Download Ley de Bode - DAS UChile

Universidad de Chile
Facultad de Ciencias Físicas
y Matemáticas
Departamento de Astronomía
Escuela de Verano 2014
Historia del Sistema Solar
Profesor: José Maza Sancho
15 de Enero 2014
Resumen
El Calendario
 El radio terrestre
 Modelo Geocéntrico de Ptolomeo
 Modelo heliocéntrico de Copérnico
 Tycho, Kepler y Galileo

El Calendario.
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La unidades básicas de medición del
tiempo han sido:
1 día = 24 horas.
1 mes lunar (fases) = 29,53 días
1 año trópico = 365,2422 días
El calendario es la forma de reconciliar
estas tres medidas de tiempo.
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El mes lunar se dividió en cuatro cuartos de 7
días cada uno que se llamó semana.
Los cinco planetas históricos más la Luna y el
Sol formaban un grupo de siete cuerpos
celestes que influenciaban cada hora del día.
Partiendo de Saturno, el más lejano dominaban
en forma consecutiva hasta la Luna.
Cada día recibió el nombre del cuerpo celeste
que tiene influencia en la primera hora.
Así, después del día de Saturno viene el día del
Sol, el de la Luna, Marte, Mercurio, Júpiter, y
Venus.
Sucesión de los días de la semana.
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La mayoría de los calendarios se estructuraron
en base a meses lunares.
En ellos se alternaban meses de 29 y de 30 días.
Doce meses lunares de 29,5 días promedio
forman 354 días, 11 y un cuarto días menos que
un año.
El antiguo calendario romano empezaba en
marzo y terminaba en febrero.
Los meses alternaban 29 y 30 días.
Cada dos años se intercalaba un mes extra de
22 días en el mes de febrero.
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
Al crecer el imperio se hizo necesario
establecer un calendario que tuviese
reglas fijas y conocidas.
Julio Cesar, con el consejo de el
astrónomo Sosígenes, decidió abandonar
“la parte lunar del calendario”
distribuyendo los 11 días extra entre los
doce meses.
Los meses de 29 y 30 pasaron a 30 y 31
días.
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
Julio Cesar además agrega un día extra al mes
de febrero cada cuatro años.
Ese año de 366 días se lo llama bisiesto.
El largo del año juliano es de:
(365+365+365+366)/4 = 365,25 días
El senado romano le cambió el nombre al quinto
mes del año (Quintilis) por el de Julio.
Para que el equinoccio de primavera ocurriera
en marzo Julio Cesar hizo que el año 46 antes
de Cristo (en realidad el año 708 desde la
fundación de Roma) tuviese 445 días (fue
llamado año de la confusión).
Julius Cæsar
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Augusto, dos décadas después de Julio Cesar,
tuvo que ordenar la aplicación del calendario, al
cual se le intercalaban años bisiestos cada tres
años en lugar de cada cuatro.
El Senado Romano decidió ponerle el nombre
de Augusto al sexto mes del año (Sixtilis).
A fin de que el mes de Augusto no fuese menos
que el de Julio el senado subió a 31 días a
Agosto y bajó a septiembre (el séptimo) y a
noviembre (el noveno) a 30 y subió a octubre (el
octavo) y a diciembre (el décimo) a 31 días.
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El día extra que se agregó a Agosto se le
quitó a Febrero, bajando de 29 a 28 días,
salvo en los años bisiestos que sube a 29.
El calendario Juliano tiene un error por
exceso de 11 minutos 14 segundos por
año.
El calendario Juliano acumula un error de
1 día cada 128 años.
La aplicación sistemática del calendario
Juliano hasta fines del siglo XVI introdujo
un error de 10 días en el calendario.
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
En el año 525 de nuestra era el abad de Roma
Dionisio el Exiguo introdujo la costumbre de
contar los años desde el nacimiento de Cristo.
Dionisio definió que el año 754 desde la
fundación de Roma sería el año 1 después de
Cristo y el año 753 el año 1 antes de Cristo (no
consideró el cero en la cronología).
Dionisio basó su equivalencia en una
interpretación errónea de una fuente histórica y
por ello Cristo nació el año 4 antes de Cristo
(más claro, Cristo nació en el año 750 después
de la fundación de Roma, no en el 754).
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En el 325 el Concilio de Nicea fijó que la
Semana Santa se celebraría el fin de semana
siguiente a la primera luna llena que ocurre
junto con o inmediatamente después del
equinoccio de primavera.
En esa época el equinoccio ocurría el 21 de
Marzo.
Con ello se fijó la Semana Santa para la primera
luna llena después del 21 de marzo.
El papa Gregorio XIII, después del Concilio de
Trento de 1563, decidió abordar la reforma del
calendario.
Recibió consejos de los astrónomos Luigi Lilio y
de Cristobal Clavius.
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El año trópico tiene 365 días 5 horas 48 minutos
y 46 segundo.
El calendario juliano produce un año promedio
de 365 días y 6 horas, 11 minutos y 14
segundos más largo que el año.
El año trópico tiene 365,2422 días.
La reforma gregoriana elimina 3 años bisiestos
en un período de 400 años.
En 400 años hay 97 años bisiestos
97/400 = 0,2425 fracción mejorada sobre el 0,25
del calendario Juliano.
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El 24 de Febrero de 1582 se dictó la bula Inter
Gravissimas en que el papa Gregorio XIII dicta
la reforma del calendario.
Al jueves 4 de octubre de 1582, le siguirá el
viernes 15 de octubre (se eliminaron 10 días del
calendario).
Se suprimen como bisiestos los años
terminados en doble cero, excepto que sean
divisibles por 400.
El equinoccio de primavera había ocurrido el 11
de marzo de 1582 y pasó al 21 de marzo en
1583.
Pope Gregory XIII


El calendario Gregoriano todavía es más largo
que el año trópico pero acumula un error de un
día en 3,314 años, mucho mejor que los 128
años del calendario Juliano.
Como el calendario Gregoriano se formuló en
1582 acumulará un día de error en el año 4896,
demasiado lejano para preocuparnos hoy.
El Radio Terrestre.
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El modelo de una Tierra plana prevaleció por
mucho tiempo.
Pitágoras empezó a enseñar que la Tierra es
esférica.
Aristóteles, en el siglo IV a.C. señala las
razones para aceptar una Tierra esférica y le
atribuye un radio un 50% muy grande.
En el siglo IIIa.C. el alejandrino Eratóstenes
midió el radio de la Tierra.
Método de Eratóstenes.
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Eratóstenes se dio cuenta que cuando el Sol
cruza por el cenit de Siena sólo llega a 7,2
grados del cenit de Alejandría.
En un ejemplo en Chile podemos decir que el
Sol pasa por el cenit de Cerro Moreno en
Antofagasta y a unos 7 grados de Ovalle.
Eratóstenes atribuyó esto a que la vertical de
Siena y Alejandría no coincidían sino que
formaban un ángulo de 7,2 grados en el centro
de la Tierra.
Eratóstenes midió la distancia entre Siena y
Alejandría, obteniendo 5,000 estadios.
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Como 7,2 grados es 1/50 del círculo,
Eratóstenes dedujo que el perímetro terrestre es
de 250.000 estadios.
Posteriormente aumentó el valor a 252.000
estadios para que hubiese 700 estadios por
grado.
Desgraciadamente no sabemos el valor del
estadio de Eratóstenes; si fuese de 157,5
metros el valor sería excelente (tendría un error
menor al 1%).
El estadio podría haber tenido 185 metros o 210
metros lo que haría al valor de Eratóstenes
tener un error de hasta un 30%.
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En el año 230 a.C. Eratóstenes midió un
valor del radio terrestre que está muy
cerca del real.
Radio terrestre ecuatorial: 6.378.140 m.
Radio terrestre polar:
6.356.755 m.
Radio medio [(a2b)1/3]
6.371.004 m.
1 grado equivale a
111,1 kilómetros.
Universo Geocéntrico de
Ptolomeo.
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Según Platón los cuerpos celestes se mueven
con movimientos circulares uniformes.
El universo está centrado en la Tierra inmovil
alrededor de la cual gira la Luna, el Sol y los
planetas.
Las estrellas están en una esfera cristalina que
gira en torno a la Tierra cada 24 horas,
arrastrando a todos los cuerpos celestes en el
movimiento diurno.


Hiparco, en el siglo II a.C. estudió el
movimiento del Sol y la Luna.
Hiparco propuso para los planetas que su
movimiento se podía representar
mediante círculos excéntricos o utilizando
epiciclos y deferentes.
Epiciclo y deferente
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En el siglo II d.C. Claudio Ptolomeo
escribió el ALMAGESTO.
Ahí da a conocer su teoría geocéntrica del
Universo.
Ptolomeo subestima la distancia al Sol en
un factor 20.
Supone que lo más lejano en el universo
no dista de la tierra más de 20 veces la
distancia al Sol.
El punto ecuante está entre lo más
significativo de Ptolomeo.
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Ptolomeo sitúa a la Tierra excéntrica en el
epiciclo de los planetas.
El punto ecuante es el simétrico de la
Tierra con respecto al centro del epiciclo.
El centro del deferente se desplaza con
velocidad angular constante con respecto
al punto ecuante
El Universo pequeño, geocéntrico y
geoestático de Ptolomeo perduró por
14 siglos!
 La gran revolución en astronomía la
introdujo Nicolás Copérnico, en
1543.
 El Imperio Romano y la larga Edad
Media no aportaron cosas
significativas al desarrollo de la
astronomía.

Nicolás Copérnico (1473-1543)
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
En 1543 Nicolás Copérnico propone una
teoría que sitúa al Sol en el centro del
Universo.
La Tierra rota en 24 horas y se traslada
alrededor del Sol en un año.
Para que la traslación terrestre no
introduzca paralaje en las estrellas fijas
Copérnico las sitúa a 2.000 unidades
astronómicas.
El Universo de Copérnico es a lo menos
cien veces más grande que el de
Ptolomeo, en diámetro.
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Copérnico continúa utilizando epiciclos y
deferente.
Los métodos matemáticos de Copérnico
son iguales que los de Ptolomeo (sólo
geometría).
La teoría de Copérnico tiene problemas
con la física de la época, pero puso a la
astronomía en la senda correcta.
Copérnico abrió las puertas a Tycho
Brahe, Kepler, Galileo y Newton.
Tycho Brahe (1546-1601)
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El danés Tycho Brahe se dió cuenta que
la única manera de distinguir entre
Ptolomeo y Copérnico era a través de
mejores observaciones.
Tycho construyó instrumentos
astronómicos muy superiores a los de sus
predecesores.
Estableció un observatorio en la isla de
Hven, llamado Uraniborg.
Tycho por dos décadas observó el planeta
Marte y un conjunto de estrellas.
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Al perder el favor del Rey de Dinamarca
Tycho abandonó su observatorio.
Hacia el final de su vida Tycho se traslada
a Praga donde contrató a Kepler como su
ayudante.
En octubre de 1601 murió Tycho en Praga.
La excelentes observaciones de Tycho
permitieron al talentoso Kepler encontrar
las leyes del movimiento planetario.
Johannes Kepler (1571-1630)
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
Johannes Kepler, gran astrónomo y
matemático alemán se fue a Praga como
ayudante de Tycho Brahe en 1600.
Al morir Tycho Kepler hereda el puesto de
matemático imperial de Rodolfo II en
Praga.
Tycho le asignó a Kepler el estudio del
movimiento de Marte en el cielo.
Kepler, copernicano convencido, se
dedicó a calcular la órbita de Marte en
torno al Sol.
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Kepler calculó primero una órbita excéntrica
para la Tierra.
Luego calculó la mejor órbita excéntrica para
Marte.
No pudo hacer coincidir las observaciones y sus
cálculos dentro de límites menores que 8
minutos de arco.
Kepler tuvo la visión de no aceptar esas
discrepancias como “errores de observación”.
Calculó la velocidad de Marte en su órbita
llegando a la conclusión que el radio vector que
une a Marte y al Sol barre áreas iguales en
tiempos iguales.
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
Kepler se dedica entonces a ver la forma
que debe tener la órbita y llega a la
conclusión que el diámetro de la órbita es
mayor a lo largo de las ápsides que
perpendicular a él.
Empieza a probar con figuras ovaladas
pero no cumplen la ley de las área.
Finalmente se da cuenta que una de las
figuras ovales más simples, la elipse,
cumple la ley de las áreas y ajusta
perfectamente a las observaciones.
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

En 1609, en su libro Astronomia Nova,
Kepler da a conocer las primeras dos
leyes del movimiento planetario:
Primera Ley: Las órbitas planetarias son
planas. El Sol está en el plano de la órbita.
La trayectoria del planeta respecto del Sol
es una elipse de la cual el Sol ocupa uno
de sus focos.
Segunda Ley: El radio vector que une el
Sol y el planeta barre áreas iguales en
tiempos iguales.
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
En 1619 Kepler publica su libro
Harminices Mundi donde presenta la
tercera ley del movimiento planetario:
Tercera Ley: Los cuadrados de los
períodos de revolución son proporcionales
a los cubos de los semi-ejes mayores.
Kepler aplica sus leyes a las órbitas de
todos los planetas, incluyendo la Tierra y
la Luna.
Galileo Galilei (1564-1642)
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
Galileo Galilei, contemporáneo de Kepler
Construye el primer telescopio en 1609 y
hace un gran número de descubrimientos:
Descubre los cráteres y las montañas de
la Luna.
Descubre las fases de Venus.
Descubre 4 satélites de Júpiter: Io,
Europa, Ganímedes y Calixto.
Las manchas solares.
El “cuerpo triple” de Saturno.

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
Galileo descubre las leyes de la caída
libre.
Galileo abre la ciencia moderna al
preguntar cómo en lugar de porqué.
Galileo sienta las bases de la mecánica
terrestre mientras Kepler legislaba los
movimientos celestes.
Con Kepler y Galileo estaba pavimentado
el camino para Newton.
Satélites de Júpiter
Isaac Newton (1643-1727)



Isaac Newton (1643-1727) en su magistral
libro Principia Matematica de 1687
establece las bases de la mecánica y la
ley de gravitación universal.
Dos masas se atraen con una fuerza
proporcional a sus masas e inversamente
proporcional al cuadrado de sus distancias.
La ley de gravitación universal puede ser
deducida de la tercera ley de Kepler.

Pero por la tercera ley de Kepler:
P µr
2
3

Por lo tanto:
1
r
r
Fµ 2 = 3 = 2
r
r
P
1
\F µ 2
r

A partir de la ley de Newton se puede
deducir la forma general de la tercera ley
de Kepler.
2
1 1
mv
m1m2
=G 2
r1
r
2
2 2
mv
m1m2
=G 2
r2
r

Pero:
2pr1
v1 =
P
2pr2
v2 =
P

Por lo tanto:
4p r
Gm2
= 2
Pr
r
2 2
1
2
1
4p r
Gm1
= 2
Pr
r
2 2
2
2
2

Sumando ambas ecuaciones:
4p
G
r + r2 ) = 2 ( m1 + m2 )
2 ( 1
P
r
\
2
4p r = G( m1 + m2 ) P
2 3
2
Forma General de la Tercera Ley de Kepler

Tercera ley de Kepler:
4p r = G( m1 + m2 ) P
2 3
2




La forma general de la tercera ley de
Kepler sirve para calcular las masas.
Escribiendo la tercera ley para la órbita de
la Luna alrededor de la Tierra y para la
órbita de la Tierra alrededor del Sol se
puede determinar la masa del Sol en
masas terrestres.
La masa del Sol es 330.000 veces mayor
que la masa de la Tierra.
La masa de la Tierra es 81 veces la masa
de la Luna.



La distancia Tierra Sol se define como la
Unidad astronómica de distancia que
corresponde a 149.600.000 km.
El radio del Sol es de 696.000 km
Esto equivale a 109 veces el radio
terrestre.
Tamaños de la Tierra y el Sol.
Ley de Bode:


La gran separación existente entre la órbita de
Marte y de Júpiter llamó la atención de los
astrónomos desde los tiempos de Copérnico.
Kepler había utilizado el tetraedro para
representar ese gran espacio (por ser el
poliedro regular con una mayor razón entre el
radio de la esfera circunscrita y la esfera
inscrita).


Kepler llegó a sugerir la existencia de un
planeta desconocido en esa gran laguna
entre Marte y Júpiter.
En su búsqueda de la armonía en el
sistema solar Kepler llegó a la tercera ley
del movimiento planetario, que relaciona
semi-ejes mayores y períodos de
revolución, pero no encontró la “armonía”
de los semi-ejes entre sí.


En el siglo XVIII el alemán J. Daniel
Titius (1729-1796), profesor de física en
Wittenberg, encontró una relación
numérica que reproduce con una buena
aproximación los semi-ejes mayores de
las órbitas planetarias.
La publicó en 1772 en una nota a pie de
página en un libro que tradujo.



Esta serie pasó inadvertida hasta que
Johan Elert Bode (1747-1826), director
del Observatorio de Berlín, la dio a
conocer en 1778
ahora es referida como la “ley de TitiusBode”, o simplemente como ley de Bode,
doble error pues no es una “ley” ni
tampoco es de Bode.

Partiendo de una sucesión formada por el
número 0 y los términos de una
progresión geométrica de razón 2 y primer
término 3 (0, 3, 6, 12, 24, 48, 96, 192, 384,
...), si le agregamos 4 a cada término y
luego dividimos por 10, resulta la serie:
0,4 0,7 1,0 1,6 2,8 5,2 10,0 19,6 38,8
...


Esta serie representa muy bien las
distancias de los planetas al Sol, desde
Mercurio hasta Saturno, empezando en
orden desde el primer término, pero
omitiendo el quinto.
[Las distancias media al Sol son: Mercurio
0,39; Venus 0,72; La Tierra 1,0; Marte:
1,52; Júpiter 5,20; Saturno: 9,54].
Planeta
Distancia
Ley de Bode
Mercurio
0,39
0,4
Venus
0,72
0,7
Tierra
1,0
1,0
Marte
1,52
1,6
????
2,8
Júpiter
5,20
5,2
Saturno
9,54
10,0
Planeta
Distancia
Ley de Bode
Mercurio
0,39
0,4
Venus
0,72
0,7
Tierra
1,0
1,0
Marte
1,52
1,6
????
2,8
Júpiter
5,20
5,2
Saturno
9,54
10,0
Urano
19,18
19,6
URANO


William Herschel en marzo de 1781,
mientras patrullaba el cielo con su
telescpio descubrió el planeta URANO.
Pensó que se trataba de un nuevo cometa
pero resultó ser una planeta 4 veces
mayor que la Tierra.


Observaciones del planeta Urano llavaron
a calcular una órbita que permitió
descubrir observaciones de Urano,
hechas antes del descubrimiento, tan
antiguas como 1690.
Con todas las observaciones de Urano
disponibles se veían anomalias en el
movimiento de cuerpo celeste que era un
misterio al empezar el siglo XIX.



En 1846 el astrónomo francés Urbain
Leverrier calculó la posición de un
hipotético planeta más allá de Urano.
El 23 de Septiembre de 1846 el
astrónomo alemán Johann G. Galle
descubrió el planeta Neptuno a un gardo
de la predicción de Leverrier.
Neptuno es un mellizo del Urano, 4 veces
mayor que la Tierra con una masa 17
veces mayor que ella.




El millonario norteamericano Percival
Lowell se obsecionó con el planeta Marte
y con un planeta más allá de Neptuno.
Funda el Observatorio Lowell para
estudiar Marte y buscar un nuevo planeta.
En 1930, el astrónomo norteamericano
Clyde Tombaugh descubre Plutón.
En 2006 la IAU en Praga degradó a Plutón
a la categoría de planeta enano.