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II UNIDAD
TEORÍA DE LA PROBABILIDAD
PROBABILIDAD : Verosimilitud o fundada apariencia de verdad.
Mayor o menor posibilidad de que algo suceda.
ALEATORIA: Del latín aleatorius propio del alea o suerte de los dados perteneciente o relativo
al juego de azar.
Dependiente de algún suceso fortuito
El por que de la probabilidad: Quizá fue la sed insaciable del hombre por el juego
la que condujo al desarrollo temprano de la teoría de la probabilidad. En un esfuerzo
por aumentar sus ganancias pidieron a los matemáticos que les proporcionaran las
estrategias óptimas para varios juegos de azar. Algunos de los matemáticos que proporcionaron estas estrategias fueron Pasca, Laeibnitz, Fermat y James Bernoulli.
Como resultado de de este primer desarrollo de la teoría de la probabilidad, la inferencia estadística, con todas sus predicciones y generalizaciones, se extiende más álla de
de los juegos de azar para abarcar muchos otros campos asociados con los eventos
aleatorios, como la politica, los negocios, la predicción del clima y la investigación
cientifica
Para que estas predicciones y generalizaciones sean razonablemente precisas, es esencial una comprensión de la teoría básica de la probabilidad.
PROBABILIDAD:
Es el método de asignar pesos o probabilidades a los eventos posibles de un experimento.
Existe la probabilidad Clasica, Relativa y Subjetiva.
PROBABILIDAD CLÁSICA:
Define la probabilidad de que un evento ocurra como el número de
resultados donde ocurre el evento entre el numero total de posibles
resultados.
El enfoque clásico supone un mundo que no existe en la realidad.
Descarta situaciones que son muy poco probables pero que podrian presentarse,
como el hecho de que una moneda caiga sobre su canto.
PROBABILIDAD RELATIVA:
Define la probabilidad en dos formas:
1. La frecuencia relativa observa un evento
en un gran número de ensayos.
2. La proporción de las veces que un evento sucede a
la larga cuando las condiciones son estables.
PROBABILIDAD SUBJETIVA :
Las probabilidades subjetivas se basan en la creencia e ideas
Del que realiza la observación de las probabilidades.
En efecto, podemos definirla como aquella que a un evento
asigna el individuo basándose en la evidencia disponible.
EXPERIMENTO:
Los estadísticos utilizan la palabra experimento para describir cualquier
proceso que genere un conjunto de datos (resultados).
ESPACIO MUESTRAL DE UN EXPERIMENTO:
El conjunto de todos los resultados posibles de un experimento estadístico se
llama ESPACIO MUESTRAL y se representa por la letra S.
Cada resultado del espacio muestral se llama PUNTO MUESTRAL.
S
PROBABILIDAD
La probabilidad es un número que nunca puede tener valor negativo, ni ser
mayor que 1
Ejemplo :
Encontrar el espacio muestral S, del lanzamiento de una moneda al aire.
S = { A, S }
A = aguila
S = sol
Ejemplo :
Considere el experimento de lanzar un dado. Si nos interesamos en el
número que muestra en la cara superior, el espacio muestral sería.
S = { 1,2,3,4,5,6 }
Si nos interesamos sólo en si el número es par o impar, el espacio muestral
es.
S = { par, impar }
Se puede usar más de un espacio muestral para describir los resultados
de un experimento.
CONTEO DE PUNTOS DE LA MUESTRA
Uno de los problemas que el estadístico debe considerar e intentar
evaluar es el elemento de posibilidad asociado con la ocurrencia de ciertos eventos cuando se lleva a cabo un experimento. Es decir, en muchos
casos debemos ser capaces de resolver un problema de probabilidad me –
diante el conteo del número de puntos en el espacio muestral sin listar
realmente cada elemento.
PERMUTACIONES:
Con frecuencia nos interesamos en un espacio muestral que contiene
como elementos a todas las posibles ordenaciones o arreglos de un grupo
de objetos. Por ejemplo, podemos querer saber cuántos arreglos diferentes
son posibles para sentar a seis personas alrededor de una mesa, o podemos
preguntar cuántas ordenaciones diferentes son posibles para sacar dos bille
tes de loteria de un total de 20. Los diferentes arreglos se llaman permuta –
ciones.
Permutación : Una permutación es un arreglo de todo o parte de un
conjunto de objetos.
Ejemplo: Considere las tres letras a,b y c. Las permutaciones posibles
son: abc, acb, bac, bca, cab y cba.
El número de permutaciones de n objetos distintos es n!
En general, el número de permutaciones u ordenaciones de n objetos dis
tintos tomados de r a la vez es :
n!
n Pr 
n  r !
EJEMPLOS:
De cuantas formas se pueden ordenar o colocar 5 esferas de diferente color ?
nPr 
n!
5!
5!

  120 permutaciones
n  r ! 5  5! 0!
De cuantas formas pueden 10 personas sentarse en un banco con capacidad para 5 personas ?
n!
10!
10!
nPr 


 30,240ordenacion es
n  r ! 10  5! 5!
TAREA:
Ejemplo : Se sacan dos billetes de lotería de 20 para un primer premio y
un segundo premios. Encuentre el número de puntos muestrales
en el espacio S.
Ejemplo: De cuantas formas se pueden llenar las cinco posiciones iniciales
en un equipo de balóncesto con ocho jugadores que pueden jugar
cualquiera de las posiciones ?
TAREA:
Ejemplo : Cuatro matrimonios compran ocho lugares en la misma fila para
un concierto. ¿de cuántas maneras diferentes se pueden sentar?
a) Sin restricciones.
b) Si cada pareja se sienta junta.
c) Si todos los hombres se sientan juntos a la derecha de todas las mujeres.
Ejemplo: Cuantos números de tres dígitos se pueden formar con los dígitos
0,1,2,3,4,5 y 6, si:
a) cada dígito se puede usar solo una vez.
b) cuantos de estos números son impares.
c) cuantos son mayores de 330.
El número de permutaciones de n objetos distintos arreglados en un
círculo es (n - 1)!
Ejemplo : De cuantas maneras se pueden plantar cinco árboles diferentes
en un círculo ?
NOTA: Hasta aquí consideramos permutaciones de objetos distintos. Es decir,
todos los objetos fueron por completo diferentes o distinguibles.
El número de permutaciones distintas de n cosas de las que n1 son de
una clase, n2 de una segunda clase, ..., nk de una k-ésima clase es
n!
n1! n2 ! n3!
Ejemplo : De cuantas formas diferentes se pueden arreglar 3 focos rojos
4 amarillos y 2 azules en una serie de luces navideña con 9 por
talámparas ?
TAREA : Cuantas permutaciones se pueden hacer con las letras de la palabra
infinito.
COMBINACIONES :
En muchos problemas nos interesamos en el número de formas de seleccionar
r objetos de n sin importar el orden.
Estas selecciones se llaman combinaciones.
El número de combinaciones de n objetos distintos tomados de r a la vez es
n!
nCr 
r!n  r !
Ejemplo : cuantas combinaciones se pueden hacer con las letras a,b,c, tomadas
de dos en dos.
Ejemplo : cuantos equipos de 8 personas se pueden formar en este momento
en el aula.
NOTA : En una combinación si importa el orden
y en una permutación u ordenamiento no existe
el orden.
CONTEO DE PUNTOS DE LA MUESTRA
Ejemplo : De cuatro químicos y tres físicos encuentre el número de comités
que se pueden formar que consistan en dos químicos y un físico.
El número de formas de seleccionar a dos químicos de cuatro es :
 4
4!
  
6
 2  2!4  2!
El número de formas de seleccionar un físico de tres es :
 3
3!
  
3
 1  1!3  1!
Al usar la regla de la multiplicación con n1= 6 y n2= 3, podemos formar
n1n2= (6)(3)=18
Comités con 2 químicos y 2 físico.
CONTEO DE PUNTOS DE LA MUESTRA
Ejercicios variados, TAREA :
1.- De cuantas formas se pueden ordenar o colocar 5 esferas de diferente color ?
2.- De cuantas formas pueden 10 personas sentarce en un banco con capacidad
para 5 personas ?
3.- Se tienen 6 hombres, 8 mujeres, 4 niños y 5 niñas, de cuantas formas puede
integrarse un comité de 4 mujeres, 3 niños y 3 niñas ?
TAREA:
4.- De cuantas formas pueden ordenarse 7 libros ? si :
a) Es posible cualquier ordenación
b) 3 libros determinados deben estar juntos.
c) 2 libros determinados deben ocupar los extremos.
DIAGRAMAS DE ARBOL :
En algunos experimentos es útil listar los elementos del espacio muestral
de forma sistemática mediante un diagrama de árbol.
Ejemplo :
Un experimento consiste en lanzar una moneda y después lanzarla una –
segunda vez si sale Aguila. Si sale Sol en el primer lazamiento, entonces se lanza
un dado una vez.
Ejemplo:
Suponga que se seleccionan tres artículos de forma aleatoria de un proceso
de fabricación. Cada articulo se inspecciona y clasifica como defectuoso, D,
o sin defecto, N. Listar los elementos del espacio muestral que proporcione
la mayor información.
S = {DDD,DDN,DND,DNN,NDD,
NDN,NND,NNN}
PRINCIPIO MULTIPLICATIVO :
El principio fundamental del conteo a menudo denominado regla de
multiplicación, se establece como sigue:
Teorema: Si una operación puede resultar en n1 formas, y si para cada
una de éstas se puede llevar a cabo una segunda operación en n2 formas,
y para cada una de las primeras dos se puede realizar una tercera operación
en n3 formas, y así sucesivamente, entonces la serie de k operaciones se pue
de realizar en (n1)(n2),...,(nk) formas.
Ejemplo: Cuantos puntos muestrales hay en el espacio muestral cuando
se lanza un par de dados ?
Ejemplo: Cuantos almuerzos que consisten en una sopa , emparedado, postre
y una bebida son posibles si podemos seleccionar de 4 sopas, 3 tipos
de emparedados, 5 postres y 4 bebidas ?
EVENTOS MUTAMENTE EXCLUYENTES :
Ejemplo :
Sea M = {a,e,i,o,u} y N = {r,s,t}. Encuentre M  N
M N 
Donde  es el conjunto vacio, es decir, M y N no tienen
elementos en común y, por tanto no pueden ocurrir ambos de forma
simultanea.
Dos eventos A y B son mutuamente excluyentes o disjuntos si A  B  
es decir, si A y B no tienen elementos en común.
ANÁLISIS DE LA PROBABILIDAD
LA PROBABILIDAD MARGINAL ES LA FORMA MÁS SIMPLE EN LO
QUE A CALCULAR PROBABILIDADES SE REFIERE, YA QUE SÓLO SE
NECESITA CONTAR LOS ELEMENTOS FAVORABLES Y LOS TOTALES
EN EL EXPERIMENTO Y DIVIDIR FAVORABLES ENTRE TOTALES PARA
OBTENER LA PROBABILIDAD MARGINAL DE UN EVENTO DADO.
POR EJEMPLO:
Se lanza un dado sea el evento A = # par, calcular :
P(A) =
PROBABILIDAD
Existen varias leyes importantes que con frecuencia simplifican el cálculo de
Probabilidades. La primera que se denomina regla aditiva.
REGLAS ADITIVAS
Regla de la adición para eventos mutuamente excluyentes.
A
B
A menudo, estamos interesados en la probabilidad de que una cosa u otra
suceda. Si estos dos eventos son mutuamente excluyentes, podemos
expresar esta probabilidad haciendo uso de la regla de adición para eventos
mutuamente excluyentes:
P A  B  P A  PB
Ejemplo: Se lanza un dado. Cuál es la probabilidad de que salga número < 3 o
número > 5 ?
Ejemplo : Se lanza un dado. Cuál es la probabilidad de que salga el 5 o número par?
Ejemplo : sea A el evento de que salga un número par y sea B el evento de que
salga un número impar. Encuentre P A  B
Regla de adición para eventos que no son mutuamente excluyentes:
A
B
P A  B  P A  PB  P A  B
Ejemplo: Se tiene una baraja americana (52 cartas). Sea A el evento que consiste en sacar un as
y sea B el evento que consiste en sacar un corazón. Encuentre la probabilidad de que ocurra A o B.
P A  B  P A  PB  P A  B
A
2 as
A,B
2 as
corazón
B
26 corazones
4 26 2 28 7
P A  B  




52 52 52 52 13
Ejemplo: Cual es la probabilidad de que al lanzar un dado salga número impar o
número primo?
Ejemplo: Se tiene una baraja de 52 cartas. Sea A el evento que consiste en sacar carta
negra, y sea el B el evento que consiste en sacar un 5. Encuentre la probabilidad
de que ocurra A o B.
Independencia estadística: Diremos que dos sucesos son independientes si uno
de ellos no tiene relación con el otro, es decir, la ocurrencia de uno no tiene influencia sobre la ocurrencia del otro.
SIMBÓLICAMENTE :
dos eventos A y B son independientes si y sólo si
P(A ∩ B) = P(A) P(B)
PROBABILIDAD CONDICIONAL
Probabilidades condicionales bajo independencia estadística.
Simbólicamente, la probabilidad condicional se escribe:
P(B/A)
Y se lee "la probabilidad de que se presente el evento B, dado que el
evento A se ha presentado".
La probabilidad condicional es la probabilidad de que un segundo
evento (B) se presente, si un primer evento (A) ya ha sucedido.
Para eventos estadísticamente independientes, la probabilidad condicional
de que suceda el evento B dado que el evento A se ha presentado, es
simplemente la probabilidad del evento B:
P(B/A) = P(B)
Probabilidades condicionales bajo independencia estadística.
Ejemplo :
Se saca una carta de una baraja americana, sea A el evento carta roja y sea B el evento # 5.
Calcular la probabilidad de que la carta sea # 5, dado que es roja.
P ( B / A) 
4
1
P( B / A) 
  0.0769
52 13
Probabilidades bajo condiciones de dependencia estadística.
La dependencia estadística existe cuando la probabilidad de que se presente
algún suceso depende o se ve afectada por la presentación de algún otro
evento. Los tipos de probabilidad bajo condiciones de dependencia estadística
son:
Probabilidad condicional bajo dependencia estadística.
Ejemplo :
Se tiene una caja que contiene 10 esferas de las cuales 3 son de colores y punteadas
1 es de colores y tiene rayas, 2 son grises y punteadas, 4 son grises y tienen rayas.
Calcular las siguientes probabilidades:
A) Se extrae una esfera y es punteada, cual es la probabilidad de que también sea de colores.
B) Se extrae una esfera y es gris, cual es la probabilidad de que también sea punteada.
C) Se extrae una esfera y es de colores, cual es la probabilidad de que también sea gris.
C = Colores [3 Punteadas, 1 Rayas]
P = Punteadas [3 colores, 2 grises]
G = Grises [2 punteadas , 4 Rayas]
R = Rayas [1 Colores, 4 Grises]
A)
P(C / P) 
P(C  P)
P( P)