Download MATEMÁTICAS I Y II. INTRODUCCIÓN. PROPIEDADES DE LAS

MATEMÁTICAS I Y II. INTRODUCCIÓN.
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PROPIEDADES DE LAS SUMAS.
La suma tiene cuatro propiedades. Las propiedades son conmutativa,
asociativa, distributiva y elemento neutro.
Propiedad conmutativa: Cuando se suman dos números, el resultado es el
mismo independientemente del orden de los sumandos. Por ejemplo 4+2 =
2+4
Propiedad asociativa: Cuando se suman tres o más números, el resultado
es el mismo independientemente del orden en que se suman los sumandos.
Por ejemplo (2+3) + 4= 2 + (3+4)
Elemento neutro: La suma de cualquier número y cero es igual al número
original. Por ejemplo 5 + 0 = 5.
Propiedad distributiva: La suma de dos números multiplicada por un tércer
número es igual a la suma de cada sumando multiplicado por el tercer
número. Por ejemplo 4 X (6+3) = 4 X 6 + 4 X 3
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PROPIEDADES DE LAS RESTAS
¿¿¿¿¿¿¿¿EXISTEN NÚMEROS NEGATIVOS??????????
Las restas NO tiene las propiedades de las sumas.
6 - 4=2
donde el 6 es el minuendo y 4 el sustraendo.
Números Naturales: son aquellos que se utilizan para contar seres o cosas. Sólo tienen
parte entera y no tienen parte decimal.
N=
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7…….
Números Enteros: aparecen cuando al dar un valor se necesita una referencia. Por
ejemplo, no es lo mismo decir que estamos a -25 ºC que a +25ºC, puesto que el primer
valor indica frío y el segundo valor, calor. Tampoco es igual decir que estoy a +600
metros que a -20 metros puesto que el primer valor nos indica estar en lo alto de una
colina por encima del nivel del mar, y en el segundo caso nos indica que, por ejemplo,
estamos buceando.
Los números enteros engloban también a los números naturales y tampoco tienen
decimales.
Z=
………., -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5…………..
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La resta no es una operación interna en el conjunto de los números
naturales, porque para que dos números naturales se puedan restar es necesario
que el número minuendo sea mayor que el número substraendo. Si eso no ocurre
esa resta no es posible en el conjunto de los números naturales porque el resultado
no sería un número natural.
Minuendo > Sustraendo
La resta no tiene la propiedad conmutativa, es decir, no podemos intercambiar
la posición del minuendo con la del substraendo.
La resta tampoco tiene la propiedad asociativa.
Si sumamos o restamos el mismo número al minuendo y al substraendo obtenemos
una resta equivalente.
Eje: 6 - 2= 4
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(6 + 3) – (2 + 3)= 4
9 – 5 =4
PROPIEDADES DE LAS MULTIPLICACIONES
¿Qué es una multiplicación? Si yo hago una suma tal que: 2 + 2 + 2 + 2 = 8 lo puedo
expresar como una multiplicación, es decir, cómo cuantas veces se repite un mismo
número. En este caso el número que se repite es el 2 y las veces que se repite son cuatro.
Por tanto la multiplicación sería 2 X 4 = 8, donde los términos que se multiplican se
llaman factores ( el 2 y el 4, en este caso) y el resultado es el producto (el 8).
Propiedades de las multiplicaciones:
La multiplicación tiene cuatro propiedades que harán más fácil la
resolución de problemas. Estas son las propiedades conmutativa,
asociativa, elemento neutro y distributiva.
Propiedad conmutativa: Cuando se multiplican dos números, el producto es
el mismo sin importar el orden de los multiplicandos. Por ejemplo: 4 X 2 =
2X4
Propiedad asociativa: Cuando se multiplican tres o más números, el
producto es el mismo sin importar como se agrupan los factores. Por
ejemplo (2 X 3) X 4 = 2 X (3 X 4)
Propiedad de elemento neutro: El producto de cualquier número por uno es
el mismo número. Por ejemplo 5 X 1 = 5.
Propiedad distributiva. La suma de dos números por un tercero es igual a
la suma de cada sumando por el tercer número. Por ejemplo 4 X (6 + 3) =
4X6+4X3
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OTROS NÚMEROS:
Números racionales: son los números que se pueden expresar en forma de fracción, de
manera que el numerador y el denominador sean números enteros. Por ejemplo, el 2
además de ser un número natural y entero es también racional porque se puede expresar
como 2/1. Son también números racionales 5/2 cuyo resultado 2,5 es un numero
decimal exacto. También es un número racional 2/3, cuyo resultado es 0,666666….es
2
un número periódico. Por tanto, los números racionales también se pueden expresar
como números decimales exactos y decimales periódicos (puros: 2/3= 0,666666… o
mixtos: los decimales periódicos mixtos son aquellos en los que entre la parte entera y
el periodo hay una parte decimal que no se repite, llamada anteperiodo. Así, por
ejemplo, 7/15=0'4666....) De la misma forma que veíamos en los decimales periódicos
puros, los periódicos mixtos se representan con un arco encima del periodo:
Los números racionales se representan por la letra Q =
….. -7/2; 1,46;6…..
Números irracionales: existe un conjunto de números que siendo decimales no son
racionales, puesto que no se pueden expresar como una fracción. A estos números se les
reconoce porque la parte decimal, con infinitas cifras, no es exacta ni periódica.
Ejemplos de estos números son
3,14159265….
2 = 1,414213562…; el número π que vale
AL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS RACIONALES E IRRACIONALES SE LES LLAMA
NÚMEROS REALES Y SE LES DESIGNAN POR LA LETRA R
La recta real es aquella en la que se representan y engloba a todos los números reales
(R) desde menos infinito (-∞) hasta más infinito (+∞).
-∞
0
+∞
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JERARQUÍA DE LAS OPERACIONES
Cuando nos encontramos con algún ejercicio en el que aparecen diferentes operaciones
matemáticas, no las realizaremos como “nos dé la gana” sino que las realizaremos en un
determinado orden de prioridad que es el siguiente:
1º Realizamos llaves {}, corchetes [ ] y paréntesis ( ).
2º Potencias
3º Multiplicaciones y divisiones
4º Sumas y restas
Cuando nos enfrentemos ante distintas operaciones que se encuentren en el mismo
orden de prioridad, las realizaremos siempre de izquierda a derecha.
REGLA DE LOS SIGNOS EN MULTIPLICACIONES Y DIVISIONES
(+) · (+) = +
(+) · (-) = -
(+) : (+) = +
(+) : (-) = -
(-) · (-) = +
(-) · (+) = -
(-) : (-) = +
(-) : (+) = 3
EJERCICIOS
1.- Efectúa las siguientes operaciones:
a) 8 + (5 + 3)=
b) (12 + 15) + (3 + 2 +1) + 4 + (5 +3)=
c) 150 – [18 + (5 – 3) + (6 – 2)]=
d) 40 + [25 – (3 + 2)]=
e) 3 (8 – 1) + 4 (3 + 2) – 3 (5 - 4)=
f) 6 [3 + (5 – 1) 2]=
g) 15 – [13 – (6 – 10)]=
h) (5 – 3) · (8 – 4) · (12 - 7)=
i) 18 – 40 : (5 + 6 – 3) – 48 : 12=
j) 9 – [(8 + 12) – (10 – 6)]=
k) 20: ( -4) · 2 – (8- 4 :2)=
L) 6 (3 – 5 + 4) : (-2) + 8=
m) 50 – 4 · 6 + 3 · 5 – 9 : 3=
n) 150 : (25 · 2) + 32 : (8 · 2) =
ñ) 9 · [15 : (6 – 1) – ( 9 – 3) : 2]=
2.- Aplica la propiedad distributiva en los siguientes ejercicios:
a) 9 (15 + 8 + 4) =
b) 3 (2 -1 +5) =
c) (2a – 3b + 5c) 4=
d) 5 (3 – 7 + 4) =
e) 2b (
1
a + b – 3c) =
2
3.- Sacar factor común en las expresiones:
a) 3 · 2 + 5 · 2=
b) 6 · 5 – 7 · 6 + 6=
c) ax – am + an – a=
d) 3ac + 6ab – 9ac =
e) 2c + 3c – c=
f) 3b – 6b2 + 9b2=
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TEMA 2: DIVISIBILIDAD. MÚLTIPLOS Y DIVISORES.
Elementos de una división de dos números naturales:
si r = 0 división exacta
Dividendo (D) divisor (d)
si r = 0 división inexacta
resto (r)
D= d · c + r
cociente (c)
Se llama divisibilidad a una división exacta, es decir, a la división cuyo resto es cero.
D
0
d
c
D=d·c
Según esta formula podemos decir:
* D es múltiplo de d porque al multiplicar d por c se obtiene el número natural D.
* d es divisor de D, porque al dividir D entre d se obtiene el número natural c.
Múltiplo de un número son el conjunto de números naturales que se obtiene de multiplicar un
determinado número por el conjunto infinito de números naturales: 1, 2, 3…, luego todo número tiene
infinitos múltiplos.
Por ejemplo, los múltiplos de 3 son el conjunto de números que obtengo de multiplicar 3 por el
conjunto de números naturales: 1, 2, 3, 4…. 3, 6, 9, 12, 15, 18…. Que obtengo de multiplicar 3 ·1,
3 · 2, 3 · 3, 3 · 4, 3 · 5, 3 · 6…
Divisores de un número son los números que naturales tales que la división del número por ellos es
exacta. Para calcular los divisores de un número “a” se divide el número por todos los números
naturales menores que él y si el resto da cero, entonces ese número es divisor de “a”; si el resto es
distinto de 0, entonces el número natural no es divisor. El conjunto de divisores de un número es
finito. Divisores de 10: 1, 2, 5, 10. Todo número es divisible por si mismo y por la unidad (1).
CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD:
Son reglas que nos permiten saber si un número es divisible por otro. Estos son los más importantes:
-
Un número es divisible por 2 si su última cifra acaba en 0 o número par.
-
Un número es divisible por 3 cuando la suma de sus dígitos es 3 o múltiplo de 3.
-
Un número es divisible por 5 cuando su última cifra termina en 0 o en 5.
-
Un número es divisible por 10 cuando su última cifra termina en 0.
-
Un número es divisible por 11 cuando la diferencia entre la suma de los dígitos de lugar par y la
suma de los dígitos de lugar impar es 0 o múltiplo de 11. 11 divide a 1.496 porque la suma de los
dígitos de lugar par es 1 + 9=10, y la de los dígitos de lugar impar es 4 +6 =10; la resta 10 – 10=0.
EJERCICIO:
Aplica los criterios de divisibilidad a los números 102.343 y 7.254.732.
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NÚMEROS PRIMOS
Los números primos son aquellos números que sólo tienen dos divisores: él mismo y la unidad.
El número “a” es primo si sólo puede dividirse por a y por 1.
Un número compuesto es aquel que tiene como mínimo tres o más divisores.
DESCOMPONER UN NÚMERO EN FACTORES PRIMOS. DESCOMPOSICIÓN
FACTORIAL DE UN NÚMERO.
Cualquier número puede expresarse como el producto de los factores primos que lo constituyen, para
ello es necesario descomponer ese número en sus factores primos. Para ello se va dividiendo el
número entre sus diferentes factores primos siguiendo siempre los criterios de divisibilidad
explicados, hasta obtener por último como conciente la unidad. Se prueba con los diferentes números
primos SIEMPRE de menor a mayor.
MÁXIMO COMÚN DIVISOR (M.C.D)
Se llama máximo común divisor de dos o más números al producto de sus factores primos comunes
de menor exponente. ¿Cómo se halla? Se descomponen cada uno de los números como producto de
factores primos; se escogen los factores primos comunes de menor exponente y su producto es el
M.C.D. Importante: Dos números “a” y “b” se dicen que son primos entre si, si su M.C.D vale 1.
Ejemplo: 21 y 8.
MINIMO COMÚN MÚLTIPLO (m.c.m)
Se llama mínimo común múltiplo de dos o más números al producto de sus factores primos comunes
y no comunes de mayor exponente. Se descomponen cada uno de los números como producto de
factores primos; se escogen los factores primos comunes y no comunes de mayor exponente y su
producto es el m.c.m.
EXAMEN
Cada pregunta será puntuada con 1 punto.
1.- Descompón los siguientes números e indica posteriormente si son compuestos:
a) 52
b) 45
c) 133
d) 150
e) 256
f) 41
g) 89
h) 103
i) 313
2.- Escribe los números cuya factorización es:
a) 21 · 52 · 72 =
b) 7 · 24=
c) 25 · 33 · 52=
d) 5 · 22 · 34=
3.- Descompón en factores primos los números:
a) 144
b) 60
c) 90
d) 540
e) 657
f) 78
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3.- Calcula el M.C.D y el m.c.m de los siguientes números:
a) 27 y 25
b) 150 y 175
c) 35, 75 y 85
d) 53, 74, 56 y 78.
4.- Disponemos de una plancha de contrachapado de forma rectangular que mide 52 cm de
largo por 40 cm de ancho. Se quiere cortar en cuadrados que tengan la mayor superficie
posible. a) ¿Cuáles serán sus medidas?
b) ¿Cuántos cuadrados obtendremos?
5.- Queremos cercar un campo de trigo que mide 96 m de largo y 72 m de largo. Para poner la
cerca debemos colocar unas barras de hierro donde irá fijándose la cerca; todas ellas deben ir
colocadas a igual distancia unas de otras.
a) ¿Cuál será la mayor distancia, en metros, entre las barras?
b) ¿Cuántas barras tendremos que colocar?
6.- En un árbol de Navidad hay bombillas de tres colores diferentes: amarillas, verdes y rojas.
Las primeras se encienden cada 15 segundos, las segundas cada 18 segundos y las terceras cada
10. a) ¿Cada cuántos segundos coinciden las tres bombillas encendidas?
b) En una hora, ¿cuántas veces se encienden las tres a la vez?
7.- María y Juan se turnan para ir a ver a sus padres. María va cada cinco días y Juan cada seis.
Coincidieron el día de Nochebuena (24 de diciembre)
a) ¿Cuándo volverán a coincidir?
b) ¿Cuántas visitas habrá hecho cada uno?
8.- Los autobuses de la línea 70 pasan cada 12 minutos por una parada; los de la línea 73 pasan
por ese mismo lugar cada 18 minutos; y los de la línea 9 pasan cada 15 minutos por la misma
parada. A la 1 de la tarde ha llegado un autobús de cada línea en a misma parada.
¿A qué hora volverán a coincidir los tres autobuses en la misma parada?
9.- Se quiere dividir una cartulina de 18 cm de largo y 24 de ancho, en cuadros iguales del
mayor tamaño posible. ¿Cuáles serán sus medidas y cuántos cuadrados resultarán?
10.- Se quiere dividir un solar rectangular en cuadrados lo más grandes posible. ¿Cuánto
deberá medir el lado de cada cuadrado si la longitud del solar es de 96 m y su anchura 72 m?
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