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Curso de apoyo de Matemáticas
Noviembre de 2009
CONTENIDO
1.- Álgebra y conceptos de aritmética
Operaciones fundamentales con números y con expresiones algebraicas.
Descomposición en factores.
Fracciones algebraicas
Radicales
Operaciones con números complejos
Ecuaciones y su solución
Funciones y gráficas
Sistemas de ecuaciones lineales
Logaritmos
2.- Geometría analítica
Coordenadas rectangulares y polares
Ecuaciones y lugares geométricos (recta, circunferencia, parábola, elipse,
hipérbola)
Transformación de coordenadas
El plano y superficies.
Otros sistemas coordenados
3.- Cálculo diferencial e integral
Límites de funciones
La derivada y aplicaciones
La integral y aplicaciones
Técnicas de integración
4.- Vectores
Álgebra vectorial
Leyes del álgebra vectorial
Operaciones con vectores
5.- Matrices
Determinantes
Tipos de matrices
Propiedades de matrices
Operaciones con matrices
6.- Ecuaciones diferenciales
Interpretación física
Ecuaciones ordinarias de primer orden
Separación de variables
Ecuaciones homogéneas
Ecuaciones exactas
Ecuaciones lineales de primer orden
Ecuaciones lineales de segundo orden
Bibliografía
1. Álgebra Superior. Murray R. Spiegel. McGraw-Hill. Serie Schaum
2. Fórmulas y Tablas de Matemática Aplicada. Spiegel & Abellanas.
McGraw-Hill. Serie Schaum
3. Advanced Engineering Mathematics. Erwin Kreyszig. Ed. John
Wiley
4. Geometría Analítica. Joseph H. Kindle. McGraw-Hill. Serie Schaum
5. Cálculo diferencial e integral. Granville, Smith, Longley. Ed.
UTEHA
1
Álgebra
1) Operaciones fundamentales con los números
El conjunto de los números reales R
1) Números naturales: 1, 2, 3, ...
2) Números racionales positivos: Se pueden expresar como
cocientes de cantidades enteras: 1/3, 1/7
3) Números irracionales: 2 ,  , e
R
4) Cero
5) Números negativos: Los números racionales o
irracionales antecedidos por el signo –
6) Números primos (1): Sólo se dividen entre 1 y sí mismos:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, …
Teorema fundamental de la aritmética:
Todo entero positivo diferente de 1 se puede expresar como el
producto de números primos según una y sólo una forma
(excepto por el orden de los factores)
Ejm.: 12 = 2·2·3, 126 = 2·3·3·7, 540 = 2·2·3·3·3·5
Cuatro operaciones básicas: Suma, resta, multiplicación y división
Propiedades de la suma y la multiplicación
i) Propiedad conmutativa de la suma a + b = b + a
ii) Propiedad asociativa de la suma a+b+c = a+(b+c) = (a+b) + c
iii) Propiedad conmutativa de la multiplicación a . b = b . a
iv) Propiedad asociativa de la multiplicación abc = a(bc) = ab(c)
v) Propiedad distributiva de la multiplicación a(b+c) = ab + ac
Potencias y exponentes
an = a·a·a ... (n veces)
a: base
n: exponente
Ejemplos
2·2·2·2·2 = 25 = 32
(–5)3 = (–5)·(–5)·(–5) = – 125
3 2
a·a·a·b·b = a b
(a–b)·(a–b) = (a–b)2
Propiedades de las potencias:
i) ap · aq = ap+q
ejemplo: 23·24 = 27 = 128
ap
1
ii) aq = ap–q = aq-p , si a  0
iii) (ap)q = apq
iv) (ab)p = apbp ;
35
ejemplo: 32 = 35–2 = 33
ejemplo: (42)3 = 46
a
ap
( b )p = bp , si b  0
; (34)2 = 38
2
5
53
ejemplos: (4·5)2 = 42 · 52 ; ( 2 )3 = 23
Operaciones con fracciones numéricas
Reglas:
i) El valor de la fracción no se altera si se multiplican numerador y
denominador por un mismo número distinto de cero.
3 3·2 6
ejemplos: 4 = 4·2 = 8
;
15 15/3 5
18 = 18/3 = 6
ii) Si se cambia el signo del numerador o del denominador, la fracción
cambia de signo:
3
3
3
 
5
5 5
iii) Suma de fracciones con el mismo denominador:
3 4 3+4 7
5 + 5 = 5 =5
iv) Suma de fracciones con diferente denominador. Se transforman a
un mismo denominador
1 2
3
8
11
+
=
+
=
4 3 12 12 12
v) Producto de dos fracciones:
2 4 2·4
8
3 · 5 = 3·5 = 15
vi) División de fracciones. Extremos por extremos y medios por
medios
a
b
a/b a/b · bd
ad
=
=
=
c
c/d c/d · bd
cb
d
a c a d ad
   
b d b c bc
2) Operaciones fundamentales con expresiones algebraicas
Expresión algebraica: Combinación de números, letras y signos de
operación
5xy+3z
Ejemplo: 3x2 – 5xy + 2y4 , 2a3b2,
2a3-c2
Término: Sólo contiene productos y cocientes de números y letras
Monomio: expresión algebraica de un solo término, ejemplo: 4x3y2z
3
Binomio: dos términos ejemplo 2x + 4y
Trinomio: a2 + 2ab + b2 ; 3x2 + 2x –5
Polinomio: Multinomio en el que cada potencia es entera
Ejemplo 7x3y2 – 4xz5 + 2x3y
Grado de un monomio: La suma de los exponentes de la parte literal
del término
Ejemplo: grado de 4x3y2z es 3 + 2 + 1 = 6
Grado de un polinomio. Es el grado mayor de los términos
Ejemplo: grado de 7x3y2 – 4xz5 + 2x3y
Los grados de los términos son 5, 6 y 4 por lo que el
grado del polinomio es 6
Símbolos de agrupamiento: ( ), [ ] , { } Preferentemente jerarquizar { [
()]}
Coeficiente. Cualquier factor de un término
Coeficiente numérico
Términos semejantes: Aquellos que sólo se diferencian en su
coeficiente numérico
Suma y resta de expresiones algebraicas. Se efectúa agrupando
términos semejantes:
Ejemplos: Sumar 7x + 2y2 +3z y 9x + 6y + 9z
Restar 2x2 –3xy + 5y de 10x2 +4xy – 2y2
Multiplicación de expresiones algebraicas
1) Multiplicación de monomios: Se aplican las reglas de la
potenciación
Ejemplo: multiplicar –3x2y3z , 2x4y y –4xy4z2
R: 24x7y8z3
2) Multiplicación de un monomio por un polinomio. Se multiplica el
monomio por cada uno de los términos del polinomio.
Multiplicar: 3xy –4x3 +2xy2 por 5x2y4
R: 15x3y5 – 20x5y4 + 10x3y6
3) Multiplicación de dos polinomios. Se multiplican todos y cada uno
de los términos de uno de ellos por todos y cada uno de los términos
del otro:
Es conveniente ordenar los polinomios según las potencias crecientes o
decrecientes de una de las letras.
Ejemplo: multiplicar: –3x + 9 + x2 por 3 – x
R: (x2 – 3x + 9)(–x + 3) = – x3 + 6x2 –18x + 27
Ejemplo: multiplicar (–2x3 + 8x + 3x2 – 6)(2x + 6x2 – 8)
División de expresiones algebraicas
1) División de monomios. Se aplican las reglas de la potenciación
Ejemplos: dividir 24x4y2z3 por –3x3y4z
24x4y2z3 – 8xz2
–3x3y4z = y2
24x3 y2 z 6x2 y
4xyz2 = z
–16a4 b6
2a3 b4
=
2
–8ab c
c
4
2) División de dos polinomios
Algoritmo:
a) Se ordenan ambos polinomios según las potencias decrecientes de
una de las letras comunes a ambos polinomios
b) Se divide el primer término del dividendo por el primero del divisor,
con lo que resulta el primer término del cociente
c) Se multiplica el primer término del cociente por el divisor y se resta
del dividendo, obteniéndose un nuevo dividendo.
d) Con el dividendo de c), se repiten las operaciones b) y c) hasta que
se obtenga un resto igual a cero o de grado menor que el del dividendo.
dividendo
resto
e) El resultado es: divisor = cociente + divisor
Ejemplo: dividir x2 +2x4 –3x3 + x –2 por x2 –3x +2
Se ordenan los polinomios y se realiza el cálculo:
2x2 + 3x + 6
x – 3x + 2 2x – 3x + x2 + x – 2
2x4 – 6x3 + 4x2
3x3 – 3x2 + x – 2
3x3 – 9x2 + 6x
6x2 – 5x – 2
6x2 – 18x + 12
13x – 14
2
4
Por tanto,
3
2x4 –3x3 + x2 + x – 2
13x – 14
2
=
2x
+
3x
+
6
+
2
x – 3x + 2
x2 – 3x + 2
Fracción propia
Ejemplos
1)
2x4 + 3x3 – x2 – 1
51
= 2x3 + 7x2 + 13x + 26 + x–2
x–2
2)
16y4 – 1
= 8y3 + 4y2 + 2y +1
2y – 1
3)
2x6 + 5x4 – x3 + 1
29x + 20
= –2x4 – 2x3 –9x2 –10x –19 +
–x2 +x + 1
–x2 +x + 1
3) Productos de interés práctico
1) (a+b)(a–b) = a2 – b2
2) (a+b)(a+b) = a2 + 2ab + b2
3) (a–b)(a–b) = (a–b)2 = a2 –2ab + b2
4) (a–b)(a–b)(a–b) = (a–b)3 = a3 –3a2b +3ab2– b3
5) (a–b)(a2+ab+b2) = a3 – b3
6) (a+b)(a2–ab+b2) = a3 + b3
7) (a+b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
8) (a–b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3
5
4) Descomposición en factores
Factores de una expresión algebraica son dos o más expresiones que
multiplicadas entre sí originan la primera
Ejemplos: La expresión x2 – 7x + 6
tiene los factores (x – 1) (x – 6)
La expresión x2 + 2xy – 8y2
tiene los factores (x + 4y)(x – 2y)
Procedimientos para la descomposición en factores
a) Factor monomio común ac + ad = a(c+d)
Ejemplos 1) 6x2y – 2x3 = 2x2(3y – x)
2) 2x3y – xy2 + 3x2y = xy(2x2 – y + 3x)
b) Diferencia de cuadrados
Ejemplo x2 – 25 = (x + 5)(x – 5)
c) Trinomio cuadrado perfecto
Ejemplos
1) x2 + 6x + 9 = (x + 3)2
2) 9x2 – 12xy + 4y2 = (3x – 2y)2
d) Otros trinomios
Ejemplos
1) x2 – 5x + 4 = (x – 4)(x – 1)
2) x2 + xy – 12y2 = (x – 3y)(x + 4y)
3) 3x2 – 5x – 2 = (3x + 1)(x – 2)
4) 6x2 + x – 12 = (3x – 4)(2x + 3)
5. Fracciones algebraicas
Reglas. Las mismas que se vieron en fracciones numéricas
i) El valor de la fracción no se altera si se multiplican numerador y
denominador por un mismo número distinto de cero:
x+2
(x+2)(x–1) x2+x–2
Ejemplos 1) x–3 por (x–1): (x–3)(x–1) = x2–4x+3 si x  1 y x  3
x2+3x+2
2) Simplificar la fracción
x2+4x+3
(x + 2)(x + 1) x + 2
R: (x + 3)(x + 1) = x + 3 si x  –3
ii) Si se cambia el signo del numerador o del denominador, la fracción
cambia de signo
(x2 – 3x + 2)
Ejemplos 1) Simplificar
(2 - x )
(x2 – 3x + 2) (x – 2)(x – 1) (x – 2)(x – 1) (x – 1)
R: (2 – x ) =
= – (x – 2 ) = –1 = 1 – x
(2 – x )
iii) Suma de fracciones con el mismo denominador
iv) Suma de fracciones con diferente denominador. Se transforman a
un mismo denominador
Ejemplos
2
3
x
2(14) – 3(7x) – x(2x2)
28 – 21x – 2x3
1) x2 – 2x – 7 =
=
14x2
14x2
2x + 1
3
(2x+1)(x–1) –3x
2x2–4x–1
2) x(x + 2) – (x + 2)(x – 1) = x(x+2)(x–1) = x(x+2)(x–1)
6
Cociente de fracciones
7
2
x –4
7(x + 2)
7(x+2)
7
ejemplo xy = xy(x2 – 4) = xy(x+2)(x–2) = xy(x–2)
x+2
Fracción compuesta: Tiene una o más fracciones en el numerador o en
el denominador. Para simplificarla:
i) Se reducen el numerador y denominador a fracciones simples.
ii) Se dividen las dos fracciones que resultan
Ejemplos
1 x2–1
x–x
x
x2 – 1 (x+1)(x–1)
1)
1 = x+1 = x + 1 = x + 1 = x – 1
1+x
x
x+y
3x2
x (x + y)
x+ y
2) x – y = 3x2(x – y) = 3x(x – y)
x
a(a – b)
a + b = a2 – ab + b2
a–b+ a b
b–a
a
3)
n
5. Radicales. Es una expresión de la forma a , raíz enésima de a
Propiedades de los radicales. Son las mismas que las correspondientes
n
a las potencias, ya que a = a1/n
n
a) ( a )n = a
b)
n
n
n
ab = a b
Ejemplo 3 54 = 3 27·2 = 3 27
n
3
2 = 33 2
n
c) am = ( a )m
3
3
Ejemplo 274 = ( 27 )4 = 34 = 81
m
d)
e)
n
a
=
mn
ejemplo
1
3
1
1
(a n ) m  a nm
a
5
=
6
5
6. Operaciones con números complejos
Unidad de los números complejos ( o imaginarios)
–1 = i
Muchas de las propiedades de los números complejos son válidas
también para los imaginarios:
7
Ejemplos
–4 = 4(–1) = 2 –1 =2i
i2 = ( –1 )2 = (–1)2/2 = –1
i3 = i2 . i = –i
i4 = ( i2 )2 = (–1)2 = 1
Nota: Expresar siempre –m como i m siendo m un número
entero positivo
Ejemplo –4 –4 = 2i.2i = 4i2 = –4
Incorrecto: –4 –4 = (–4) (–4) = 16 = 4
Número complejo.
Es de la forma a + bi
a: parte real
bi : parte imaginaria
Conjugado de un número complejo:
a + bi y a – bi son complejos conjugados
Operaciones algebraicas con números complejos
i) La suma o resta se realiza con las partes reales e imaginarias en
forma independiente
Ejemplo.
(a + bi)+ (c + di) = a + c + (b + d)i
ii) La multiplicación se realiza como si fueran binomios y se sustituye
i2 por –1
Ejemplos
1) (a + bi)(c + di) = ac + i(ad + bc) + bdi2 = (ac – bd) + i(ad + bc)
2) (5 + 3i)(2 – 2i) = 5.2 + i(–10 + 6) –3.2.i2 = 10 + 6 –4i = 16 – 4i
iii) La división se realiza multiplicando y dividiendo la fracción por el
conjugado del denominador y sustituyendo i2 por –1
Ejemplos 1)
2+ i
(2 + i)(3 + 4i) 6 + i(8+3) + 4i2 2 + 11i 2 11
=
=
=
= 25  25 i
3 – 4i (3 – 4i)(3 + 4i)
9 – 16i2
25
2 3 + 2 i
2 3 + 2 i 3 2 +4 3 i
2)
=
·
3 2 –4 3 i 3 2 –4 3 i 3 2 +4 3 i
6
5
= 33 + 11 i
Forma polar de un número complejo
En la figura se representa el punto P, de coordenadas (x,y) y que
representa al número complejo A = x + yi.
8
(x,y)
P
r
y
(r,)

x
El punto P también se puede expresar por medio de coordenadas
polares (r, θ).
Puesto que x = r·Cos(θ)
y = r·Sen(θ), se sigue que:
A = x + iy = r(Cosθ + i Senθ)
Forma polar del número complejo
7. Ecuaciones
Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones, que se denominan
miembros de la ecuación.
Si la ecuación contiene una sola incógnita (literal), la o las soluciones
se denominan raíces de la ecuación. Resolver una ecuación es hallar
todas las soluciones.
Operaciones aplicadas en la transformación de ecuaciones (axiomas
de la igualdad)
a) Suma o resta a ambos miembros
Ejemplo 1)
x – y = z , sumando y:
x=z+y
2) 3x + 2y – 5 = x –3y + 2 sumando –x + 3y + 5
2x + 5y = 7
b) Multiplicación o división en ambos miembros
Ejemplo V = RI despejar para R
R = V/I
c) Exponenciación de ambos miembros
T  2 l / g despejar para l
(T / 2 ) 2  ( l / g ) 2  l / g
l  g (T / 2 ) 2
d) Extracción de raíz enésima
3V
r3 
4
3V
3
r3  3
4
9
r3
3V
4
Ejemplos:
1 1 1
1) Despejar p en f = p + q
fq
R: p = q – f
1
2) Despejar c, de m = 2 2a2 + 2b2 – c2
R: c =  2a2 + 2b2 – 4m2
Ecuación racional entera de grado n (Polinomio de grado n)
a0xn + a1xn–1 a2xn–2 + ... + an–1x + an = 0 a0  0
a : constantes
n : entero positivo
Casos particulares
i) Ecuación lineal o ecuación de primer grado
a0x + a1 = 0 o
ax + b = 0
ii) Ecuación cuadrática o de segundo grado
a0x2 + a1x + a2 = 0 o
ax2 + bx + c = 0
iii) Ecuación cúbica
a0x3 + a1x2 + a2x + a3 = 0
Nota: Los mismos axiomas de la igualdad se aplican a las
desigualdades, excepto por lo siguiente:
Propiedades de multiplicación y división: con cantidades negativas
Multiplicar y dividir ambos lados de la desigualdad por una cantidad
negativa produce una desigualdad equivalente en la que el símbolo de
la desigualdad se invierte.
Si a < b y c es negativo, entonces ac > bc
Si a < b y c es negativo, entonces
a b

c c
8. Funciones y gráficas
Variable: Símbolo al que se le puede asignar un conjunto de valores;
se emplean las letras finales del alfabeto x, y, z
10
Constante: Símbolo que sólo toma un valor; se emplean las primeras
letras del alfabeto a, b, c.
Función de una variable
Una variable y es función de otra x si existe una relación entre ambas,
de forma que a cada valor de x le corresponda uno o más de y
Ejemplo: y = x2 –5x + 2
0
1
2
–2
x
y
2
–4
–1
8
y = x^2 - 5x + 2
10
8
6
Y
4
2
0
-2
-4
-6
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
X
Ejemplo: Perímetro de una circunferencia
C = 2r
r
C
1
2
3

5

Función uniforme: A un valor de x le corresponde sólo uno de y
Función multiforme: A un valor de x le corresponde más de un valor
de y
Ejemplo: y   x
x
4
9
16
y
2
3
4
Variable independiente: A la que se le asignan valores (x en los casos
anteriores).
Variable dependiente o función: Variable cuyo valor se determina por
el valor que toma la variable independiente.
Campo de variación. El conjunto de valores que puede tomar la
variable independiente. Se requiere que la función sea siempre real.
11
para y = x2 –5x + 2: Cualquier número real
para C = 2r : Cualquier número positivo y el cero (r  0)
para y = ± x : campo de variación: x  0
Notación funcional:
y = f(x): Se lee ye igual a efe de equis.
Otros símbolos: h(x), g(x), etc.
f(a): la función evaluada en el valor x = a
f(2): la función evaluada en x = 2
Sistema de coordenadas rectangulares. Se utiliza para representar
gráficamente una relación entre dos variables.
Y
II
I
P(x,y)
X'
X
O
III
IV
Y'
X'X y Y'Y Rectas perpendiculares entre sí que se cortan en el punto O
X’X: eje x o eje de las abscisas
Y’Y: eje y o eje de las ordenadas
O: origen del sistema de coordenadas
Punto P(x,y) : Es un punto cualquiera del plano xy.
Gráfica de una función y = f(x). Es el lugar geométrico de los puntos
que satisfacen a la ecuación y = f(x).
Ejemplos. 1) Representar en un sistema de coordenadas rectangulares
los puntos siguientes:
(–4,–2), (–5/2, –9/2), (4, –3), (2,– 2 )
Coordenadas rectangulares
1 .0
0 .0
y
-1.0
-2.0
-3.0
-4.0
-5.0
-5.0
-3.0
-1.0
1.0
3.0
5.0
x
2) Siendo y = 2x – 1, calcular los valores de y correspondientes a x = –
3, –2, –1, 0, 1, 2, 3 y represente los puntos obtenidos.
x
–3
–2
–1
0
1
2
3
y
–7
–5
–3
–1
1
3
5
12
y = 2x - 1
6
4
2
y
0
-2
-4
-6
-8
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
x
3) Representar gráficamente la función
y = x2 –2x –8 o f(x) = x2 –2x –8
–4
16
x
Y
–3
7
–2
0
–1
–5
0
–8
1
–9
2
–8
3
–5
4
0
5
7
6
16
f(x) = x^2 - 2x - 8
20
15
f(x)
10
5
0
-5
-10
-15
-5
-3
-1
1
3
5
7
x
4) Representar gráficamente la función y = x3 + 2x2 –7x –3
–4
–7
x
y
–3
9
–2
11
–1
5
0
–3
1
–7
2
–1
3
21
f(x) = x^3 + 2x^2 - 7x - 3
25
20
f(x)
15
10
5
0
-5
-10
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
x
9. Sistemas de ecuaciones lineales
a1x + b1y = c1
a2x + b2y = c2
Sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas. Todo par de
valores (x, y), que satisfagan simultáneamente ambas ecuaciones,
recibe el nombre de solución del sistema.
Métodos para resolver un sistema de ecuaciones lineales
a) Método de reducción
Multiplicar una o ambas ecuaciones por números, de manera que los
coeficientes de una de las incógnitas en ambas ecuaciones sea el
mismo. Después se suman o restan ambas ecuaciones para eliminar
dicha incógnita.
Ejemplo
(1)
2x – y = 4
(2)
x + 2y = –3
Multiplicando (1) por 2 y sumando con la ecuación (2)
13
4x – 2y = 8
x + 2y = –3
5x = 5
 x=1
Sustituyendo x = 1 en (1): 4(1) –2y = 8  2y = 4 – 8  y = –2
(1)
(2)
Comprobación: Se sustituye (x,y) = (1,–2) en las ecuaciones (1) y (2) y
se verifica que se cumplan ambas
b) Método de sustitución. Consiste en despejar una incógnita de una
de las ecuaciones y sustituir esta expresión en la otra
Ejemplo: Resolver el sistema
(1)
(2)
2x – y = 4
x+y=5
R: De (1) se obtiene y = 2x – 4,
Sustituyendo en (2): x + 2x – 4 = 5
3x = 9 
x=3
Sustituyendo en (1): 2(3) – y = 4  y = 6 – 4 = 2
Solución (x,y) = (3,2)
c) Solución gráfica. Consiste en trazar, en el sistema de coordenadas
rectangulares, las dos rectas que representan las ecuaciones.
La solución (x,y) es el punto de intersección de ambas.
Ejemplos:
Si las rectas son paralelas el sistema de ecuaciones es incompatible, es
decir: no tiene solución, fig b)
Si ambas ecuaciones caen en una misma recta el sistema de ecuaciones
es dependiente y se dice que tiene un número infinito de soluciones.
10. Ecuaciones de segundo grado con una incógnita
Tienen la forma general ax2 + bx + c = 0
Solución de una ecuación cuadrática. Es hallar los valores de x que la
satisfagan.
Carácter de las raíces.
a) imaginarias (números complejos conjugados)
14
b) reales
Métodos
i) Ecuaciones cuadráticas puras
Ejemplo: x2 – 4 = 0  x2 = 4 , x =  2 y las raíces son 2 y –2
ii) Descomposición en factores
Ejemplos
1) x2 – 5x + 6 = 0
(x – 3)(x – 2) = 0
Las raíces son: x = 3 y x = 2
3x2 + 2x – 5 = 0
(3x + 5)(x –1) = 0
Las raíces son: x = –5/3 y x = 1
iii) Aplicación de la fórmula general:
La solución general de ax2 + bx + c = 0, es:
2)
x=
– b  b2 – 4ac
2a
Ejemplo: Resolver 3x2 – 5x + 1 = 0
x
 (5)  (5) 2  4(3)(1) 5  13
=

2(3)
6
5  13
r1 =
6
5  13
r2 =
6
iv) Solución gráfica
Las soluciones de ax2 + bx + c = 0 son los valores que corresponden a
y = 0 en la gráfica de la parábola y = ax2 + bx + c . Esto es, las
soluciones son las abscisas de los puntos en los que la parábola corta el
eje x.
Si la curva no corta el eje x, las raíces son imaginarias.
Ejemplos: Resolver gráficamente
a) 2x2 + 3x – 5 = 0 (2x + 5) (x – 1) = 0
b) 4x2 –12x + 9 = 0 (2x – 3) (2x – 3) = 0
c) 4x2 –4x + 5 = 0
15
11. Teorema fundamental del álgebra.
Todo polinomio de grado n tiene n raíces. Las raíces pueden ser reales
o imaginarias; en este último caso aparecen en pares (complejos
conjugados).
Método gráfico para encontrar las raíces reales
Ejemplo
Hallar las raíces de la ecuación 2x3 + 3x2 –3x – 2 = 0
2x**3 + 3x**2 - 3x - 2 = 0
5
4
3
2
f(x)
1
0
-1
-2
-3
-4
-5
-3
-2
-1
0
1
2
x
En MATLAB: polinomio =[2 3 -3 -2];
roots (polinomio)
12. Ecuaciones de segundo grado con dos incógnitas
Forma general
ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f = 0
La representación gráfica depende del discriminante b2 – 4ac
i) Si b2 – 4ac < 0, la gráfica es una elipse. Sin embargo, si b = 0 y a =
c, la gráfica puede ser una circunferencia, un punto o puede no
existir.
ii) Si b2 – 4ac = 0, la gráfica es una parábola, dos rectas paralelas
coincidentes, o no existe
iii) Si b2 – 4ac > 0, la gráfica es una hipérbola, o dos rectas que se
cortan
Ejemplos. Identificar las siguientes funciones y graficar con Excel
1) PV = cte
a=c=d=e=0
16
2) 4x2 + 9y2 = 36
3) 4x2 – 9y2 = 36
4) 4x + 9y2 = 36
13. Logaritmos
Definición de logaritmo. El logaritmo de un número positivo N en
base b, es el exponente x al que hay que elevar la base para obtener
dicho número.
bx = N
exponencial
o bien,
x = logb N
logarítmica
Relaciones equivalentes
Ejemplos 1) Como 32 = 9, el logaritmo de 9 en base 3 es 2, esto
es: 2 = log39
2) log28 es el número al que hay que elevar la base 2 para
obtener el valor 8, es decir log28 = 3.
Propiedades de los logaritmos
i) El logaritmo del producto de dos números es igual a la suma de los
logaritmos
logbMN = logbM + logbN
ii) El logaritmo del cociente de dos números es igual a la diferencia de
los logaritmos de ambos
M
logb N = logbM – logbN
iii) El logaritmo de la potencia p de un número es igual al producto del
exponente p por el logaritmo del número
logbMp = p logbM
Ejemplos 1) log2(3.5) = log23 + log25
17
2) log10 24 = log1017 – log1024
3) log7(53) = 3log7(5)
4) log10 3 2 = log10(21/3) = 13 log102
U2V3
5) log W4 = log(U2V3) – logW4 = logU2 + logV3 – logW4
= 2logU + 3logV – 4logW
Logaritmos decimales. Sistema de logaritmos cuya base es 10. Cuando
no se escribe la base, se sobreentiende que es base 10.
log25 = log1025
log10 = 1
17
10log x  x
Logaritmos naturales. Tienen la base e (número irracional). Se
representa: ln(x)
e = 2.71828182845904523536028747135…
ln e = 1
eln x = x 10log10 x  x
Logaritmos de números comunes
Número N 0.0001 0.001 0.01 0.1 1
forma
10–4
10–3 10–2 10–1 100
exponencial
log N
–4
–3
–2 –1 0
10 100 1000 10000
101 102 103
104
1
2
3
4
Antilogaritmo. Es la operación inversa a la obtención del logaritmo
Ejemplos 1) log–1(–3) = 10–3 = 0.001
2) antilog(3) = 103 = 1000;
antilog(log 1000) = 1000
Ecuaciones con logaritmos
Ejemplo 1) Despejar x de log2 x = y + c
x = 2y+c
2) Despejar a de log a = 2 log b
log a = log b2
a = b2
3) Despejar I de ln I = lnI0 – t
ln I = lnI0 – t ln e = ln I0 + ln e–t = ln(I0e–t)
Tomando antilogaritmos de ambos lados:
I = I0 e–t
4) Obtener y de – 2log x + 3log y = 4log z – 2
3log y = 4log z + 2 log x – 2log10
log y3 = logz4 + log x2 + log 10–2
log y3 = log z4x210–2
tomando antilogaritmos a ambos lados:
y3 = z4x210–2
y  3 z 4 x 2 10 2
14. Determinantes y sistemas de ecuaciones lineales
Determinantes de segundo orden
18
a1 b1
a2 b2 = a1b2 – b1a2
a1, a2, b1, b2 : Elementos del determinante
Ejemplo
2
3
1  2
= 2(–2) – 3(–1) = –1
Sistemas de dos ecuaciones lineales. Se pueden resolver empleando
determinantes:
Dado el sistema
a1x + b1 y = c1
a2x + b2y = c2
La solución está dada por:
c1 b1
c2 b2
x=
a1 c1
a2 c2
,
a1 b1
a2 b2
y=
a1 b1
a2 b2
Regla de aplicación (Regla de Cramer)
a1 b1
i) Los denominadores son el determinante  = a b en el que sus
2 2
elementos son los coeficientes de x y y dispuestos como en las
ecuaciones dadas (determinante de los coeficientes).
ii) El numerador para cada incógnita se forma a partir del determinante
de los coeficientes, , sustituyendo la columna de los coeficientes de la
incógnita que se despeja por la columna de términos independientes
Ejemplo: Resolver el sistema
2x + 3y = 8
x – 2y = –3
2 3
 = 1 –2 = (2)( –2) –3(1) = –7
8 3
–3 –2
x=
y=
–7
2 8
1 –3
–7 =
=
8(–2) – 3(–3)
=1
–7
2(–3) – 8(1)
=2
–7
19
Determinantes de tercer orden.
i) Desarrollo mediante determinantes de menor orden
(método de Kronecker)
a1 b1 c1
b2 c2
a2 c2
a2 b2
a2 b2 c2 = a1
b3 c3 –b1 a3 c3 + c1 a3 b3
a3 b3 c3
Menor complementario de a1
(al suprimir la fila y la columna donde está a1 en el determ original)
Signo de a1 = (-1)i+j
Donde i es la fila y j es la columna donde está a1
=a1(b2c3–c2b3) –b1(a2c3–c2a3)+c1(a2b3–b2a3)
ii) Desarrollo por combinación (Regla de Sarrus)
*****Sólo para determinantes de 3er. Orden*****1
Se escribe el determinante y se repiten las dos primeras columnas
a1
b1
c1 a1 b1
a2
b2
c 2 a 2 b2
a3
b3
c3 a3 b3
–
+
a) Se multiplican los elementos de las diagonales, en el sentido de
izquierda a derecha afectando a cada producto con el signo +
b) Se multiplican los elementos de las diagonales, en el sentido de
derecha a izquierda afectando a cada producto con el signo –
c) La suma de los seis productos es el desarrollo del determinante.
3
Ejemplo: Desarrollar 6
2
2
1
1
2 3
Solución:
3 2
6
1
2 3
2 3
2
1 6
1
2
2 2 3
Larson, R. E. , et al, Álgebra Intermedia, 2ª ed., McGraw-Hill, México, pág 316,
2000
1
20
–
+
 = (3)(1)(2) + (–2)( –1)( –2) + (2)(6)( –3) – (2)(1)( –2) – (3)( –1)( –3)
– (–2)(6)(2)
= –15
Ejemplos:
1) Resolver el sistema
x + 2y –z = –3
3x + y + z = 4
x – y + 2z = 6
1
= 3
x
2 1
1
1 = 1[2+1] –2[3.2–1] –1[–3–1] = 3 –10 + 4 = –3
1 1
2
3
2
1
4
6
1
1
1
2
=
3
-3[2+1]-2[8-6]-1[-4-6] -9 -4 + 10
=
=1
-3
-3
1  3 1
y=
3
1
4
6
1
3
2 3
3 1
1 1
1
2
4
6
=
1[8-6]-(-3)[6-1]-1[18-4] 2 + 15 -14
=
= –1
-3
-3
1[6+4] –2[18–4] –3[–3–1] 10 – 28 + 12
=
=2
–3
–3
3
2) Resolver el sistema de ecuaciones
2x + y – z = 5
3x –2y + 2z = –3
x – 3y – 3z = –2
z=
=
2 1 –1
 = 3 –2 2 = 42
1 –3 –3
5 1 –1
–3 –2 2
–2 –3 –3
x=
42
42
= 42 = 1,
2 5 –1
3 –3 2
1 –2 –3
y=
42
84
= 42 = 2,
21
2 1 5
3 –2 –3
1 –3 –2
z=
42
=
–42
= –1
42
22