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Introducción lenguaje Natural
Lógica Formal: Lenguaje + Razonamiento
El lenguaje natural es un instrumento de comunicación humana, que se
caracteriza por su gran flexibilidad: es sabido que no siempre es necesario
expresar una frase completa o incluso correcta para que sea entendido el
mensaje. Además, el lenguaje natural está lleno de redundancias,
ambigüedades, etc. Estas características hacen que la Lógica Formal no esté
interesada en él. Por el contrario, la lógica pretende ser una ciencia rigurosa y
universal que permita realizar cálculos exactos. Para ello, requiere el diseño de
un lenguaje artificial en el cual:
- lo que importe sea la forma o aspecto externo, y no el significado de las frases;
- sólo los mensajes que cumplan rigurosamente las normas sintácticas sean
aceptados como correctos.
Por otra parte, sabemos que las posibilidades de uso del lenguaje son muchas.
La lógica, básicamente, sólo se ocupa de aquellos discursos que se caracterizan
porque sus afirmaciones tienen un valor de verdad, esto es, están formados por
enunciados simples de los que podemos decir si son verdaderos o falsos.
Además, la lógica formal es una de las ciencias que estudian el conocimiento.
Pero no se ocupa de la actividad de conocer, sino del resultado, lo que llamamos
conocimiento, el cual se encuentra normalmente fijado en el lenguaje. El
conocimiento puede producirse de dos formas:
- Por constatación de hechos o ideas.
- Por deducción, esto es, a partir de ciertos conocimientos se obtienen otros
cuya afirmación se sigue de los anteriores.
En síntesis, la lógica es la disciplina que trata de los métodos de razonamiento.
En un nivel elemental, la lógica proporciona reglas y técnicas para determinar si
es o no válido un argumento dado.
El principal aporte que la lógica hace a las ciencias se refiere a la ordenación,
estructuración y análisis de las verdades conocidas. El razonamiento lógico se
emplea en matemática para demostrar teoremas; en ciencias de la computación,
para verificar si son o no correctos los programas y para demostrar teoremas; en
las ciencias físicas y naturales, para sacar conclusiones de experimentos, y en
las ciencias sociales y en la vida cotidiana, para resolver una multitud de
problemas. Ciertamente, el razonamiento lógico se usa en forma constante.
La lógica formal estudia primeramente la formalización del lenguaje natural, y
luego los principios de la inferencia válida. Una inferencia, razonamiento,
argumento o deducción es un tipo de pensamiento que se caracteriza porque en
él se produce siempre el paso de una serie de conocimientos (que se llaman
premisas) a otro conocimiento nuevo (que llamamos conclusión).
La lógica formal se estudia en dos niveles, que dependen de la complejidad a la
hora de la simbolización:
- Lógica de Proposiciones, en el cual el elemento básico en la formalización del
lenguaje es la proposición, aserción o enunciado simple.
- Lógica de Predicados, donde los elementos básicos en la formalización del
lenguaje son los componentes de la proposición, es decir, los términos y los
predicados.
En cuanto a la definición de la validez de las fórmulas y de los razonamientos,
hay dos líneas principales de estudio para cada uno de los niveles citados :
-
Teoría Interpretativa (método semántico): Estudia la validez semántica de
fórmulas y argumentos en base a la relación entre significados
("verdadero" o "falso") de sus componentes proposicionales.
-
- Teoría de la Demostración (método axiomático): Estudia la validez de
fórmulas, en base a su derivación a partir de una fórmulas válidas
definidas axiomáticamente y mediante la aplicación de reglas válidas.
Lógica proposicional
1.1.1. El lenguaje formal de la lógica proposicional
El lenguaje formal de la lógica proposicional está formado por dos elementos:
Proposiciones
Conectivos lógicos
Proposiciones ( frases declarativas simples o aserción o enunciado) . Una
proposición es la mínima unidad del lenguaje con contenido de información
sobre la que es posible pronunciarse con un verdadero o con un falso, pero no
ambas cosas. Si una proposición es verdadera, diremos que su valor de verdad
es verdadero; si una proposición es falsa, su valor de verdad es falso. Pueden
ser de varios tipos:
1. Proposiciones de acción con sujeto no determinado: "Hace frío", "Llueve".
2. Proposiciones de atribución de propiedades a sujetos determinados: "Ana
es estudiosa".
3. Proposiciones de relación: "Ana es prima de Eduardo", "Comodoro
Rivadavia está entre Trelew y Caleta Olivia".
Ejercicio 1. ¿Cuáles de las siguientes son proposiciones ? De serlo, indicar su
valor de verdad.
¿Es
proposición?
(a) La Tierra es redonda.
(b) 2 + 3 = 5
(c) ¿ Entendió algo hasta ahora ?
(d) x = 3.
(e) Tomé un vaso de agua.
(f) La temperatura en la superficie del planeta
Venus es 800ºF.
(g) Mañana habrá viento.
Valor de
verdad.
En matemática, las letras x, y, z, ... denotan, a menudo, variables que pueden
ser reemplazadas por números reales, y estas variables pueden combinarse con
las operaciones comunes +, ×, -, y ÷.
Una variable proposicional es una variable que puede ser reemplazada por una
proposición. Usaremos las letras p, q, r, ... para simbolizar a las variables
proposicionales. Un enunciado que contenga al menos una variable
proposicional se dice una forma o fórmula proposicional.
Ejemplo 1. Usaremos la notación
p: Llueve.
q: Hace frío.
para definir a p como la proposición "Llueve" y q como la proposición "Hace frío."

Cuando no se preste a confusión hablaremos indistintamente de proposición o
forma proposicional. La diferencia entre ellas es que toda proposición tiene un
valor de verdad mientras que una forma proposicional es una expresión cuyo
valor de verdad no puede ser determinado hasta que las variables
proposicionales no sean sustituidas por las proposiciones.
Conectivos (u operadores lógicos). Los conectivos lógicos son los elementos
que permiten construir frases nuevas a partir de las existentes, obteniendo
nuevos significados.
Las proposiciones compuestas son aquellas que resultan de combinar por medio
de conectivos lógicos proposiciones o variables proposicionales. A las
proposiciones o variables proposicionales que las componen se las llama
operandos.
Ejemplo 2. Combinando las proposiciones del Ejemplo 1 con el conectivo y
podemos formar la proposición compuesta p y q: "Llueve y hace frío". 
A continuación veremos todos los conectivos lógicos que consideraremos en
nuestro estudio.
Negación
Si p es una proposición, la negación de p es la proposición no p, denotada por ~
p (en algunos textos también se utiliza ¬p, o bien
).
Expresión en lenguaje
natural
no p
no ocurre que p
no es cierto que p
es falso que p
no es el caso de p
etc.
TABLA DE VERDAD
p
~p
V
F
F
V
Estrictamente hablando, no no es un conectivo, dado de que no une dos
proposiciones, y ~p no es en realidad una proposición compuesta. Sin embargo,
no es una operación unaria, en el sentido que actúa sobre un sólo elemento,
para la colección de proposiciones, y ~p es una proposición si p lo es.
Ejercicio 2. Dar la negación de las siguientes proposiciones.
(a) p: 1 + 1 = 3.
(b) q: Yo salgo de casa.
Conjunción
Si p y q son proposiciones, la conjunción de p y q es la proposición compuesta
"p y q", denotada por p  q. El conectivo y se denota por el símbolo  .
Expresión en lenguaje
natural
p y/e q
p aunque q
p pero q
p no obstante q
p a pesar de q
etc.
Esta es una operación binaria, pues combina dos objetos, sobre el conjunto de
proposiciones. La proposición compuesta p  q es verdadera cuando ambas, p y
q, son verdaderas; de lo contrario, es falsa. Los valores de verdad de p  q en
términos de los valores de verdad de p y q son proporcionados en la tabla de
verdad que aparece a continuación:
TABLA DE VERDAD
p
q
pq
V
V
V
V
F
F
F
V
F
F
F
F
Obsérvese que para dar la tabla de verdad de p  q se necesita considerar
cuatro casos posibles. Esto se desprende del hecho de que cada una de las
proposiciones p y q puede ser verdadera o falsa.
Ejercicio 3. Formar la conjunción de p y q para cada uno de los siguientes casos.
(a) p: Llueve. q: Hace
sol.
(b) p: 1 < 7 q: -1 > -2
(c) p: Llueve q: 1 < 7
Disyunción
Si p y q son proposiciones, la disyunción de p y q es la proposición compuesta "p
o q", designada por p  q. El conectivo o se denota por el símbolo  .
Expresión en lenguaje
natural
p o/u q o ambos
o bien p o bien q
al menos p o q
como mínimo p o q
etc.
La proposición compuesta p  q es verdadera si por lo menos una de las
proposiciones p o q es verdadera; será falsa cuando ambas proposiciones p y q
sean falsas. Los valores de p  q son proporcionados en la siguiente tabla de
verdad :
TABLA DE VERDAD
p
q
pq
V
V
V
V
F
V
F
V
V
F
F
F
Ejercicio 4. Formar la disyunción de p y q para cada uno de los siguientes casos.
(a) p: 2 es un número natural. q:  es un
número racional.
(b) p: 1 < -7 q: Rawson es la capital de Santa
Cruz.
El conectivo o es más complicado que el conectivo y porque se emplea de dos
formas diferentes. Supóngase que alguien dice: "Fui en automóvil a mi trabajo o
tomé el tren para ir a mi trabajo." En esta proposición compuesta se tiene la
disyunción de las proposiciones p: "Fui en automóvil a mi trabajo" y q: "Tomé el
tren para ir a mi trabajo." Por supuesto ocurrió exactamente una de las dos
posibilidades. No podrían haber ocurrido ambas, por lo cual el conectivo o se
está usando en un sentido excluyente. Por otra parte, considérese la disyunción
"Pasé álgebra o desaprobé análisis." En este caso, ocurrió por lo menos una de
las dos posibilidades. Sin embargo, podrían haber ocurrido ambas, por lo que el
conectivo o se está usando en un sentido inclusivo. Se define entonces:
O Excluyente
Podemos definir el o excluyente, denotándolo por
de modo que p
q resulte
falso sólo cuando p y q sean ambas verdaderas o ambas falsas. Si p y q no
tienen el mismo valor de verdad, p
q resulta verdadera.
TABLA DE VERDAD
p
q
p
q
V
V
F
V
F
V
F
V
V
F
F
F
Condicional
Si p y q son proposiciones, se llama proposición condicional, o implicación a la
proposición compuesta "si p entonces q", designada por p  q. A la proposición
p se la llama antecedente (o hipótesis, o premisa) , y a la proposición q se la
llama consecuente (o conclusión). El conectivo si ... entonces se denota por el
símbolo  .
Expresión en lenguaje
natural
si p entonces q
sólo si q entonces p
p suficiente para q
q necesario para p
no p a menos que q
p sólo si q
etc.
Ejercicio 5. Escribir la implicación p  q para cada una de las siguientes
proposiciones.
(a) p: Tengo hambre. q:
Comeré
(b) p: Sopla viento. q: 3 + 2
=5
La siguiente es la tabla de valores de verdad para la proposición condicional.
TABLA DE VERDAD
p
q
pq
V
V
V
V
F
F
F
V
V
F
F
V
Si p  q es una implicación, entonces la recíproca de p  q es la implicación q
 p, y la contrapositiva de p  q es la implicación ~ q  ~ p.
Ejercicio 6. Dar la recíproca y la contrapositiva de la implicación "Si llueve,
entonces me quedo en casa."
Bicondicional
Si p y q son proposiciones, a la proposición compuesta p si y sólo si q, denotada
por p  q, se la llama bicondicional (o equivalencia o doble implicación). El
conectivo si y sólo si se denota por el símbolo  .
Expresión en lenguaje
natural
p si y sólo si q
p necesario y suficiente
para q
etc.
La tabla que se muestra a continuación proporciona los valores de verdad de p
 q. Obsérvese que p  q es verdadera solamente en el caso en que ambas, p
y q, sean verdaderas o cuando ambas, p y q, sean falsas.
TABLA DE VERDAD
p
q
pq
V
V
V
V
F
F
F
V
F
F
F
V
Ejercicio 7. ¿ Es la siguiente equivalencia una proposición verdadera ? "-2 > -4 si
y sólo si 2 < 4".
Ahora que conocemos los diferentes conectivos que vamos a utilizar, así como
sus correspondientes expresiones en lenguaje natural, podemos estudiar cómo
se definen unos en función de otros.
1º Implicación/disyunción
En lenguaje natural la frase "Si el ángulo mide 90º entonces es un ángulo recto",
equivale obviamente a " o el ángulo no mide 90º o el ángulo es recto". Por tanto,
en lenguaje proposicional la proposición compuesta p  q equivale a ~ p  q .
2º Implicación/conjunción
También, respecto a la frase anterior, podemos decir "no ocurre que el ángulo
mida 90º y no sea recto". Esto traducido al lenguaje proposicional nos indica que
la proposición compuesta p  q equivale a ~ ( p  ~ q ).
3º Disyunción/conjunción
De los dos casos anteriores resulta que en lenguaje natural las frases " o el
ángulo no mide 90º o el ángulo es recto" y "no ocurre que el ángulo mida 90º y
no sea recto" deben ser equivalentes, lo mismo que en lenguaje proposicional
ocurre con las proposiciones compuestas "~ p  q " y " ~ ( p  ~ q ) ".
4º Coimplicación
Por último, del mismo modo que en lenguaje natural la oración "Un triángulo es
rectángulo si y sólo si uno de sus ángulos es recto" equivale a "Si un triángulo es
rectángulo entonces uno de sus ángulos es recto y si uno de los ángulos de un
triángulo es recto entonces es rectángulo", en lenguaje proposicional las
proposiciones compuestas "p  q" y " (p  q )  (q  p)" son equivalentes.
1.1.2. Definición formal del lenguaje proposicional
La definición formal de un lenguaje requiere la especificación de su alfabeto y de
sus reglas de sintaxis.
1. Alfabeto: Los símbolos que podemos utilizar son los siguientes:
a. Símbolos de proposiciones: p, q, r, ...
b. Símbolos de conectivos: ~ ,  ,  ,  , ...
c. Símbolos de paréntesis: (,)
1. Reglas de sintaxis: Al igual que en el lenguaje natural no toda
combinación de proposiciones y conectivos puede ser considerada como
frase sintácticamente correcta. Así, en el lenguaje proposicional se hace
necesario definir reglas de sintaxis para la obtención de fórmulas bien
constituidas.
1º. Las fórmulas bien construidas (fbc) del lenguaje proposicional
se definen recursivamente de la siguiente manera:
a. Las letras proposicionales p, q, r, ... son fbc.
b. Si A y B son fórmulas bien construidas, también lo son: ~ A, ~ B, A  B, A
 B, A B, A  B, B  A, A  B.
c. Sólo son fbc las que se obtienen a partir de los dos apartados anteriores.
2º. Para la correcta relación entre conectivos y proposiciones en
las fórmulas bien construidas:
a. No deben aparecer conectivos adyacentes, excepto la negación.
b. Es preciso definir la relación conectivos-proposiciones cuando hay más de
un conectivo en la fórmula:
o
Un conectivo afecta a la letra proposicional inmediata o al conjunto
o
de letras encerradas entre paréntesis.
Para evitar el exceso de paréntesis, se define una jerarquía de prioridades
entre conectivos:
Nivel 1 ~
(nivel menor)
Nivel 2  
Nivel 3  
(nivel mayor)
Ejercicio. Dada la siguiente afirmación del lenguaje natural: "Si voy a clase y
entiendo la lección, entonces o estudio y apruebo o me voy al cine", formalizarla
en el lenguaje proposicional.