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Expresiones Algebraicas
• Una expresión algebraica es una expresión en
la que se relacionan valores indeterminados con
constantes y cifras, todas ellas ligadas por un
número finito de operaciones de suma, resta,
producto, cociente, potencia y raíz.
• Ejemplos
a ) x 2  2 xy
b) 2 x  y 2 x 3
x. y  2 x
c) 2
x 1
1
Expresiones Algebraicas
2
Expresiones Algebraicas comunes
•
•
•
•
•
•
•
•
El doble o duplo de un número: 2x
El triple de un número: 3x
El cuádruplo de un número: 4x
La mitad de un número: x/2
Un tercio de un número: x/3
Un cuarto de un número: x/4
Un número es proporcional a 2, 3, 4...: 2x, 3x, 4x...
Un número al cuadrado: x²
3
Expresiones Algebraicas comunes
•
•
•
•
•
•
•
Un número al cubo: x³
Un número par: 2x
Un número impar: 2x + 1
Dos números consecutivos: x y x + 1
Dos números consecutivos pares: 2x y 2x + 2
Dos números consecutivos impares: 2x + 1 y 2x + 3
Descomponer 24 en dos partes: x y 24 − x
4
Expresiones Algebraicas comunes
•
•
•
•
La suma de dos números es 24: x y 24 − x
La diferencia de dos números es 24: x y 24 + x
El producto de dos números es 24: x y 24/x
El cociente de dos números es 24: x y 24 · x
5
Tipos de Expresiones Algebraicas
Expresiones Algebraicas
Racionales
Enteras
Irracionales
Fraccionarias
6
Expresión Algebraica Racional
• Es racional cuando las variables no están
afectadas por la radicación
• Ejemplo
x  x. y
3
2
2 y 1
2
2
7
Expresión Algebraica Irracional
• Es irracional cuando las variables están
afectadas por la radicación
• Ejemplo
x 2x y
8
Expr.Algebraica Racional Entera
• Una expresión algebraicas es racional entera
cuando la indeterminada está afectada sólo
por operaciones de suma, resta,
multiplicación y potencia natural.
• Ejemplo
x 3x y  y
2
4
5
9
Expresión Algebraica Racional
Fraccionaria
• Una expresión algebraicas racional es
fraccionaria cuando la indeterminada aparece
en algún denominador.
• Ejemplo
1
2
 x y 3
x
10
Polinomios
• Son las expresiones algebraicas más
usadas.
• Sean a0, a1, a2, …, an números reales y n
un número natural, llamaremos polinomio
en indeterminada x a toda expresión
algebraica entera de la forma:
a0 + a1 x + a2 x2 + … + an xn
11
Ejemplos de polinomios
1 2
a) x
3
2 3
b) 3 x  x
3
2
c ) 1  3
x
3
d ) 2  3x  5 x
A los polinomios en indeterminada x los
simbolizaremos con letras mayúsculas indicando la
indeterminada entre paréntesis: P(x) ; Q(x) ; T(x).
12
Términos
• Monomio : polinomio con un solo término.
• Binomio : polinomio con dos términos.
• Trinomio : polinomio con tres términos.
• Cada monomio aixi se llama término.
• El polinomio será de grado n si el término de mayor
grado es anxn con an0.
• A a0 se lo llama término independiente.
• A an se lo llama término principal.
13
Ejemplos
El polinomio 0 + 0x + 0x2 + … +0xn se llama
polinomio nulo. Lo simbolizaremos por Op(x).
No se le asigna grado.
14
15
16
17
Ejercicio
• Indicar cuáles de las siguientes expresiones
algebraicas son polinomios. En este último caso
indicar su grado.
1 3
a)  x  2 x  1
3
b) ( x  2)( x  3)
3x  1
c)
2
4
d) x  2  5
2 1
e) x    3
x x
2
x  2x  3
f)
x 1
2
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Polinomios iguales
• Dos polinomios son iguales si y sólo si los
coeficientes de los términos de igual grado lo
son.
• Ejercicio: Determinar a, b y c para que P(x)=Q(x)
a ) P ( x )  2  5 x 3 ; Q ( x )  a  ( a  b) x 3
b) P( x)  5  ( 2  1) x  5 2 x 2
Q( x)  a  (b  1) x  (c  2b) x 2
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Suma de Polinomios
• Para sumar dos polinomios se agrupan los
términos del mismo grado y se suman sus
coeficientes.
• Ejemplo: Sumar los siguientes polinomios
P(x) = -2x4 + 5x3 – 3x + 1
Q(x) = 3x3 – 6x2 – 5x - 2
20
Propiedades de la Suma
•
•
•
•
Asociativa
Conmutativa
Existencia de elemento neutro
Existencia de elemento opuesto
21
Resta de Polinomios
• Para restar el polinomio Q(x) del polinomio
P(x) se debe sumar a P(x) el opuesto de
Q(x).
P(x) – Q(x) = P(x) + [ - Q(x) ]
• Ejemplo: Restar los siguientes polinomios
P(x) = -2x4 + 5x3 – 3x + 1
Q(x) = 3x3 – 6x2 – 5x - 2
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Multiplicación de Polinomios
• Para multiplicar dos polinomios se multiplica cada
monomio de uno de ellos por cada uno de los
términos del otro y luego se suman los términos de
igual grado.
• Ejemplo: Multiplicar los siguientes polinomios
P(x) = -2x4 + 5x3 – 3x + 1
Q(x) = 3x3 – 6x2 – 5x – 2
P(x).Q(x) = P(x) 3x3 + P(x) (-6x2 ) + P(x) (-5x ) + P(x)(-2)
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Propiedades del Producto
• Asociativa
• Conmutativa
• Existencia de elemento neutro.
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Algunos productos importantes
• (x+a)2 =(x+a)(x+a)= x2 + 2ax + a2
• (x-a)2 =(x-a)(x-a)= x2 - 2ax + a2
• (x+a)3 = x3 + 3ax2 + 3a2x + a3
• (x-a)3 = x3 - 3ax2 + 3a2x - a3
• (x+a)(x-a)= x2 –ax +ax-a2 = x2-a2
25
Ejercicio
• Escribir los desarrollos de
a) (2  3 x)
2
d ) ( 2  3 x ) 3
b) ( x  x )
2
3 2
 2 3 1 4
c)   x  x 
3 
 3
e) (  x  x )
4 3
2
 1 3 2 2
f )  x  x 
3 
 2
3
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Ejercicio: Expresar los siguientes trinomios
cuadrados perfectos como el cuadrado de un
binomio y a los cuatrinomios cubos perfectos
como el cubo de un binomio.
a) 4 x  4 x  1
d ) x 3  6 x 2  12 x  8
b) x  14 x  49
e) 8 x  12 x  6 x  1
c) 25 x  30 x  9
3 5 1 6
f )  8x  6 x  x  x
2
8
2
2
2
3
2
3
4
27
Ejercicio: La expresión x2 - a2 es una diferencia
de cuadrados. Escribir las siguientes
diferencias como producto de binomios.
a ) x  100
2
1
b) x 
36
4
c) x  4
2
d ) x  64
8
28
División de polinomios
• Existe una estrecha analogía entre el
cociente de polinomios y la división de
números enteros.
• Recordemos algunas definiciones de la
división entre números enteros.
29
División entre números enteros
• En el conjunto de números enteros, si D
es el dividendo y d0 es el divisor,
existen y son únicos dos enteros c
(cociente) y (r (resto) tales que
D=d.C+r
0 ≤ r < |d|
• Si r=0 se dice que D es divisible por d.
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División entre números enteros
• Ejemplo: Realizar las siguientes
divisiones enteras:
• 29 dividido 6 será: c= 4 y r=5 pues
29 = 6 . 4 + 5 y 0 ≤ 5 < 6
• 29 dividido -6 será: c= -4 y r=5 pues
29 = (-6) . (-4) + 5 y 0 ≤ 5 < |-6|
¿Podría haber sido c = -5 y r = -1?
31
División de polinomios
• Dados los polinomios
D(x) = 6x3 – 17x2+15x-8
d(x) = 3x – 4
determinar, si es posible, dos polinomios c(x)
y r(x) tales que
D(x) = d(x). C(x) + r(x)
de modo que el grado de r(x) sea menor que
el grado de d(x) o bien r(x)=Op(x)
32
Ejemplo
6x3 – 17x2 + 15x – 8
-6x3 +
8x2 3
0x -
3x – 4
2x2 - 3x + 1
9x2+ 15x
9x2- 12x
0x2+
3x - 8
-3x + 4
0x - 4
6x3-17x2+15x-8 = (3x-4)(2x2-3x+1)-4
33
Ejercicios
a) D(x) = 4x5 + 2x3 – 24x2 + 18x
d(x) = x2 – 3x
b) D(x) = 16x8 + 24x6 + 9x4
d(x) = 4x5 + 4x4 + 3x3 + 3x2
c) D(x) = 2x4 – 6x3 + 7x2 – 3x +2
d(x) = x-2
34
División de Polinomios
• Dados los polinomios D(x) y d(x);
d(x)Op(x), diremos que d(x) divide a
D(x) si y sólo si existe un polinomio c(x)
tal que
D(x) = d(x) . c(x)
35
Ejercicios
•
Dados los polinomios P(x) y Q(x)
indica si alguno de ellos es divisible
por el otro
a) P(x) = x4 -2x3 +x2 -5x + 1
Q(x) = x3 + x2 + x + 1
b) P(x) = x4 +2x3 +4x2 + 8x +16
Q(x) = x5 - 32
36
División de un polinomio por otro
de la forma (x-a)
3x3 – 2x2 – 5x – 9
- 3x3 + 6x2
4x2 – 5x
- 4x2 + 8x
3x – 9
-3x + 6
-3
x–2
3x2 + 4x + 3
Regla de Ruffini
3 -2
-5
-9
6
8
6
2
3
4
3
-3
3x3 – 2x2 – 5x – 9 = ( x – 2)(3x2 + 4x + 3) + (-3)
37
División de un polinomio por otro
de la forma (x-a)
• División de P(x) = 3x3 – 2x2 – 5x – 9 por (x-2)
realizada por la Regla de Ruffini
3
2
3
-2
6
4
-5
8
3
-9
6
-3
1º operación : 3.2 -2 = 4
2º operación : (3.2 -2).2 - 5 = 3
3º operación : [3(2) 2 – 2 . 2 - 5].2 -9 =-3
Por lo tanto 3.(2)2 -2.(2)2 -5.2 -9 = -3
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Raíces de un polinomio
• Un número real a es raíz de un
polinomio P(x) si y solo si P(a) = 0
• Ejercicio:
Verifique que x=1 es raíz del polinomio
P(x) = 3x2 + 2x – 5
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Raíces de un Polinomio
• Si un polinomio tiene coeficientes
enteros y a es una raíz entera del
polinomio entonces a divide al término
independiente.
• Ejercicio: Calcular las raíces de
P(x) = 2x3 - 2x2 - 16x + 24
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Ejercicio: Calcular las raíces de
P(x) = 2x3 - 2x2 - 16x + 24
• Si P(x) tiene alguna raíz entera, ésta debe
ser divisor de 24.
• Probar que 1 y -1 no son raíces de P(x)
Ver x=2 también
es raíz de
2x2 + 2x -12
2x2 + 2x -12 = (x-2)(2x+6)
2x3 – 2x2 – 16x + 24 = ( x – 2)(2x2 + 2x -12)
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Ejercicio
• Calcular las raíces de
P(x) = x4 - x3 - 6x2 + 4x + 8
P(x) = (x-2)2 (x+1) (x+2)
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