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UNIVERSIDAD AUTONOMA DE COLOMBIA
FACULTAD DE INGENIERIA
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS NATURALES Y
EXACTAS
SECCION DE FISICA
ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO
LUIS FELIPE MILLAN BUITRAGO
Luis F Millán B
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
Leyes de Biot-Savart, Ampere
Luis F Millán B
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
9.1
Introducción
Unidad
IX
9.2 Objetivo General
9.3 Objetivos Específicos
9.4 Ley de Biot-Savart para un elemento de corriente
9.5 Ley de Ampere
9.6 Flujo magnético
9.7 Naturaleza solenoidal del vector campo magnético
9.8 Auto evaluación
9.9 Solucionarlo
Luis F Millán B
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
En
capitulo seguiremos describiendo las maneras en
9.1 este
Introducción
que se producen campos magnéticos, aprenderemos la
ley de Ampere, así como, la ley de Biot y Savart, que
describen los campos magnéticos que producen cargas en
movimiento, o simplemente la corriente eléctrica.
Luis F Millán B
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Emplear
y utilizar
9.2 Objetivo
generalde forma lógica las leyes de BiotSavart para determinar el campo magnético debido a una
distribución de corriente y la ley Ampere para calcular el
campo magnético producido por un sistema simétrico..
Luis F Millán B
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Familiarizar
al estudiante con el tratamiento y
9.3 Objetivos específicos
determinación de campos magnéticos en solenoides y
toroides.
Dotar al alumno de los principios básicos con el fin que
elabore diagramas de las líneas del campo magnético para
un conductor largo, una espira circular de corriente, un
solenoide, etc.
Luis F Millán B
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JeanBaptiste
Baptiste (1774-1862), matemático, físico y
Biot, Jean
astrónomo francés, nacido en París. Profesor de física en
el Collège de France en 1800, fue elegido miembro de la
Academia de Ciencias a la edad de 29 años. Biot es
conocido, sobre todo, por sus estudios sobre la rotación
del plano de la luz polarizada a medida que ésta se
transmite por una solución líquida. Fue el primero en
utilizar el polarímetro para determinar la naturaleza y la
cantidad de azúcares en una solución. Formuló también,
junto con el físico francés Félix Savart, la ley de BiotSavart que da la intensidad del campo magnético creado
por una corriente eléctrica.
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Biot de
y Biot
Savart,
Ley de, ley que permite hallar el campo
Ley
y Savart
magnético producido por una corriente eléctrica
estacionaria. A partir de esta ley se obtuvo el campo
magnético debido a una carga móvil.
Los físicos franceses Jean Baptiste Biot y Félix Savart
hallaron la relación que existe entre la intensidad de una
corriente rectilínea e indefinida y el campo magnético
creado por ella a una distancia r. Demostraron que el
módulo del campo magnético, B, es directamente
proporcional a la intensidad de la corriente e
inversamente proporcional a la distancia r: B = mo I / 2pr
donde µ0 es la permeabilidad magnética del vacío y tiene
un valor de 4p · 10-7 weber/amperio·metro."
Luis F Millán B
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Consideremos
un conductor
queelemento
lleva unadecorriente
9.4
Ley de Biot-Savart
para un
corrienteI y que
genera un campodB
magnético B.
p
^r

r
q


Para
tal de
efecto
punto Pque
que si
se un
encuentra
La ley
Biotescogemos
y Savart un
establece
alambrea
una
distancia
r de un elemento
de corrientedBI
conduce
una corriente
estable I, cualquiera
el campo magnético
dS
genera
un elemento
de elemento
campo dBde
en alambre
ese punto.
en yunque
punto
P asociado
a un
dS
tiene las siguientes propiedades.
Luis F Millán B
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El vector dB es perpendicular tanto al vector IdS como al
vector unitario ^
r
dB
^r
IdS

La magnitud de dB es inversamente proporcional a r2, donde
r es la distancia del elemento IdS a P
La magnitud de dB es proporcional a I y a la longitud dS del
elemento
La magnitud de dB es proporcional a sen q, donde q es el
ángulo entre los vectores IdS y^r.
Luis F Millán B
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La ley de Biot y Savart puede resumirse
dB = km (IdS
^r) / r2
Donde km es una constante que es exactamente 10*10-7
T-m / A. Esta constante suele escribirse mo / 4p, mo es la
constante de la permeabilidad magnética del espacio
libre:
mo / 2p = km = 2*10-7 T-m / A
 mo = 4p*10-7 T-m / A
dB = (mo/4p) (IdS
Luis F Millán B
^r) / r2
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
dB
p
Ejemplo.9.1
Campo magnético
alrededor
ununpunto
conductor
Se desea encontrar
el campo
Seleccionamos
Todos
magnético
los de
elementos
deun
alambre
IdS
Py
2
^
dB
=
(m
o
/4p)
(IdS
r)
/
r
recto
y
delgado
conductor recto, largo y delgado
un elemento
generan
que
un transporta
elemento
de corriente
una
de
r constante I en uncampo
corriente
cualquiera
punto P.dBSupongamos
IdS
dirigido
que hacia
que
se
y
IdS ^
r = Idx Senq
tenemos el alambre conductor
encuentra
fuera
colocado
de laa pantalla
una
a lodistancia
largo
en del
P. rPor
eje
de
^
r
o/4p) Idx
Senq / que
r2
x. q
P dB = (msólo
tanto,
tenemos
determinar
magnitud
del
Senq = y /lar 
r = y / Senq
IdS
campo enP.r El
de
= yelemento
Cscq
campo
un
Cotq =dB
-x /generado
y  x = -por
y Cotq
elemento
es:
 dxde
= ycorriente
(Cscq)2 IdS
dq \
dB = (mo/4p) I (y Cscq2 dq) Senq / (y2 Cscq2)
dB = (mo/4p)(I/y) Senq dq
p/2
B = (mo/4p)(I/y)  Senqdq
0
Luis F Millán B
 B = (mo/2p)(I/y)
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
Calcule
magnitud del campo magnético a 10 cm de un
Ejemplola9.2
alambre recto y largo que lleva una corriente de 2 A.
El campo magnético de un alambre recto y largo es:
B = (mo/2p)(I/y) = (4p*10-7 Tm/A / 2p)(2 A / 0.10m)
B = 4 mT
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Zde
Z
Consideremos
un
lazo
circular
radio
R
en
elunplano
YZ
Ejemplo.9.3
Campo
magnético
el eje
deIdS
lazo
Seadesea
Se
un elemento
encontrar de
elsobre
campo
corriente
magnético
que
ende
se
un
IdS
^r circular.
que conduce
unaaxial
corriente
estable
corriente
dBdistancia
z I. rdB
encuentra
punto
a puna
a una
distancia
delx punto
del centro
p y que
del
generar un elemento infinitesimal de campo
anillo.
dB ^ r.
R q magnético
a
p
x
a
q
dBx
X
Tomamos un elemento de corriente IdS
simétrico, que genera un campo dB ^ r, para
observar en que eje el elemento dB se cancela.
Y
dB
Y
By = 0 y Bz = 0 Bx = (B Cosq)^
i
Luis F Millán B
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IdS
IdS
^r
R q
^r = IdS Sen 90 = IdS
dB
r
r = (x2 + R2)½
Cos q = R / r
x
a
q
dBx
dBx = ((mo/4p)(IdS ^
r) / r2) Cosq
dBx = (mo/4p)(IRdS)
/4p) IdS (R/(x
/ (x22++RR22)½
)3/2
) /) (x2 + R2)
dBx = (moIR) / (4p (x2 + R2)3/2) dS 
2pR
2pR0
dBx = (moIR) / (4p (x2 + R2)3/2)S
Bx = (moIR2) / 2(x2 + R2)3/2
Luis F Millán B
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0
Calcule la9.4
magnitud del campo magnético en el centro de
Ejemplo
un lazo de 20 cm de diámetro que lleva una corriente
circular
I de 2 A
El campo magnético a una distancia x del
centro del lazo es: Bx = (moIR2) / 2(x2 + R2)3/2
R
Para encontrar el campo magnético en el centro
del lazo x = 0 
p
Bx = (moI) / 2R = 6.28 mT
^r
IdS
Luis F Millán B
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Ampère,
André
Marie (1775-1836), científico francés,
André Marie
Ampére
conocido por sus importantes aportaciones al estudio de
la electrodinámica. El amperio (A), la unidad de
intensidad de corriente eléctrica toma su nombre. Su
teoría electrodinámica y sus interpretaciones sobre la
relación entre electricidad y magnetismo se publicaron
en su Colección de observaciones sobre electrodinámica
(1822) y en su Teoría de los fenómenos electrodinámicos
(1826).
Luis F Millán B
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Ampère inventó la aguja astática, que hizo posible el
moderno galvanómetro Fue el primero en demostrar que
dos conductores paralelos por los que circula una
corriente en el mismo sentido, se atraen el uno al otro,
mientras que si los sentidos de la corriente son opuestos,
se repelen.
Luis F Millán B
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Supongamos que tenemos unLaalambre
conductor
que
magnitud
del campo
9.5
Ampere I saliendo de
llevaLey
unadecorriente
la pantalla. Las líneas de
magnético
B forman círculos concéntricos alrededor del alambre.
B
=
m
o I / (2pR)
B
Por simetría, la magnitud de B es la misma en todos los
 B (2pR)
= moen
I el
puntos sobre una trayectoria circular
centrada
alambre.
Se puede interpretar que
2pR esI yladelongitud
de la
Mediante la variación de la corriente
la distancia
R
trayectoria
circular
desde el alambre, se encuentra que B es directamente
del alambre,
B la
proporcional a la corriente I e alrededor
inversamente
proporcional
componente del campo
B
a la distancia R desde
el alambre.
tangencial a la trayectoria
eI
la corriente a través del área limitada por la trayectoria.
Luis F Millán B
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q
Ampere generalizo el
resultado
para
B trayectorias y alambres
de cualquier forma.
una
q Consideremos
trayectoria
arbitraria
alrededor de la corriente
que sale de la pantalla
B
Para un desplazamiento infinitesimal dS a lo largo de la
trayectoria, el producto dS y la componente de B a lo
largo de dS es (dS B Cosq) = B  dS
Luis F Millán B
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B Cosq dS = B  dS
B
q
q
La suma de este producto alrededor de
una trayectoria cerrada esta dada por

B
B · dS = mo I Ley de Ampere
Si se desea
Donde
I es usar
la corriente
la ley de neta
Ampere
que para
fluyedeterminar
a través B,
de es
la
necesario que
superficie
encerrada
la geometría
por la trayectoria,
de la I queel fluye
sentido
posea
en que
la
suficiente
la
integral simetría
se evalúapara
viene
quedado
la integral
por la regla
puedadeevaluarse
la mano
con facilidad.
derecha.
Luis F Millán B
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Un alambre
Ejemplo
9.5 infinito de radio R lleva una corriente I. Halle
el campo magnético a una distancia r desde el centro del
alambre para. a) r > R. b) r < R
a) r > R Las líneas del campo magnético son concéntricas
B · dS = mo I
y su magnitud es la misma en todos los puntos a una
2pR
R
distancia
r desde el centro del alambre. Escogemos
una
r
B  dS = B (2pr) = mo I
sección0transversal de radio r que coincide con el centro
del
como
la trayectoria
de la integración. Vista de
B alambre
= mo I / 2pr
para
r>R
la sección transversal.
B

Luis F Millán B
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Un alambre infinito de radio R lleva una corriente I. Halle
el campo magnético a una distancia r desde el centro del
alambre para. a) r > R. b) r < R
b) r < R Solo una fracción de la corriente
fluye a través de la trayectoria. Esta
fracción esta dada por la relación del área
encerrada por la trayectoria al área del
alambre. I / Ir = p r2 / p R2 
I = Ir r2 / R2 Como:
B = mo I / 2pr 
B = mo (Ir r2 / R2) / 2p r 
B = mo Ir r / 2p R2
Luis F Millán B
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B
R
r
Un solenoide
ideal
tienemagnético
N vueltasde
porununidad
de longitud
Ejemplo.
9.6 El
campo
solenoide
(n = N/L) y lleva una corriente I. Calcule su campo
magnético.
El campo fuera de un solenoide infinito
d
B · dS = mde
o I cada lazo al
c es cero. La contribución
campo total
dentroc del solenoide
esta
b
d
a
         
B·dS
B·lo
dSque
·dS
+ del
+ Bse
B
· dS = aaBlo·dS
dirigido
largo
eje,+ por
b
c
d
campo sean
a
b espera que las líneas de
b
El
campo alesBeje,
cero
largo de dc,esta
es
paralelas
dS
· dSpara
=a Blo aaprovechar
también
para lasunpartes
ad y bcabcd
que
simetría cero
se escoge
rectángulo
por de
fuera
del solenoide
como
integración.
Si la longitudse
de encuentran
ablaestrayectoria
L, el numero
de vueltas
es. nL,
Dentro del
solenoide B es ^ ad y bc,
entonces
b entonces,
B  dS = 0
B · dS = B a dS = BL  B= mo I N / L    mo I n




Luis F Millán B




U. AUTONOMA DE COLOMBIA



Un alambre
Ejemplo
9.7 conductor de 50 cm de largo se enrolla en
forma de solenoide en gran numero de vueltas y tiene un
campo magnético de 40 mT en su centro producido por
una corriente de 1 A. ¿cuántas vueltas de alambre tiene el
solenoide?
El campo magnético de un solenoide en el centro es
  mo I n  B = mo I (N/L) 
N = BL / mo I = 15.92 vueltas
Luis F Millán B
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Ejemplo 9.8
l Campo magnético a lo largo del eje de un
solenoide
         
La magnitud del campo para una
espira a lo largo del eje x es:
B = (moIR2) / 2(x2 + R2)3/2
Por
P
B tanto, el campo neto esta dado
por la superposición de los
R
campos de todas las espiras. El
numero de vueltas en la unidad
de longitud dx del solenoide es
n = (N/l) dx.
Un elemento cualquiera de campo es:
dB = (moIR2) / 2(x2 + R2)3/2 n 
dB = (moIR2)/2(x2 + R2)3/2 (N/l)dx

Luis F Millán B
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l






P
q1 q2
R
x




dB = (moIR2)/2(x2 + R2)3/2 (N/l)dx
x = R Tanq  dx = R (Secq2) dq
q2
B
sustituyendo
B = (moIN/2l)
estas
expresiones:
q dq
 Cos
q1
B = (mo I N / 2 l) (Senq2 – Senq2)

dx
Si P es un punto en un extremo de un largo solenoide,
entonces, q2 = 90° y q1 = 0°  B = (mo I N / 2 l) (1 + 0)
Si P es el punto medio de un largo solenoide, entonces,
q2 = 90° y q2 = 0°  B = (mo I N / 2 l) (1+ 1)
Luis F Millán B
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¿Un solenoide
Ejemplo
9.9. tiene 1000 vueltas, una longitud de 80 cm y
un radio de 8 cm. Si por el circula una corriente de 2 A,
calcule el campo magnético en un punto axial localizado
en el centro del solenoide y en un extremo del solenoide?
l




R





El campo magnético a lo largo de

un
solenoide
es
B = (mo I N / 2 l) (Senq2 – Senq2)
B en el extremo de un largo
solenoide, q2 = 90° y q1 = 0° 
B=(mo I (N/l) / 2)(1 + 0) = mo I n / 2

Luis F Millán B
B = 1.57 mT
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
l









El campo magnético a lo largo de
un
solenoide
es
B = (mo I N / 2 l) (Senq2 – Senq2)

en el centro de un largo
solenoide, q2 = 90° y q1 = -90°

B B = (mo I (N/l) / 2)(1 + 1) = mo I n
R
B = 3.14 mT

Luis F Millán B
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
En
Una
un
bobina
toroide,
toroidal
demagnético
ensección
forma de
de
transversal
dona
estacircular
enrollada
o
Ejemplo
9.10
Campo
una
bobina
toroidal
compactamente
rectangular,
las
vueltas
campo
y lleva
son circulares
una corriente
de radio
I. Se
r,
B líneas
·endSN=de
supone
de
modo que
quetoroide,
sela 0escoge
sección
la paralelo
trayectoria
transversalde es
integración
rectangular.
una
Dentro
del
B es
Encuentre
circunferencia
la intensidad
de
Sicampo
la trayectoria
magnético
estadentro
fuera del
a dS y tiene
la radio
mismar.del
magnitud
toroide.
toroide
no los
encerrara
en todos
puntos una
a lo corriente
largo de neta y de la ley de
Ampere
se tiene:
la trayectoria
circular. La
corriente encerrada es NI,
entonces se tiene,



2pr
B · dS = B 0dS = mo I N
  
B(2pr) = mo I N  B = mo I N / (2pr)
Luis F Millán B


 
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
r
Luis F Millán B
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
Consideremos
un elemento de área dA sobre una
9.6
Flujo magnético
superficie arbitraria.dA
q
B
Si el campo magnético en ese
elemento es B, entonces el flujo
magnético a través del elemento
es
B  dA
donde dA es un vector perpendicular a la superficie cuya
magnitud es igual al área dA. Por tanto, al igual que para
cualquier campo vectorial, el flujo magnético F que
atraviesa la superficie es:
F =  B  dA
Luis F Millán B
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A
Consideremos un plano de área A colocado de diferentes
maneras y un campo magnético B que forma un ángulo B
q
q
A
q
con el vector A.
En este caso el flujo magnético es:
F = B A = B An = Bn A = B A Cosq
El flujo magnético F puede ser positivo, negativo o cero.
La unidad de flujo en sistema M.K.S. es el Weber.
Ahora puede verse la razón por la cual al vector B
también se le denomina vector densidad del flujo
magnético y como su dimensión es Weber / m2 igual a la
tesla T.
Luis F Millán B
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
Ejemplo 9.11
q
a
En la figura una bobina cuadrada de
15 cm de lado esta pivoteada en
torno al eje y La magnitud del
campo magnético es de 0.7 T y esta
a lo largo del eje x. Si el ángulo a
cambia de 60° a 30° ¿cuál es el
cambio del flujo?
B
F = B A cos q
DF = B A cosqf – B A cosqf
DF = B A (Cosqf – Cosqi) = 5.76 mWeber
Luis F Millán B
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
Supongamos
un
conductor
que
lleva
una
Ejemplo 9.12 que tenemos
Se
La
magnitud
desea
magnitud
encontrar
del
del
campo
el
campo
varia
flujo
F =  B  dA
I1
corriente I y que genera un
campo magnético
Bdistancia
inversamente
magnético
total
que
cona conduce
latravés
deuna
la
r.
dr
Colocamos
espira.
corriente
a una
distancia
es
F =  BI dA
= una
moI / (2pr)respira
dA.B
a+c
rectangular
largo
a yelancho
=
moI / (2pr).deEs
decir,
campob
localiza
moI la
/ (2p)
que F
varia
sesobre
espira.
a una
Puesto
distancia
quec
cadr/r
a+c
a
deles alambre
B
paralelo que
a dA
conduce
el flujo se
la
F expresar
moI a / (2p)
corriente.
puede
como
cdr/r
F  moI a / (2p)
a+c
Ln/rc
F = moI a / (2p) Ln((a+c)/c)
c
Luis F Millán B
b
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
Las
La
líneasdel
delcampo
campogravitacional
magnético
inducción
la masa,
lamagnética
fuente
9.7 fuente
Naturaleza
solenoidal
del vectoroescampo
magnético
oy
sumidero
que
caracterizan
del campo
al vector
eléctrico
campo
es magnético
la carga positiva
o inducción
y la
inducción
magnética
carga negativa
magnética
tienen
respectivamente,
carácter “solenoidal”
mientraspues
que sela cierran
fuente
del campo
sobre
si misma
magnético
y de este
es laresultado
carga ensemovimiento
concluye lao no
el
imán.
existencia
de cargas magnéticas aisladas en la naturaleza
y constituye una de las leyes básicas del
Las líneas representativas del campo gravitacional tienen
electromagnetismo.
un final, mientras que las líneas de campo eléctrico se
caracterizan por ser abiertas, lo cual implica que tienen
una fuente o comienzo y un final o sumidero. Sin
embargo, en el caso de las líneas del campo magnético la
experiencia demuestra que son cerradas no tienen fuentes
ni sumideros.
Luis F Millán B
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
numero
de
Supongamos una regiónSedelobserva
espacio que
en laelque
existe un
que entran enalgunas
la superficie
campo magnético B del líneas
cual representamos
líneas
es el mismo
sale,región
por tanto,
de campo y consideremos
dentro que
de esa
una
podemos
que a través
de
superficie hipotética cerrada
queafirmar
es atravesada
por las
la superficie cerrada arbitraria no
líneas de inducción magnética.
existirá un flujo neto del campo
magnético. Una de las leyes
B
básicas del electromagnetismo lo
constituye el hecho de la
inexistencia en la naturaleza de
las cargas magnéticas aisladas y
lo cual se puede representar
según:
F =  B  dA = 0
Luis F Millán B
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
9 8 Auto evaluación
Luis F Millán B
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
Un conductor
Ejercicio
9.1 en forma de un cuadrado de longitud 2l de
50 cm conduce una corriente I de 2 A . Calcule la
magnitud del campo magnético en el centro del cuadrado.
2l
R) B = (2/2)(mo I /(pl) = 2.26 mT
Luis F Millán B
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Un conductor
Ejercicio
9.2 de forma circular tiene un radio de 50 cm y
conduce una corriente I de 2 A en el sentido horario.
Calcule la magnitud y la dirección del campo magnético
en el centro del circulo.
R) B = mo I /(2r) = 400 nT
Luis F Millán B
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
El
segmento
Ejercicio
9.3 de alambre de la figura conduce una
corriente de 2 A y el radio del arco circular es de 5 cm .
Determine la magnitud l campo magnético en el origen.
r
R) B = mo I /(8r) = 6.28 mT
Luis F Millán B
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Un lazo conductor
circular de una vuelta y de 80 cm de
Ejercicio
9.4
radio lleva una corriente de 2 A.. Si el campo magnético
es de 10 mT en un punto axial. ¿cuál es la distancia al
centro del anillo?.
R)
Luis F Millán B
x = 0.405 m
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
En un punto
Ejercicio
9.5 axial a 50 cm del centro de un anillo. Un
lazo conductor circular de una vuelta y de 80 cm de radio
lleva una corriente de 2 A ¿cuál será la magnitud del
campo magnético en ese punto?.
R)
Luis F Millán B
Bx = 0.87 mT
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
Un alambre
Ejercicio
9.6infinito de radio de 2 cm lleva una corriente
.de 2 A Halle el campo magnético a una distancia de 1
cm y 3 cm del centro del alambre.
R) B(0.03) = 20.0 mT y B(0.01) = 0.8 mT
Luis F Millán B
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¿Que corriente
Ejercicio
9.7 se requiere en los devanados de un largo
solenoide que contiene 1500 vueltas distribuidas
uniformemente a lo largo de una longitud de 50 cm para
producir en el centro del solenoide un campo magnético
de 1.5 mT de magnitud?
R) I = 397.9 mA
Luis F Millán B
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¿cuál es 9.8
el flujo magnético que atraviesa un solenoide
Ejercicio
largo de 1000 espiras en contacto, 50 cm de longitud, un
área de 10 cm2 y que lleva una corriente de 2 A.?
(considere el campo magnético en el interior del
solenoide constante)
R) F  5.03 mWeber
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¿Un solenoide
Ejercicio
9.9 tiene 1000 vueltas, una longitud de 80 cm
y un radio de 8 cm. Si por el circula una corriente de 2 A,
calcule el campo magnético en un punto axial localizado
a 20 cm de un extremo?
l










B
R

Luis F Millán B
B = 3.02 mT
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9.9 Solucionarlo
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2
^
dB
=
(m
o/4p) (IdS
r)
/
r
S 9.1
Todos los elementos IdS generan un elemento de campo
IdSde ^
rla =pantalla
IdS Senen
q el centro del
dB dirigido hacia dentro
dB
=
(m
o/4p) (IdS Senq) / r2
cuadrado. Por tanto, sólo tenemos que determinar la
r =ell2
; Cosq
Senq = 2 / 2
magnitud del campo en
centro
del =
cuadrado.
dB = (mo/4p) (IdS 2/2) / 2l2
dB = (2/16)(mo I /(pl2)) dS
l
B = (2/16)(mo I /(pl2)) 0dS
B = (2/16)(mo I /(pl2))Sl0
2l
^r
q
IdS
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B = (2/16)(mo I /(pl) *8
B = (2/2)(mo I /(pl) = 2.26 mT
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S 9.2
dB = (mo/4p) (IdS ^
r) / r2
Todos los elementos IdS generan un elemento de campo
dB dirigido hacia dentro de la^pantalla en el centro del
IdS r = IdS
circulo. Por tanto, sólo tenemos que 2 determinar la
dB el
= (m
o/4p) (IdS) / r
magnitud del campo en
centro
del circulo.
2pr
B = (mo I /(4pr2))  dS
0
IdS
B=
2pr
(mo I /(4pr^2))S 0
B = (mo I /(4pr2)) 2pr
B = mo I /(2r) = 400 nT
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S 9.3
dB = (mo/4p) (IdS
IdS IdS
^r
^r = 0
^r = IdS
IdS
IdS
r
^r

IdS
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IdS
^r
^r) / r2
= IdS Senq
dB
=
(m
o/4p) (IdS) / r2
Todos los elementos IdS
del
arco
pr/2
2
circularB =generan
un)) elemento
de
(mo I /(4pr
dS
0
campo dB dirigido hacia
fuera
de la
re/2
2
B = (mo I /(4pr ))S 0
pantalla en el origen. Por tanto, sólo
tenemosBque
magnitud
= (mdeterminar
o I /(4pr2)) la
rp/2
enmoelI /(8r)
origen.
IdS del campo
B=
= 6.28 mT
^r = 0
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S 9.4
IdS
^r
q
R
dB
r
x
q
dBx
Bx = (moIR2) / 2(x2 + R2)3/2 
(x2 + R2)3/2 = (moIR2) / 2Bx
(x2 + R2) = (moIR2 / 2Bx)2/3 
x = ((moIR2 / 2Bx)2/3 - R2) \
x = 0.405 m
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S 9.5
IdS
^r
q
R
dB
r
x
q
dBx
Bx = (moIR2) / 2(x2 + R2)3/2= 0.87 mT
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S 9.6
B
r
B
r < R  B(0.03) = mo I / 2pr
B(0.03) = 20.0 mT
r > R  B(0.01) = mo Ir r / 2p R2
B(0.01) = 0.8 mT
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S 9.7
  mo I n  B = mo I N / L 
I = BL / mo N = 397.9 mA
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S 9.8
El campo magnético en el solenoide es
B = mo n I = mo (N/l) I = 5.03 mT
El flujo magnético es:
F   A  5.03 mWeber
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S 9.9 El campo magnético a lo largo de un solenoide es
B = (moIN/2l) (Senq2 – Senq1)
ri = (x12 + R2)½ = 60.53 cm  Senq1 = 60 /60.53 = 0.99
r2 = (x22 + R2)½ = 21.54 cm  Senq2 = 20 /21.54 = 0.93
l
        
B = 3.02 mT

B
R
q1 q2

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