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r
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c
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d
a
d
PROBLEMAS DE POTENCIAL CON VALORES EN LA FRONTERA
ECUACIONES DE POISSON y LAPLACE
y
M
a
g
n
e
t
i
s
m
o
Antonio J Barbero
Departamento de Física Aplicada
UCLM
1
PROBLEMA 1
Entre dos planos conductores indefinidos paralelos
separados una distancia z0 y conectados a
potenciales 0 y +V0, según se muestra en la figura,
existe una distribución continua de carga negativa
dada por la ecuación
   z / z
0
V(z0) = +V0
Z
z = z0
   0 z / z0
V(0) = 0
z=0
0
Determine el potencial en cualquier punto entre los dos planos conductores y las
densidades superficiales de carga en los mismos (suponga la permitividad del
medio entre los planos igual a 0).
 2V

0 z


Ecuación de Poisson en coordenadas cartesianas aplicada a este caso:

 0  0 z0
z 2
Al resolver esta ecuación y aplicar a la solución las condiciones de contorno expresadas en el
enunciado obtendremos el potencial en todos los puntos z0  z  0.
Integrando
una vez:
Condiciones
de contorno:
V  0 z 2

 C1
z 2 0 z0
Integrando
dos veces:
En z = 0  V(0) = 0  C2 = 0
En z = z0  V(z0) = V0
0 z02
 V ( z0 )  V0 
 C1 z0
6 0
0 z 3
V ( z) 
 C1 z  C2
6 0 z0
0 z 3  V0 0 z0 
z
V ( z) 
 
6 0 z0  z0 6 0 
V  z
C1  0  0 0
z0 6 0
2
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PROBLEMA 1 (Continuación)
Densidad superficial de carga en los planos conductores: calculemos primero el campo eléctrico

  0 z 2  V0 0 z0 
 V

 u z 
  
E  V  u z
z
 2 0 z0  z0 6 0 
0 z 3  V0 0 z0 
 z
V ( z) 
  
6 0 z0  z0 6 0 
El campo eléctrico en la superficie de un conductor está
dado en función de la densidad superficial de carga σ por:

  
E  un

E
0

un

Plano inferior z = 0. Aquí un  uz

 V  z   
E (0)  u z  0  0 0   u z inferior
0
 z0 6 0 

 inferior 
 0 z0
6

y
 0V0
M
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z0

Plano superior z = 0. Aquí un  uz

  0 z0 V0 0 z0 
  superior


E ( z0 )  u z 
 
  u z 
2

z
6

 0
0
0 
0
 superior 
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d
 0 z0
3

 0V0
z0
3
PROBLEMA 2
Una esfera conductora de radio a está rodeada por otra esfera conductora, hueca y
concéntrica con ella, de radio b > a. El espacio entre las dos esferas se rellena con un
dieléctrico, y entre ambas esferas se mantiene una diferencia de potencial Va-Vb.
a) Calcule el potencial y el campo en cualquier punto situado entre ambas esferas.
b) Si la permitividad del dieléctrico es , determine las densidades superficiales.
c) Determine el desplazamiento y la polarización en el dieléctrico.
Como no hay densidad de cargas libres entre ambas esferas,
2V  0
la ecuación de Poisson se reduce en este caso a la de Laplace.
Vb
b

ur
Por la simetría esférica del problema el potencial únicamente va a
depender de la coordenada radial, y entonces el laplaciano es
d  2 dV 
r
0
dr  dr 
a
Integrando
dos veces
Para r = a  V(a) = Va
Para r = b  V(b) = Vb
C2  Va 
dV C1

dr r 2
C
Va   1  C2
a
C
Vb   1  C2
b

C1
b
Va  Vb   aVa  bVb
 Va 
a
a b
a b
C
 V   1  C2
r
Va  Vb  
V (r ) 
C1 C1

a b
C1 
y
Va
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a
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ab
Va  Vb 
a b
1 
abVa  Vb 
aVa  bVb 

a b
r



 ur  
abVa  Vb   abVa  Vb  1
E  V (r ) 
aV

bV

 a
 ur
b
a  b r2
a  b r 
r

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4
σa >0
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a
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σb <0
y
PROBLEMA 2 (Continuación)
Relación entre campo y densidades superficiales de carga

 abVa  Vb  1
E (r )  ur
a  b r2
a  
b  
bVa  Vb 
aa  b 
aVa  Vb 
ba  b 

 abVa  Vb  1   a
E (a)  ur
 un
a  b a2


un

 abVa  Vb  1   b
E (b)   ur 
 un
a  b b2

Si Va > Vb (esfera interna positiva), como a < b
Vb
b

ur
a
σb
Va
σa
Cálculo del desplazamiento. Aplicamos el T. de Gauss a una esfera gaussiana de radio a  r  b y M
superficie Sr concéntrica con la esfera interna de radio a y superficie Sa que contiene la carga q. a
g
 
2
2
Por simetría D  Sr  D  4r  4a  a
DdS  q  Sa a
n
Cargas ligadas +


e
D  E
Sr
0
V
>
V
a
b

Cargas ligadas    aa2
t
 abVa  Vb  1
P
D  ur 2  ur
i
a b
r
r2
s
a
b
Polarización
m
Cargas libres + Cargas libres 
 
 

o
    0 abVa  Vb  1
D  0E  P
P  D   0 E  ur
5
a b
r2

PROBLEMA 3
Se construye un condensador cilíndrico usando dos
armaduras cilíndricas concéntricas de radios a y b (b > a) e
introduciendo un dieléctrico de permitividad  en la mitad
inferior del mismo, según se muestra en la figura. El
condensador se carga a V0 voltios, siendo positiva la
armadura interna. Suponiendo despreciables los efectos de
los bordes, se pide:
a) Resuelva la ecuación del potencial y determine el campo
en cualquier punto entre las dos armaduras.
b) Determine las densidades superficiales de carga libre y la
capacidad por unidad de longitud.
c) Determine el desplazamiento y la polarización.
Condiciones
de contorno
dV
 C1
dr
dV 

C1
dr
r
dV  C1

dr
 C2
r
Para r = a  V(a) = V0
V0  C1 ln a  C2
Para r = b  V(b) = 0
0  C1 ln b  C2
V (r ) 
V0
ln( r / b)
ln( a / b)
0
b
a

y
2V  0
Como no hay densidad de cargas libres en la región entre armaduras, la
ecuación de Poisson se reduce en este caso a la ecuación de Laplace, y dada la
simetría del problema, el potencial sólo dependerá de la coordenada radial.
r
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d
1   V 
r
0
r r  r 
V  C1 ln r  C2
C1 
V0
ln( a / b)
C2  
ln b  V0
ln( a / b)
6
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PROBLEMA 3 (Continuación)
Campo eléctrico


E  V (r )  ur
Tanto en la armadura interna como en la externa podemos
distinguir dos zonas, la del vacío (I) y la del dieléctrico (II).
Vector unitario radial
sentido hacia afuera
 V0 1
V0  ln( r / b)
 ur
ln( a / b) r
ln( a / b)
r
Densidades superficiales de carga libre
Armadura
interna
 
un  ur
Armadura
externa


un  ur
  0V0
  0 EI ( a ) 
a  ln( a / b)

 
EI (a )  un Ia
 Ia

 
EII (a)  un IIa
 IIa  EII (a) 
0


 
EI (b)  un Ib
 Ib   0 EI (b) 

 
EII (b)  un IIb
 IIb  EII (b) 
0
0
 V0
a  ln( a / b)
I
0
b

ur
a
II

Estas dos densidades de
carga son positivas,
puesto que ln(a/b) < 0
y
 0V0
b  ln( a / b)
V0
Densidades de carga
negativas, puesto que
ln(a/b) < 0
b  ln( a / b)
Carga por unidad de longitud en la armadura interna
q
 V0  0   
 a Ia  a IIa 
L
ln( a / b)
El campo eléctrico es el
mismo en ambas zonas,
puesto que la diferencia
de potencial es la misma
E
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c
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d
a
d
Capacidad por unidad de longitud
C
q    0   

L LV0 ln( a / b)
(Esta carga es positiva, en la armadura
externa hay una carga igual pero negativa)
7
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PROBLEMA 3 (Continuación)
Desplazamiento eléctrico: aplicamos el teorema de Gauss a un cilindro
cerrado y coaxial con las armaduras, de superficie lateral Sr y longitud L

 
 V0 L 0   

DdS  q 
ln( a / b)
Sr

 
DdS 
Zona I

I
 
DdS  DI Lr  DII Lr
II
DI   0 DII  0

 
Polarización: DII   0 E  PII
 V0 0 1
DI 
ln( a / b) r
 V0 1
DII 
ln( a / b) r


ur 
DII
 D 
 D 
EI ur  I ur  EII ur  II ur
0



 V0 0 ur
DI 
ln( a / b) r


 V0 ur
DII 
ln( a / b) r


   V0
 0
PII  DII   0 E  
 ln( a / b)
S
r
a
En todos los puntos de la superficie lateral Sr el vector desplazamiento es radial y por tanto

paralelo a ur ; en las bases del cilindro su flujo es nulo por ser perpendicular a las superficies.
 V     1
q
 0 0
DI  DII 
ln( a / b) r
L  r
b
r
Zona II
En la superficie de separación entre el vacío y el dieléctrico, las componentes
tangenciales del campo eléctrico deben ser iguales y debe verificarse

DI

ur 0
E
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c
i
d
a
d
y
M
a
g
n
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s
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
 V0  ur

ln( a / b)  r
 V0  0    ur
PII 
ln( a / b) r
8
PROBLEMA 4
Dos esferas metálicas concéntricas de radios a y b (b > a) se conectan
ambas a tierra y en el espacio comprendido entre ellas se coloca una
 a2 
distribución de carga de permitividad  y densidad volumétrica de carga   0 1  2 
 r 
donde r representa la distancia radial desde el centro del sistema (b  r  a).
E
l
e
c
t
r
Calcule cuánta carga adquiere la esfera interna.
i
c
 a2 
Para calcular la carga de la esfera interna tendremos que determinar i
   0 1  2 
 r 
la densidad superficial de carga en dicha esfera. Para hacer esto, d

empezaremos calculando el potencial en cualquier punto de la región
a
comprendida entre ambas esferas.
d
a

2
Ecuación de Poisson
 V 

y
b
En este caso hay simetría
M
esférica, por lo que el
1 d  2 dV 
0  a 2 
r


1



a
potencial sólo dependerá
  r 2 
r 2 dr  dr 
g
de la coordenada radial.
n
3
2
e
0  r
dV
0  r a  C1
d  2 dV 
0 2 2
2 dV
2 
r
    a r   C1
    2
r a
r

t
dr
 3
dr
 3 r  r
dr  dr 


i
s
m
 C1
0  r 2
2
V     a ln r    C2
o
 6
r

9


PROBLEMA 4 (Continuación)
E
l
 C1
0  r 2
2
e
V     a ln r    C2 Condiciones de contorno: V (a)  0 V (b)  0
 6
r

c
t
2
 C
 a
r
V (a )   0   a 2 ln a   1  C2  0
i
 1 1
 6
0  b 2  a 2
 a
V (b)  V (a )   
 a 2 ln b / a     C1  0 c
  6
 b a
 C1
0  b 2
2
i
V (b)     a ln b    C2  0
 6
d

 b
0  ab   b 2  a 2
2


C1  

a
ln
b
/
a


a
  b  a   6

d
No hace falta calcular C2 porque a partir del potencial vamos a derivar para obtener el campo eléctrico
y
2
2
2
2





 r a
C
 dV




 
E  ur
 ur   0     21   ur 0  r  a    ab   b  a  a 2 ln b / a  12 
dr
M
  3 r   b  a   6
r 
  3 r  r 
a
2
2
2


 r a   ab   b  a
 1
g
El vector desplazamiento es D   E
D   0     
 a 2 ln b / a  2 

n
r 
 3 r   b  a   6
e
En r = a el módulo del vector desplazamiento nos da la densidad superficial de carga.
t
2
i

 a a 2   ab   b 2  a 2

 1
 4  b / a    b / a   1

2


 a  0     

a
ln
b
/
a




a


ln
b
/
a




 2
0 
s
3
a
b

a
6


3
b
/
a

1
6
a















m
o
2



La carga en la
3  4  b / a    b / a   1
q(a)  Sa   a  4 0 a   
 ln b / a  

10
esfera interna es:


3
b
/
a

1
6







PROBLEMA 4 (Continuación)
2


 4  b / a    b / a   1



q
(
a
)

S



4


a


ln
b
/
a

Interpretación del resultado
 

a
a
0
6


 3  b / a   1  

3
f (b / a)
f (b / a)
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
3,5
4,0
4,5
5,0
1
0
Si la densidad 0 es positiva,
entonces la esfera interna se
encuentra cargada negativamente.
b/a
-1
y
-2
-3
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-4
-5
-6
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d
2

4  b / a    b / a   1
f (b / a )   
 ln b / a 

3  b / a   1  
6

-7
11