Download Fuentes de Campo Magnético

FUENTES DE CAMPO MAGNÉTICO
FUENTES DE CAMPO
MAGNÉTICO
FUENTES DE CAMPO MAGNÉTICO





Campo Magnético creado por una carga
puntual en movimiento
Corrientes eléctricas, Ley de Biot y Savart
Ley de Gauss para el magnetismo
Ley de Ampere
CARGA PUNTUAL EN
MOVIMIENTO
•
Cuando una carga puntual q se mueve con
velocidad v se produce un campo magnético B en
el espacio
CARGAS EN MOVIMIENTO
•
El campo magnético B en cualquier punto está
dado por
m0 qv x r
B=
4p r 2
•
Con m0 la constante de permeabilidad en el vacío
m0 = 4p x 10 T m/A = 4p x 10 N/A
-7
-7
2
CARGAS EN MOVIMIENTO
•
Ejercicio
Una carga puntual q = 4.5 nC se mueve con
velocidad v = 3.6 x 10 3 m/s i paralelamente al
eje X a lo largo de la recta y = 3m. Determinar el
campo magnético producido en el origen por esta
carga cuando se encuentra en el punto x = -4m,
y = 3m.
Respuesta
B = -3.24 x 10
Tk
LEY DE BIOT Y SAVART
http://video.google.com/videoplay?docid=-3614547206167077169#
LEY DE BIOT Y SAVART
•
Cuando se tiene un conjunto de cargas (corriente)
a través de un elemento conductor, se genera
también un campo magnético B
LEY DE BIOT Y SAVART
•
En este caso B depende del elemento de corriente
I dl
m0 Idl x r
dB =
r2
4p
B=
m0 Idl x r
2
r
4p
LEY DE BIOT Y SAVART
•
En función de la densidad de campo magnético,
H, se escribe
dH =
•
Idl x r
4pr 2
De donde
B = m0H
LEY DE BIOT Y SAVART
•
B debido a la corriente en una espira de radio R.
Y
m0 Idl x r
dB =
r2
4p
r
|dl x r |= dl |r| sen q
R
X
Con r = 1 y
q = 90° y sen 90°= 1
|dl x r | = dl
LEY DE BIOT Y SAVART
•
Así:
m0 Idl
dB =
4p R 2
B = dB =
m0
I
4p R 2
dl
Evaluando la integral en coordenadas polares resulta:
2p
dl = R dq = 2pR
0
LEY DE BIOT Y SAVART
•
De donde:
B=
m0 I2pR
4p R
2
=
m0I
2R
LEY DE BIOT Y SAVART
•
Ejercicio
Hallar la corriente en una espira circular de 8 cm de
radio que pueda crear un campo magnético de
2G en el centro de la espira.
•
Respuesta
I = 25.5 A.
LEY DE BIOT Y SAVART
•
Para un punto P fuera de la espira
m0 I|dl x r|
m0
|dB| =
=
2
r
4p
4p
Idl
x 2 + R2
Las componentes en el
eje Y se cancelaran
para cada par de
puntos opuestos en el
circulo, así:
By = 0
LEY DE BIOT Y SAVART
•
Colocando el punto en el eje X (la espira en YZ)
m0 I|dl x r|
m0
|dB| =
=
2
r
4p
4p
Con
Idl
x 2 + R2
r 2 = x 2 + R 2 , dl y r perpendiculares y
sen q = R = R
r [x 2 + R 2 ]1/2
dBx = dB sen q =
m0
Idl
4p
x 2 + R2
R
[x 2 + R 2 ]1/2
LEY DE BIOT Y SAVART
•
Así, el campo resultante será:
Bx = dBx =
RIdl
m0
4p [x 2 +
3/2
2
R ]
=
m0
RI
4p [x 2 +
3/2
2
R ]
Con:
2p
dl = R dq = 2pR
0
•
Se tiene:
Bx =
m0
RI
4p
[x 2 +
R 2 ]3/2
2pR =
m0
2
R2 I
[x 2 + R 2 ]3/2
dl
LEY DE BIOT Y SAVART
•
En función del momento magnético m de la espira
m = IpR
2
Bx =
•
m0
2m
3/2
4p [x 2 + R 2 ]
A una distancia muy grande de la espira x>>R la
expresión se reduce a:
Bx =
m0
2m
4p | x3 |
LEY DE BIOT Y SAVART
•
Ejercicio
Una bobina circular de radio 5.0 cm tiene 12 vueltas
y se encuentra en el plano YZ. Por ella circula una
corriente de 4 A en un sentido tal que el momento
magnético de la espira está dirigido a lo largo del
eje X. Determinar el campo magnético sobre el
eje X en (a) x = 0, (b) x = 15 cm y (c) x = 3 m.
•
Respuesta
I = 25.5 A.
LEY DE BIOT Y SAVART
•
Respuesta:
a)
b)
c)
Bx =
Bx =
Bx =
m0NI
2R
m0
= 6.03 x 10 T
-4
R2 NI
2
[x 2 +
m0
2Nm
4p | x3 |
3/2=
2
R ]
1.91 x 10 T
-5
= 2.8 x 10 T
-9
LEY DE BIOT Y SAVART
•
Ejercicio
Una pequeña barra magnética de momento
magnético m = 0.03 A m 2 se sitúa en el centro de
la bobina del ejercicio anterior modo que su
momento magnético se encuentra en el plano XY
y forma un ángulo de 30° con el eje X.
Despreciando cualquier variación de B en la
región ocupada por el imán calcular la torca
ejercida sobre el imán.
•
Respuesta
t = - 9.04 x 10-6 Nm k.
LEY DE BIOT Y SAVART
•
B debido a la corriente en un solenoide
LEY DE BIOT Y SAVART
Considérese un solenoide de longitud L formado por N
vueltas de cable conductor que transporta una corriente
de intensidad I. Colocando el eje del solenoide en X
x0
Y
x1
x
dx
X
LEY DE BIOT Y SAVART
Tomando el número de vueltas por unidad de longitud
como n = N/L el elemento diferencial de corriente
será: di = nIdx
x0
Y
x1
L
x
dx
X
LEY DE BIOT Y SAVART
El campo magnético en un punto sobre el eje X por una
espira colocada en el origen será:
m0 2pR 2 nIdx
dBx =
3/2
4p [x 2 + R 2 ]
Para el solenoide completo
Bx =
m0
4p
2pR nI
2
x0
x1
dx
[x 2 + R 2 ]3/2
LEY DE BIOT Y SAVART
Así
Bx =
Bx =
Si L>>R
1
2
m0
4p
m0nI
2pR nI
2
[
x
R2 [x2 + R2 ]1/2
x1
x0
x0
[x1 + R ]
2
x1
2 1/2
+ [x 2 + R 2 ]1/2 ]
0
Bx = m0nI
Para un solenoide largo con n vueltas
LEY DE BIOT Y SAVART
•
Ejercicio
Determinar el campo magnético en el centro de un
solenoide de longitud 20 cm, radio 1.4 cm y 600
vueltas, por el que circula una corriente de
intensidad 4 A.
•
Respuesta
-2
B = 1.5 x 10 T
LEY DE BIOT Y SAVART
•
B debido a la corriente en un conductor rectilíneo
LEY DE BIOT Y SAVART
•
B debido a la corriente en un conductor rectilíneo
m0 Idx
dB =
sen f
2
4p r
m0 Idx
dB =
cos q
2
4p r
LEY DE BIOT Y SAVART
De la figura
x = y tanq
y secq = r/y
dx = y sec 2 q dq = y
r2
y2
dq
r2
dx =
dq
y
LEY DE BIOT Y SAVART
Así, para un segmento del conductor, con y = R :
m0 I r 2 dq
m0 I
dB =
cos
q
=
cos
q
dq
4p r 2 R
4p R
m0 I
B=
4p R q
q1
cos q dq
0
m0 I
B=
(sen q1 - sen q0)
4p R
LEY DE BIOT Y SAVART
Así, para el conductor completo, con q0 = -90° y
q1 = + 90° :
m0 2I
B=
4p R
LEY DE BIOT Y SAVART
•
Ejercicio
Determinar el campo magnético en el centro de una
espira de corriente cuadrada de lado L = 50cm por
la cual circula una corriente de intensidad 1.5 A
•
Solución
Para cada lado de la espira
m0 2I
BL =
(sen q1 - sen q0)
4p R
m0 I
BL =
(sen 45°- sen (-45°))
4p L/2
LEY DE BIOT Y SAVART
Y, para la espira completa:
B = 4BL = 4BL = 3.39 x 10 T
-6
LEY DE BIOT Y SAVART
•
F entre dos conductores paralelos
LEY DE BIOT Y SAVART
•
F entre dos conductores paralelos
LEY DE BIOT Y SAVART
•
El módulo de la fuerza magnética sobre el
segmento I2dl2 es
dF2 = |Idl2 x B1|
dF2 = I2dl2 B1
•
Si la distancia de separación entre los
conductores a, es mucho menor que la
longitud l, el campo es igual que el generado
por un conductor infinitamente largo
m0I1
dF2 = I2dl2
2p R
LEY DE BIOT Y SAVART
•
La fuerza por unidad de longitud es
dF2 = I m0I1 = 2 m0 I1 I2
2
dl2
2p a
4p
LI1 I2
m
0
F2 =
2p a
a
LEY DE BIOT Y SAVART
•
Ejercicio
Dos barras rectilíneas de 50 cm y separadas 1.5 mm
en una balanza de corriente transportan corrientes
de 1.5 A de intensidad en direcciones opuestas.
¿Qué masa debe situarse en la barra superior
para equilibrar la fuerza magnética de repulsión?
•
Respuesta
m = 1.53 x 10-3 g
LEY DE GAUSS PARA EL
MAGNETISMO
•
Flujo de campo magnético a través de una
superficie gaussiana
LEY DE GAUSS PARA EL
MAGNETISMO
•
El flujo magnético
a través de una
superficie cerrada
es
Fm =
S
BndA = 0
LEY DE AMPERE
•
El campo magnético B en un contorno cerrado C
es proporcional a la corriente que atraviesa la
superficie S limitada por C
C
S
B
LEY DE AMPERE
B dl = m0IC
C
C
S
B
LEY DE AMPERE
•
Para un alambre largo y recto
C
S
LEY DE AMPERE
B dl = B
C
C
C
S
dl = B 2pR
LEY DE AMPERE
•
Para un alambre largo y recto
B 2pR = m0IC
De donde
B = m0I1
2p R
LEY DE AMPERE
•
Para un solenoide
B dl = B dl = B dl = B dl = B dl
C
C1
B L = m0nLI
B = m0nI
C2
C3
C4
LEY DE AMPERE
•
•
Para un Toroide
http://www.youtube.com/watch?v=jdsUQs9w0u
w
LEY DE AMPERE
•
B debido a la corriente en un toroide
LEY DE AMPERE
Un toroide puede considerarse como un solenoide que
se dobla formando una dona.
Las líneas del campo magnético forman círculos
concéntricos dentro del toroide
B dl = B2pr = m0IC
C
LEY DE AMPERE
Si a y b son los radios interior y exterior del toroide,
la corriente total a través de la superficie limitada
por un círculo de radio r entre a y b será NI
B2pr = m0NI
B=
m0NI
2p r