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LÓGICA MATEMÁTICA
FUNDAMENTOS DE LÓGICA
Introducción a la Lógica
Es la que determina si un razonamiento es válido o
no.
Algunos precursores de la lógica pudieron verificar
que esta ciencia casi expresada en su totalidad en
palabras no hacía posible una fácil aplicación
sobre temas matemáticos cuyo procedimiento y
desarrollo se quería comprobar, por lo que se
introdujo símbolos que representan las
definiciones y reglas dadas por la lógica,
creándose por consiguiente la lógica simbólica,
llamada lógica matemática
FUNDAMENTOS DE LÓGICA
La lógica matemática usa lenguajes formales
definidos artificialmente para formular
enunciados acerca del mundo al que se
refieran en un momento dado nuestros
razonamientos, es por ello que en la
actualidad también se la conoce como la
lógica formal o matemática.
Lógica Proposicional
• Lógica Proposicional – Sintaxis
Estudia los enunciados como un todo y sus
relaciones con otros enunciados.
Proposición es aquel enunciado que afirma o
niega algo y que puede ser verdadero (V) o
falso (F).
• sólo tiene dos categorías de clasificación: las
proposiciones verdaderas y las proposiciones
falsas.
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• Ejemplos
No son proposiciones, los enunciados donde no es posible determinar
el valor de verdad, es decir si son verdaderos o falsos.
Ejemplo:
• ¿Cómo estás?
• - ¡Dios mío!
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• El lenguaje formal de la lógica de
proposiciones resulta de un análisis lógico
simple del lenguaje natural, basado en la
distinción entre dos clases de enunciados o
proposiciones: Simples o Compuestos
Lógica Proposicional
Lógica Proposicional
• Conjunto de símbolos con los que trabaja el
lenguaje de la lógica proposicional.
• símbolos utilizados para representar los
enunciados, las principales conectivas lógicas
que se utilizan para construir enunciados
compuestos y la jerarquía de las mismas
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• Jerarquía de conectivas.
• En términos formales la negación de p, deberá ser ( ¬ p), así como
la conjunción de p y q sería (p ^ q).
• Con el uso de paréntesis evitamos la ambigüedad, por ejemplo ¬p ^
q podría significar dos cosas distintas
Por un lado podría significar: (( ¬ p) ^ q) O también: ( ¬ (p ^ q)).
En la práctica para no usar tantos paréntesis se considera que el
operador ¬ tiene jerarquía sobre ^, v, →, ↔. Es decir va desde
menor jerarquía hasta el de mayor.
Así: ¬ p ^ q significa (( ¬ p)^ q)
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• En algunos casos se considera ^, v tienen
mayor jerarquía que ↔ por lo que:
p ↔ q v r sería (p ↔ (q v r)) y también que ^
tiene prioridad sobre v, por lo que:
p ^ q v r sería (p ^ q) v r
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• Ejemplo:
• Considerando la jerarquía entre conectivas, la
fórmula ¬p v q → p ^ r, se reconocería como:
• Ejercicio:
Representar la fórmula mediante utilizando
símbolos de agrupación/puntuación
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• Conectivas Lógicas
Aquellas partículas de enlace del lenguaje
natural que permiten unir enunciados simples.
• Éstas tienen un significado en el lenguaje de la
lógica proposicional, y los enunciados un valor
de verdad.
• Cinco conectivas principales utilizadas para la
construcción de nuevas proposiciones.
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• Ejemplo:
• Ejercicio:
• Simbolice cada una de las proposiciones
señaladas en el ejemplo
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• Valor de verdad de la negación, conjunción,
disyunción, condicional y bicondicional.
• Para formar expresiones compuestas
necesitamos conectivos lógicos, empezaremos
por un conectivo unitario; esto es, se aplica a
una proposición sola.
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La Negación
La operación unitaria de negación, ¨”no es cierto
que” se representa por “¬” y tiene la siguiente
tabla de verdad de verdad
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• Conjunción
• La conjunción de las proposiciones p, q es la
operación binaria que tiene por resultado p y
q, se representa por p^q.
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• La conjunción nos sirve para indicar que se
cumplen dos condiciones simultáneamente.
• Ejemplo, si tenemos el enunciado:
La función es creciente y está definida para los
números positivos.
Simoblizamos como p ^ q, donde:
p: la función es creciente
q: la función esta definida para los números positivos
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• Ejemplo 2:
• El número es divisible entre 3 y está representado
en base 2.
p: el número es divisible por 3
q: el número está representado en base 2
p^q
• Para que la conjunción p ^ q sea verdadera las
dos expresiones que intervienen deben ser
verdaderas y sólo en ese caso como se indica por
su tabla de verdad.
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• Disyunción
La disyunción de dos proposiciones p, q es la
operación binaria que da por resultado p ó q,
notación “p v q”, y tiene la siguiente tabla:
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• Basta con que una de las proposiciones sea
verdadera para que la expresión p ∨ q sea
verdadera.
• Ejemplo:
El libro se le entregará a Juan o el libro se le
entregará a Luis.
• Simbolizando: p v q
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• Condicional
• La condicional de dos proposiciones p, q da
lugar a la proposición; si p entonces q, se
representa por p → q.
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• El único caso que resulta falso es cuando el
primero es verdadero y el segundo falso.
• Ejemplo:
Si llueve entonces hay nubes
p:llueve
q: hay nube
p→q
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• Bicondicional
• La bicondicional de dos proposiciones p, q da
lugar a la proposición; p si y sólo si q, se
representa por p ↔ q.
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• Construcción de Tablas de Verdad
Si P y Q son proposiciones atómicas unidas con conectivas lógicas de la siguiente
manera: ¬p v q
Pasos:
1. Como se está trabajando con dos variables, entonces se tendrán
filas
en la tabla de verdad, que son a la vez las combinaciones de los valores de
verdad de las variables.
2. Procedemos a dibujar la tabla separando hacia la izquierda las variables que
intervienen, como tienen que dar 4 filas, la primera proposición tendrá dos
valores de verdad con “V” y dos con “F”, y la proposición “q” tendrá
intercalado los valores de verdad de la siguiente manera:
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Hallar las tablas de Verdad de:
• a) [¬P ^ Q] → [ P v ¬ Q]
• b) [ P v ( Q ^ R)] ↔ [( P v Q) ^ (P v R)]