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2. KEPLER: LAS LEYES PLANETARIAS
Una herencia maravillosa
Johannes Kepler (1571-1630) ingresó en la universidad de
Tübingen en 1589. Allí estudió matemáticas con el profesor Michael
Maestlin (1550-1630), de quien adquirió los elementos de la astronomía matemática y la primera noticia de la obra de Nicolás Copérnico (1473-1543). Convencido de la verdad del sistema heliocéntrico,
se propuso en seguida hallar las claves de la armonía divina del sistema solar a impulsos de su profunda religiosidad. Kepler primero
trató sin éxito de explicar los tamaños de las sucesivas órbitas empleadas por Copérnico, inscribiéndolas en polígonos regulares. Pasó
a ensayar con poliedros en lugar de figuras planas y descubrió, llevado de su inspiración mística, que con los cinco poliedros regulares
asociados por el filósofo Platón a los cinco elementos naturales (fuego, aire, tierra, éter y agua), podían definirse los intervalos entre las
órbitas de los seis planetas conocidos. Creyendo que la validez de su
teoría se confirmaría con observaciones más precisas que las de
Copérnico, Kepler se dirigió al famoso astrónomo Tycho Brahe, y en
1600 logró finalmente emplearse como su asistente en Praga. Pero
Tycho, de carácter receloso y difícil, solo accedió a dejarle trabajar
con sus observaciones de Marte, consciente de asignarle la tarea
más difícil. Tycho falleció un año después, con lo que la totalidad de
los datos, acumulados durante treinta años de meticuloso trabajo,
paso providencialmente a manos de Kepler, el hombre mejor dotado
para extraer todo su valor.
Una órbita intratable
La astronomía clásica se basaba en el prejuicio metafísico de
que los cuerpos celestes solo podían girar en círculos perfectos a
velocidad uniforme, pero estaba claro que los datos observados de
las órbitas de los planetas no se adaptaban a esta hipótesis. Del cál-
culo de la velocidad angular de traslación de la Tierra, se podía asumir que la orbita fuera circular debido a su pequeña excentricidad,
pero con las órbitas de otros planetas las discrepancias de las observaciones eran importantes. Ante esta situación, Kepler se propuso
ignorar el dogma clásico y obtener directamente de los datos observados algún tipo de órbita no exactamente circular. Continuó con el
estudio de la órbita de Marte, cuyas discrepancias eran con mucho
las mayores de todos los planetas, consciente de que si podía resolver el caso de este planeta le sería posible determinar después la
forma de las órbitas de todos los demás. Primero se puso a buscar
la verdadera trayectoria marciana estudiando combinaciones de arcos de círculo mediante la geometría de Euclides, la única herramienta que él reconocía apropiada para el estudio de los cielos.
Tras intentar en vano ajustar los datos al clásico giro circular
referido a un punto excéntrico, encontró que la órbita resultaba más
bien oval Kepler probó entonces con la composición de dos movimientos circulares distintos: uno debido a la acción del Sol, variando
con la distancia, y otro propio del planeta, en rotación uniforme por
un imaginario epiciclo. La hipotética órbita resultante sería un ovoide,
comprendido en un círculo excéntrico normal excepto en los extremos. Que el copernicano Kepler acudiera incluso a componer la trayectoria del planeta al modo tolemaico, años después de haber
abandonado por completo la concepción de los epiciclos, da una idea
del grado de desconcierto al que había llegado en su “guerra marciana.
Figura 3
Después de largos y tediosos trabajos sobre la hipótesis del
epiciclo sin lograr resultados, acertó a detectar una congruencia numérica entre el exceso del círculo principal sobre la órbita verdadera
y el ángulo E descrito por la proyección vertical del planeta sobre el
círculo principal, llamado anomalía excéntrica (Figura 3). A partir de
este hallazgo y mediante complejas construcciones geométricas, Kepler halló su famosa ecuación
M = E – ε sen E,
siendo M la anomalía media o ángulo que recorre el planeta uniformemente por el círculo principal, ε la excentricidad elíptica (ε = FC/a
en la figura). La ecuación de Kepler no tiene solución fácil por ser
una ecuación trascendente, donde la incógnita E no se puede despejar en términos de funciones elementales. En su “Epitome”, publicado
en 1621, Kepler propuso para esta ecuación una solución iterativa, a
partir de valores de M basados en la velocidad angular media de
traslación del planeta. Las Tablas Rudolfinas que publicó Kepler más
tarde, destinadas a determinar las posiciones de los planetas, sus
longitudes celestes en un tiempo dado, estaban basada en esta
ecuación, es decir, en el cálculo de las anomalías excéntricas. Par-
tiendo de la anomalía excéntrica, Kepler halló también que para el
radio vector r, o distancia variable Sol – planeta se cumple que:
r = a + εa cos E
expresión que resulta ser una forma de la ecuación de la elipse, cuyo
foco está en el Sol, donde a es el semieje mayor y εa es la distancia
del Sol al centro de la órbita.
Leyes planetarias
De esta forma, tras cinco años de incesantes cálculos resolvió
Kepler al fin el gran problema del “planeta intratable” que en el pasado había doblegado al genio de Eudoxus y había sido el obstáculo
máximo de los astrónomos alejandrinos. La nueva teoría no sólo satisfacía las observaciones astronómicas anotadas, sino que ninguna
otra hipótesis podía comparársele, ya que cada alternativa propuesta
producía importantes diferencias, imposibles de achacarlas a errores
de observación. Al contrario que sus predecesores, Kepler no había
producido una mera hipótesis para “salvar las apariencias” y construir
tablas aproximadas del movimiento del planeta, sino que había hallado, por primera vez en la historia, la forma verdadera de la órbita en
el espacio. Cuando publicó "Astronomía Nova", en 1608, Kepler estableció una prueba geométrica rigurosa de que el punto típico que
había construido, es decir el foco ocupado por el Sol, satisfacía la
propiedad de proporción que define una elipse. Basado en la solidez
de sus razonamientos, Kepler pudo más tarde generalizar, estableciendo lo que se conoce como su primera ley del movimiento planetario: Todos los planetas se mueven por órbitas en forma de elipse,
en uno de cuyos focos se encuentra el Sol.
En la "Astronomía Nova", Kepler incluye también su descubrimiento de que, en la órbita elíptica planetaria, el radio vector del planeta recorre áreas iguales en tiempos iguales. Esta ecuación se conoce como su segunda ley aunque la descubrió antes que la primera,
puesto que aplicó la ley de las áreas para deducir la ecuación de la
anomalía excéntrica. Convencido de que la causa del movimiento de
los planetas era una fuerza magnética procedente del Sol, Kepler
dedujo que la velocidad a lo largo de la órbita debía ser inversamente
proporcional a la distancia y, en consecuencia, el corto tiempo que el
planeta tarda en pasar por un arco muy pequeño de la órbita sería
proporcional al radio vector. De ahí estimó que la suma de los tiem-
pos invertidos en recorrer la suma de diminutos arcos de un arco dado de la órbita sería proporcional a la suma de todos los radios vectores, y consideró equivalente esa suma al área del sector descrito por
el radio vector. De considerar así el tiempo invertido en describir un
arco de órbita proporcional al área del sector barrido, se desprende
que se hayan de barrer áreas iguales en tiempos iguales y, al ser los
arcos descritos en el perihelio mayores que en el afelio, que la velocidad en la órbita no sea uniforme, sino que sea máxima en la proximidad de perihelio y mínima en la proximidad del afelio (Figura 4).
Figura 4
En “Harmonice Mundi”, publicado en 1619 después de otros
diez años de trabajo, Kepler extendió a los otros planetas las dos
leyes, que había probado primero para Marte. Poco antes de finalizar
esta obra, Kepler descubrió la tercera ley que lleva su nombre: Los
cuadrados de los periodos (T) de revolución alrededor del Sol de los
planetas son proporcionales a los cubos de sus distancias medias al
Sol (a):
T2/a3 = K
siendo K una constante dependiente exclusivamente del Sol i .
Éste era el lazo final entre la velocidad de los planetas y su
distancia al Sol que Kepler había estado buscando desde el principio
de su carrera. No dedujo esta ley clave de la dinámica planetaria
mediante una secuencia de razonamientos matemáticos, como con
las dos leyes anteriores. Siguiendo con paciencia y tenacidad método
de ensayo y error, hizo primero muchas series de comparaciones de
las velocidades instantáneas y de los periodos y las distancias de los
distintos planetas, pero sin conseguir hallar ninguna relación notable.
Ensayó finalmente comparaciones de potencias de estos números, y
encontró por fin que los de su tercera ley daban una adecuación empírica exacta. Las tres leyes de Kepler proporcionaron una solución
definitiva al antiguo problema de descubrir un sistema astronómico
que a la vez “salvara” las apariencias y describiera las verdaderas
trayectorias de los planetas a través del espacio.
i
La formulación actual, con la constante evaluada es:
T2 / r3 = 4 π2 / G M
donde r es el semieje mayor de la elipse, G, la constante universal de
gravitación y M la masa de la estrella.