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TEMA 1
FUNDAMENTOS PARA EL
ANÁLISIS GRÁFICO
M.I. Darío Rodríguez
Facultad de Ingeniería, UNAM
1
Definición 2.
Si tres o más puntos diferentes tienen la
propiedad de estar sobre la misma recta,
entonces se dice que dichos puntos son
colineales.
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Definición 3.
Sean O y A dos puntos sobre una recta r. El
conjunto formado por O y todos los puntos de
r que están del mismo lado de A con respecto a
O se llama semirrecta. El punto O se denomina
vértice de la semirrecta (símbolo: → ).
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Definición 4.
El conjunto formado por dos semirrectas que tienen
el mismo vértice se llama ángulo (símbolo: <). Si las
dos semirrectas coinciden, entonces el ángulo que
determinan se llama nulo o perígono. Si las dos
semirrectas no coinciden pero están sobre una misma
recta, el ángulo se llama llano.
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Definición 5.
Por extensión, se considerará también que al
conjunto formado por una semirrecta y un segmento,
tales que el vértice del primero coincida con un
extremo del segundo, o bien, al conjunto de dos
segmentos tales que un extremo del primero coincida
con un extremo del segundo, se le denominará
ángulo, siendo en estos casos el vértice del ángulo el
punto de coincidencia.
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Definición 6.
Para todo ángulo se considerará a una de sus
semirrectas como la de inicio y la otra como la
semirrecta de término. Todo ángulo no nulo divide al
plano en dos regiones: la que queda comprendida
desde la semirrecta de inicio hasta la de término en
sentido dextrógiro (antihorario) se le llamará región
interior del ángulo y a la otra se denominará región
exterior del ángulo.
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Definición 7.
Dos ángulos que tienen un mismo vértice y una
semirrecta común, y que la semirrecta no común del
segundo no esté contenida en la región interior del
primero, reciben el nombre de ángulos adyacentes.
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Definición 8.
Dos ángulos adyacentes tales que sus semirrectas no
comunes no son coincidentes y pertenecen a la
misma recta se denominan ángulos suplementarios.
8
Axioma 2 Congruencia
1. Todo ángulo (segmento) es congruente a sí mismo, es
decir, si las dos semirrectas (extremos) de dos ángulos
(segmentos) dados coinciden respectivamente,
entonces los dos ángulos (segmentos) son
congruentes (A: identidad).
2. Si un ángulo (segmento) es congruente a otro,
entonces el segundo es congruente al primero (A:
reciprocidad).
3. Si un ángulo (segmento) es congruente a otro, y éste a
su vez es congruente a un tercero, entonces el
primero es congruente al tercero (A: transitividad).
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Definición 9
Se llama ángulo recto a aquel ángulo que es
congruente a su ángulo suplementario
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Definición 10
Dos rectas m y n son perpendiculares si se cortan
entre sí formando ángulos adyacentes congruentes,
es decir, ángulos rectos.
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Definición 11
Dos ángulos tales que la suma de sus medidas es
equivalente a un ángulo recto se les llama ángulos
complementarios.
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Axioma 3
Todo segmento o ángulo se puede subdividir de una
única manera en n segmentos (ángulos) adyacentes
congruentes, para cualquier entero positivo n (A:
subdivisión).
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Axioma 4
La medida del todo es equivalente a la
suma de las medidas de sus partes (A: ∀= Σ partes).
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Axioma 5
Una medida (cantidad) puede ser sustituida por
otra equivalente, en cualquier expresión o ecuación
(A: sustitución).
15
Definición 12
Se denomina grado sexagesimal, o simplemente
grado, a la medida de un ángulo correspondiente a la
nonagésima parte de un ángulo recto. Por tanto, el
ángulo recto tiene una medida de 90 grados
sexagesimales, que se escribe como 90°.
16
Definición 13
Se dice que dos segmentos son adyacentes si están
situados sobre una misma recta, tienen un extremo
común y ningún extremo de uno está entre los
extremos del otro.
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Definición 14
Al punto que divide a un segmento en dos
segmentos adyacentes congruentes se le denomina
punto medio.
18
Definición 15
A la semirrecta que divide a un ángulo en dos
ángulos adyacentes congruentes se le llama bisectriz.
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Definición 16
Al conjunto de n puntos diferentes con n mayor o
igual a tres,𝐴1 , 𝐴2 , …,𝐴𝑛 , 𝐴𝑙 , no tres de ellos
consecutivos colineales, y de los n segmentos
𝐴1 𝐴2 , 𝐴1 𝐴2 , … , 𝐴𝑛−1 𝐴𝑛 , 𝐴𝑛 𝐴𝑙 determinados, tal que
ninguno de dichos segmentos se interseca con otro se
denomina polígono simple.
A los puntos se les llama vértices del polígono,
siendo cada uno de los segmentos mencionados un
lado del polígono.
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Definición 17
Dos polígonos con el mismo número de lados se llaman
semejantes si cumplen:
1. que exista una correspondencia uno a uno entre los
lados de uno y otro polígono, de manera que los lados
de ambos polígonos sean respectivamente
proporcionales; dos lados que se corresponden de
esta manera se denominan lados homólogos;
2. que los ángulos formados entre cada pareja de lados
adyacentes de un polígono sean congruentes,
respectivamente, a los ángulos formados por los lados
homólogos del segundo; a los ángulos que se
corresponden de esta manera se conocen como
ángulos homólogos.
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Definición 18
Dos polígonos con el mismo número de lados son
congruentes si todos sus lados homólogos son
congruentes y todos sus ángulos homólogos son
congruentes.
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Definición 19
Al polígono simple que tiene tres vértices y, por
consiguiente, tres lados se denomina triángulo.
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Definición 20
Dos triángulos que tienen sus tres lados homólogos
congruentes y sus tres ángulos homólogos
congruentes se llaman triángulos congruentes
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Axioma 6
Si dos triángulos tienen dos lados homólogos
congruentes y los ángulos homólogos determinados
por dichos lados también congruentes, entonces los
dos ángulos opuestos a dichos lados son
respectivamente congruentes.
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Criterios de congruencia de triángulos
Los siguientes teoremas se pueden demostrar, por
limites del curso se omiten las demostraciones
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Teorema 1 (congruencia)
Dos triángulos son congruentes si tienen
respectivamente congruentes dos lados y el ángulo
formado por dichos lados (LAL = Lado-Ángulo-Lado).
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Teorema 2 (congruencia)
Dos triángulos son congruentes si tienen 2 ángulos y
el lado adyacente a ellos respectivamente iguales.
(ALA)
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Teorema 3 (congruencia)
Dos triángulos son congruentes si tienen sus lados
iguales. (LLL)
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Teorema congruencia - Ejercicio
En la siguiente fi gura .Determina si los siguientes
triángulos son congruentes y encuentra los valores de
x y y.
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Teorema congruencia - Solución
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Definición 21
Un ángulo de un triángulo y un lado del mismo
se denominan opuestos (uno del otro) si el
vértice del ángulo no pertenece al lado. En caso
contrario se llaman adyacentes (uno del otro).
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Definición 22
Un triángulo se llama rectángulo si tiene un
ángulo recto. El lado opuesto al ángulo recto se
denomina hipotenusa. Los otros lados se llaman
catetos.
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Definición 23
Al triángulo que tiene sus tres lados congruentes
se le denomina triángulo equilátero.
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Definición 24
Se conoce como triángulo isósceles a aquél que
tiene dos lados congruentes.
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Convención
H: hipótesis
D: Definición
A: Axioma
T: Teorema
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Teorema 4
En todo triángulo isósceles, los ángulos opuestos
a los lados congruentes son congruentes
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qed
Las siglas qed significan “que es lo que había que
demostrar”, y provienen de la frase latina
“quod est demostrandum”.
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Teorema 5
Por un punto cualquiera del plano puede
trazarse una perpendicular a una recta dada, y
sólo una
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Definición 25
A cualquiera de los lados de un triángulo se le puede
denominar base del triángulo, y con respecto a él, al
segmento trazado desde el vértice del ángulo opuesto
hasta su intersección con dicha base y perpendicular a
ella se le conoce como altura del triángulo
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Definición 26
En el plano, dos rectas se llaman paralelas si
coinciden, o bien, si no tienen ningún punto común.
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Axioma 7
Dados un punto y una recta en el plano, existe una recta
paralela, y sólo una, a la recta dada que pasa por el
punto (A: Euclides).
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Definición 27
Dos rectas que se intersecan determinan cuatro
ángulos, cada uno de ellos formado por dos
semirrectas consecutivas. A cada pareja de
ángulos así formados que no sean
suplementarios se denomina ángulos opuestos
por el vértice.
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Teorema 6
Los ángulos opuestos por el vértice son
congruentes
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Teorema 7
Si una recta r es perpendicular a otra recta s, y
dicha recta s es perpendicular a una tercera
recta t, entonces la recta r es paralela a la recta t
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Teorema 8
Si una recta es perpendicular a una de dos
paralelas, entonces es perpendicular a la otra
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Definición 28
Al polígono simple que tiene cuatro vértices y,
por consiguiente, cuatro lados se le llama
cuadrilátero.
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Definición 29
Se llaman ángulos opuestos de un cuadrilátero a
las dos parejas de ángulos cuyos vértices no son
consecutivos.
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Definición 30
Se conoce como lados opuestos de un
cuadrilátero a las dos parejas de lados que no
tienen ningún extremo común. A los lados que
tienen un extremo común se les llaman lados
adyacentes.
49
Definición 31
Al cuadrilátero que tiene una de sus parejas de
lados opuestos paralelos entre sí se denomina
trapecio.
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Definición 32
Se llama paralelogramo al cuadrilátero que tiene
sus dos parejas de lados opuestos paralelos
entre sí. A uno de sus lados se le llama base del
paralelogramo, y con respecto a él, al segmento
trazado desde alguno de los vértices no
coincidentes con dicho lado y perpendicular a
éste se le conoce como altura del paralelogramo.
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Definición 33
Se conoce como rectángulo al cuadrilátero que
tiene todos sus ángulos congruentes. A uno de
sus lados se le llama base del rectángulo, y con
respecto a él, a cualquiera de sus lados
adyacentes se le denomina altura del rectángulo.
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Definición 34
Al cuadrilátero que tiene todos sus lados
congruentes así como todos sus ángulos
congruentes se le llama cuadrado.
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Ejercicio
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