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MATEMATICA
Guía teórico-Práctica
Unidad 28
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NÚMEROS RACIONALES
CONCEPTO:
Es el conjunto que se puede expresar como cociente de dos números enteros, es decir, en forma
de fracción. Los números enteros son racionales ya que se pueden expresar como cociente de
ellos mismos por la unidad a = a/1
POTENCIA DE NÚMEROS RACIONALES
Es una multiplicación de factores iguales. En los números enteros vimos que la potencia de b
elevada a la n, es decir bn, se obtiene multiplicando la base b por si misma tantas veces como lo
indica el exponente n, es decir:
PROPIEDADES
1) Potencia de exponente cero: todo número elevado a cero da por resultado uno.
2) Potencia de exponente uno: el resultado es la base.
3) Multiplicación de potencias de igual base: los exponentes se suman.
Ejemplo:
4) División de potencias de igual base: los exponentes se restan.
Ejemplo:
2
5) Potencia de una potencia: los exponentes se multiplican
Ejemplo:
6)
Producto de potencias con el mismo exponente:
7) Cociente de potencias con el mismo exponente:
8) Potencia de exponente negativo: la base se invierte.
Ejemplo:
3
REALIZA LAS SIGUIENTES OPERACIONES CON POTENCIAS DE FRACCIONES:
4
RADICACIÓN DE NÚMEROS RACIONALES
Para calcular la raíz de un número racional, se calcula la raíz del numerador y del denominador,
aplicando la propiedad distributiva de la radicación respecto de la división o la multiplicación, según
corresponda, teniendo en cuenta las propiedades de los signos válidas para la radicación de
números enteros.
REALIZA LAS SIGUIENTES OPERACIONES CON RAICES:
OPERACIONES COMBINADAS
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ECUACIONES
Ecuación es una igualdad en la que intervienen una o más letras, llamadas incógnitas. Es decir, es
una igualdad entre expresiones algebraicas.
Las expresiones que están a ambos lados del signo igual son los miembros de la ecuación: primer
miembro el de la izquierda, segundo miembro el de la derecha.
Se llama solución de una ecuación a un valor de la incógnita, o a un conjunto de valores de las
incógnitas, para los cuales se verifica la igualdad. Una ecuación puede tener una, ninguna o varias
soluciones. Por ejemplo:
3x – 7 = x + 1 es una ecuación con una incógnita. Tiene una única solución: x = 4.
RESOLUCIÓN DE ECUACIONES
Resolver una ecuación es hallar su solución o soluciones, o bien concluir que no tiene solución.
Para resolver una ecuación, se pasa a otra equivalente cuya fisonomía sea más sencilla. Así,
mediante una serie de pasos sucesivos se llega a una última ecuación del tipo x = s en la que la
incógnita está despejada (es decir, aislada en el primer miembro), con lo que la solución es
evidente.
Por ejemplo, para resolver la ecuación:
5x – 6 = 3x + 12 se procede como se explica a continuación.
Para pasar los términos en x al primer miembro y los números al segundo miembro, se resta en
ambos miembros 3x y se suma 6, con lo que queda: 5x – 3x = 12 + 6
Y simplificando, 2x = 18.
Para despejar la x se divide por 2 en ambos miembros: x = 18/2 = 9
La solución es, evidentemente, x = 9.
RESUELVE LAS SIGUIENTES ECUACIONES
1) x + 4 = 28
2) 2x – 2 = 8
3) x + 3x = 15
4) 12 – 3x = x - 7
5) 4/5x = 20
6) 10/3x = -5/2x + 60
7) 5(3-X) = 5
8) X+1/7= -9
9) 2(X+2) = 3(X-6)
10)
11)
12)
13)
23-X = 2
-17/5+X= 30
2X= -14+21-5X
X-3/2X+7/4=23
6
14) -2.(-14)+2X= -2
15) 7x + 8/7= 3/5x – 4/5
RAZONA, ARMA LA ECUACIÓN Y RESUELVE
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
13)
14)
15)
16)
17)
18)
El doble o duplo de un número es 10.
El triple de un número es 9.
El cuádruplo de un número es 16.
La mitad de un número más tres es igual a 18.
El siguiente de un número es veinte. ¿Cual es el número?
Un número aumentado en tres es menos diez. ¿Cual es el número?
El doble del anterior de un número es igual a ocho.
¿Cuál es el número que disminuido en siete da por resultado cuatro?
El triple de mi edad dentro de diez años cera cien. ¿Cuantos años tengo? El triple de mi
edad dentro de diez años cera cien. ¿Cuantos años tengo?
El anterior de un número es quince. ¿Cual es el número?
Un número aumentado en diez es igual al doble del mismo numero disminuido en dos.
¿Cual es el número?
El doble del anterior de un número es igual a ocho.
¿Cuál es el número que disminuido en ocho da por resultado cuatro?
El doble de un número más un medio es 16 ¿Cuál es el número?
Los dos tercios de un número más 1 es igual a cinco cuartos. ¿Cuál es el número?
Le hicimos un regalo a mi sobrino que costó $ 150.- Yo pagaré un quinto del total, mi
hermana dos tercios y mi mamá el resto ¿Cuánto pagará cada una?
El triple de un número disminuido en dos quintos da por resultado cuatro tercios. ¿Cuál es
el número?
Un número aumentado en cinco tercios y disminuido en ocho medios es igual a la cuarta
parte del mismo número. ¿De que numero se trata?
INECUACIONES
Los métodos de resolución de ecuaciones e inecuaciones son similares, sin embargo, a diferencia
de las ecuaciones, las cuales usualmente tienen un número finito de soluciones, una inecuación
generalmente tiene un conjunto infinito de soluciones.
¿CÓMO RESOLVER Y REPRESENTAR ESTAS SOLUCIONES EN EL CASO DE UNA
INECUACIÓN LINEAL CON UNA INCÓGNITA?
1) DEFINICIÓN
Una inecuación es una expresión que compara dos cantidades diferentes —expresiones
algebraicas— que contienen una letra llamada incógnita.
Recuerda: los 4 símbolos de una inecuación son:
significa “menor o igual que”;
significa “mayor o igual que”;
< significa “menor que”;
> significa “mayor que”
2) SOLUCIONES DE UNA INECUACIÓN
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Decimos que un número es una solución de una inecuación si obtenemos una desigualdad que
se cumple cuando sustituimos la incógnita de la inecuación por este número.
Ejemplo: tomemos la inecuación 2x + 3 > 5.
¿Es 2 una solución? Si sustituimos x por 2 en la inecuación, obtenemos 2 × 2 + 3 > 5, es decir,
7 > 5.
Esta desigualdad es cierta, y dado que se cumple, podemos decir que 2 es una solución.
¿Es 1 una solución? Si sustituimos la x por el valor 1 en la inecuación, obtenemos 2 × 1 + 3 > 5,
esto es, 5 > 5.
Esta desigualdad no se cumple, dado que no es cierta, por lo tanto 1 no es una solución.
Resolver una inecuación significa encontrar todas sus soluciones.
3)
RESOLUCIÓN DE UNA INECUACIÓN
a) MÉTODO
El método es similar al que usamos para resolver ecuaciones lineales con una incógnita, pero con
una diferencia importante. Recordemos que en una inecuación podemos:
—sumar o restar el mismo número en ambos miembros de la inecuación;
—multiplicar o dividir ambos miembros de la inecuación por un mismo número distinto de cero,
pero si este número es negativo, debemos invertir el signo de desigualdad.
b) EJEMPLOS
Ejemplo 1: queremos resolver la inecuación 2x + 3 > 5. Simplificamos:
2x > 5 – 3
2x > 2
x > 1: la resolución termina en este último paso.
Podemos observar que esta inecuación tiene infinitas soluciones, que son todos los números
mayores que 1.
Ejemplo 2: queremos resolver la inecuación
Si resolvemos:
.
: observa que hemos invertido el signo de desigualdad.
Las soluciones de la inecuación son todos los números menores o iguales que -4.
4) REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LAS SOLUCIONES
Tomemos la inecuación del primer ejemplo de la sección anterior de nuevo, en el último paso:
x > 1.
Tenemos claro que no podemos hacer una lista de todas las soluciones, ya que son infinitas. Sin
embargo, es posible representarlas en la recta numérica, sombreando aquellos puntos que no son
8
soluciones. Así, la parte de la recta que no está sombreada representaría el conjunto de sus
soluciones.
Finalmente, debemos mostrar en la representación gráfica que 1 no es solución.
Para ello usaremos un corchete orientado de la siguiente forma:
—si el número es una solución, el corchete mirará hacia el conjunto de las soluciones;
—si el número no es solución, el corchete mirará en sentido contrario al conjunto de las soluciones
de la inecuación.
Ejemplos:
—para la inecuación del ejemplo 1 (x > 1), obtenemos la siguiente representación:
—para la inecuación del ejemplo 2 (
), obtenemos la siguiente representación:
RESUELVE LAS SIGUIENTES INECUACIONES, ESCRIBE SU CONJUNTO SOLUCION Y
REPRESENTALAS EL LA RECTA NUMERICA.
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
13)
14)
15)
16)
17)
2x – 6 > 2
1/3 – 1/2x < 0
x + 7 < 12
3x – 2x > 3
7 – 6x + 9x > 16
7x+ 21x − 28 < 0
−x+ 4x − 7 < 0
3+7>6
3+7<8
x-1<5
x-1<x+5
x-5>0
2x < 10
3 - x > 16
-3x > -15
2x - 3 > 5
2x + 5 > 3x - 8
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