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CONCEPTOS BASICOS DE LA TEORIA
DE PROBABILIDADES
• La PROBABILIDAD es la rama de la matemática que analiza los
procesos aleatorios.
• Un EXPERIMENTO ALEATORIO es aquel en que no podemos predecir
el resultado preciso, pero es posible:
Enumerar el conjunto de todos los resultados posibles del experimento
(resultados equi probables) = Conjunto UNIVERSAL = ESPACIO MUESTRAL
Decidir cuán PROBABLE es un resultado determinado
EJEMPLO:
EXPERIMENTO ALEATORIO: Lanzar un dado equilibrado con seis caras enumeradas del
1 al 6.
ESPACIO MUESTRAL: Conjunto de todos los resultados EQUIPROBABLES.
U = { 1 , 2, 3, 4 , 5 , 6}
P( 1 ) = P ( 2 ) = P ( 3 ) = P ( 4 ) = P ( 5 ) = P ( 6 ) =
1
6
Sea A el SUCESO “ Salga un número par”, en el conjunto U (ESPACIO MUESTRAL)
hay 3 números pares, por lo tanto
P(A)=
3 1
=
6 2
SUCESOS COMPLEMENTARIOS
Para el ejemplo anterior, Sea el suceso: “Es un número Impar”
El conjunto de resultados para este suceso lo podemos nombrar A´
Hay 3 números impares, es decir 𝑛 𝐴´ = 3
3
6
P (A´) = =
1
2
Para SUCESOS COMPLEMENTARIOS P (A´) = 1 - P (A)
PROBABILIDAD CONDICIONADA
Dados dos sucesos A y C, La probabilidad de que ocurra el suceso A ,
sabiendo el suceso C ha ocurrido. Se símboliza P(A|C)
Volviendo al ejemplo anterior, A: “ es un número par”
C:“ es número primo”
P(A|C) :La probabilidad de que al tirar un dado salga un número par,
sabiendo que el número es primo
P(A|C)=
𝑛(𝐴∩𝐶) 1
=
𝑛(𝐶)
3
PRINCIPIOS DE CONTEO
EJEMPLO 1:
Se tienen tres ciudades A, B y C, tales que hay 3 rutas distintas para
llegar de la ciudad A hasta la ciudad B, y hay 2 rutas distintas para llegar
de la ciudad B hasta la ciudad C.
Cuántas rutas distintas hay para ir de la ciudad A hasta la ciudad C
pasando por la ciudad B?
PRINCIPIO FUNDAMENTAL DEL CONTEO
Cuando dos eventos suceden uno tras otro, si el primero puede suceder de m
formas y el segundo de n formas (después de haber sucedido el primero), entonces
ambos pueden suceder uno tras otro de m x n formas distintas.
EJEMPLO 2:
En una heladería se ofrecen tres tipos distintos de barquillos y helados de 31
sabores.
¿Cuántos helados distintos se pueden comprar?
Primer evento: elección de barquillo: 3 formas distintas
Segundo evento: elección del sabor del helado 31 formas distintas
EJEMPLO 3:
En un estado las placas de los automóviles tienen tres letras seguidas de tres
dígitos, cuántas placas distintas se pueden tener si:
a) Se permite repetir letra
b) No se permite repetir letras
EJEMPLO 4:
De cuantas formas distintas puede terminar una competencia entre seis
competidores?
Suponiendo que no hay empates.
PERMUTACIONES
Una permutación de un conjunto de objetos distintos es un
ordenamiento de estos objetos.
La cantidad de permutaciones de n objetos es n!
n! = 𝒏 ∙ 𝒏 − 𝟏 ∙ 𝒏 − 𝟐 ∙∙∙∙∙ 𝟓 ∙ 𝟒 ∙ 𝟑 ∙ 𝟐 ∙ 𝟏
EJEMPLO 5:
Algunas de las permutaciones de las letras ABCDWXYZ son las siguientes:
XAYBZWCD
ZAYBCDWX
DBWAZXYC
a) Cuántas permutaciones son posibles?
8! = 8𝑥7𝑥6𝑥5𝑥4𝑥3𝑥2𝑥1 = 40 320
b) Cuántas permutaciones con cinco letras son posibles con estas mismas 8
letras?
8 x 7 x 6 x 5 x 4 = 6 720
En general si un conjunto tiene n elementos, el número de formas de
ordenar r elementos del conjunto se representa con P(n,r) y se llama
número de permutaciones de n objetos tomados de r en r.
P(n,r) =
n!
𝒏−𝒓 !
EJEMPLO 6:
Un club tiene 9 miembros, ¿De cuantas maneras pueden elegirse un
presidente, un vicepresidente y un secretario entre ellos?
Posibles permutaciones de los 9 miembros tomados de 3 en 3
P(n,r) =
n!
𝒏−𝒓 !
P( 9, 3) =
9!
9−3 !
=
9!
6!
=
9∙8∙7∙6∙5∙4∙3∙2∙1
6∙5∙4∙3∙2∙1
= 9 ∙ 8 ∙ 7 = 504
EJEMPLO 7:
Se deben seleccionar en orden cuatro boletos de una rifa, de entre 20 que
hay en un sobre. El que tenga el primer boleto gana un automóvil, el
segundo gana una motocicleta, el tercero una bicicleta y el cuarto una
patineta. ¿De cuantas formas distintas se pueden ganar estos premios?
Se necesita calcular el numero de formas de seleccionar cuatro objetos en
orden entre 20 objetos.
P(n,r) =
n!
𝒏−𝒓 !
=
20!
20 −4 !
=
20 !
16 !
= 20 𝑥 19 𝑥 18 𝑥 17 = 116 280
PERMUTACIONES DISTINGUIBLES
Si un conjunto de n objetos consiste en k tipos distintos de objetos
con 𝑛1 objeto del primer tipo, 𝑛2 del segundo tipo, 𝑛3 del tercero, etc,
siendo 𝑛1 +𝑛2 +𝑛3 +∙ ∙ ∙ + 𝑛𝑘 = n .
El número de permutaciones distinguibles de esos objetos es
𝑛!
𝑛1 ! ∙ 𝑛2 ! ∙ 𝑛3 ! ∙ ∙ ∙ 𝑛𝑘 !
EJEMPLO 8:
Calcule el numero de formas de colocar 15 pelotas en una fila si cuatro
son rojas, tres son amarillas, seis son negras y dos son azules.
COMBINACIONES
Una combinación de r elementos de un conjunto es cualquier subconjunto de r elementos
sin tener en cuanta su orden.
Ejemplo:
Las combinaciones de tres letras que podemos obtener con las letras A, B , C y D. Son:
ABC , ABD , ACD, BCD. (No importa el orden)
Las permutaciones de esos elementos de tres en tres son:
ABC
ABD
ACD
BCD
ACB
ADB
ADC
BDC
BAC
BAD
CAD
CBD
BCA
BDA
CDA
CDB
(El orden es importante)
CAB
DAB
DAC
DBC
CBA
DBA
DCA
DCB
COMBINACIONES DE n OBJETOS TOMADOS DE r EN r
C ( n, r) =
𝒏!
𝒓! 𝒏−𝒓 !
EJEMPLO 9:
En el club de 9 miembros se quiere elegir un comité de tres entre los
miembros de ese club. ¿De cuantas maneras se pueden elegir?
C ( n, r) =
𝒏!
𝒓! 𝒏−𝒓 !
C( 9, 3) =
𝟗!
𝟗!
9∙8∙7∙6∙5∙4∙3∙2∙1
=
=
𝟑! 𝟗−𝟑 ! 𝟑! 𝟔 ! 3∙2∙1 ∙ 6∙5∙4∙3∙2∙1
= 84
EJEMPLO 10:
En una rifa hay 20 boletos en un sobre y se deben sacar 4 al azar, cada
uno de los poseedores de los boletos ganara un viaje a las Bahamas.
De cuantas formas pueden salir los ganadores?
C ( n, r) =
𝒏!
𝒓! 𝒏−𝒓 !
=
20!
4! 20 −4 !
=
20 !
4! ∙16!
=
20 𝑥 19 𝑥 18 𝑥 17
4 𝑥 3 𝑥 2 𝑥1
= 4 845
Cuando se desea calcular el numero de formas de escoger r objetos
de n objetos, hay que preguntarse ¿Importa el orden?
Si el orden SI importa , se usan permutaciones.
Si el orden NO importa , se usan combinaciones.
EVENTOS INCOMPATIBLES
(MUTUAMENTE EXCLUYENTES)
Dos eventos son INCOMPATIBLES o MUTUAMENTE EXCLUYENTE si no
pueden ocurrir simultáneamente, si no tienen resultados en común, si
sus conjuntos de posibles resultados no tienen elementos en común.
Ejemplo: Para el experimento de lanzar un dado.
Son eventos mutuamente excluyentes:
E: Salga un numero par
F: Salga un numero impar
No son mutuamente excluyente:
E: Salga par
G: Salga primo
SUCESOS INCOMPATIBLES ( MUTUAMENTE EXCLUYENTES)
La probabilidad de que al lanzar un dado salga un numero par o un
número impar , es P(E U F)= P ( E ) + p ( F)
SUCESOS NO INCOMPATIBLES ( NO SON MUTAMENTE EXCLUYENTES)
La probabilidad de que al lanzar un dado salga un numero par o un
número primo , es P (E U G) = P( E)+ P(G) – P(E ∩ G)
EJEMPLO 1:
Cuál es la probabilidad de sacar una carta, al azar, de un mazo normal de 52 cartas, y que
sea una figura o sea un as ?
Los eventos son:
A: Sale una figura (J,Q,K)
B: sale un as
¿Son incompatibles los sucesos A y B?
Hay 0 cartas que son figuras y as a la vez, entonces
0
P (A ∩ 𝐵) =
=0
52
Nos preguntan por 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵)
Hay 12 figuras y hay 4 as en una baraja normal de 52 cartas, entonces:
P ( A) =
12
52
P(B)
4
=
52
Por lo tanto P ( E ∪ 𝐹 ) = 𝑃( 𝐸 ) + 𝑃( 𝐹 ) − 𝑃(𝐸 ∩ 𝐹) =
12
52
+
4
52
=
16
52
=
4
13
EJEMPLO 2:
Cuál es la probabilidad de sacar una carta, al azar, de un mazo normal de 52 cartas, y que sea una
figura o sea una pica?
Los eventos son:
A : La carta es una figura (J,Q,K)
¿SON INCOMPATIBLES A y F?
F: La carta es una pica.
Hay 3 cartas que son figuras y picas a la vez, entonces
3
P (A ∩ 𝐹) =
52
Nos preguntan por 𝑃(𝐴 ∪ 𝐹)
Hay 12 figuras y 13 picas en una baraja normal de 52 cartas, entonces:
12
13
P(A)=
P(F)=
52
52
Por lo tanto P ( A ∪ 𝐹 ) = 𝑃( 𝐴 ) + 𝑃( 𝐹 ) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐹) =
12
13
3
+ −
52
52
52
=
22 11
=
52 26
EVENTOS INDEPENDIENTES
Dos eventos son INDEPENDIENTES Si el hecho de que ocurra un suceso no
afecta de ninguna manera el hecho de que ocurra el otro.
Dos sucesos A y B son independientes si la probabilidad de que ocurra A,
P(A), se mantiene igual , una vez que halla ocurrido B, es decir:
P ( A) = P (A|B)
Recordemos P (A|B) Probabilidad condicionada y P (A|B)=
P (A ) =
𝑃 (𝐴∩𝐵)
𝑃(𝐵)
𝑃 (𝐴∩𝐵)
𝑃(𝐵)
por tanto 𝑃 (𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐴) ∙ 𝑃(𝐵)
Los sucesos A y B son INDEPENDIENTES si y solo si 𝑃 (𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐴) ∙ 𝑃(𝐵)
EJEMPLO 1 :
Un frasco contiene cinco bolas rojas y cuatro bolas negras.
Se saca al azar una bola y a continuación se remplaza; después se saca
otra bola. Cuál es la probabilidad de que ambas bolas sean rojas?
EJEMPLO 2:
Los números 2, 3, 4 , 5, 6, 7, 8 , 9 se escriben, cada uno, en trozos
idénticos de cartón y se ponen en una bolsa.
Se saca aleatoriamente un cartón de la bolsa .
Sea A el suceso “ Sale un número impar”
Sea B es suceso “ Sale un número cuadrado”
Dibuje un diagrama de Venn que describa este experimento
Determine si los sucesos A y B son independiente
Calcule la probabilidad que salga un numero impar y cuadrado