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PROBLEMAS de APLICACIONES
de LA ECUACIÓN HIPSOMÉTRICA
Variación de la presión con la altura
en una columna de fluido compresible
F
í
s
i
c
a
Fluido menos denso
z
p 
g
 z2  z1 
ln 2   
p
R
T
d
 1
z2
p2
z1
p1
Fluido más denso
Antonio J Barbero
Departamento de Física Aplicada UCLM
p
A
m
b
i
e
n
t
a
l
Ecuación hipsométrica
P1. Junio 2013 - Problema 2 semana 1
(a) Deducir la ecuación hipsométrica a partir de la ecuación hidrostática y la ecuación de los gases ideales.
(b) Calcular el espesor de la capa de aire comprendida entre las presiones 1000 hPa y 900 hPa sabiendo
que la temperatura media es 273 K y la constante de los gases para el aire seco Rd = 287 J kg−1 K−1.
(c) ¿Cuánto aumenta el espesor si la temperatura sube 1º C?
Ecuación gases ideales p   Rd T
(a) Ecuación hidrostática dp    g dz
z
Variación de presión vs altura
p  dp
dp    g dz
dz
p
p   Rd T
p
dp
g

dz
p
Rd T
Combinamos
Presión  densidad y temperatura
La presión disminuye con la altura
p2

Admitimos como aproximación que la gravedad y la temperatura a lo largo de
la columna de aire permanecen constantes  integramos la ecuación
Esta es la ecuación hipsométrica, que
expresa la relación entre presión y altura
en una columna de fluido compresible
p 
g
 z2  z1 
ln 2   
p
R
T
d
 1
Observación: véase en la figura a la derecha que z2 > z1 y eso implica
que el logaritmo del cociente de presiones ln(p2/p1) < 0, lo cual se
corresponde con el hecho de que efectivamente p2 < p1
z2
dp

p
p1
 R T dz
g
z1
d
z
z2
p2
z1
p1
p
2
Ecuación hipsométrica
P1. Junio 2013 - Problema 2 semana 1 (continuación)
(a) Deducir la ecuación hipsométrica a partir de la ecuación hidrostática y la ecuación de los gases ideales.
(b) Calcular el espesor de la capa de aire comprendida entre las presiones 1000 hPa y 900 hPa sabiendo
que la temperatura media es 273 K y la constante de los gases para el aire seco Rd = 287 J kg−1 K−1.
(c) ¿Cuánto aumenta el espesor si la temperatura sube 1º C?
(b) Espesor de la capa de aire entre dos presiones dadas 
p
p2  900 HPa
z2
p1  1000 HPa
z1
z
(c) Aumento de espesor de la capa de aire
cuando se incrementa la temperatura 
z  
p 
g
 z2  z1 
ln 2   
p
R
T
d
 1
z   z 2  z1   
Rd T  p2 
287 · 273  900 
ln   
ln
  842 m
9
.
80
1000
g
p


 1
R p 
z
  Rd T  p2 

ln    d ln 2 

T T 
g
g  p1 
 p1 
287  900 
Rd  p2 
ln
ln  T  
 ·1  3.1 m
9.80  1000 
g  p1 

z z

T T
 La columna de aire incrementa su espesor
al subir la temperatura a razón de 3.1 m K-1
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Ecuación hipsométrica
P2. Septiembre 2016-R - Problema 2
Calcule el espesor de una masa de aire entre los niveles de presión de 1000 HPa y 700 HPa suponiendo que:
(a) Es una masa de aire polar a -20º C.
(b) Es una masa de aire tropical a +20º C.
Constante de los gases para el aire seco Rd = 287 J kg−1 K−1.
La relación entre las presiones de los
puntos superior e inferior de la columna
de aire y las alturas que les corresponden
viene dada por la ecuación hipsométrica:
z
p 
g
 z2  z1 
ln 2   
p
R
T
d
 1
(a) Masa de aire polar  T = 273 – 20 = 253 K
z   z 2  z1   
Rd T  p2 
287 · 253  700 
ln   
ln
  2643 m
9.80
g
 1000 
 p1 
(b) Masa de aire tropical  T = 273 + 20 = 293 K
z   z 2  z1   
Rd T  p2 
287 · 293  700 
ln   
ln
  3061 m
9
.
80
1000
g
p


 1
p2  700 HPa
z2
p2
z1
p1
p
p1  1000 HPa
La masa de aire polar, a menor
temperatura, es más densa. Por
eso la diferencia de altura entre
dos presiones dadas es menor
en la masa polar que en la
tropical.
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Ecuación hipsométrica
P3. Espesor de capas de aire entre presiones dadas. Influencia de la humedad  temperatura virtual
Calcular el espesor de una masa de aire entre los niveles de presión de 900 HPa y 800 HPa suponiendo que:
(a) Es una masa de aire seco a 20º C.
(b) Es una masa de aire húmedo a 20º C con una humedad específica de 10 g·kg-1.
Constante de los gases R = 8,314 J mol−1 K−1. Aire seco: Md = 28.93 g mol−1 ; vapor agua MV = 18 g mol−1
La relación entre las presiones de los
puntos superior e inferior de la columna
de aire y las alturas que les corresponden
viene dada por la ecuación hipsométrica:
p 
g
 z2  z1 
ln 2   
p
R
T
d
 1
(a) Masa de aire seco  T = 273 + 20 = 293 K
Constante gas ideal aire seco  Rd 
z   z 2  z1   
R
8.314

 287 J kg 1 K 1
3
M d 28.97 ·10
(b) Masa de aire húmedo  T = 273 + 20 = 293 K y q = 10 g·kg-1
 1
z2
p2
z1
p1
p
Concepto de temperatura virtual:
la temperatura virtual de una
masa de aire húmedo es la
temperatura a la cual una masa de
aire seco a la misma presión
tendría igual densidad que la
masa de aire húmedo.

Temperatura virtual  Tv  1  q  1 T  1  0.61q T
  

La constante  es el cociente entre
la masa molecular del agua y la
masa molecular del aire seco 
p2  800 HPa
p1  900 HPa
287 · 293  800 
Rd T  p2 
ln
ln   
  1012 m
9.80
g
 900 
 p1 

z

Mv
 0.622
Md
Utilidad: la ecuación hipsométrica
se puede escribir tal y como la
hemos deducido anteriormente si
sustituimos en ella la temperatura
5
T por la temperatura virtual Tv.
Ecuación hipsométrica
P3. Espesor de capas de aire entre presiones dadas. Influencia de la humedad  temperatura virtual (cont)
Calcular el espesor de una masa de aire entre los niveles de presión de 900 HPa y 800 HPa suponiendo que:
(a) Es una masa de aire seco a 20º C.
(b) Es una masa de aire húmedo a 20º C con una humedad específica de 10 g·kg-1.
Constante de los gases R = 8,314 J mol−1 K−1. Aire seco: Md = 28.93 g mol−1 ; vapor agua MV = 18 g mol−1
(b) Continúa. Masa de aire húmedo  T = 273 + 20 = 293 K y q = 10 g·kg-1

 1 
Temperatura virtual  Tv  1  q  1 T  1  0.61q T
  

Tv  1  0.61· 0.01 293  294.8 K
Una vez calculada la temperatura virtual  aplicamos la
ecuación hipsométrica sustituyendo en ella la temperatura
virtual en lugar de la temperatura del aire.
z   z 2  z1   
Rd Tv  p2 
ln    287 · 294.8 ln 700   1018 m
g
9.80
 p1 
 800 
La diferencia de altura entre los mismos niveles de presión
es mayor en el caso del aire húmedo que en el aire seco
porque el aire húmedo es menos denso que el aire seco
(comparar los 1018 m del resultado del apartado a con los
1012 m del apartado b).
z
p2  800 HPa
z2
p2
z1
p1
p
p1  900 HPa
Concepto de temperatura virtual:
la temperatura virtual de una
masa de aire húmedo es la
temperatura a la cual una masa de
aire seco a la misma presión
tendría igual densidad que la
masa de aire húmedo.
Utilidad: la ecuación hipsométrica
se puede escribir tal y como la
hemos deducido anteriormente si
sustituimos en ella la temperatura
6
T por la temperatura virtual Tv.