Download Divisibilidad por 2

TEORÍA DE LOS NÚMEROS
PEDRO ECHEVERRÍA SÁNCHEZ
NÚMEROS PRIMOS Y COMPUESTOS
Número primo
Es aquel que tiene exactamente dos divisores: él
mismo y la unidad.
Ejemplos: 2, 3, 5, 7, 11, ......
El número 2 es el único número primo par.
Los números compuestos son todos aquellos que
no son primos, es decir, tienen más de dos
divisores.
El número 1 no es primo, pues únicamente tiene
un divisor; tampoco es compuesto. El 1 es llamado
unitario.
MÚLTIPLOS Y DIVISORES
Múltiplo de un número
Es aquel que lo contiene un número exacto de veces.
15 es múltiplo de 1, 3, 5, 15; 35 es múltiplo de 1, 5, 7
y de 35; 8 es múltiplo de 1, 2, 4 y 8 etc. Los
múltiplos de un número se3 forman multiplicando ese
número por la serie infinita de los números
naturales. Por ejemplo, los múltiplos de 3 se
obtienen así:

3 = 3•{0, 1, 2, 3......} = {0,3,6,9,12…}
Divisor de un número
Es aquel que lo divide un número exacto de
veces. Por ejemplo, 3 es divisor de 6; 4 es divisor
de 12; 5 es divisor de 15, etc.
Los divisores de 15 son: 1, 3, 5, 15; por otra
parte, 15 es múltiplo de 1, 3, 5, 15.
Los divisores de 60 son
1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60
CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD
Son conjunto de reglas que ayudan a determinar cuando
un número es divisible entre otro sin necesidad de estar
haciendo la operación.
Divisibilidad por 2
Un número es divisible por 2 cuando termina en cifra
par.
8, 14, 54, 382, 1876 son divisibles por 2.
Divisibilidad por 3
Un número es divisible por 3, si la suma de los dígitos
que lo componen, es múltiplo de tres.
6, 21, 69, 255, 1356 son divisibles por 3
Divisibilidad por 4
Un número es divisible por cuatro si las dos últimas
cifras (unidades y decenas) son dos ceros (00) o son
divisibles por cuatro. Doce es divisible por cuatro por lo
tanto 512 es divisible entre cuatro. Al igual que: 204 y
780, 7500...
Divisibilidad por 5
Un número es divisible por 5 si su último dígito es
0 o 5.
20, 45, 765, 1040… son divisibles por 5
Divisibilidad por 6
Un número es divisible por 6, cuando es divisible
por 2 y por 3 a la vez.
36, 66, 2436… son divisibles por 6
Divisibilidad por 7
Un número es divisible por 7, si el número que se
obtiene al separar el último dígito, multiplicarlo por 2
y restarle el número que queda, es múltiplo de 7.
Esto se ve complicado pero observa: el número 98 es
divisible por 7 porque Se separa el 9 del 8, ahora se
multiplica 8 x 2 = 16 y se resta 16 –9 = 7
245 es divisible por 7. porque se separa el último
dígito, el 5; queda 24. Ahora se multiplica 5 x 2 = 10
y se resta 24 – 10 = 14
Divisibilidad por 11
Un número es divisible por 11 cuando la
diferencia entre la suma de los valores absolutos
de sus cifras de lugar impar y la suma de los
valores absolutos de sus cifras de lugar par de
derecha a izquierda es cero o múltiplo de 11.
Por ejemplo, el número 1892 ¿será divisible entre
11?
Sumamos:
2 + 8 = 10
suma del valor absoluto de las cifras
de lugar par
9 + 1 = 10
suma del valor absoluto de las
cifras de lugar impar
10 – 10 = 0 Encontramos la diferencia. Como es
cero, entonces 1892 sí es múltiplo
de 11.
62656 es divisible entre 11, porque:
6 + 6 + 6 = 18
5+2=7
18 – 7 = 11
Divisibilidad por 9
Un número es divisible por 9 si la suma de sus
dígitos es múltiplo de 9.
Divisibilidad por 10
Un número es divisible por 10, si su último dígito es
0.
Divisibilidad por 100
Un número es divisible por 100, si sus dos últimos
dígitos son cero. .
DESCOMPOSICIÓN DE UN NÚMERO EN SUS FACTORES
PRIMOS
Descomponer un número en sus factores primos es
convertirlo en un producto indicado de factores primos.
Procedimiento
•Se divide el número entre el número primo más
pequeño que lo divida exactamente.
•Se divide el cociente de la división anterior entre el
siguiente número primo que dé división exacta.
•Se continúan efectuando cálculos hasta llegar a
un cociente igual a uno.
El número que se descompuso en sus factores
primos debe ser igual al producto de todos los
divisores resultantes.
EJEMPLO 1
Descomponer en factores primos el número 64
64 2
32 2
16 2
8 2
4 2
2 2
1
64 = 2 X 2 X 2 X 2 X 2 X 2 = 26
EJEMPLO 2
Descomponer en factores primos el número 182
182
2
91
7
13 13
182= 2 x 7 x 13
1
EJEMPLO 3
Descomponer en factores primos el número 78
78
2
39
3
13 13
78= 2 x 3 x 13
1
MÁXIMO COMÚN DIVISOR
El m.c.d. (máximo común divisor) de varios números
es aquel que como su nombre lo indica, es el mayor
número que divide exactamente al grupo de números
dados.
Puede encontrarse rápidamente dividiendo al mismo
tiempo todos los números dados por un factor común
(primo) y mediante divisiones sucesivas terminar
cuando los números que quedan sean primos entre
sí, es decir, no tienen ningún divisor en común a
excepción del 1.
EJEMPLO 1
Encontrar el m.c.d. de 20 y 80.
20
10
5
1
80
40
20
4
2
2
5
m.c.d. = 2 X 2 X 5 = 20
1 y 4 tienen un único divisor
en común que es el 1, por lo
tanto ahí termina el
proceso.
EJEMPLO 2
Encontrar el m.c.d. de 55, 66, 275
55
5
66
6
275
25
11
m.c.d. =11
El proceso termina ahí, porque 5, 6 y 25 no tienen
ningún divisor en común a excepción del 1 (en éste
caso, se dice que 5, 6 y 25 son primos relativos ó
primos entre si).
APLICACIÓN
Se tienen 3 varillas de 60 cm, 80 cm y 100 cm de
longitud respectivamente. Se quieren dividir en
pedazos de la misma longitud.
¿Qué longitud
tendrán? ¿Cuántos pedazos obtendríamos de cada
una? ¿Cuántos obtendremos en total?
60
30
15
3
80 100
40 50
20 25
4 5
2
2
5
m.c.d = 20
MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO
El m.c.m. (mínimo común múltiplo) de dos o más
números es el menor número que contiene un número
exacto de veces a cada uno de ellos, es decir, es el
menor número natural que es múltiplo común de esos
números.
Para obtener el m.c.m, Se divide cada uno de los
números dados por su menor divisor primo
sucesivamente hasta obtener que todos los cocientes
sean 1.
EJEMPLO 1
Encontrar el m.c.m. de 32 y 80
32
80 2
16
40 2
8
20 2
4
10 2
2
5 2
1
5 5
1
1
El m.c.m. de 32 y 80 es = 2 X 2 X 2 X 2 X 2 X 5 =
25 x 5 = 160
EJEMPLO 2
Encontrar el m.c.m. de 18, 24 y 40
18
24
40
2
9
12
20
2
9
6
10
2
9
3
5
3
3
1
5
3
1
1
5
5
1
1
1
El m.c.m. de 18, 24 y 40 es =
2 X 2 X 2 X 3 X 3 X 5 = 360
APLICACIÓN
Tres avisos luminosos encienden sus luces así: el
primero cada 6 segundos, el segundo cada 9
segundos y el tercero cada 15 segundos. A las 7 de
la noche se encienden simultáneamente los tres
avisos. ¿Cuántas veces coinciden encendidos los
avisos en los 9 minutos siguientes?
6
12
18
24
30
.
.
90
9
18
27
36
45
.
.
90
15
30
45
60
75
.
.
90
Calculamos el m.c.m. de los números
6
3
1
1
1
9
9
3
1
1
15
15
5
5
1
2
3
3
5
m.c.m. = 2x3x3x5 = 90
Esto significa que cada 90 segundos coincidirán encendidos
los tres avisos. Ahora bien, en 9 minutos tenemos 540
segundos; 540/90 = 6
Respuesta: los avisos coincidirán encendidos 6 veces en los
próximos 9 minutos.