Download SEGUNDA UNIDAD

UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO
COLEGIO DE CIENCIAS Y HUMANIDADES
ÁREA DE MATEMÁTICAS
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
5
10
15
20
25
30
GUÍA PARA PREPARAR EL EXAMEN EXTRAORDINARIO
DE ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD II
AUTORES
ÁNGEL SANDOVAL LEMUS
BLANCA CECILIA CRUZ SALCEDO
CARLOS ALBERTO GARCÍA ÁLVAREZ
CIRO PLATA MONROY
HÉCTOR GABRIEL RIVERA VARGAS
HUGO HERNÁNDEZ TERVETAHN
MAYO DEL 2006
UNIDAD I. DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD
Variable aleatoria
Es una función definida del espacio de resultados Ω de un fenómeno aleatorio, a los números reales y
se expresa como sigue:
X :Ω
dominio de X
R
rango de X
Esta función no necesariamente es una función de variable
real, debido a que los elementos de Ω no necesariamente son
números, pueden ser objetos como: letras, símbolos o figuras,,
Ω = {águila, sol} o
por ejemplo, para la moneda
equivalentemente Ω = {a, s} .
Clasificación de variables aleatorias
Si una variable aleatoria X toma valores enteros, se llama variable aleatoria discreta ce que
Ejemplo: Se lanzan 3 monedas, observándose el número de soles. La variable aleatoria es el número de
soles y puede tomar valores entre 0 y 3.
Ejemplo: Se escogen tres artículos de un proceso de manufactura y se desea saber el número de
artículos defectuosos que se escogieron, ¿que valores puede tomar la variable aleatoria X? Solución: 0,
1,2 o 3 artículos defectuosos. La variable aleatoria X es discreta y su distribución de probabilidad es la
siguiente:
Ejemplo: De un grupo de 50 alumnos (23 mujeres y 27 hombres) de edades que varían entre 17 y 20
años, se escoge un alumno al azar observándose el género al cuál pertenece. ¿Que valores puede tomar
la variable aleatoria X? Solución: Masculino o Femenino. La variable aleatoria X es una variable
aleatoria discreta.
Ejemplo: Un profesor afirmó que las calificaciones de sus alumnos al final del semestre serían 5, 6.5,
7.8 ó 10. Si al final del curso se selecciona a un alumno de dicho profesor observándose su calificación
final, ¿Que valores puede tomar la variable aleatoria X? Solución: 5, 6.5, 7.8 ó 10. La variable aleatoria
X es una variable aleatoria discreta.
Ejemplo: En una fábrica de chocolates se seleccionaron 100 de sus productos para sumar sus
respectivos pesos en gramos y obtener un promedio y con esto llevar un cierto control de calidad.
¿Cuáles son los posibles valores de la variable aleatoria de interés?
Solución: Los posibles valores de la variable aleatoria X son todas las x>0.
Ejercicios de distribuciones de probabilidad de variable aleatoria discreta
1. Verifica si las siguientes expresiones son funciones de probabilidad. En caso negativo, conviértela en
función de probabilidad. Forma la distribución de probabilidades y bosqueja un histograma.
2
a) P ( x) =
5− x
10
para x = 1, 2, 3, 4.
b) Q ( x) =
x² − 1
50
para x = 2, 3, 4, 5.
c) S ( x) =
6− x−7
36
para x = 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12.
2. Encuentra la distribución de probabilidad para el número de discos de jazz, cuando se eligen al azar
cuatro discos de una colección que consta de cinco discos de jazz, dos discos de rock y tres discos de
polkas. Expresa los resultados a través de una fórmula.
3. Encuentre el valor de k para que la siguiente tabla represente una distribución de probabilidad de la
v. a. d. X
X
1
3
5
P(X)
k
2k
0.5k
Solución. k = 2 / 7
4. Se tiene una urna con 11 papelitos y se selecciona 1 papelito de manera aleatoria: Se define la
variable aleatoria X de la siguiente manera:
⎧ multiplicar por 2 al número obtenido en el papelito si es impar y primo
⎪
X = ⎨restar 4 al número obtenido en el papelito si es solamente impar
⎪multiplicar por 1.5 al número obtenido en el papelito en cualquier otro caso
⎩
Obtenga la distribución de probabilidad de la variable aleatoria X.
Solución:
X
-3
3
5
6
9
10
12
14
15
22
P(X)
1
11
1
11
1
11
2
11
1
11
1
11
1
11
1
11
1
11
1
11
5. Se selecciona de manera aleatoria una pelota de una urna que contiene 1 pelota verde con el número
2, 1 pelota azul con el número 2 y una pelota roja con el número 3. Se define a la variable aleatoria X
como: sumar 2 al número de la pelota seleccionada si ésta es verde y sino es verde multiplicar por 2 al
número de la pelota seleccionada. Obtenga la distribución de probabilidad de la variable aleatoria X.
3
Solución:
X
P(X)
4
2/3
6
1/3
Ejercicios de esperanza matemática y varianza de una variable aleatoria discreta.
1. Se tiene la siguiente distribución de probabilidad:
X
1
3
P(X) 0.25 0.25
5
0.50
Obtenga la esperanza matemática de la variable aleatoria X y su desviación estándar
Recuerde que la esperanza matemática es: μ = E(X) = ∑ X i P(X i )
y que la desviación estándar es:
σ = E(X 2 ) − μ 2
Por lo tanto:
E (X) = (1)(0.25) + (3)(0.25) + (5)(0.5)
= 0.25 + 0.75 + 2.5
= 3.5
σ = (12 )(0.25) + (3 2 )(0.25) + (5 2 )(0.5) − (3.5) 2
= 0.25 + 2.25 + 12.5 − 12.25
= 2.75
= 1.6583
Recuerde que la varianza en este caso sería igual a 2.75.
2. Un señor apuesta $5 pesos al número 3 al lanzar un dado corriente, y pierde $2 en caso de no
observar el número 3 en el dado, ¿cuál es el valor esperado del juego? ¿ Y cuál es la varianza de la v. a.
X?
Solución. Construya la distribución de probabilidad de la v. a. X. Y obtenga que
E(X) = -5/6 y
σ 2 = 245 / 36
4
3. Se tiene la siguiente distribución de probabilidad
X
P(X)
5
7.5
10
0.40
0.10
0.50
Obtenga E ( X ) y σ . Solución. E (X ) = 7.75 y σ = 5.5625
4. Al invertir en unas acciones financieras, una persona puede lograr una ganancia de $4000 en un año
con probabilidad de 0.3 o bien tener una pérdida de $1000 con una probabilidad de 0.7. ¿Cuál sería la
ganancia esperada de esta persona? Solución: $500
5. A un trabajador de un establecimiento de lavado de automóviles se le paga según el número de autos
que entran al servicio. Suponga que las probabilidades son 1/12, 1/12, 1/4, 1/4, 1/6 y 1/6,
respectivamente, de que el trabajador reciba $7, $9, $11, $13, $15 ó $17 entre las 16:00 y las 17:00
horas, en cualquier viernes de la semana. Determina las ganancias del trabajador para este periodo en
particular. Solución: $12.67.
6. Un trabajador piensa que las probabilidades de conseguir aumento salarial son: 0.40, 0.30, 0.20 y
0.10 de $1.50 por hora, un aumento de $1.00 por hora, un aumento de 50 centavos por hora o ningún
aumento, respectivamente. ¿Cuál es su aumento esperado? Solución: $1.00
Problemas de Distribución Binomial
1.- La proporción de estudiantes que reciben la calificación C es de 0.7, se toma una muestra aleatoria
de 10 estudiantes. ¿Cuál es la probabilidad de que haya 6 estudiantes con esa calificación en la
muestra?
Solución:
Se define al éxito como la de observar C de calificación con p = 0.7
Se realizarán 10 ensayos Bernoulli, por lo tanto n = 10
Utilizando la fórmula de la distribución binomial tenemos:
P( X = x) = C (n, x)(0.7) x (0.3) n − x
P( X = 6) = C (10,6)(0.7) 6 (0.3)10−6
P( X = 6) = 210(0.7) 6 (0.3) 4
P( X = 6) = 0.2001
2. Margarito es un jugador de básquetbol que acierta el 60 % de sus tiros libres, ¿Cuál es la
probabilidad de que acierte 2 de sus 3 próximos lanzamientos?
5
Solución:
Se define al éxito como acertar en el lanzamiento con p = 0.60
Se observarán los próximos 3 lanzamientos, por lo tanto n = 3
Utilizando la fórmula de la distribución binomial tenemos:
P( X = x) = C (n, x)(0.6) x (0.4) n − x
P( X = 2) = C (3,2)(0.6) 2 (0.4) 3− 2
P( X = 2) = 3(0.6) 2 (0.4)
P( X = 2) = 0.432
3. Se sabe que el 45% de los nacimientos en México son niñas, Si se observan los próximos 6
nacimientos, ¿Cuál es la probabilidad de que ...
a) por lo menos 4 sean varones?
b) por lo menos 2 sean mujeres?
Solución:
Se define al éxito como la de observar niña en un nacimiento con p = 0.45
Se observarán los próximos 6 nacimientos, por lo tanto n = 6
a)
P( X ≤ 3) = P( X = 0) + P( X = 1) + P( X = 2) + P( X = 3)
P( X = 0) = C (6,0)(0.45) 0 (0.55) 6−0 = ______
P( X = 1) = ______
P( X = 2) = 0.27795
P( X = 3) = ______
Usted realizará las operaciones necesarias para llegar al resultado de 0.74474
b)
6
P ( X ≥ 2) = ?
Sabemos que :
P(X ≥ 2) + P(X < 2) = 1
Entonces :
P ( X ≥ 2) =
= 1 − P ( X < 2)
= 1 − [P(X = 0) + P(X = 1)]
= 1 − [0.02768 + ________ ]
= 0.9114
2.- Se afirma que un procedimiento terapéutico nuevo es exitoso en el 80% de las veces. Si la terapia se
realiza 5 veces y si suponemos que los resultados son independientes entre sí, ¿Cuál es la probabilidad
de que:
a) las 5 terapias son exitosas? Sol. 0.3277
b) Que al menos tres sean exitosas? Sol. 0.94208
3.- La probabilidad de que un paciente se recupere de una enfermedad mental es de 0.4. Si se sabe que
15 personas han presentado dicha enfermedad, ¿Cuál es la probabilidad de que:
a) se recuperen exactamente 5? Sol. 0.1859
b) ninguna se recupere? Sol. 0.00047
4.- La tasa de desempleo en cierta ciudad es de 8.7%. Se selecciona una muestra de 10 ciudadanos.
¿Cuál es la probabilidad de que la muestra contenga:
a) 3 o menos desempleados? Sol. 0.9922
b) a ningún desempleado? Sol. 0.4024
5.- La proporción de fumadores en una ciudad es del 30%. Se toma una muestra aleatoria de tamaño
11. ¿Cuál es la probabilidad de que la muestra :
a) no contenga fumadores? Sol. 0.0198
b) contenga exactamente 10? Sol. 0.00004547
6.-Considere que el 55% de los matrimonios que se quieren divorciar cambian de opinión después de
seguir ciertas terapias con un determinado psicólogo. Si 10 parejas que se quieren divorciar ven a dicho
psicólogo. ¿Cuál es la probabilidad de que cambien de opinión…
a) 4 de ellas? Sol. 0.1596
b) menos de 2? Sol. 0.0045
c) por lo menos 2? Sol. 0.9955
Obtención de áreas bajo la curva normal estándar
Ejemplos. Obtener el área bajo la curva normal estándar...
7
a) a la derecha de z = 1.04
P (Z > 1.04) = 0.1492
b) a la derecha de z = -0.96
P (Z>-0.96) = 1- 0.1685= 0.8315
c) a la izquierda de z = 2.46
P (Z<2.49) = 1-0.0069= 0.9931
d) a la izquierda de z = - 1.14
P (Z<-1.14) = 0.1271
e) entre z = 1 y z = 2.23
8
P (1 < Z < 2.23) = 0.1587-0.0129= 0.1458
f) entre z = -0.51 y z = 1.67
P (-0.51 < Z < 1.67) = 1 – 0.3050 – 0.0475
= 0.6475
g) entre z = -1.14 y z = -0.52
P(-1.14 < Z < -0.52) = 0.3015- 0.1271 = 0.1744
h) entre z = 0 y z = 2.45
P (0 < Z < 2.45) = 0.5 - .0071= 0.4929
9
Obtén las siguientes áreas bajo la curva normal estándar, recordando que:
•
el área total bajo la curva es igual a 1
•
existe simetría con respecto a la media ( por lo tanto 0.5 del lado izquierdo y 0.5 del lado
derecho )
Recuerda que se utilizará la tabla que proporciona el área de la cola, esto es:
Dibuje y obtenga el área bajo la curva normal estándar...
a) a la derecha de z = 2.11
Solución: 0.0174
b) a la izquierda de z = 1.2
Solución: 0.8849
10
c) a la derecha de z = -1.07
Solución: 0.8577
d) a la izquierda de z = -0.23
Solución: 0.4090
e) entre z = -1 y z = 1
Solución: 0.6826
f) entre z =-2.29 y z = -1.19
Solución: 0.106
g) entre z = 0 y z = 0.49
11
Solución: 0.1879
h) entre z = 1 y z = 2.13
Solución: 0.1421
Obtenga el correspondiente valor de z en cada una de las siguientes gráficas:
a)
b)
c)
12
d)
e)
f)
g)
h)
13
i)
i)
j)
Problemas de Distribución Normal
1.- Las puntuaciones en una prueba nacional de aprovechamiento tuvieron una distribución normal con
media de 540 y desviación estándar de 110.
a) Si la puntuación que obtuvo usted fue de 680. ¿ Que porcentaje de aquellos que tomaron la
prueba obtuvieron mayor calificación que usted?
Solución:
14
μ = 540
σ = 110
El área que representa la probabilidad deseada es:
Estandarizando:
z=
X−μ
σ
=
680 − 540
= 1.27
110
Por lo tanto, buscando en tablas el área correspondiente a la curva normal estándar es:
b) ¿Qué porcentaje obtuvo una puntuación entre 500 y 600?
Solución: P (500 ≤ X ≤ 600) = ?
El área que representa la probabilidad deseada es:
Estandarizando:
X−μ
500 − 540
= −0.36
σ
110
X − μ 600 − 540
Z=
=
= 0.55
110
σ
Z=
=
15
Una vez estandarizados los valores y utilizando las tablas, obtenemos:
Entonces, el área deseada es:
P (500 ≤ X ≤ 600) = 1 - 0.3594 - 0.2912 = 0.3494
b) ¿Qué porcentaje obtuvo una puntuación menor a los 455?
Solución:
Se desea saber la P( X < 455) = ?
El área que se muestra a continuación es el área que se requiere encontrar:
Estandarizando tenemos la siguiente gráfica:
Y por lo tanto el área deseada es 0.2206.
d) ¿Qué porcentaje obtuvo una puntuación entre 455 y 500?
En este último ejemplo, dejamos algunos espacios en blanco para que el alumno ejercite
llenándolos con el valor correspondiente. Deseamos encontrar el valor de:
P (500 ≤ X ≤ 600 )
El área que representa dicha probabilidad es:
16
Estandarizando:
X−μ
___ − 540
= −0.36
___
σ
X − μ 455 − ___
=
= _____
Z=
110
σ
Z=
=
= 0.1388.
Por lo tanto, el área deseada es 0.3594 A continuación se enlistan algunos ejercicios para que resuelva el alumno y compare sus resultados con
los que se proporcionan.
1.- Se sabe que los C. I. de cierta población rural de México se distribuye normalmente con media de
106 y varianza de 144.
a) Si se quiere seleccionar aleatoriamente a una persona de esta población, ¿ Cuál es la
probabilidad de que la persona elegida tenga un C. I. entre 100 y 112?
Solución. 0.383
b) Se sabe que los llamados “ genios “ obtienen las calificaciones más altas y que son el 0.5% de la
población , ¿ Cuál es el C. I. mínimo para que una persona sea considerada como “genio” ? Más
adelante se proporciona un ejercicio similar para que usted se base en él y obtenga la solución.
136.96
2.- Supóngase que las edades de los trabajadores de una gran industria están distribuidas normalmente
con una media de 50 años y una desviación estándar de 5 años.
a) ¿Cuál es el porcentaje de trabajadores cuyas edades están entre 50 y 52.5 años? Solución.
19.15%.
b) ¿Cuál es la probabilidad de que un trabajador cualquiera no sea mayor de 45 años? Solución.
0.1587
c) ¿Cuál es la probabilidad de que un trabajador cualquiera tenga entre 41 58 años? Solución.
0.9093
17
d) Si el 20% de los trabajadores son los más jóvenes, ¿ a que edad se les considera de esta
manera?
Solución. Se dará el procedimiento parcial para que usted obtenga la solución que se
proporciona:
Buscamos en tablas un área que se aproxime a 0.20 ( no busque z = 0.20), usted se dará cuenta
que el valor que más se aproxima es el área con valor de 0.2005 que corresponde al área a la
derecha de Z = 0.84, pero como el área que representa a los más jóvenes esta del lado
izquierdo de la media ( como se trata de la normal estándar el valor de la media es 0) entonces
este valor es negativo.
Continúe con el procedimiento para llegar a la solución de 45.8 años, que equivale a 45 años 9
meses y 22 días.
e) Si usted es trabajador de esa industria y su edad es de 47 años con 9 meses, ¿ que porcentaje de
los trabajadores es menor que usted? Solución. 32.64%
3.- En el CCH Naucalpan se sabe que la media de los promedios de calificaciones de los alumnos es de
7.32 con una desviación estándar de 2.5; si seleccionamos a un estudiante al azar, ¿Cuál es la
probabilidad de que este estudiante tenga un promedio...
a) mayor al 8? Solución 0.3936
b) Entre 6 y 7? Solución 0.1502
c) Se sabe que el 20% de los alumnos tiene un buen promedio, ¿cuál es el promedio mínimo para
considerarse como bueno? Solución 9.42
UNIDAD II. DISTRIBUCIONES MUESTRALES
CONCEPTO DE POBLACIÓN:
•
Es el conjunto completo de individuos u objetos que interesa a la persona que selecciona la muestra.
•
Es la colección de toda la posible información que caracteriza a un fenómeno. La población de interés
debe definirse cuidadosamente.
CONCEPTO DE MUESTRA:
18
Es un subconjunto seleccionado de una población.
CONCEPTO DE PARÁMETRO:
•
Un parámetro es una caracterización numérica de la distribución de manera que describe, parcial o
completamente, la función de densidad de probabilidad de la característica de interés.
•
Un parámetro es una característica numérica de una población, es un valor que describe a toda una
población.
CONCEPTO DE ESTADÍSTICO:
•
Un estadístico es cualquier función de las variables aleatorias que se observan en la muestra de
manera que esta función no contiene cantidades desconocidas.
•
Un estadístico es una característica numérica de una muestra.
CONCEPTO DE MUESTRA ALEATORIA:
Muestra que se obtiene de manera que cada una de las muestras posibles de un tamaño fijo tenga la misma
probabilidad de ser seleccionada.
DISTRIBUCIÓN MUESTRAL
Es una distribución de probabilidad donde la variable aleatoria es un estadístico.
TEOREMA DE LÍMITE CENTRAL
1. Si la población que se muestreo está distribuida de manera normal, la distribución de los valores
medios de la muestra estarán normalmente distribuidos respecto a todos los tamaños de muestra.
2. Si la población no es normal, la distribución de los valores medios de la muestra será
aproximadamente normal respecto a un tamaño de muestra grande.
19
EJERCICIOS DE LA UNIDAD1. DISTRIBUCIONES MUESTRALES.
1. Considera el conjunto de los números enteros impares {1, 3, 5, 7, 9}.
a) Haz una lista de todas las muestras de tamaño 2 que puedan ser seleccionadas de este
conjunto (muestreo con reposición).
Solución:
(1,1), (3,1), (5,1), (7,1), (9,1)
(1,3), (3,3), (5,3), (7,3), (9,3)
(1,5), (3,5), (5,5), (7,5), (9,5)
(1,7), (3,7), (5,7), (7,7), (9,7)
(1,9), (3,9), (5,9), (7,9), (9,9)
b) Construye la distribución de muestreo de las medias muestrales para muestras de tamaño 2
seleccionadas de este conjunto.
Las población de medias maestrales es:
12345
23456
34567
45678
56789
Por lo tanto:
x
P( x )
1
1
25
2
2
25
3 4 5 6 7 8 9
3 4 5 4 3
2 1
25 25 25 25 25 25 25
2. Considera el conjunto de siguientes números enteros pares {0, 2, 4, 6, }.
a) Haz una lista de todas las muestras de tamaño 2 que puedan ser seleccionadas de este
conjunto (muestreo con reposición).
Solución. Basándote en el ejercicio anterior, completa el procedimiento.
b) Construye la distribución de muestreo de las medias muestrales para muestras de tamaño 2
seleccionadas de este conjunto.
3. Utilizando como población los números enlistados en el directorio telefónico local, obtén
aleatoriamente 20 muestras de tamaño 3. De cada número toma los dígitos cuarto, quinto y sexto (Por
20
ejemplo: del número 55976876 se tomará el 6, 8 y 7 como la muestra de tamaño 3, porque el primer 5
no se considera)
a) Calcula la media de las 20 muestras.
b) Traza un histograma que indique las 20 medias muestrales.
4. Cierta población tiene media y desviación estándar iguales a 500 y 30, respectivamente. Se
seleccionan muchas muestras de tamaño 36 y se calculan las medias.
a) ¿Qué valor es de esperar que tenga la media de todas esas medias muestrales?
b) ¿Qué valor se esperaría para la desviación estándar de todas las medias muestrales?
c) ¿Qué forma es de esperar que tenga la distribución de todas las medias muestrales?
5. Se va a seleccionar una muestra aleatoria de tamaño 36 de una población que tiene media μ = 50 y
desviación estándar σ = 10.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que esta media muestral esté entre 45 y 55?
Solución:
P(45 ≤ x ≤ 55) = ?
Es tan darizando:
x−μ
45 − 50
=
= −3
σ / n 10 / 36
x−μ
55 − 50
z=
=
=3
σ / n 10 / 36
z=
P (45 ≤ x ≤ 55) = 1 − 0.00135 − 0.00135
= 0.9973
b) ¿Cuál es la probabilidad de que la media muestral tenga un valor mayor que 48?
21
Solución:
P( x > 48) = ?
Estandarizando:
z=
x−μ
48 − 50
=
= −1.2
σ / n 10 / 36
P ( x > 48) = 1 − 0.1151 = 0.8849
c) ¿Cuál es la probabilidad de que la media muestral se aleje de la media por lo menos 3
unidades (es decir, ± 3 unidades)
Solución:
P( x − μ ≥ 3) = ?
Estandarizando:
22
z=
53 − 50
= 1.8
10 / 36
P ( x − μ ≥ 3) = P ( x ≤ 47 ) + ( x ≥ 53 )
= 0.0359 + 0.0359
= 0.0718
6. Considera la población aproximadamente normal de las estaturas de los estudiantes varones del
CCH-N. Supón que las alturas individuales tienen media y desviación estándar iguales a 1.62 cm. y
0.30 cm., respectivamente. Se obtiene una muestra de 16 estaturas. Evalúa:
a) la media de esta distribución de muestreo. ( la probabilidad de que esta media sea inferior a
1.68)
Solución. La gráfica que representa la situación es la siguiente:
P( x < 1.68) = ?
Estandarizando:
z=
x − μ 1.62 − 1.68
=
= 0.8
σ / n 0.30 / 16
Entonces, la curva normal estándar muestra que:
La P( x < 1.68) = 1 − 0.2119 = 0.7881
b) el error estándar de la media.( la probabilidad de que esta media este entre 1.65 y 1.70)
Solución:
23
P (1.65 ≤ x ≤ 1.70) = ?
7. Se aceptará un cargamento de barras de acero si la resistencia media a la ruptura de una muestra
aleatoria de 10 barras es mayor que 250 libras por pulgada cuadrada. En lo pasado, la resistencia a la
ruptura de tales barras ha tenido media y varianza iguales a 235 y 400, respectivamente.
a) Suponiendo que la resistencia a la ruptura está distribuida normalmente, ¿cuál es la
probabilidad de que una barra seleccionada aleatoriamente tenga una resistencia dentro del
intervalo de 245 a 255?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que el cargamento sea aceptado?
8. Se sabe que la proporción de estudiantes del sexo femenino del plantel Naucalpan es de 68%. La
directora del plantel seleccionará a 49 estudiantes en forma aleatoria.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que la selección tenga una proporción de mujeres mayor
al 60 %?
Solución.
p = 0.68
n = 49
Estandarizando:
Z=
p̂ − p
0.60 − 0.68
=
= −1.2
p(1 − p)
(0.68)(0.32)
n
49
Entonces:
24
Por lo tanto, P (p̂ > 0.60) = 1 − 0.1151 = 0.8849
b) ¿Cuál es la probabilidad de que dicha selección contenga menos de 20 mujeres?
Solución. 0.0000317
c) ¿Cuál es la probabilidad de que dicha selección contenga más de 20 mujeres?
Solución. 0.9999683
9. El porcentaje de estudiantes del CCH Naucalpan que deben de menos una materia es del 12%, Si se
seleccionan a 100 estudiantes al azar, ¿Cuál es la probabilidad de que el porcentaje de alumnos que
adeudan de menos alguna materia de esta selección
a) sea mayor al 25%. Solución. 0.0000317
b) sea menor al 20%. Solución. 0.9931
10. PROFECO realizará un muestreo de 100 grabadoras a la empresa PANASOUND, esto para saber
que porcentaje de grabadoras defectuosas produce. La empresa sabe que la proporción de grabadoras
que produce es de únicamente el 2%, con esto información, ¿ que probabilidad hay de que la muestra
contenga:
a) más de 5% grabadoras defectuosas? Solución 0.0162
b) pro mucho 2 grabadoras defectuosas? Solución 0.5
c) más de 10 grabadoras defectuosas? Solución 0.000000287
UNIDAD III. INFERENCIA ESTADÍSTICA
Introducción a la inferencia estadística
La estadística se divide en dos grandes ramas:
™ ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA: Se encarga de recopilar, presentar y describir a los datos.
25
™ ESTADÍSTICA INFERENCIAL: Se encarga de estudiar los resultados obtenidos a partir de la
descripción de una muestra.
La inferencia estadística es una característica de una población obtenida a partir de una muestra.
El grado de confiabilidad de una inferencia se mide en términos de probabilidad.
Por lo general, no conocemos las características de la población (parámetros) como la media y la
varianza.
A partir de una muestra al azar de una población especificada pretendemos estimar los valores exactos
de los parámetros.
Definimos a un estimador como una regla que establece como calcular una estimación basada en la
observación o datos de una muestra.
Estimación puntual o por intervalos
La estimación de un parámetro involucra el uso de los datos y alguna estadística.
Existen dos tipos de estimación: La estimación puntual y la estimación por intervalo.
En la estimación puntual se busca un valor del parámetro con los datos muestrales. En la estimación
por intervalo, se determina un intervalo en el que en forma muy probable, se encuentra el valor del
parámetro. Al intervalo se le da el nombre de intervalo de confianza.
Características deseables de los estimadores puntuales.
Se supone que desea especificar una estimación puntual para un parámetro que llamaremos θˆ donde el
acento circunflejo indica que se estima el parámetro que se encuentra con el acentuado.
Desearíamos entonces que:
•
La distribución muestral del estimador, se centrara alrededor del parámetro.
θ
26
θˆ
•
Que la media o valor esperado de la distribución de las estimaciones fuera igual al parámetro
estimado, esto es:
E(θˆ ) = θ
Estimadores insesgados
Si la esperanza o valor esperado de un estadístico es igual al correspondiente parámetro, el estadístico
se llama estimador insesgado del parámetro, si no es igual se llama estimador sesgado.
Estimadores eficientes
Supongamos que existen dos estadísticas que en su distribución muestral, tienen la misma media, al
estadístico que tenga menor desviación estandar le llamaremos estimador eficiente.
Regla empírica
Si una v. a. x sigue un comportamiento (se distribuye) normal entonces:
μ −σ
μ
μ +σ
La regla empírica nos dice que:
el 68.26% de los datos se encuentra en μ ± σ
el 95.44% de los datos se encuentra en μ ± 2σ
el 99.73% de los datos se encuentra en μ ± 3σ
Características deseables de los estimadores por intervalos
27
•
•
Que el intervalo contenga al parámetro que deseamos estimar
Que el intervalo sea relativamente pequeño
Hay que hacer mención que los limites del intervalo son una v. a., puesto que están en función de los
valores o datos de la muestra, dicho lo anterior sabemos que el rango y la localización del intervalo son
cantidades aleatorias, y no podemos saber con seguridad si el parámetro θ se localiza dentro del
intervalo.
La probabilidad de que un intervalo de confianza contenga a el parámetro θ se le conoce como
coeficiente de confianza.
Ejercicios sobre estimación de medias
1. El gerente de control de calidad de una fábrica de focos necesita estimar la vida promedio de un gran
embarque. Se sabe que la desviación estándar del proceso es de 100 horas. Una muestra aleatoria de 50
focos mostró una vida promedio de 350 horas.
a) Estima un intervalo de confianza del 95% de la vida promedio real de los focos en este
embarque.
Solución. En la siguiente gráfica se muestra el 95% de confianza y el valor máximo y
mínimo estandarizado:
El valor de Z = 1.96 se encuentra buscando 0.025 en tablas como área; cheque también que 0.025
proviene de:
Entonces:
1 − α = 0.95
α = 1 - 0.95
= 0.05
α 0.05
=
= .025
2
2
28
σ
n
100
350 ± 1.96
50
350 ± 27.7186
[350 − 27.7186,350 + 27.7186]
[322.2814, 377.7186]
x ± Zα / 2
La interpretación de este resultado es:
“Se estima que la vida promedio de los focos que produce esta fábrica, está entre 322.2814 y
377.7186 horas, con una confiabilidad del 95%”.
b) Explique por qué un valor observado de 320 horas no sería raro, aun cuando se encontrara
fuera del intervalo calculado.
2. La división de inspección del Departamento de pesas y medias de la mota-cola está interesada en
estimar la cantidad real de refresco que se envasa en botellas de dos litros. La planta embotelladora ha
informado a la división de inspección que la desviación estándar por botella es de 0.05 litros. Una
muestra aleatoria de 100 envases mostró un promedio de 1.99 litros.
a) Estima un intervalo de confianza del 95% de la cantidad promedio real de refresco en cada
botella.
El valor de Z = 1.96 se encuentra buscando 0.025 en tablas como área; cheque también que 0.025
proviene de:
1 − α = 0.95
α = 1 - 0.95
= 0.05
α/2 = 0.05/2
= .025
29
x ± Zα / 2
σ
n
0.05
1.99 ± 1.96
100
1.99 ± 0.0098
[1.99 − 0.0098,1.99 + 0.0098]
[1.9802,1.9998]
Interprete el resultado como ejercicio.
b) ¿Tendría una distribución normal la población de llenado de refrescos? Explica.
c) Explica por qué un valor observado de 2.02 litros no sería sorpresivo, aunque estuviera fuera
del intervalo de confianza calculado?
3. Supóngase que una tienda de pinturas quisiera estimar la cantidad correcta de pintura que hay en
latas de un galón, compradas a un conocido fabricante. Por las especificaciones del productor se sabe
que la desviación estándar de la cantidad de pintura es igual a 0.02 galones. Se selecciona una muestra
aleatoria de 50 galones y la cantidad promedio de pintura en cada lata de un galón es de 0.995 galones.
a) Establece una estimación por intervalo de confianza del 99% de la cantidad promedio real
de la población de pintura incluida en una lata de un galón.
Sol. 0. 9877,1.0023]
b) Con base en estos resultados, ¿sería posible que el propietario de la tienda tuviera derecho a
quejarse del fabricante?¿Por qué?
c) Explica por qué un valor observado de 0.98 galones para una lata individual no sería algo
anormal, aunque estuviera fuera del intervalo calculado.
4. El diámetro promedio de una muestra de n = 100 varillas incluidas en un embarque es 2.350mm, con
una desviación estándar de 0.050mm. Se supone que la distribución de los diámetros de todas las
varillas incluidas en el embarque tiene una distribución aproximadamente normal. Determina el
intervalo de confianza del 99% para estimar el diámetro promedio. Usted obtenga el intervalo
[2.3371,2.3629].
5. El gerente de un banco desea estimar el importe promedio en cuentas de ahorro de los depositantes.
Se seleccionó una muestra aleatoria de 30 depositantes y los resultados señalaron un promedio de $4
750. Se sabe que la desviación estándar poblacional es de $1 200.
a) Estima un intervalo de confianza del 95% de la cantidad promedio de la población en
cuentas de ahorro. Solución [$4320.5855, $5179.4145]
b) Si una persona tuviera $4 000 en una cuenta de ahorros, ¿se consideraría esto poco usual?
Explica tu respuesta.
30
6. Se van a realizar, durante un mes, pruebas de mercado de un nuevo cereal en los supermercados.
Los resultados para una muestra de 144 tiendas señalaron ventas promedio de $120000. Se conoce que
la desviación estándar poblacional es de $1800. Estima un intervalo de confianza del 99% de las ventas
promedio reales de este nuevo cereal. Solución. [$119 613, $120 387].
7. Se desea estimar el promedio de calificaciones de los alumnos del CCH Naucalpan. Se sabe que la
desviación estándar es de 1.75. Se seleccionaron aleatoriamente a 49 alumnos y se obtuvo un
promedio de calificaciones de 7.47. Con un nivel de confianza del 98% estime el promedio real de
calificaciones de los alumnos. Solución [6.8875, 8.0525]
8. A 60 alumnos del CCH-N se les pidió que llevaran un registro de sus gastos de transporte y
alimentación durante una semana. El resultado fue un gasto promedio de $120. Sabiendo que la
desviación estándar es de $20.
a) ¿Cuál es la estimación por punto para la cantidad promedio? Solución $120. Interpreta el
resultado obtenido.
b) Establezca un intervalo de confianza del 99% para la cantidad promedio. Solución [$113.3385,
$126.6615]. Interpreta el resultado obtenido.
c) Establezca un intervalo de confianza del 98% para la cantidad promedio. Solución [$113.9840,
$126.0160]. Interpreta el resultado obtenido.
d) Establezca un intervalo de confianza del 97.4% para la cantidad promedio. Solución
[$114.2422, $125.7578]. Interpreta el resultado obtenido.
9. Supóngase que está interesado en estimar el número de horas promedio que un joven de bachillerato
dedica al estudio diariamente. Se sabe que σ =1.2 horas. De una muestra de 50 alumnos de bachillerato
se obtuvo una media de 3.25 horas. Utilice esta información para...
a) Establecer un intervalo de confianza del 95.5% para estimar el promedio de horas por día que
los estudiantes de bachillerato dedican al estudio.
Solución [2.9089 hrs., 3.5911
hrs.]. Interpreta el resultado.
b) Establecer un intervalo de confianza del 96.4% para estimar el promedio de horas por día que
los estudiantes de bachillerato dedican al estudio.
Solución [2.8936 hrs., 3.6064
hrs.]. Interpreta el resultado.
c) Establecer un intervalo de confianza del 92.4% para estimar el promedio de horas por día que
los estudiantes de bachillerato dedican al estudio.
Solución [2.9479 hrs., 3.5521 hrs.]. Interpreta el resultado.
10. El banco “Ilusiones Pasajeras” desea estimar el número de minutos que tarda un cajero en atender
a una persona una vez que esta llega a cajas. Se conoce que =1.1 minutos. Se escoge una muestra
aleatoria de 55 transacciones hechas con el cajero de 5.2 minutos. Obtener los siguientes intervalos de
confianza para estimar el tiempo medio que tardan los cajeros en atender a los clientes una vez que
llegan a ellos.
a) del 95%. Solución [4.9093min. , 5.4907min.]. Interpreta el resultado.
31
b) del 92.5%. Solución [4.9360min. , 5.4640min.]. Interpreta el resultado.
c) del 90%. Solución [4.9553min. , 5.4447min.]. Interpreta el resultado.
Ejercicios sobre estimación de proporciones
1. Una empresa de investigación de mercados entrevista a una muestra aleatoria de 100 hombres de una
comunidad grande y encuentra que una proporción muestral de 0.40 de ellos prefieren las hojas de
rasurar fabricadas por la empresa cliente de los investigadores y no de las demás marcas. Construir un
intervalo de confianza del 90% para la proporción de todos los hombres de esa comunidad que
prefieren las hojas de rasurar de la empresa cliente de los investigadores.
Solución. El 90 % del nivel de confianza que se requiere se encuentra representado con la siguiente
gráfica:
El intervalo de confianza se obtendrá utilizando:
p̂(1 − p̂)
n
sustituyendo :
p̂ ± Zα / 2
0.40 ± 1.65
(0.40)(0.60)
100
0.40 ± 1.65 0.0024
0.40 ± 0.0808
[0.3192, 0.4808]
[31.92%, 48.08%]
Por lo tanto, se estima que entre el 31.92% y el 48.08 de los hombres de esa comunidad prefiere las
hojas de rasurar fabricadas por la empresa que realiza la investigación , con una certeza del 90%.
2. Un investigador desea estimar la proporción de hombres que fuman en el municipio de Atizapán de
Zaragoza. En una muestra de 100 de ellos, 27 le mencionaron que tienen el hábito de fumar. Utilice
está información para establecer un intervalo de confianza del 96.5 % para la proporción de hombres
fumadores, que radican en el municipio de Atizapán de Zaragoza. Solución [0.1763, 0.3637]. Interprete
el resultado obtenido.
32
3. Un especialista en genética está interesado en la proporción de hombres africanos que presentan un
desorden sanguíneo leve. En una muestra aleatoria de 100 de ellos, se encontró que 24 presentaban
dicho desorden.
a) Calcula un intervalo de confianza del 99% para la proporción de hombres africanos que
tienen este desorden sanguíneo. Solución [0.1298, 0.3502]. Interpreta el resultado obtenido.
b) Calcula un intervalo de confianza del 94% para la proporción de hombres africanos que
tienen este desorden sanguíneo. Solución [0.1597, 0.3203]. Interpreta el resultado obtenido.
4. En una muestra aleatoria de n = 500 familias que poseen televisores en la ciudad de Morelia,
Michoacán, se encontró que x = 340 se habían suscrito a televisión por cable. Encuentra un intervalo
de confianza del 98% para la proporción actual de familias en esta ciudad que están inscritos en este
servicio. Solución [0.6314,0.7286]. Interpreta el resultado obtenido.
5. El gerente de un banco quería determinar la proporción de sus depositantes a quienes se les paga
sobre una base semanal. Se seleccionó una muestra aleatoria de 100 depositantes y 30 de ellos
informaron que se les pagaba semanalmente. Estima un intervalo de confianza del 95.45% de la
proporción real de depositantes a quienes se les pagaba semanalmente. Solución [0.2083, 0.3917].
Interpreta el resultado obtenido.
6. Suponga que usted es uno de los 60,000 aficionados de fútbol que están en un estadio, ha tomado
una muestra de 500 aficionados y encuentra que de 200 de ellos son mujeres, estime la proporción
poblacional del número de mujeres mediante un intervalo de confianza del 95%. Solución [0.3571,
0.4429]. Interpreta el resultado obtenido.
7. En 1997, el equipo de trabajo del Ingeniero Cárdenas realizó una encuesta para estimar que
porcentaje de la población votaría por él, el tamaño de la muestra fue de 200 personas, de las cuáles
110 mencionaron que votarían por el Ingeniero. Determine los siguientes intervalos de confianza para
estimar la proporción de electores que votaría por Cárdenas.
a) del 90%. Solución [0.4920, 0.6080]. Interpreta el resultado.
b) del 91%. Solución [0.4902. 0.6098]. Interpreta el resultado.
8. La empresa Panasound desea estimar el porcentaje de grabadoras defectuosas que fabrica, para ello
toma una muestra aleatoria de 120 grabadoras y observa que solamente 5 de ellas tienen algún defecto.
Establezca los siguientes intervalos de confianza para estimar la proporción real de grabadoras
defectuosas que fabrica.
a) del 95%. Solución [0.0059, 0.0775]. Interpreta el resultado.
b) del 90.3%. Solución [0.0114, 0.0720]. Interpreta el resultado.
Pruebas de hipótesis
Las pruebas de hipótesis son junto con la estimación las dos ramas principales de la estadística
inferencial.
33
Una prueba de hipótesis consiste en evaluar proposiciones acerca de los valores de los parámetros. La
evaluación consistirá en determinar si la diferencia entre un valor propuesto de un parámetro y el valor
estadístico se debe razonablemente a la variabilidad de muestreo o si la discrepancia es demasiado
grande para ser considerada de esa manera.
El primer paso de la prueba de hipótesis será la de formular 2 hipótesis con respecto a un parámetro de
interés.
Al realizar una prueba de hipótesis se caerá en alguna de las siguientes situaciones:
HIPÓTESIS NULA
DECISIÓN
VERDADERA
FALSA
ACEPTAMOS HO
DECISIÓN CORECTA
ERROR TIPO II
RECHAZAMOS HO
ERROR TIPO I
DECISIÓN CORRECTA
Ejemplo 1. Los salarios diarios de una empresa de hamburguesas en particular presentan una
distribución normal, con una media de $2000 quincenales y una desviación de $300. Si en una sucursal
de esta empresa que emplea a 40 trabajadores les paga en promedio $1900 quincenales, ¿puede
acusarse a esta sucursal de pagar salarios inferiores? Utilice un nivel de significación del 1%.
Solución.
o
: μ = 2000
a
: μ < 2000
H
H
Z
prueba
34
x−μ
σ/ n
1900 − 2000
=
300 / 40
= −2.11
=
En la gráfica se observa que el valor z prueba cae en la región de aceptación, por lo tanto se
acepta Ho , es decir, no hay evidencia suficiente para acusar a la sucursal de que paga
salarios inferiores con un nivel de significación del 1%.
Ejemplo 2. Un fabricante de zapatos afirma que el 20% del público prefiere su producto. Se
toma una muestra de 100 personas para verificar su afirmación, y se encuentra que 19 de
ellas prefieren su producto. ¿Es válida la afirmación del fabricante a un nivel de
significación del 0.05?
H : p = 0.20
H : p < 0.20
Z
o
prueba
a
n = 100
x = 19
x 19
=
= 0.19
n 100
α = 0.05
p̂ =
p̂ − p
p(1 − p)
n
0.19 − 0.20
=
(0.20)(0.80)
100
= −0.25
=
El valor estadístico de prueba -0.25 cae en la región de aceptación, por lo tanto, acepto
Ho ; es decir, no hay suficiente evidencia para rechazar la afirmación hecha por el
fabricante de que el 20% del público prefiere su producto, con nivel de significación del
5%.
Ejemplo 3. Un profesor asevera que el 8% de las estudiantes del CCH-N son madres
solteras, un grupo de estudiantes no cree que tal aseveración sea correcta, afirmando que la
proporción de estudiantes que son madres solteras es menor al 8%, por tanto, se decidieron
a realizar un muestreo de 121 estudiantes mujeres para refutar la afirmación hecha por el
profesor, observando que solamente el 6 % de esas estudiantes son madres solteras.
Utilice un nivel de significación del 0.01 para aceptar o rechazar la afirmación del
profesor.
35
H : p = 0.08
H : p < 0.08
Z
o
prueba
a
n = 121
p̂ = 0.06
α = 0.01
p̂ − p
p(1 − p)
n
0.06 − 0.08
=
(0.08)(1 − 0.08)
121
= −0.81
=
El valor z prueba cae en la región de aceptación, pro lo tanto no hay suficiente evidencia
para rechazar la aseveración del profesor a un nivel de significación del 1%.
Ejemplo 4. La Secretaría de Servicios Estudiantiles de una escuela afirma que solamente
el 10% de sus alumnos es regular (alumnos que no adeudan materias). El profesor Ramírez
que imparte clases en esa escuela, cree que tal afirmación es incorrecta, mencionando que
el porcentaje es aún menor que el 10%, ya que el realizó un muestreo de 200 estudiantes y
observó que solamente 18 de ellos es regular. ¿Puede decirse entonces que el porcentaje de
alumnos regulares es menor al 10%? Utilice un nivel de significación del 0.05.
Solución. Se proporcionará el procedimiento de manera parcial, por lo tanto usted tendrá
que llenar los espacios vacíos con el valor correspondiente
H
H
o
: p = 0.10
a
: p < _____
Z
prueba
=
α = 0.05
=
n = 200
x = 18
18
∴ p̂ =
= 0.09
200
p̂ − p
p(1 − p)
n
0.09 − _____
(0.10)(1 − ____)
_____
= −.47
36
Como
z
prueba
= −0.47 se encuentra dentro de la región de aceptación, no podemos rechazar
la hipótesis de que solamente el 10% de los alumnos es regular con un nivel de
significación del 5%
Ejemplo 5. Se ha informado a los alumnos que la media del promedio de sus calificaciones
es de 6.5 con una desviación estándar de 2. Los alumnos indignados por tal aseveración y
pensando que el promedio es mucho mayor a lo mencionado, realizaron un muestreo de
500 estudiantes, obteniendo una media muestral de 6.9. ¿Hay suficiente evidencia para
rechazar la información proporcionada a los alumnos con respecto a su promedio y afirmar
que este es mayor a lo mencionado? Utilice un nivel de significación para responder.
Solución. Se dejarán algunos pasos del procedimiento para que los realice el alumno.
H
H
o
: ________
a
: ________
Z
prueba
n = 500
x = 6.9
σ =2
α = 0.05
Como
z
prueba
x−μ
σ/ n
6.9 − ____
=
____/ ___
=
= 4.47
= 4.47 se rechaza la hipótesis nula, por lo tanto, hay suficiente evidencia para
decir que el promedio de calificaciones de los alumnos es superior a 6.5 con un nivel de
significación del 5%.
Ejemplo 6. Supóngase que en el CCH-N se ha asegurado que el peso promedio de las
alumnas es de 54.4 kgs y una desviación estándar de 5.4. Uno de los profesores no cree que
tal aseveración sea correcta, mencionando que dicho promedio es aún menor. Con el fin de
contrastar la afirmación reúne una muestra aleatoria de 100 alumnas para registrar su peso,
37
obteniéndose una media de 53.75 kgs. ¿Es esta evidencia suficiente para considerar que
efectivamente el promedio es menor a lo asegurado?
Solución:
H o : μ = 54.4
H a : μ < 54.4
x−μ
σ/ n
53.75 − 54.4
=
5.4 / 100
= −1.20
Z prueba =
Como
z
prueba
= −1.20 cae en la región de aceptación, la hipótesis nula es aceptada, por lo
tanto, no hay suficiente evidencia para decir que el promedio de peso de las alumnas del
CCH-N sea menor al 54.4 kgs. con un nivel de significación del 5%.
Ejercicios de pruebas de hipótesis
1. Una moneda supuestamente justa se lanza 256 veces, observándose que 110 de las
cuáles fueron águila, ¿es justa la moneda? Utilice un nivel de significación del 1%
para justificar su respuesta.
2. Un dado supuestamente justo se lanza 125 veces, observándose que el 20% de las
cuáles se observó el 3 en la cara superior, ¿el dado estará cargado? Utilice un nivel
de significación del 5% para justificar su respuesta.
3. Uno de los profesores del plantel Naucalpan afirma que en su plantel la mayoría de
los estudiantes fuma. El profesor Eduardo Manzano no cree que tal aseveración sea
correcta, por lo que realizó un muestreo de 100 estudiantes, de los cuáles encontró
38
que 45 de ellos fuman; ¿invalida la muestra la afirmación del profesor de que la
mayoría de la comunidad estudiantil fuma? Utilice un nivel de significación del 5%
para responder.
4. Se dice que el 65% de los estudiantes del CCH-N son mujeres. Se realizo un
muestreo de 100 alumnos, de los cuáles 60 eran mujeres. Pruebe:
H o : p = 0.65
Utilice un α = 0.05
H a : p < 0.65
5. El gerente de un gran centro comercial afirma que el promedio de tiempo de espera
de sus clientes para ser atendidos en caja es de 4 minutos con una desviación
estándar de 1.2 minutos. Se realizó un muestreo de 100 clientes con el cuál se
observo una media de 4.5 minutos. ¿Invalida el muestreo la afirmación del gerente a
un nivel de significación del 5%?
6. Un profesor asevera que el promedio de gastos semanales por transporte y
alimentación de los estudiantes no excede los $100; un padre de familia cree que el
profesor no tiene idea de lo que realmente los muchachos gastan, así que realizó un
muestreo obteniendo los siguientes resultados: 20 alumnos le mencionaron que
gastaban $130 semanalmente, 20 le dijeron que $100 y 40 le dijeron que gastaban
$90.
Sabiendo que σ = 40 y utilizando la información del padre de familia, ¿Cree que
haya suficiente evidencia para rechazar la aseveración del profesor? Utilice un nivel
de significación del 5%.
7. PROFECO realizó un muestreo de 200 botellas de medio litro de Hidra-Cola,
obtuvo una media de 495 mililitros. Sabiendo que σ = 0.045 mililitros, ¿cree que
con está información la empresa merezca una demanda? Utilice α =0.05
39
40