
+
1
2
+
7
8
=
16+12+21
6
=
49
24
Por lo tanto entre María, Martha y Eduardo, habrían comprado
49
24
kg de papa.
3. Método de la multiplicación cruzada
Este último método es muy útil para sumar dos fracciones. Usémoslo para nuestro
problema original.
Debemos resolver la suma
1
2
+
1
3
El método de la multiplicación cruzada consiste en lo siguiente:
1. Multiplicamos el numerador de la primera fracción con el denominador de la
segunda fracción, Para nuestro caso: 1 • 2 = 2
2. Multiplicamos el denominador de la primera fracción con el numerador de la
segunda fracción. En nuestro ejemplo: 3 • 1 = 3
3. Multiplicamos los dos denominadores, es decir, 3 • 2 = 6
La fracción suma tiene como numerador la suma de los resultados obtenidos en los
primeros dos pasos, y el denominador es el producto obtenido en el tercer paso, es
2+3
decir, 12 + 13 = 6 = 56
Por lo tanto, entre María y Eduardo han comprado
5
6
kg de papa.
Resolvamos la siguiente suma, aplicando este método:
7
3
+
5
6
En la práctica, hacemos lo siguiente:
7
5
7.6+5.3
42+15
57 19
+ =
=
=
=
3
6
3.6
18
18
6
Lo último que hemos hecho ha sido llevar la fracción a una fracción irreducible.
193
Semana 7
Orden de las fracciones. La adición y sustracción
Sustracción
La sustracción de las fracciones se resuelve de la misma forma que se hace la adición,
pero teniendo en cuenta, en este caso, si los números son positivos o negativos.
Sustracción de fracciones de igual denominador
5
3
La hacienda de Don Iván tiene 8 de su terreno con una siembra de plátano y 8 del
terreno con yuca. ¿Qué parte del terreno hay sembrada de plátano más que de yuca?
5
3
Para responder a esta pregunta, debemos restar 8 - 8 . El resultado vendrá dado
por una fracción, cuyo numerador es la resta de los numeradores de los sumandos y el
denominador es el mismo de los sumandos; esto es:
5
3
=
8
8
5-3
8
=
2
1
=
8
4
Simplificando el resultado tenemos que en la hacienda hay
de plátano más que de maíz.
1
4
del terreno sembrado
Gráficamente, tenemos lo siguiente:
/
/
/
/
/
/
1 8 1 8 1 8 1 8 1 8
/
/
/
1 8 1 8 1 8
5
8
_
/
1 8 1 8
3
8
=
2
8
=
1
4
Sustracción de fracciones de diferentes denominadores
La sustracción entre fracciones que tienen distinto denominador, se puede resolver
con los mismos métodos que hemos visto en la suma. Sólo debemos tener en cuenta
el signo menos (-) en el momento de efectuar la operación.
Consideremos el siguiente problema:
3
Un vendedor gana 4 de su inversión en su primer mes de trabajo, en el segundo
2
mes pierde 5 de la inversión original. En los dos meses, ¿qué fracción de su inversión
ha ganado?
Abordemos el problema usando los tres métodos que vimos en el caso de la suma.
La respuesta a la pregunta es la diferencia de la ganancia que obtuvo en el primer
3
2
mes, menos la pérdida que tuvo en el segundo mes, es decir, 4 - 5
194
Semana 7
Orden de las fracciones. La adición y sustracción
1. Usando fracciones equivalentes
3
2
La idea es encontrar una fracción equivalente para 4 y otra para 5 , buscando
que ambas tengan el mismo denominador. Esto significa que debemos colocar como
denominador un múltiplo común para 4 y 5. Aunque no es obligatorio, se suele usar
el menor de los múltiplos, es decir, el m.c.m. En este caso, tenemos que m.c.m. (4, 5)
= 20. Así que multiplicamos el numerador y denominador de 34 y 25 por 5 y 4 respectivamente, para así obtener dos fracciones equivalentes con el número 20 como
15
8
=
=
denominador común. Esto es, 3.5
y 2.4
4.5
20
5.4
20
Luego, restamos las fracciones obtenidas, como ya hemos visto antes:
15
20
Por lo tanto, el vendedor ha ganado
7
20
2. Usando el mínimo común múltiplo
Para restar las fracciones
3
4
y
2
5
8
20
-
7
20
=
de su inversión original.
3
4
-
2
5
con este método hacemos lo siguiente:
1. Primero, dividimos el m.c.m. obtenido entre los denominadores por cada
denominador.
2. El resultado de esta división lo multiplicamos por su respectivo numerador y
luego los restamos. Esta resta será el numerador de la fracción suma.
En nuestro problema, sabemos que m.c.m. (4, 5) = 20 y aplicando el proceso descrito
antes, resulta:
a) 20 ÷ 4 = 5 dividimos el m.c.m. entre el denominador de la primera fracción.
b) 5 x 3 =15 multiplicamos el resultado anterior por el numerador de la primera
fracción.
c) 20 ÷ 5 = 4 dividimos el m.c.m. entre el denominador de la segunda
fracción.
d) 4 x 2 = 8 multiplicamos el resultado anterior por el numerador de la segunda
fracción.
e) 15 - 8 = 7 restamos los resultados obtenidos en los pasos b) y d).
El resultado final es:
3
4
-
2
5
=
15 - 8
20
Por lo tanto, el vendedor ha ganado
=
7
20
7
20
.
de su inversión original.
195
Semana 7
Orden de las fracciones. La adición y sustracción
3. Usando la multiplicación cruzada
Debemos encontrar la resta
3
4
-
2
5
. Para usar este método, hacemos lo siguiente:
a) Multiplicamos el numerador de la primera fracción con el denominador de la
segunda fracción. Para nuestro caso: 3 • 5 = 15
b)Multiplicamos el denominador de la primera fracción con el numerador de la
segunda fracción. En nuestro ejemplo: 4 • 2 = 8
c) Multiplicamos los dos denominadores; es decir, 4 • 5 = 20
La fracción resta tiene como numerador la diferencia de los resultados obtenidos en
los primeros dos pasos, y el denominador es el producto obtenido en el tercer paso,
es decir, 3 - 2 = 15 - 8 = 7
4
5
20
20
Por lo tanto, el vendedor ha ganado
7
20
de su inversión original.
Saber más
Si quieres complementar estas ideas, puedes visitar esta dirección web:
http://www.irfaperu.org/aulas/secundaria/secundaria1s3f3.pdf
5
1. El señor Pablo tiene 9 de su parcela invertido en la cría de ganado, y
la parcela en la siembra de maíz.
2
7
de
a) ¿En qué ocupa la mayor parte de su terreno?
b) ¿Qué fracción de la parcela tiene en producción?
2. Carlos se ha comido dos quintos de un pan y Juan ha comido un octavo del pan.
a) ¿Quién ha comido más pan?
b) ¿Cuánto pan han comido entre los dos?
7
3
3. Alfonso fue al mercado y compró 5 kg de zanahoria, 2 kg de papa y
de tomate ¿Cuántos kgs de verduras ha comprado Alfonso?
7
3
kg
4. Carla ha comprado tres cuartos de una patilla y ha gastado media patilla en
un jugo ¿Cuánta patilla le quedó?
196
Semana 7
Orden de las fracciones. La adición y sustracción
5. Raúl recorrió la mitad del camino para llegar a Cabimas, y luego se regresó
la tercera parte del camino ¿Qué distancia recorrió?
6. En el abasto de la señora María habían ocho paquetes de azúcar de medio
kg. De éstos, vendió cinco paquetes, pero luego le devolvieron uno. ¿Cuántos
kilos de azúcar quedaron en el abasto?
7. En los siguientes problemas, usa los tres métodos que hemos visto para sumar o restar fracciones, dando tu respuesta en fracciones irreducibles.
a)
d)
3
4
8
7
-
1
8
+
9
12
b)
e)
3
2
+
25
21
12
5
-
c)
3
1
14
15
7
3
8. Coloca en orden decreciente las siguientes fracciones:
a)
1
3
,
8
4
,
3
2
b)
2
3
1
,
,
21
14
15
c)
8
7
,
9
9
,
12
2
Esta semana, hemos aprendido a ordenar
fracciones a través del producto cruzado.
Además, hemos estudiado cómo sumar o
restar fracciones de igual o distinto denominador, con ayuda de tres métodos: fracciones
equivalentes, mínimo común múltiplo y multiplicación cruzada.
197
Semana 8
Semana 8
Multiplicación
y división de
fracciones
Multiplicación
y división
de fracciones
La semana pasada trabajamos con la adición y sustracción de fracciones y, como
habrás podido aprender, existe una variedad de problemas que pueden ser resueltos usando estas operaciones. No obstante, en la vida cotidiana podemos encontrarnos con otros problemas que requieren de otras operaciones para resolverlos, como
la multiplicación y división de fracciones, que precisamente estudiaremos en esta
semana.
Para este tema es necesario que recuerdes la multiplicación de números enteros,
que has estudiado en semanas anteriores. Además de esto, debes repasar cómo graficar las fracciones en un gráfico continuo.
Responde cada una de las siguientes preguntas individualmente y luego discútelas
con tus compañeros en el CCA.
1. Si la cuarta parte de lo que se recomienda tomar diariamente de una vitamina es
2 onzas, ¿cuánto se debe tomar diariamente de esa vitamina?
2. La mitad de la mitad de una patilla, ¿qué fracción de la patilla representa?
3. María salió a trotar el lunes por la mañana, y recorrió 8 km, si cada día de esa
semana recorre tres medios del camino recorrido el día anterior, ¿cuántos
kilómetros recorrerá el jueves?
4. Si un carro avanza a 100 km/h, ¿cuánto avanzará en tres quintos de hora? ¿y en
un cuarto de hora?
5. ¿Qué fracción de una manzana es la tercera parte de su mitad?
Multiplicación de fracciones
Digamos que en una bolsa se tienen 30 caramelos. Si deseamos saber cuál es la mitad de los caramelos que hay, simplemente dividimos 30 entre 2 y obtenemos la respuesta: 15. Ahora bien, ¿de dónde sale esto? Esta respuesta se obtiene de la siguiente
manera:
1
Multiplicamos 2 (que representa la mitad de los caramelos) por el número de cara1
melos (30), lo cual escribimos como 2 x 30. Para resolver este producto, multiplicamos el numerador de la fracción (1) por el número entero (30) y el denominador de la
fracción queda como denominador de la respuesta final. Luego, cuando sea posible,
se simplifica el resultado. En nuestro caso, tenemos:
198
1
1x30 30
x 30 =
=
, como esta fracción se puede simplificar,
2
2
2
Semana 8
Multiplicación y división de fracciones
entonces resulta que
30
= 15
2
No necesariamente este producto debe dar un número entero. Si en lugar de haber
30 caramelos, hubiesen 27, entonces diríamos que la mitad de los caramelos en la
bolsa es veintisiete medios: 27
. En conclusión, tenemos que, para encontrar la mitad
2
de un número entero, debemos multiplicar un medio por este número. Esto también
se cumple cuando, en vez de un número entero, se tiene una fracción.
Es decir, para encontrar la mitad de dos quintos, multiplicamos un medio por dos
quintos, esto es, 12 x 25 . Este producto da como resultado una nueva fracción, que
tiene como numerador el producto de multiplicar el numerador de la primera fracción
con el numerador de la segunda fracción, y como denominador el producto de los
denominadores de las dos fracciones, es decir,
1
2
x
2
1x2
2
1
=
=
=
5
2x5
10
5
El producto de dos fracciones da como resultado una nueva
fracción, que tiene como numerador el producto de los numeradores y como denominador el producto de los denominadores. Esto es,
a
c
ac
x
=
b
d
bd
donde a, b, c, d son números naturales.
Veamos cómo aplicar esta definición en problemas cotidianos:
María va a la fiesta de su mejor amiga Martha. Ésta da la cuarta parte de la torta a
María. Cuando María llega a su casa, se encuentra con sus dos hermanos y decide
repartir un tercio de su pedazo a cada uno. ¿Qué porción de la torta de Martha ha
recibido cada hermano?
1
María ha llevado a su casa 4 de la torta de Martha, como repartió un tercio de su pe1
dazo a cada hermano, y su pedazo era 4 de la torta de Martha, significa que repartió
a cada hermano 13 de un 14 de la torta de Martha. Matemáticamente, esto representa
el producto de las fracciones, es decir, 1 x 1
3
4
Este producto lo resolvemos aplicando la definición precedente. Luego,
Por lo tanto, cada hermano recibió
1
12
1
3
x
1
4
1
= 12
de la torta de Martha.
Observa que para los hermanos de María el todo es el cuarto de torta, mientras que
para María el todo es la torta de Martha. Por esta razón, es importante que se indique
siempre, al lado de la fracción, lo que se esté tomando como unidad.
Veamos cómo se puede representar esta situación gráficamente.
199
Semana 8
Multiplicación y división de fracciones
Debemos seguir varios pasos:
1. Graficamos la unidad, es decir, el todo, que para nuestro caso, es la torta de
Martha, que por facilidad la representaremos con una barra y no con un círculo,
como sería lo más lógico.
2. Como queremos graficar
de
1
4
de la torta, primero ubicamos
1
4
en la gráfica.
¼
1
3
3. Ahora, ubicamos
1
3
de
en la parte que representa
/3
de
1
4
representa justamente
1
Observa que
1
3
1
4
de la torta.
/4
1
1
12
de la unidad completa, la torta.
División de fracciones
Imaginemos que tenemos una barra de chocolate y la dividimos en cinco partes
1
iguales, cada parte representaría 5 de la barra de chocolate. Si ahora dividimos esta
porción en dos partes, ¿qué porción de la barra completa tendríamos?
1
Este problema nos sugiere dividir 5 de la barra de chocolate entre dos, lo cual escri1
bimos matemáticamente como 5 ÷ 2. Veamos cómo podemos resolver gráficamente
este problema:
Si representamos con un diagrama continuo la barra de chocolate y representamos
1
sobre éste 5 , tenemos,
/5
1
Ahora, dividimos
200
1
5
de la porción en dos partes iguales y resulta:
Semana 8
Multiplicación y división de fracciones
Todo número entero se puede escribir como una fracción que
tiene denominador uno. Por ejemplo: 2 = 2 , 5 = 5
1
1
1
Observa que la porción de color amarillo, representa 10 de la barra completa, lo cual
nos lleva a concluir que 1 ÷2 = 1 . Esto, los podemos escribir como 1 ÷ 2 = 1 .
5
10
5
1
10
Lo cual nos lleva a inferir la siguiente proposición:
La división de dos fracciones da como resultado una nueva
fracción, que tiene como numerador el producto del numerador de la primera fracción con el denominador de la segunda
fracción, y tiene como denominador el producto del denominador de la primera fracción con el numerador de la segunda
fracción.
a
c
ac
Esto es, ÷
=
b
d
bd
donde a,b,c,d son números enteros.
Fíjate que para dividir dos fracciones, simplemente multiplicamos en cruz, por ejemplo 32 ÷ 54 = 32 .. 45 = 12
10
3
5
3.4
12
· =
=
O bien, podemos ver esta división como el producto de las fracciones y
2 4 2 . 5 10
4
5
decimos que la fracción
es la inversa de la fracción
. Es decir, tres medios entre
5
4
cinco cuartos es lo mismo que decir tres medios de cuatro quintos.
1. El señor Carlos compró un tubo de 25 metros para hacer una enramada en su
casa, y cortó tres pedazos de 16
m cada uno. ¿Cuántos metros le quedaron?
3
2. María compró un televisor en 2000 Bs.F. y en una semana lo vendió por
valor. ¿Hubo alguna ganancia en la venta?, ¿cuánto ganó?
5
3
de su
3. La edad de Juan es un quinto de los cinco tercios de la edad de Marcos. Si marcos
tiene 48 años, ¿qué edad tiene Juan?
4. Un auto gasta 16 del tanque de gasolina para recorrer 50 km. Si el auto recorre
30 kilómetros, ¿qué porción del tanque de gasolina gastó?
5. Pedro usa tres quintos de su tierra para sembrar y emplea la tercera parte de los
tres quintos para sembrar maíz. ¿Qué fracción de la tierra usó para el maíz?
6.Resuelve las siguientes operaciones y expresa tu repuesta en fracciones
irreducibles:
16
3
3
8
5
3
7
4
a)
x b)
x c)
x d)
x
3
2
9
4
3
11
3
5
e) 6
5
÷
3
5
f) 7
5
8
÷
9
1
g) 5
1
÷
5
h)
3
4
÷
4
5
201
Semana 9
La proporcionalidad
Semana 9
La proporcionalidad
Cuando observamos una fotografía, podemos apreciar en ella imágenes de personas, animales u objetos presentes en nuestro mundo real. Al detallar la fotografía, podríamos determinar si una persona es alta, delgada, obesa, pequeña, etc. También,
podemos saber cuán amplio es el espacio donde están ubicados los elementos presentes en la fotografía. Es decir, podemos sacar mucha información con respecto al tamaño de estos elementos de una simple imagen capturada de la realidad. Esa relación
de tamaño entre los objetos de la realidad y una imagen de los mismos, se conoce en
Matemática como proporcionalidad.
En esta semana, se espera que puedas dar respuesta a algunos de los problemas que
se presentan en la cotidianidad, haciendo uso de la proporcionalidad.
Para esta semana, es necesario que manejes muy bien el concepto que ya hemos
estudiado de fracción, así como las operaciones básicas, tanto con los números enteros como con las fracciones. También, es indispensable que tengas clara la noción de
fracciones equivalentes.
Responde y reflexiona las siguientes preguntas individualmente, para que luego las
puedas discutir con tus compañeros en el CCA.
1. Si tienes una fotografía de un amigo que visitó la Torre de Pisa1 y conoces la
altura de tu amigo, ¿cómo podrías determinar la altura de la torre?
2. Completa la siguiente tabla:
202
Kms recorridos
10
20
Litros de gasolina
2
4
40
80
16
Semana 9
La proporcionalidad
3. María presentó un examen que tenía una puntuación máxima de 60 puntos, y
en su examen obtuvo 42 puntos. La maestra de María debe pasar su calificación
a control de estudio basada en 20 puntos. ¿Qué calificación debe pasar la
maestra?
4. Juan empeñó su anillo de graduación con las siguientes condiciones: le dieron
500 Bs.F. para pagar en un mes el 20 por ciento más de lo que le prestaron.
¿Cuánto debe pagar?
5. Martha tiene dos hijos, Juan de 12 años y Pedrito de 4 años. A cada uno le sirve
la comida de acuerdo a su edad. Si a Juan le da tres tequeños en el desayuno
¿cuántos debería darle a Pedrito? Si Pedrito se come 2 tequeños ¿cuántos
comería Juan?
6. Completa las siguientes oraciones:
a) Tres es a seis, como 5 es a ________
b) Dos es a nueve, como seis es a _______
Observa las siguientes imágenes:
1
2
3
4
1. Mapa de Venezuela, tomada de http://www.infodestinations.com/graficos/venezuela-mapas1.jpg
2. Plano de una casa, tomada de http://img527.imageshack.us/img527/918/planoestructuralof9.jpg
3. Plano de una tienda, tomada de http://www.makro.com.ve/plan_mbo.jpg
4. Mapa Mundi, tomada de http://blocs.xtec.cat/jvvmusica/files/2008/02/mapa-mundi.jpg
203
Semana 9
La proporcionalidad
Cada una de las imágenes mostradas representa un espacio físico de nuestro mundo real: un mapa de nuestro país, el croquis de una casa, un croquis que muestra las
adyacencias de un establecimiento comercial y un mapamundi.
Con cada una de las imágenes podemos obtener información con respecto a los
espacios que están representados en ellas. Por ejemplo, del mapa de Venezuela podemos afirmar que la cordillera central (zona rosada) abarca mucho más espacio que la
cordillera de los Andes (zona azul). En la imagen de la casa se aprecia que la Sala-estar
es más amplia que los dormitorios. ¿Qué otras relaciones puedes apreciar en el resto
de las imágenes?
Podemos afirmar que la Cordillera Central abarca más espacio que la Cordillera de
Los Andes, no sólo porque sea lo que se muestra en la imagen, sino porque el mapa
ha sido dibujado proporcionalmente con la realidad. Esto significa que existe una relación entre el tamaño real de las cordilleras y el tamaño que se aprecia en la figura: esta
relación se llama proporción.
La proporcionalidad es de mucha utilidad en la elaboración de mapas. Imagina de
qué tamaño serían los mapas si se construyeran con las medidas reales, ¡no habría
espacio en nuestras bibliotecas para guardarlos!
También, en la cotidianidad usamos el término de proporcionalidad, por ejemplo,
cuando decimos “la belleza de esa mujer es proporcional a su inteligencia”, estamos
diciendo que existe una correlación entre belleza e inteligencia. Otro ejemplo claro
es cuando decimos “proporcionalmente, una hormiga es más fuerte que el hombre”,
esto es porque la hormiga puede levantar hasta diez veces su propio peso, mientras
un hombre no podría hacer lo mismo.
En Matemática, se maneja el concepto de proporcionalidad a partir de las ideas básicas que hemos visto hasta ahora.
Para estudiar en detalle la proporcionalidad, comencemos con algunos ejemplos
que nos guiarán.
Ejemplo 1:
Una bloquera produce bloques en función del tiempo, como se muestra en la siguiente tabla:
Tiempo (horas)
2
4
6
Nº Bloques
400
800
1200
Observa que, a medida que aumenta el número de horas, también aumenta el número de bloques que se producen, como es lógico pensar. Pero, además, podemos
apreciar que si el número de horas se duplica, entonces la producción de bloques
también lo hace. Es decir, si multiplicamos por dos el tiempo invertido, entonces la
producción de bloques también es multiplicada por dos.
Por ejemplo, si en lugar de 6 horas, se trabajan 12 horas (el doble), entonces la producción será de 2400 bloques. Pero si se trabajan 3 horas (la mitad de seis), entonces
la producción será de 600 bloques.
204
Semana 9
La proporcionalidad
Ejemplo 2:
Consideremos el caso de un automóvil que gasta 8 litros de gasolina cada 100 kms.
Si sólo le quedan 7 litros en el tanque, ¿cuántos kms podrá recorrer el vehículo?
Si el auto recorre 100 kms con 8 litros de gasolina, entonces para la mitad de la distancia (50 kms) usará la mitad de gasolina (4 litros), y si usa 4 litros para recorrer 50
kms, entonces usará 2 litros para recorrer 25 kms, y con el mismo análisis podemos
decir que usará 1 litro de gasolina para recorrer 12,5 kms. Por lo tanto, si tiene 7 litros
de gasolina en el tanque, podrá recorrer una distancia igual a 7 veces 12,5 kms, es
decir, 87,5 kms.
En la siguiente tabla se ilustra mejor esta situación:
Kms recorridos
100
50
25
12,5
87,5
Litros de gasolina
8
4
2
1
7
En las tablas que se mostraron en los ejemplos 1 y 2, podemos observar que, a medida que una de las variables varía, la otra también lo hace en la misma proporción,
es decir, si el tiempo de trabajo se duplica, la producción de bloques se duplica; si los
kilómetros recorridos por el auto se reducen a la mitad, entonces, se usará la mitad de
la gasolina.
Cada vez que ocurre esto entre dos magnitudes, decimos que las magnitudes son
directamente proporcionales.
Observa también que el cociente entre dos valores correspondientes de las variables, siempre se mantiene constante. Fíjate en las tablas:
Tiempo (horas)
2
4
6
Nº Bloques
400
800
1200
Tiemp / Nº Bloq
/200
1
/200
1
/200
1
Kms recorridos
100
50
25
12,5
87,5
Litros de gasolina
8
4
2
1
7
Kms / litros
12,5
12,5
12,5
12,5
12,5
Dos magnitudes son directamente proporcionales si el cociente
entre dos cantidades correspondientes entre ellas se mantiene
constante. Esta constante se llama razón de proporcionalidad.
En el ejemplo 1, la razón de proporcionalidad es 1/200, en el segundo ejemplo la
razón de proporcionalidad es 12,5.
205
Semana 9
La proporcionalidad
A partir de la razón de proporcionalidad, podemos dar una definición más operativa
de magnitudes directamente proporcionales. Consideremos la tabla siguiente:
Magnitud 1
a
c
Magnitud 2
b
d
Decimos que la magnitud 1 es directamente proporcional a la magnitud 2 si, se cumple que ba = dc , donde a, b, c y d son distintas de cero. Para leer esta ecuación, se suele
decir a es a b como c es a d
Esta igualdad nos lleva a las expresiones equivalentes:
•
b
a
=
d
c
• b.c = a.d
Con esta definición, podemos responder nuestro segundo ejemplo, resolviendo una
simple ecuación.
Sabemos que el auto recorre 100 km con 8 litros de gasolina, y deseamos saber cuántos kms podrá recorrer con 7 litros, entonces decimos “100 es a 8 como cuánto es a 7”.
Si representamos este cuánto con la letra x, podemos aplicar la definición precedente
100
x
100
y nos resultaría: 8 = 7 al hacer el despeje de la x nos resulta: x = 8 ·7 = 87,5. Es decir,
con 7 litros de gasolina el carro recorrerá 87,5 kms.
Existen algunos problemas que pueden ser resueltos aplicando una regla muy
simple.
Ejemplo 3:
Un albañil construye una habitación en 5 días, en un mes, de 30 días. Si trabaja todo
el mes, ¿cuántas habitaciones con las mismas dimensiones construirá?
Hacemos lo siguiente para responder:
Ubicamos de un lado los valores de una variable, y del otro lado los valores de la otra
variable, separándolos por una flecha que indica la correspondencia entre las mismas.
De las cuatro magnitudes, desconocemos una, la cual denotamos con la letra x.
1 habitación
x habitaciones 5 días
30 días
Para conocer el valor de la x, resolvemos la siguiente operación:
206
x=
30.1
=6
5
Semana 9
La proporcionalidad
Por lo tanto, en un mes, el albañil construye seis habitaciones con las mismas
dimensiones.
Esta regla es conocida como regla de tres y el valor que hemos encontrado se llama
cuarta proporcional.
Observa que la operación se hizo como lo indican las flechas:
1 habitación
x habitaciones
entre
5 días
por
30 días
Consideremos ahora el siguiente ejemplo:
Ejemplo 4:
Siguiendo con la situación de la bloquera, se quieren transportar 24000, bloques
desde la fábrica hasta la construcción de un hotel. En un camión, caben 400 bloques.
¿Cuántos viajes tendrá que hacer un camión para transportar todos los bloques?, ¿y
dos camiones?, ¿y tres camiones? Ilustremos esta situación en la siguiente tabla:
Nº de camiones
1
2
3
Nº de bloques por viaje
400
800
1200
Nº de viajes
60
30
20
Si se tiene un sólo camión, se tendría que dividir el número de bloques a trasportar
(24000) entre los 400 bloques que puede trasportar el camión, es decir, 24000 ÷ 400
= 60. Luego, el camión deberá hacer 60 viajes para transportar todos los bloques. Del
mismo modo, si se tienen dos camiones, se harían 30 viajes y si tenemos tres, se harían
20 viajes.
Observa que, mientras aumenta el número de camiones disminuye el número de
viajes por hacer, pero, además, esta disminución es en proporción inversa, es decir, si el
número de camiones se duplica, el número de viajes se reduce a la mitad; si el número
de camiones se triplica, el número de viajes se reduce a la tercera parte. Cuando ocurre
esta correlación entre dos magnitudes, decimos que es inversamente proporcional.
Fíjate en la tabla y podrás ver que el número de viajes que se hacen también es
inversamente proporcional al número de bloques que se llevan por viaje, es decir,
mientras menos viajes se hacen, más bloques se llevan en cada viaje.
Además, el producto entre las cantidades correspondiente entre las variables también se mantiene constante. Ahora, observa las siguientes tablas:
Nº de camiones
1
2
3
Nº de viajes
60
30
20
Nº de cam. x Nº de viajes
60
60
60
207
Semana 9
La proporcionalidad
Nº de viajes
60
30
20
Nº de bloques por viaje
400
800
1200
Nº de viajes x Nº de bloques
24000
24000
24000
Dos magnitudes son inversamente proporcionales si el producto entre dos cantidades correspondientes entre ellas
se mantiene constante. Esta constante se llama razón de
proporcionalidad.
Consideremos ahora la tabla siguiente:
Magnitud 1
a
c
Magnitud 2
b
d
Decimos que la magnitud 1 es inversamente proporcional a la magnitud 2, si se
cumple que a. b = c . d , donde a, b, c y d son distintas de cero.
Esta igualdad nos lleva a las expresiones equivalentes:
c
b
=
a
d
a d
=
c b
Ejemplo 5:
Dos albañiles construyen una habitación en 5 días. Si fueran 4 albañiles, ¿en cuánto tiempo la construirían, si todos trabajan por igual? Coloquemos los datos en una
tabla:
Nº de albañiles
2
4
Nº de días
5
x
Mientras más albañiles trabajen, terminarán la construcción en menos días, por lo
que estas variables son inversamente proporcionales. Por lo tanto, debe cumplirse
que 2 . 5 = 4 . x, despejando el valor de la x obtenemos que x = 2.5
4
Porcentajes y proporcionalidad directa
En la cotidianidad, nos encontramos con situaciones que involucran la palabra “porcentaje”. Por ejemplo, cuando decimos: el treinta por ciento (30%) de los alumnos están aplazados; la inflación ha aumentado en un 60%; hoy ha faltado el 10% del personal. Comencemos por decir el significado que tiene el porcentaje.
208
Semana 9
La proporcionalidad
Cuando decimos que el 30% de los alumnos están aplazados, estamos diciendo que,
30
de cada 100 alumnos; 30 están aplazados, esto es: 30% = 100
. Lo mismo ocurre con
cualquier porcentaje, en general escribimos:
a%=
a
100
El porcentaje está muy relacionado con la proporcionalidad directa. Veamos algunos ejemplos:
Ejemplo 6:
De los 800 alumnos que tiene un liceo, hoy ha ido a una convivencia el 5 %. ¿Cuántos
alumnos están en la convivencia? Si 5% de los alumnos está en la convivencia, significa
que, de cada 100 alumnos, 5 se fueron. La pregunta es: de los 800 alumnos, ¿cuántos
se fueron? Entonces, decimos que 5 es a 100 como cuánto(x) es a 800. En términos de
5
x
proporcionalidad tenemos lo siguiente: 100 = 800 despejando el valor de la x, tenemos que x = 5 .800 = 40 . Por lo tanto, 40 alumnos se fueron de convivencia.
100
Ejemplo 7:
Por ayudarle a mi papá un día en su trabajo, me pagará el 10% de su cobranza. Si
al finalizar el trabajo él recibe 120 Bs.F. ¿cuánto dinero recibiré yo? Para responder al
10
x
problema, decimos que 10 es a 100 como cuánto (x) es a 120, esto es, 100 = 120 , despe10
jando el valor de la x tenemos que x = 100 .120 = 12. Por lo tanto, recibiré 12 bolívares
por mi trabajo.
Saber más
Para consolidar tus conocimientos, puedes seguir esta dirección web: http://www.juntadeandalucia.es/averroes/iesarroyo/matematicas/materiales/3eso/numeros/proporcionalidad/
teoriaproporcionalidad/teoriaproporcionalidad.htm
Para reflexionar, escucha el micro radial: Parábola de la aldea global, disponible en: http://www.radialistas.net/clip.
php?id=1500009. ¿Que tal si reduces la población de tu país a
una aldea de 100 familias y calculas los porcentajes?
1. En la siguiente tabla se muestra la relación entre la superficie de una pared a
pintar y la pintura necesaria para hacerlo.
m2 de pared
3
7
10
13
Litros necesarios
1.5
3.5
5
6.5
209
Semana 9
La proporcionalidad
a) ¿Las variables involucradas están en proporción?, ¿de qué tipo?
b) ¿Cuántos litros de pintura se necesitarían para pintar 20 m2 de pared?
2. Completa la siguiente tabla sabiendo que sus magnitudes son directamente
proporcionales:
x
y
36
3
8
2
10
3. En un potrero, 16 caballos consumen un camión de paja en 9 días. Si llegan 8
nuevos caballos, ¿en cuántos días se comen el camión de paja?
4. Si tres pintores tardan 10 días en pintar un edificio, ¿cuánto tiempo tardarán seis
pintores en hacer el mismo trabajo?
5. De un pozo de agua se han recogido 20 litros de agua en cinco minutos. ¿Cuántos
litros se recogerán en nueve minutos?
6. Si cuatro personas tardan ocho días en limpiar un terreno, ¿cuántas personas se
necesitan para hacerlo en dos días?
7. Un ciclista da seis vueltas a una pista en 18 minutos. Si sigue al mismo ritmo
¿cuánto tardará en dar 8 vueltas?, ¿cuánto tiempo tardó en dar las 4 primeras
vueltas?
8. Si Martha compra en el supermercado 3 kgs de harina por 6 Bs.F., ¿cuánto le
costarían 7 kgs?
9. Una rueda de un auto de carreras da 3060 vueltas en 6 min. ¿Cuántas vueltas
dará en 24 horas?, ¿y en 24 minutos?
10. El 25 % de las 696 personas que viajan en un barco son miembros de un grupo
político, el resto no pertenece a ningún grupo político ¿Cuántas personas están
en el grupo político?
11. El 95 % de las 340 cabezas de un rebaño son becerras y el resto, ovejas. ¿Cuántas
becerras y ovejas hay en el rebaño?
12. María compra unas sandalias de 275 Bs.F. y le rebajan un 15 %. ¿Cuánto le
rebajan?, ¿cuánto paga?
Nota:
210
1. La Torre inclinada de Pisa es el campanario de la catedral de Pisa. Fue construida para que
permaneciera en posición vertical pero comenzó a inclinarse tan pronto como se inició su
construcción en agosto de 1173. La altura de la torre es de 55,7 a 55,8 metros desde la base,
su peso se estima en 14.700 toneladas y la inclinación de unos 4° extendiéndose 3,9 m de la
vertical. Tomado de: http://es.wikipedia.org/wiki/Torre_de_Pisa
Cuerpos
geométricos.
Construcción y aplicaciones
Cuerpos
geométricos.
Construcción y aplicaciones
Semana 10
Semana 10
Todo nuestro alrededor está habitado
por el maravilloso mundo de la Geometría;
desde el momento en que abrimos nuestros ojos hasta cuando los cerramos, estamos observando, aunque a veces sin darnos cuenta, figuras geométricas. Cuando
abres tus ojos y ves el techo de tu cuarto,
estas viendo un cuadrado o un rectángulo, lo mismo ves cuando abres la puerta de
tu habitación; en el ocaso, puedes apreciar
una hermosa circunferencia en el sol, los
edificios forman paralelepípedos, las casas
son combinaciones de triángulos, cuadrados, círculos; las carreteras son como planos que se extienden a lo largo de la tierra;
en los techos de las casas sueles encontrar grandes esferas que sirven para depositar
agua. En general, cuando ves una figura geométrica de tres dimensiones se dice que
es un cuerpo geométrico.
En esta semana se busca que construyas cuerpos geométricos a partir de la elaboración de modelos.
Es importante que antes de continuar explorando el mundo de la Geometría en el espacio, desempolves un poco lo que aprendiste el semestre pasado en la Geometría plana. Revisa conceptos como: ángulos, recta, triángulos, cuadrados, paralelogramos, etc.
Las imágenes mostradas evidencian algunas aplicaciones de las figuras geométricas
que aprenderás a construir en esta semana.
211
Semana 10
Cuerpos geométricos. Construcción y aplicaciones
Un cuerpo geométrico, también conocido como sólido, es una figura geométrica que
está en el espacio y, por lo tanto, tiene tres dimensiones: largo, ancho, y alto. Así como
las figuras planas tienen área, los cuerpos geométricos tienen volumen. Comencemos
nuestra aventura por el mundo de la Geometría conociendo un poco más de los cuerpos geométricos.
Los cuerpos geométricos se pueden clasificar en dos tipos: poliedros y cuerpos redondos. Los poliedros a su vez se clasifican en: poliedros regulares y poliedros irregulares. Los poliedros son cuerpos geométricos que poseen los siguientes elementos:
caras, aristas, vértices y ángulos poliedros.
VérticeArista
Ángulo poliedroCara
Veamos la definición de cada uno de ellos:
Las caras son superficies planas que, al interceptarse entre sí, dan origen al poliedro.
Las aristas son los segmentos de recta que se forman de la intersección entre dos caras
Los vértices son los puntos donde se interceptan tres o más aristas.
Los ángulos poliedros son ángulos en el espacio, que se forman con la intersección
de tres caras y un vértice.
Los poliedros regulares son cuerpos geométricos que tienen por caras polígonos
regulares y todos sus ángulos poliedros son iguales. El matemático Leonhard Euler, en
1752, logró demostrar que sólo existen cinco tipos de poliedros regulares: tetraedro,
hexaedro, octaedro, dodecaedro, icosaedro.
El tetraedro es un poliedro regular que tiene por caras, cuatro triángulos
equiláteros.
El hexaedro es un polígono regular que tiene como caras seis cuadrados.
El octaedro es un polígono regular que tiene por caras, ocho triángulos equiláteros.
212
El dodecaedro es un polígono regular que tiene por caras, 12 pentágonos regulares.
Cuerpos geométricos. Construcción y aplicaciones
Semana 10
El icosaedro es un polígono regular que tiene por caras, 20 triángulos equiláteros.
Los poliedros irregulares son cuerpos geométricos, cuyas caras no son polígonos
regulares, ni sus ángulos poliedros son iguales. Dos poliedros irregulares son: los prismas y las pirámides.
Un prisma es un poliedro irregular limitado por varios paralelogramos y dos polígonos iguales paralelos, llamados bases.
Una pirámide es un poliedro irregular donde una de sus caras es un polígono cualquiera al que se llama base, y las caras laterales son triángulos, que tienen un punto
en común, llamado vértice.
Los cuerpos redondos son cuerpos geométricos que están parcial o totalmente limitados por superficies curvas. Algunos cuerpos redondos son: la esfera, el cilindro
circular y el cono.
Observa el siguiente mapa conceptual, que te podrá aclarar mejor la clasificación de
los cuerpos geométricos:
Cuerpos geométricos
PoliedrosCuerpos redondos
Tetraedro
RegularesHexaedroCono
Octaedro
IrregularesDodecaedroCilindro
Isocaedro
Piramides
PrismasEsfera
Saber más
Para visualizar estos poliedros y explorarlos muy detalladamente, puedes usar una aplicación en Internet, conocida como
Applet Java1 , de Matemática, visitando la siguiente dirección
web: http://www.walter-fendt.de/m11s/platonsolids_s.htm
Para reflexionar, escucha el micro radial: El niño redondo, disponible en: http://www.radialistas.net/clip.php?id=1200144
213
Semana 10
Cuerpos geométricos. Construcción y aplicaciones
Lleva al CCA una cartulina, tijeras, pega blanca, escuadras, reglas, un compás y
témpera, para que te diviertas con tus compañeros, construyendo diversos cuerpos
geométricos. A continuación, se presentan los procedimientos para que tú mismo los
fabriques:
1. Construyendo un cubo
Lo primero que debes hacer es trazar cuatro cuadrados iguales, de 20 cm cada uno,
de manera que queden uno al lado del otro.
Ahora, selecciona uno de los cuadrados que has hecho, y dibuja sobre sus laterales
dos cuadrados más, con las mismas dimensiones.
Ahora, dibuja sobre los bordes de los otros tres cuadrados las pestañas con las que
podrás juntar cada cara.
Finalmente, cierra el cubo, y pega las pestañas, para que puedas decorarlo a tu gusto.
214
Cuerpos geométricos. Construcción y aplicaciones
Semana 10
2. Construyendo un cono
Comienza trazando una circunferencia de radio 8cm, la cual representará la base del cono.
Con el compás, haz un arco de radio mayor al de la base y traza dos segmentos de
líneas rectas que, partiendo desde un mismo punto, lleguen a los extremos del arco.
Se formará un triángulo con base en forma de arco. La altura del cono la determinarás
con la magnitud de los segmentos de recta.
Sobre el arco de la figura anterior, dibuja las pestañas que te servirán para unirlo con
la base.
Finalmente, pega la base del triángulo en forma de arco y decóralo a tu gusto.
215
Semana 10
Cuerpos geométricos. Construcción y aplicaciones
3. Construyendo una pirámide triangular
Traza tres triángulos iguales, uno al lado del otro. Usa las dimensiones que quieras
para hacer los triángulos.
Traza un triángulo equilátero debajo de alguno de los triángulos trazados antes. Éste
será la base de la pirámide.
Ahora, dibuja las pestañas, tal como se muestra en la figura.
Finalmente, pega y decora la pirámide que has construido.
Nota:
1. Un applet es un componente de una aplicación que se ejecuta en el contexto de otro programa,
por ejemplo, un navegador web. El applet debe ejecutarse en un contenedor, que lo proporciona
un programa anfitrión, mediante un plugin, o en aplicaciones como teléfonos móviles que
soportan el modelo de programación por applets. A diferencia de un programa, un applet no
puede ejecutarse de manera independiente, ofrece información gráfica y a veces interactúa
con el usuario, típicamente carece de sesión y tiene privilegios de seguridad restringidos. Un
applet normalmente lleva a cabo una función muy específica que carece de uso independiente.
El término fue introducido en AppleScript en 1993. Tomado de: http://es.wikipedia.org/wiki/
Applet
216
Elementos
geométricos
del entorno
Elementos
geométricos
del entorno
Semana 11
Semana 11
La semana pasada aprendimos a construir algunos cuerpos geométricos usando
tijeras, pega y cartulina. Sin embargo, estos mismos cuerpos y muchos más, podemos encontrarlos en nuestra cotidianidad. De hecho, nuestro mundo está formado,
en gran parte, por cuerpos geométricos como los que hemos estudiado. Culturas antiguas como la de los mayas, incas, aztecas, china, romana, africana, egipcia y otras,
aplicaron mucha geometría en sus diferentes actividades. Esta semana se espera que
puedas identificar algunos cuerpos geométricos en estas culturas, y que luego puedas ubicar los mismos cuerpos en tu entorno cotidiano. ¡Ánimo!
En la siguiente lectura, trata de ubicar las partes donde los egipcios han utilizado la
geometría y, en particular, los cuerpos geométricos:
Pirámides Ghiza, imagen tomada de http://upload.wikimedia.
org/wikipedia/commons/1/18/All_Gizah_Pyramids-2.jpg
Arte egipcio
El arte egipcio esta dirigido principalmente por los deseos de los distintos faraones,
ya que todos buscaban construir edificaciones que perduraran a lo largo del tiempo y
pasaran a la posteridad. Esta es la principal razón por la que utilizaban piedras para sus
construcciones. Los edificios más significativos fueron los templos, donde se honraba a
los dioses, y las tumbas, donde se guardaba la memoria de los difuntos. Los templos son
construidos por los faraones para sus eternos padres. Existen varios tipos, pero, siempre
se elige como característico el templo de Konsu en Karnak.
Los arquitectos egipcios no utilizan la bóveda, por lo que se trata de una arquitectura
dintelada, creando una característica sensación de estabilidad. Sus muros eran extraordinariamente anchos y acababan en un talud, disminuyendo su anchura, a medida que
se elevaban. Estos edificios están ampliamente decorados, bien con elementos vegetales o animales, o bien con jeroglíficos, escenas históricas, etc. La mayoría de estas decoraciones se realizaban en relieve, siendo una de las principales fuentes para el conoci-
217
Semana 11
Elementos geométricos del entorno
miento de la historia de Egipto. Antes de acceder al templo, nos encontramos con una
larga avenida flanqueada por estatuas de animales divinos, habitualmente esfinges o
carneros de Amón.
Dos obeliscos situados delante decoran la fachada. La avenida finaliza ante la fachada del templo, llamada pilono, que tiene forma de trapecio y está construida en talud,
abriéndose en el centro una puerta de acceso también trapezoidal. El pilono nos permite la entrada a un patio, rodeado de columnas por los lados, quedando la zona central a
cielo abierto. Su nombre es la sala hipetra. Después, se accede a una nueva dependencia
con columnas, ahora totalmente cubierta.
Esta sala de columnas, se denomina sala hipóstila. Desde este lugar se pasa al sanctasanctórum, un espacio rectangular, rodeado de corredores, donde se encuentra la estatua del dios.
Las diferentes salas del templo van disminuyendo en altura y en iluminación, manifestándose también una diferenciación social en cada una de ellas. De esta forma,
el pueblo sólo puede acceder hasta los pilonos, mientras que las clases superiores
pueden pasar a la sala hipetra. La familia real tiene acceso a la sala hipóstila y los sacerdotes y el faraón al santuario.
Además de los templos construidos con piedras, se realizaron algunos otros excavados en la roca. Éstos reciben el nombre griego de speos, que significa “cueva”. Estos
templos se encuentran en Ipsambul, en Nubia.
En las tumbas, se aprecia una evolución, a lo largo de los diferentes periodos. La
primera que se utilizó fue la mastaba, en forma de banco, de donde viene su nombre.
El enterramiento se realiza en un pozo que, tras el sepelio, se cierra con tierra. A nivel
del suelo, nos encontramos la capilla, donde se depositan los alimentos, decorada con
escenas en relieve o pintura de temática funeraria.
Posteriormente se pasa a la pirámide escalonada, formada por diferentes mastabas
superpuestas, siendo la más famosa la de Sanakht. El siguiente paso lo encontramos
en la IV Dinastía, con las pirámides de Kheops, Khefren y Micerino, de perfecta estructura y con la cámara funeraria absolutamente disimulada, aunque esto no evitó los
saqueos de épocas posteriores.
Ya en el periodo tebano se renuncia a las grandes edificaciones, para construir las
tumbas en los acantilados de la región de Abidós. Las puertas de acceso estaban disimuladas al máximo y algunas veces se duplicaban las entradas, para evitar los saqueos. Este tipo de tumba excavada, se denomina hipogeo.
Respecto a la escultura egipcia, nos encontramos con una dualidad muy significativa: las estatuas que representan a los dioses y los faraones son tremendamente estáticas, mostrando una absoluta rigidez, lo que se ha venido llamando la ley de la frontalidad. Los brazos están pegados al cuerpo y una de las piernas avanza sin abandonar
la rigidez. Por otro lado, las estatuas de personajes secundarios como los escribas, los
funcionarios o los animales, están realizados con un naturalismo digno de destacar.
Estas estatuas se mueven, creando la sensación de viveza y espontaneidad. Una de las
preferencias del escultor es el relieve, utilizando el bajorrelieve e incluso el hueco relieve. Eluden la perspectiva y representan a la figura de perfil. Las piernas se muestran
de perfil, mientras que el torso aparece de frente. En la cara ocurre algo parecido, el
rostro de perfil aunque el ojo se ve de frente.
218
Semana 11
Elementos geométricos del entorno
Los faraones y los dioses son mayores que las demás personas, mostrando una ley
de la jerarquía. Las escenas se suelen desarrollar en filas paralelas, aunque a veces
se muestran diversos escenarios de manera simultánea. La temática de estos relieves
está normalmente relacionada con la vida de ultratumba o con imágenes relacionadas con el difunto, por lo que gracias a estas escenas, se puede conocer con mayor
facilidad el Egipto antiguo.
La pintura está muy relacionada con el relieve ya que mantiene la ausencia de perspectiva, la representación de la figura y la ubicación de los escenarios. Utilizan colores
planos y tienen carácter decorativo.
1. En la siguiente dirección web encontrarás información sobre otras culturas;
mayas, incas, aztecas, romana, china, etc. http://www.webcultura.net/u-culturagriega.html. Lee al menos dos de esas culturas, y menciona algunos cuerpos
geométricos presentes en ellas.
2. Menciona al menos 5 objetos de la realidad, que puedas asociar con un cuerpo
geométrico. Puedes guiarte usando la siguiente tabla:
Objeto de la realidad
Cuerpo asociado
Gorro para fiesta de niños
Cono
3. Describe uno de tus días, haciendo énfasis en los cuerpos geométricos que te
encuentras durante el mismo.
4. Indaga sobre las labores de algún albañil, costurera o dibujante de tu comunidad
y sobre el uso que hace de la geometría cuando desarrolla su trabajo. Escribe tus
impresiones.
En esta semana, hemos podido apreciar la presencia de los cuerpos geométricos en nuestra
realidad, no sólo en las culturas antiguas, sino
también en nuestra vida actual. Desde el momento en que nos levantamos hasta el momento en que nos acostamos, estamos observando
objetos con forma de cuerpos geométricos.
219
Semana 12
Semana 12
Gráficos estadísticos
Gráficos estadísticos
Bienvenido y bienvenida a esta nueva semana en la que encontraremos nuevos elementos que nos mostrarán la estrecha relación que existe entre la Matemática y las
situaciones de nuestra vida cotidiana. A menudo, se observa en los periódicos, gráficos donde se reflejan los resultados sobre diversas actividades, tales como el deporte,
la política, la economía, salud, etc. Estamos hablando de los gráficos estadísticos. Este
será el tema que trabajaremos en esta nueva sesión de adquisición de saberes.
Al finalizar la semana, se busca que logres interpretar los gráficos estadísticos que
sueles encontrar en el periódico u otros medios de comunicación.
El semestre pasado estudiaste los conceptos básicos de la Estadística y su importancia en el ámbito social. Para refrescar un poco estas ideas, responde las siguientes
preguntas. Puedes recurrir al módulo del semestre anterior u otro material que consideres necesario.
1. ¿Qué es la Estadística?
2. ¿Qué importancia tiene la Estadística en nuestra cotidianidad?
3. ¿Dónde puedes ver el uso de la Estadística en la vida diaria?
4. ¿Qué es la frecuencia absoluta?
5. ¿Qué es un gráfico estadístico?
6. ¿Dónde encontramos los gráficos estadísticos?
7. ¿Facilita la interpretación de los datos un gráfico estadístico?, ¿por qué?
8. Menciona algunos gráficos estadísticos que alguna vez hayas visto.
220
Semana 12
Gráficos estadísticos
Los gráficos estadísticos son herramientas que permiten ubicar un determinado
conjunto de datos, obtenidos de algún evento, sobre un diagrama. Este diagrama
permite una mejor comprensión de los datos y con él se puede hacer un análisis con
relativa facilidad.
En esta semana, nos encargaremos de estudiar en detalle tres tipos de diagramas:
diagrama de sectores, diagrama de barras e histogramas. De cada uno de éstos veremos cómo se construyen y cómo interpretarlos.
Comencemos con el primer diagrama:
Diagrama de barras
Consideremos el siguiente problema: Eduardo es un estudiante de medicina, que
gasta los lunes y viernes 3 Bs.F. para ir a la universidad, los martes gasta 5 Bs.F. porque
debe asistir a las prácticas de enfermería, los miércoles gasta 7 Bs.F. porque sale muy
tarde, pero, los jueves no gasta dinero, porque su papá lo lleva a la universidad y un
amigo lo trae de vuelta a casa. Ubiquemos esta información en una tabla:
Días de clase
Gasto en pasaje
Lunes
3
Martes
5
Miércoles
7
Jueves
0
Viernes
3
Un diagrama de barras es un gráfico, utilizado normalmente para variables cualitativas, como es nuestro caso (días de la semana), así que usaremos uno de estos diagramas para analizar los datos.
Un diagrama de barras se construye en un plano de coordenadas, de tal manera que
en el eje horizontal se colocan los valores de la variable (días de clase) y en el eje vertical
colocamos sus valores correspondientes (gasto en pasaje). Haciendo uso del programa
computacional Microsoft Excel 2003, podemos obtener fácilmente este diagrama.
Si no posees el recurso tecnológico, no te preocupes por eso, pues la construcción
del diagrama es muy sencillo. A continuación, se muestra, paso a paso, cómo hacerlo:
1. Traza dos líneas perpendiculares. En la línea vertical, coloca (en escala) los números
que se asignarán al gasto de pasaje; y en la horizontal, coloca los días de la semana.
2. Con los datos que tienes en la tabla, comienza a levantar las barras, asignando a
cada día de la semana su respectivo gasto en pasaje. Así, obtendrás el gráfico.
221
Semana 12
Gráficos estadísticos
Diagrama de barras
Gasto en pasaje
8
6
4
2
0
Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes
Días de clase
Fíjate que el diagrama de barras está formado por barras verticales y separadas entre sí. Esta característica es muy importante, porque es la que hace la diferencia con el
histograma, que veremos más adelante.
En ocasiones, los diagramas de barras se presentan con las barras ubicadas horizontalmente, como se muestra a continuación.
Diagrama de barras
Lunes
Días de clase
Martes
Miércoles
Jueves
Viernes
02468
Gasto en pasaje
Al observar el diagrama de barras (cualquiera de los dos), podemos darnos cuenta,
casi inmediatamente, que los días miércoles, Eduardo gasta más dinero que cualquier
otro día, además de ver que el jueves no gasta dinero.
Histograma
Consideremos el siguiente conjunto de datos, los cuales representan las estaturas
en centímetros de un grupo de 20 estudiantes de 7mo grado, de un determinado
colegio: {153, 153, 154, 152, 150, 154, 155, 156, 154,151, 152, 151, 154, 149, 150, 150,
153, 156, 155, 156}
222
Lo primero que debemos hacer, es ordenar los datos en una tabla de distribución de
frecuencia, y lo haremos con datos agrupados. Si tienes dudas de cómo construirla,
puedes revisar la semana Nº 13 del semestre anterior. Sin embargo, haremos la construcción de la tabla, paso a paso.
Semana 12
Gráficos estadísticos
De los datos, podemos extraer el rango de la distribución, restando el valor máximo
con el valor mínimo, es decir, 156 - 149 = 7. En nuestro problema, usaremos 4 intervalos de clases. La amplitud de cada intervalo la obtenemos dividiendo el rango entre
el número de intervalos. En nuestro caso 7 ÷ 4 = 1,75, por lo que redondeamos a 2 la
amplitud de cada intervalo.
Construyendo la tabla:
Clases
Frecuencia
149 - 151
151 - 153
153 - 155
155 - 157
Cada clase está formada por dos números: el límite inferior y el límite superior.
Observa que el límite superior de la primera clase es igual al límite inferior de la segunda clase, y lo mismo ocurre con las siguientes clases. Esto se hace para que, al
momento de construir el histograma, las barras queden unidas, ya que las estaturas
son datos continuos.
Para llenar la columna de las frecuencias, sólo debemos tener en cuenta que los límites superiores de cada clase no se cuentan en los datos, excepto en la última clase.
¿Por qué?
Al observar el conjunto de datos y contar los elementos de cada intervalo de clases,
obtenemos la siguiente tabla de distribución de frecuencia:
Clases
Frecuencia
149 - 151
4
151 - 153
4
153 - 155
7
155 - 157
5
Una vez que hemos construido la tabla de frecuencia, procedemos a realizar el histograma. El proceso es el siguiente:
1.En la tabla de frecuencia, ubicamos una nueva columna donde colocaremos las
medias de clases, es decir, la semisuma de los límites de cada clase, la cual se
obtiene sumando los límites y dividiendo entre dos.
Clases
Frecuencia
Medias de clase
149 - 151
4
150
151 - 153
4
152
153 - 155
7
154
155 - 157
5
156
223
Semana 12
Gráficos estadísticos
Trazamos dos rectas perpendiculares. En la recta horizontal, ubicamos las clases y
en la vertical, las frecuencias.
2. A cada media de clase, le asignamos su respectiva frecuencia.
3. En cada media de clase, levantamos rectángulos, tomando como límites los
respectivos límites de cada clase.
4. Al inicio del gráfico, colocamos el símbolo
el cual indica que la escala de los
datos se comienza a tomar en cuenta a partir de él.
7
6
5
4
3
2
1
149150151152153154155156 157
Una vez que hemos hecho el diagrama de barras, podemos hacer un análisis de
los datos de un modo más visual. Por ejemplo, en el histograma se ve que hay más
alumnos que tienen una estatura entre los 153 cm y 155 cm ¿Qué otras conclusiones
puedes sacar del histograma?
Diagrama de sectores
Consideremos el mismo ejemplo anterior para estudiar los diagramas de sectores.
Para ello, tomemos la tabla de frecuencia encontrada antes, y agreguemos una columna, con el porcentaje que representa cada una de las frecuencias dentro de los
20 estudiantes. Para encontrar el porcentaje de cada frecuencia, debemos dividir la
frecuencia entre el número total de datos y el resultado lo multiplicamos por cien. Por
ejemplo, si la frecuencia es 4, entonces, en porcentaje tenemos: 4 .100 = 20.
20
Este porcentaje suele llamarse frecuencia relativa.
224
Clases
Frecuencia
Medias de clase
%
149 - 151
4
150
20
151 - 153
4
152
20
153 - 155
7
154
35
155 - 157
5
156
25
Semana 12
Gráficos estadísticos
Un diagrama de sectores es una figura con forma de pastel, que está dividida en sectores, los cuales representan una porción de la totalidad de los datos. En cada sector
se ubica el porcentaje que representa dicha porción sobre la totalidad.
20%
25%
20%
149 - 151
151 - 153
153 - 155
155 - 157
35%
El diagrama de sectores correspondiente, nos permite constatar que el mayor porcentaje se encuentra en el intervalo de clase comprendido entre los 153 cm y 155 cm,
y en el resto de las clases la distribución está un poco pareja. ¿Qué otra interpretación
puedes sacar del diagrama, con respecto a las estaturas de los estudiantes?
Para el problema que se presentó al inicio, al explicar el diagrama de barras, también
podríamos realizar un diagrama de sectores, como el que se muestra.
17%
17%
0%
38%
28%
Lunes
Martes
Miércoles
Jueves
Viernes
Saber más
Podrás saber más sobre los diagramas, visitando esta dirección
web: http://sapiens.ya.com/matagus/unidad2.htm
Para reflexionar, escucha el micro radial: La dama de la
lámpara, disponible en: http://www.radialistas.net/clip.
php?id=1600073
1. María ha dictado el taller “La presencia de la Matemática en nuestro entorno”, a
un grupo de 120 personas. Al final del taller se ha hecho una evaluación, entre
los participantes, en la que se obtuvieron los siguientes resultados:
Muy bueno: 63
Bueno: 31 Regular: 20 Malo: 6
Construye un diagrama de barras a partir de esta información y escribe un análisis
del mismo.
225
Semana 12
Gráficos estadísticos
2. La siguiente tabla representa la masa, en kgs, de un grupo de 30 estudiantes
universitarios.
60,3
70,2
60
59,9
70,1
67,3
68,2
55,3
80,2
82
61,3
67,2
68
69,9
71,1
66,3
68,5
58,3
70,5
80,5
79,3
78,2
71,1
69,9
78,1
77,3
66,2
57,3
81,3
81
a) Con estos datos, construye una tabla de frecuencia.
b) Realiza un histograma de frecuencia con seis intervalos de clases.
c) Analiza los resultados.
3. A la tabla de frecuencia que has realizado en la pregunta anterior, agrégale una
columna con el porcentaje de cada media de clase y elabora un diagrama de
sectores.
Frecuencia
4. En el siguiente histograma se representa el peso de ambos riñones de un grupo
de 25 hombres de 40 a 49 años.
12
10
8
6
4
2
0
(207 - 247)
(247 - 287)
(187 - 237)
(237 - 367)
(367 - 407)
Peso en gramos
a) Construye una tabla de frecuencia que se corresponda con el gráfico.
b) ¿En qué intervalo se encuentra la mayor cantidad de hombres?, ¿cuántos
son? Interpreta esto.
c) ¿En qué intervalo se encuentra la menor cantidad de hombres?, ¿cuántos
son? Interpreta esto.
226
Análisis estadísticos
Análisis estadístico
Semana 13
Semana 13
Con todo lo que aprendimos la semana pasada, podremos llevar a cabo nuestra penúltima semana del semestre, en la que haremos uso de los gráficos estadísticos estudiados. En esta semana, se espera que puedas interpretar un conjunto de datos de
la vida cotidiana.
Haz un repaso de los contenidos de Estadística tratados durante el semestre pasado
y éste. Apóyate, igualmente, en las técnicas de recolección de datos que has visto en
el área de Ciencia y Tecnología.
1. Junto con tus compañeros, reúne la información que tienes sobre el tema
seleccionado para trabajar tu proyecto comunitario.
2. A partir de los datos seleccionados, construyan:
a) Una tabla de frecuencia.
b) Un histograma.
c) Un diagrama de barras (para éste, selecciona una variable cualitativa).
d) Un diagrama de frecuencia (selecciona una variable continua).
e) Analiza e interpreta los resultados obtenidos en cada gráfico.
227
Semana 14
Semana 14
Consolidación de aprendizajes
Consolidación de aprendizajes
Durante todo el semestre, hemos dado un paseo por el maravilloso mundo de
las matemáticas. Seguramente, has tenido algunos tropiezos, pero con ayuda de
tus compañeros, el facilitador y tú mismo, te habrás podido levantar, y superar esos
inconvenientes.
En esta última semana, pondremos en práctica todos los conocimientos adquiridos
a lo largo del semestre. Para ello, se te presentarán una serie de ejercicios, en cuyas soluciones debes aplicar los contenidos estudiados en las semanas anteriores. Cuando
lo consideres necesario, no dudes en acudir a tu facilitador. ¡Comienza tu trabajo!
Como primera actividad, retoma los problemas propuestos en la semana Nº 2 de
este módulo, y en esta ocasión, trata de dar una justificación a tus respuestas, basándote en lo estudiado a lo largo del semestre.
Intenta aplicar los conocimientos que has adquirido en el transcurso de este semestre, para responder los siguientes problemas:
1. Carlos se interesó en leer un libro que tiene 500 páginas. El 1 de abril leyó 1 página,
y cada día leyó el triple de páginas que había leído el día anterior. Completa y
responde: ¿en qué fecha terminó Carlos de leer el libro?
2. En un salón de clases de Derecho de la Universidad, con 100 alumnos, el profesor
no puede asistir un día y se lo comunica a sus estudiantes por teléfono, de la
siguiente manera: a las 10:00 am llama a dos alumnos y les da la información,
y cada uno de éstos tienen la tarea de llamar a otros dos de sus compañeros,
para darles la información en los próximos 10 minutos; y así, cada alumno que
se entera del asunto debe llamar a dos de sus compañeros de los que aún no
conozcan la información en los próximos 10 minutos. Aproximadamente, ¿a qué
hora se enterará el último alumno de que no hay clases?
3. Tres avionetas salen del aeropuerto La Chinita con las siguientes frecuencias: el
primero cada 12 horas, el segundo cada 18 horas y el tercero cada 30 horas. Si
el 1 de marzo parten las tres avionetas juntas, ¿cuándo volverán a partir juntas y
cuántas veces habrán despegado cada una, antes de que vuelvan a coincidir?
4. En una disquera, si se agrupan los discos en grupos de 12 y 36, no sobra alguno,
pero, si se agrupan en grupos de 14, sobran 4 discos. Si hay más de 200 y menos
de 400, ¿cuántos discos hay?
228
5. Un recipiente contiene 140 litros de jugo de naranja y otro 352 de durazno. ¿Qué
tamaño tendría que tener la botella, lo más grande posible, que sirviese para
Consolidación de aprendizajes
Semana 14
envasar los dos jugos, por separado, de manera que quepa justo el líquido en
ellas?
6. Un cometa es visible desde la Tierra cada 16 años y otro cada 24 años. El último
año que fueron visibles conjuntamente fue en 1968. ¿En qué año volverán a
coincidir?
7. Si tienes una torta para la merienda del colegio y el lunes te comes 1/5 de la
torta, el martes 3/8, y viernes 2/7, ¿qué fracción de torta te has comido?, ¿sobró
torta?, ¿cuánta?
8. Debes hacer una tarea de Sociedad y Cultura y es muy larga. Piensas dividirla,
para que sea más fácil. El primer día harás los 2/3 de la tarea; el otro día, 1/7 de la
tarea; y el tercer día, 5/12 de la tarea. ¿Terminarás todo el trabajo en ese tiempo
o tendrás que trabajar el cuarto día?
9. Isabel compró varios jugos de litro, para la merienda de sus hijos. Si el lunes,
miércoles y jueves se tomaron un tercio de litro de jugo cada día, y el martes y
jueves se tomaron un cuarto de litro de jugo cada día, y quedó medio litro de
jugo para el sábado, ¿cuántos litros de jugo compró Isabel?
10. Alicia y Rubén caminan todos los días. Si Rubén camina 3/4 km y luego 2/3 km;
y Alicia camina 1/2 km y luego 3/7 km, ¿cuál de los dos camina más?
11. José jugó 1/8 de tiempo de un juego. Si éste duró 60 minutos, ¿Cuánto tiempo
jugó?
12. En un salón de clases hay 30 alumnos. Si por terminar antes del tiempo una
evaluación, el profesor le permite la salida a 5/6 de los alumnos, ¿cuántos
alumnos quedan en el salón?
13. En un encuentro deportivo, que reúne a 750 atletas, el 30% de los participantes son
venezolanos, el 18% colombianos, el 16% brasileros y el resto estadounidenses.
¿Cuántos atletas estadounidenses participan en el encuentro?
14. Si en una cesta hay 20 frutas, 35% son manzanas, 20% cambures y el resto son
duraznos, ¿cuántos duraznos hay?
15. De los 120 jugadores de ajedrez de un torneo, 15 son mujeres. ¿Qué porcentaje
representan los hombres?
16. Las notas de los alumnos del octavo semestre son:
10 - 12 - 15 -20 - 08 - 07 - 12 - 14 - 18 - 08 - 09 - 10 - 11 -13 -15 - 19 - 18 - 12 -14 - 10 - 09
a) Con estos datos, construye una tabla de frecuencia de 5 intervalos de clases.
b) Elabora un histograma e interpreta los resultados.
229
Semana 14
Consolidación de aprendizajes
17. Un veterinario midió los diferentes tiempos de recorrido de 6 caballos. Todos se
desplazaron una distancia de 500 m. Éstos fueron los tiempos medidos:
Caballo
Intervalo de tiempo
1
20
2
30
3
15
4
25
5
20
6
18
Elabora un diagrama de barras que refleje el análisis obtenido, e interprétalo.
18. Los siguientes datos son las temperaturas en °C registradas en una ciudad, en
un período de 40 días consecutivos:
24°, 22°, 23°, 24, 21°, 23°, 22°, 23°, 22°, 29°, 28°, 30°, 26°, 27°, 21°, 23°, 27°, 27°, 20°,
24°, 23°, 22°, 27°, 28°, 30°, 31°, 27°, 29°, 24°, 22°, 21°, 24°, 26°, 29°, 30°, 30°, 33°, 27°,
23°, 22°.
a) Agrupa los datos obtenidos en 6 intervalos de clase de amplitud 2,5° y halla
la correspondiente distribución de frecuencias.
b) Elabora el histograma respectivo.
Con esta sección de ejercicios, hemos finalizado el octavo semestre. Seguramente has
aprendido mucho, así que anímate a aplicar todo lo aprendido en tu vida cotidiana y
prepárate, porque para el próximo semestre
aprenderás muchas cosas nuevas, y verás
cómo la Matemática sigue presentándose en
muchas de las actividades y situaciones de
nuestro entorno. ¡Éxitos!
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Referencias Electrónicas
Adición y sustracción de fracciones. Recuperado el 30 de enero de 2009. Disponible
en: http://www.irfaperu.org/aulas/secundaria/secundaria1s3f3.pdf
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