Download T: Capacidad. Introducción a corriente

CAPACIDAD Y CORRIENTE ELÉCTRICA
CAPACIDAD y CONDENSADORES
Definiciones.
Condensador plano. Densidad de carga y campo eléctrico del condensador plano.
Dieléctricos. Cargas libres y cargas ligadas. Campo en el interior de un dieléctrico.
Asociaciones de condensadores.
Energía almacenada en un condensador.
CORRIENTE ELÉCTRICA
Densidad de corriente.
Flujo de cargas. Intensidad de corriente.
Ley de Ohm.
APLICACIÓN
Carga y descarga de un circuito RC.
1
CAPACIDAD y CONDENSADORES


CONCEPTO DE CAPACIDAD DE UN CONDUCTOR
Capacidad = Carga almacenada / Potencial eléctrico
C
Q
V
Unidades SI
1 culombio
 1 faradio
1 voltio




1F
1 F 1 nF 1 pF






Si esa esfera estuviese cargada con la
carga Q, el potencial de la misma sería
V k
El conductor es
equipotencial:
potencial V
Capacidad:
La capacidad de un conductor depende de sus características geométricas.
Ejemplo. Determinar la capacidad de una esfera conductora de radio R..
Carga Q distribuida en la
superficie del conductor
C
R
Q
1 Q

R 4  0 R
Q

V
Q
1 Q
4  0 R
C  4  0 R
CONDENSADORES. CAPACIDAD DE UN CONDENSADOR.
Un condensador (capacitor) es un dispositivo formado por dos elementos conductores entre los
cuales se establece una diferencia de potencial con objeto de separar cargas de distinto signo en
cada uno de dichos elementos.
La carga total de un condensador es nula: cuando decimos que el condensador está cargado a
una cierta diferencia de potencial, lo que se quiere expresar en que en cada parte hay una
carga de distinto signo, separada de la de signo opuesto y que el condensador se mantendrá
cargado mientras dichas cargas no se recombinen.
Definición de
capacidad del
condensador
Capacidad = Carga positiva / Diferencia de potencial eléctrico
Q
C
2V
CONDENSADOR PLANO
Formado por dos placas planas y paralelas, cada una de área A, separadas por una distancia d.
Densidad superficial de carga   Q / A
Condensador cargado al voltaje V  ddp entre las placas = V
Las placas adquieren carga Q y –Q.
Entre ellas aparece un campo
eléctrico uniforme, al menos en la
zona central alejada de los extremos.
A
+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +

E
d
V
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
A
Aplicación T. Gauss
Densidad superficial de carga    Q / A
V 
Q


Relación entre la d.d.p. y la carga: d 
0 A
0
Capacidad del condensador plano: C 
12
Q
Q

Qd
V
0 A
V
C
E
Qd
0 A

0
E
V
d
(Suma de los campos debidos
a las cargas positivas y a las
cargas negativas)

E
0 A
d
Permitividad del vacío  0  8.85·10
F/m
Características geométricas
Efecto de los bordes
Ejemplo
Se construye un condensador plano con dos láminas iguales de cobre de 400 cm2 que se colocan a una distancia de 8.85
mm. Cuando el condensador se carga a 177 V, (a) ¿Cuánto vale el campo eléctrico? (b) ¿Cuál es la carga? (c) ¿Cuál es la
densidad superficial de carga?
C
0 A
d

8.85 pF·m-1  400·10-4 m 2
8.85·10
3
(b) Carga Q  C V  40·10
m
12
 40 pF
(a) Campo eléctricoE 
F ·177 V  7.08·10
10
C
V
d
(c) Dens. carga

177 V
8.85·103 m
 20000 V/m
10
Q 7.08·10 C

 1.77·108 C/m 2

4
2
3
A 400·10 m
DIELÉCTRICOS
Un dieléctrico es un material aislante que puede ser polarizado por aplicación de un campo eléctrico.
Cuando un dieléctrico se coloca dentro de un campo eléctrico las cargas eléctricas no pueden fluir a través del
material (a diferencia de lo que sucede en un conductor), sino que sufren un ligero desplazamiento respecto a
sus posiciones de equilibrio en ausencia de dicho campo. Esto da lugar a una polarización dieléctrica,
fenómeno que implica que las cargas positivas sufren ese desplazamiento a favor de las líneas del campo
eléctrico y las negativas en sentido contrario.
El resultado es la creación de un campo eléctrico interno, orientado contrariamente al campo exterior, que
reduce el campo dentro del dieléctrico mismo. Encaso de que un dieléctrico esté formado por moléculas
débilmente ligadas, las moléculas no sólo se polarizan, sino que se reorientan de modo que su eje de simetría
se alinea con el campo externo..
Constante dieléctrica o permitividad
Condensador con
sin dieléctrico
dieléctrico
f
Cargas libres
A
+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +
_
_
_
_
_

E
  b Cargas
 b ligadas
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
V d

E
_+_ _+ _ _+ _ +_ _ +_ _ +_ _+ _ _+ _ _+ _ +_ _ +_ _+_ _+ _ _+ _ +_
A

 
Campo interno Ei  E  E
 f
Cargas libres
Efecto de un dieléctrico en la E  
0
capacidad de un condensador
Permitividad de un dieléctrico
  r 0

Ei 

r r 0
E
relativa r (adimensional): es el factor
en que, debido a la aparición de cargas
ligadas, se reduce el campo eléctrico
dentro del dieléctrico con respecto a su
valor en ausencia de dieléctrico.
E
Ei 
r
El campo se reduce
La d.d.p. se reduce
La capacidad aumenta
Permitividad
relativa r
Dieléctrico
Vacío
1,0000
Aire
1,0005
Gasolina
2,35
Aceite
2,8
Vidrio
4,7
Mica
5,6
Glicerina
4 45
Agua
80,5
ASOCIACIONES DE CONDENSADORES
ASOCIACIÓN EN SERIE
Q
Q
Q
C1
Q
Q
La d.d.p. total es la suma de los voltajes
C3
C2
V1
Igual carga en todos los condensadores
Q
V0  V1  V2  V3
Capacidad
equivalente:
V3
V2
V0
1
1
1
1



 ...
CS C1 C2 C3
+
C1 
ASOCIACIÓN EN PARALELO
Q
V1
C2 
Q
V2
C3 
Q
V3
V0
+
 Q1
 Q1
La carga total es la suma de las cargas
C1
 Q2
 Q2
C2
 Q3
Igual d.d.p. en todos los condensadores =
 Q3
Capacidad
equivalente:
C1 
Q1
V0
V0
Q0  Q1  Q2  Q3
CS  C1  C2  C3  ...
C2 
Q2
V0
C3 
Q3
V0
C3
5
ENERGÍA ALMACENADA EN UN CONDENSADOR
La energía que almacena el campo eléctrico de un condensador es igual al trabajo necesario para
cargarlo.
Q
Q
C
dU  V  dQ 
Q
 dQ
C
Q
V0
Q
1 Q2 1
1
U    dQ 
 CV 2  QV
C
2 C 2
2
0
+
6
PROBLEMAS CONDENSADORES
Dato. Permitividad del vacío 0 = 8.85·10-12 pF/m
1. Se tienen dos condensadores planos, cuyas características se dan en la tabla.
C1
C2
2
Área (cm )
400
800
a) Calcular la capacidad de cada condensador.
Distancia (mm)
2
1
b) Si se conectan en paralelo y se cargan a 40 V, determinar la densidad
Cte. Diel. r
8
1
2
superficial de carga de cada uno en C/cm .
c) Si se conectan en serie y la d.d.p. entre las armaduras del primer condensador es 30 V, determinar el campo
eléctrico en el segundo y su densidad superficial de carga en C/m2.
2. Las armaduras de un condensador plano de área 500 cm2 cuyo dieléctrico es aire están separadas 0.5 mm.
Cargamos el condensador a 10 V, a continuación lo aislamos e introducimos una fina lámina de un dieléctrico
cuya constante es 4, de forma que ocupa la mitad izquierda del volumen entre las armaduras. Se pide:
a) Determinar en cuanto se incrementa la capacidad del condensador después de introducir el dieléctrico.
b) Calcular el valor de la diferencia de potencial entre las armaduras después de introducir el dieléctrico.
c) Comparar la densidad superficial de carga libre antes y después de introducir el dieléctrico.
d) Calcular el campo eléctrico después de introducir el dieléctrico.
3. Las armaduras de un condensador plano de área 500 cm2 cuyo dieléctrico es aire están separadas 0.5 mm.
Cargamos el condensador a 10 V, y sin aislarlo, introducimos una fina lámina de un dieléctrico cuya
constante es 4, de forma que ocupa la mitad izquierda del volumen entre las armaduras. Se pide:
a) Determinar en cuanto se incrementa la capacidad del condensador después de introducir el dieléctrico.
b) Calcular el valor de la diferencia de potencial entre las armaduras después de introducir el dieléctrico.
c) Comparar la densidad superficial de carga libre antes y después de introducir el dieléctrico.
d) Calcular el campo eléctrico después de introducir el dieléctrico.
7
PROBLEMAS CONDENSADORES
4. Determinar la capacidad equivalente
entre los terminales A, B para la
siguiente asociación de condensadores:
A
B
C1  1 F
C3  3 F
5. Suponiendo que entre los terminales A, B del ejercicio anterior
se conecta una fuente de 10 V, calcular:
a) La carga almacenada en el sistema completo.
b) La carga almacenada y la diferencia de potencial en cada uno
de los condensadores C3.
c) ¿Son equivalentes entre si los tres condensadores C1?
Determinar su carga y su diferencia de potencial.
d) Calcular la energía almacenada en el sistema.
C1  1 F
C3  3 F e) Si retiramos el condensador C1 situado en medio, ¿cuál es la
nueva capacidad del sistema?
f) Si después de retirar el condensador C1 situado en medio
C3  3 F
C1  1 F
conectamos de nuevo la fuente de 10 V, ¿cuál será la energía
almacenada?
6. Se tienen tres condensadores iguales. ¿De cuántas formas pueden asociarse para que la capacidad
equivalente sea menor que la de uno de ellos?
7. Calcular la capacidad por unidad de longitud de un
condensador cilíndrico (esquematizado en la figura)
http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/electric/capcyl.html
8. Calcular la capacidad de un condensador
esférico (radios a y b, esquematizado en la figura)
http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/electric/capsph.html#c1
8
CORRIENTE ELÉCTRICA: CONCEPTOS FUNDAMENTALES
Portadores
de carga
Conductor en equilibrio
N
n
V
Densidad
portadores
de carga:
n

Sometido a un campo E

A
nº portadores
m3
Movimientos aleatorios
V
Sea q la carga de cada portador
Velocidad promedio de arrastre


j nqv
Vector densidad de corriente
Significado físico:
 j 
Intensidad de corriente

j
m3

A

A
I  
m
Carga
 C 
s
Area  tiempo
La densidad de corriente es la carga que
atraviesa por unidad de tiempo un área
perpendicular a la dirección en la que son
arrastrados los portadores de carga.
Es el flujo del vector densidad de corriente a través de una superficie
I

Unidades:
nº portadores

v
 
j ·dA
Caso más simple: densidad de corriente uniforme, superficie plana
 
I  j ·A  j·A·cos
Significado físico: carga que atraviesa una superficie por unidad de tiempo
Carga
1 culombio

 1 amperio
tiempo
1 segundo
 j 
Carga
1 culombio amperio


Area  tiempo
1 m 2 1 s
m2 9
CORRIENTE ELÉCTRICA: CAMPO Y DENSIDAD DE CORRIENTE

Sometido a un campo E
El campo aplicado determina el valor de la densidad de corriente.



j f E

A
La forma de la función f depende del tipo de material.
Caso más sencillo: materiales óhmicos  dependencia lineal
Ley de Ohm


j  E
V
Velocidad promedio de arrastre

v
 es la conductividad. A mayor valor de conductividad corresponde una mayor densidad de corriente cuando
se aplica un campo dado.
Definición: la inversa de la conductividad  es la resistividad 
j
  1/ 
j
Material óhmico
Material
no óhmico
E
E
10
LEY DE OHM APLICADA A CIRCUITOS
Materiales óhmicos: son aquellos en los que la diferencia de potencial
es proporcional a la corriente circulante
La constante de proporcionalidad es la resistencia eléctrica, que depende
de la naturaleza y la geometría del material.
V  I R
I
Unidades S.I.: Ohmios (). 1  = 1 V / 1 A
Para un conductor en forma cilíndrica (caso de los cables
conductores de uso general) la relación entre la resistencia
y la geometría es la siguiente:
R
L
S
S

R
V
L
 es la resistividad, que tiene un valor bajo en los buenos conductores como el cobre.
Unidades S.I. de la resistividad: m
Unidades S.I. de la conductividad: -1m-1
1 -1 = 1 siemen
1 -1 m-1 = 1 S· m-1
SENTIDO CONVENCIONAL DE LA CORRIENTE: cargas positivas que se mueven a favor del campo
11
POTENCIA DISIPADA EN UNA RESISTENCIA
La corriente que circula por una resistencia disipa energía.
Cálculo de la potencia disipada en una resistencia:
V  I R
I
P  V ·I  I 2 ·R
R
V
12
CIRCUITO RESISTIVO SIMPLE (RESISTENCIA + FUENTE VOLTAJE)
Circuito cerrado
para t  t0
Circuito abierto para
t < t0
I=V0/R
+
R
-
+
V0
R
V0
-
V0
Diferencia de potencial en la resistencia e intensidad en el circuito
V (V)
I (A)
Ley de Ohm
V0
V0/R
0
t (s)
0
t0
t (s)
0
0
t0
13
CIRCUITO CAPACITIVO SIMPLE (CONDENSADOR + FUENTE VOLTAJE)
Circuito cerrado
para t  t0
Circuito abierto para
t < t0
I
Q = C V0 +
+
-
C
+
V0
V0
V0
-
C
Definición de
capacidad
Diferencia de potencial y carga en el condensador e intensidad en el circuito
V (V)
Q (C)
V0
I (A)
t = t0  I = V0/R
C V0
0
t (s)
0
t0
V0/R
t (s)
0
0
t0
t > t0  I = 0
t (s)
0
0
t0
14
CIRCUITO RC SERIE (RESISTENCIA + CONDENSADOR + FUENTE VOLTAJE)
Circuito abierto para
t < t0
Circuito cerrado
para t  t0
R
R
+
-
V0
Q(t) = C V(t)
C
C
Ahora ni d.d.p.,
ni la carga, ni
I(t) la intensidad
varían
abruptamente,
porque la
V(t) resistencia se
opone al paso
de las cargas
+
-
V0
Diferencia de potencial y carga en el condensador e intensidad en el circuito
V (V)
Q (C)
I (A)
t = t0  I = V0/R
V0
C V0
0
t (s)
0
t0
V0/R
t (s)
0
0
t0
t (s)
0
0
t0
15
CIRCUITO RC SERIE (RESISTENCIA + CONDENSADOR + FUENTE VOLTAJE)
Cálculos detallados
Circuito cerrado
para t  t0
R
I(t)
V t   R·I t   V0
I t  
Conservación
de la energía
en el circuito
+
-
dQt 
dt
V t  
V0
Q t 
C
C
Su solución nos da la carga del
condensador en función del tiempo
Solución:
 t 
Qt   C V0  A exp 
 RC 
A
Condición inicial: en t = t0
condensador sin carga
 t 
exp 
RC 

Qt   C V0  C V0
 t 
exp  0 
 RC 

 t  t0  
Qt   C V0 1  exp 
 
 RC  

Q (C)
t (s)
0
0

 t  t0  
V t   V0 1  exp 
 
RC



I (A)
t0
¿Podría justificar
esta gráfica?
t = t0  I = V0/R
Cuando t  , V(t)  V0
V0
Constante a
determinar
C V0
 t 
exp  0 
 RC 
V (V)
Cuando t  , Q(t)  C V0
C V0
V
dQt  1

Qt   0
dt
RC
R
Qt 
dQ t 
R
 V0
C
dt
t  t0  Qt0   0
V(t)
Ecuación del circuito a resolver
V0/R
0
t (s)
0
t0
0
16
0
t0
t (s)
DESCARGA CIRCUITO RC
1. Un condensador conectado a una fuente de tensión
2. Una resistencia con un interruptor abierto
ON
4. Cerramos el interruptor que conecta
el condensador con la resistencia
OFF
ON
i (t )
V0
R
+
-
V (t )
C
Conservación
energía
3. Se desconecta la fuente de tensión
OFF
V0
OFF
R
+
-
C
El condensador queda aislado
y cargado a V0 voltios
 V (t )  
i (t ) 
-
Q(t )
 i (t ) R
C
dQ (t )
dt
dQ
dt

Q
RC
Q  Q0
Carga y voltaje
son proporcionales
+
t 0
R
C
dQ Q

0
dt RC
Q(t )  Q0 exp  t / RC 
Voltaje inicial
V (t )  V0 exp  t / RC 
¿Qué significado físico tiene el producto RC?
17