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Ejercicio 1.7
Pregunta 1:
Complete la tabla siguiente con
cada uno de los términos faltantes.
Dividendo
23
40
32
37
Divisor
4
7
8
7
Cociente
Residuo
5
2
4
Dividendo
23
40
32
37
23
-23
3
4
5
Divisor
4
7
8
7
Cociente
5
5
4
Residuo
3
2
Dividendo
23
37
40
32
37
-35
2
7
5
Divisor
4
7
8
7
Cociente
5
5
4
a  75  2
Residuo
3
2
Dividendo
23
37
40
32
37
40
-40
0
8
5
Divisor
4
7
8
7
Cociente
5
5
5
4
Residuo
3
2
0
Dividendo
23
37
40
32
37
32
-28
4
7
4
Divisor
4
7
8
7
Cociente
5
5
5
4
4
Residuo
3
2
0
4
Dividendo
23
37
40
32
37
37
-
4
Divisor
4
7
8
7
9
Cociente
5
5
5
4
4
Residuo
3
2
0
4
1
Pregunta 2:
Mostrar que si un número natural es
a la vez un cuadrado y un cubo,
entonces puede escribirse en la
forma 7k ó 7k+1.
Después de leer repetidas veces la pregunta, notamos
que se habla de números que son cuadrados y cubos a la
vez. Entonces, debe venir a nuestra mente la pregunta:
¿qué significa que un número sea cuadrado y cubo a la
vez?
Con la investigación descubrimos que cuando un número
se eleva al exponente 2, entonces su resultado se llama
cuadrado, y cuando un número se eleva al exponente 3,
entonces su resultado se llama cubo.
Pero, ¿cómo sabemos a cuáles números debemos elevar
al cuadrado y al cubo?
La respuesta en muy fácil, a todos los números naturales.
Los números naturales son:
Los cuadrados corresponden a:
Y los cubos son:
Los números que cumplen con ser cubos y cuadrados a
la vez, están en la lista siguiente:
Realmente, todo consiste en verificar el algoritmo de la
división, según las condiciones dadas.
La primera comprobación sería 0=7k ó 0=7k+1, que no
otra cosa más que dividir por 7 la cantidad específica 0.
0
-0
0
7
0
Notemos que el residuo es cero, eso significa que la
fórmula que se ajusta a la condición particular es 7k
porque: 0=7∙0, entonces: 0=7k
La segunda comprobación sería 1=7k ó 1=7k+1, que no
otra cosa más que dividir por 7 la cantidad específica 1.
1
-0
1
7
0
Notemos que el residuo es 1, eso significa que la fórmula
que se ajusta a la condición particular es 7k+1 porque:
1=7∙0+1, entonces:
1=7k+1
La tercera comprobación sería 64=7k ó 64=7k+1, que no
es otra cosa más que dividir por 7 la cantidad específica
64.
64
-63
1
7
9
Notemos que el residuo es 1, eso significa que la fórmula
que se ajusta a la condición particular es 7k+1 porque:
64=7∙9+1, entonces:
64=7k+1
Pregunta 3:
Mostrar que el cuadrado de
cualquier número natural es de la
forma 3k ó 3k+1.
Los números naturales son:
Los cuadrados corresponden a:
Verificamos el algoritmo de la división, según las
condiciones dadas.
La primera comprobación sería 0=3k ó 0=3k+1, que no
otro cosa más que dividir por 3 la cantidad específica 0.
0
-0
0
3
0
Notemos que el residuo es cero, eso significa que la
fórmula que se ajusta a la condición particular es 3k
porque: 0=3∙0, entonces: 0=3k
La segunda comprobación sería 1=3k ó 1=3k+1, que no
otra cosa más que dividir por 3 la cantidad específica 1.
1
-0
1
3
0
Notemos que el residuo es 1, eso significa que la fórmula
que se ajusta a la condición particular es 3k+1 porque:
1=3∙0+1, entonces:
1=3k+1
La tercera comprobación sería 4=3k ó 4=3k+1, que no es
otra cosa más que dividir por 3 la cantidad específica 4.
4
-3
1
3
1
Notemos que el residuo es 1, eso significa que la fórmula
que se ajusta a la condición particular es 3k+1 porque:
4=3∙1+1, entonces:
4=3k+1
La cuarta comprobación sería 9=3k ó 9=3k+1, que no es
otra cosa más que dividir por 3 la cantidad específica 9.
9
-9
0
3
3
Notemos que el residuo es 0, eso significa que la fórmula
que se ajusta a la condición particular es 3k porque:
9=3∙3, entonces:
9=3k
Pregunta 4:
Mostrar que el cubo de cualquier
número natural es de la forma 9k,
9k+1 ó 9k+8.
Los números naturales son:
Los cubos corresponden a:
Verificamos el algoritmo de la división, según las
condiciones dadas.
La primera comprobación sería 0=9k, 0=9k+1 ó 0=9k+8, y
esto sería dividir por 9 la cantidad específica 0.
0
-9
0
9
0
Notemos que residuo es cero, eso significa que la fórmula
que se ajusta a la condición particular es 9k porque:
0=9∙0, entonces: 0=9k
La segunda comprobación sería 1=9k, 1=9x+1 ó 1=9k+8,
y esto sería dividir por 9 la cantidad específica 1.
1
-0
1
9
0
Notemos que el residuo es 1, eso significa que la fórmula
que se ajusta a la condición particular es 9k+1 porque:
1=9∙0+1, entonces:
1=9k+1
La tercera comprobación sería 8=9k, 8=9k+1 ó 8=9k+8, y
esto sería dividir por 9 la cantidad específica 8.
8
-0
8
9
0
Notemos que el residuo es 8, eso significa que la fórmula
que se ajusta a la condición particular es 8k+8 porque:
8=9∙0+8, entonces:
8=9k+8
La cuarta comprobación sería 64=9k, 64=9k+1 ó
64=9k+8, y para tomar decisión habría que dividir por 9 la
cantidad específica 64.
64
-63
1
9
7
Notemos que el residuo es 1, eso significa que la fórmula
que se ajusta a la condición particular es 9k+1 porque:
64=9∙7+1, entonces:
64=9k+1
Pregunta 5:
Mostrar que el cuadrado de
cualquier número natural impar es
de la forma 4k+1 u 8k+1.
Los números naturales impares son:
Los cuadrados de esos números corresponden a:
Verificamos el algoritmo de la división, según las
condiciones dadas.
La primera comprobación sería 1=4k+1 u 1=8k+1, note
que k está acompañada por 4 y por 8, por lo tanto la
división sería por 4 y por 8, la cantidad específica 1.
1
-0
1
4
0
1
-0
1
8
0
Notemos que el residuo es 1, eso significa que se
cumplen ambas condiciones, 1=4∙0+1, entonces: 1=4k+1.
También, 1=8∙0+1 que es: 1=8k+1.
La segunda comprobación sería 9=4k+1 y 9=8k+1, note
que k está acompañada por 4 y por 8, por lo tanto la
división sería por 4 y por 8, la cantidad específica 9.
9
-8
1
4
2
9
-8
1
8
1
Notemos que el residuo es 1, eso significa que se
cumplen ambas condiciones:
9=4∙2+1, por lo tanto 9=4k+1.
9=8∙1+1, por lo tanto 9=8k+1.
La tercera comprobación sería 25=4k+1 y 25=8k+1, note
que k está acompañada por 4 y por 8, por lo tanto la
división sería por 4 y por 8, la cantidad específica 25.
25
-24
1
4
6
25
-24
1
8
3
Notemos que el residuo es 1, eso significa que se
cumplen ambas condiciones:
25=4∙6+1, por lo tanto 25=4k+1.
25=8∙3+1, por lo tanto 25=8k+1.
Pregunta 6:
Resuelva el siguiente problema:
Bob
el
constructor
necesita
colocarle cerámica a un piso que
mide 400cm de largo por 300cm de
ancho. Las piezas de cerámica
miden 30cm de largo por 15cm de
ancho, y se van a colocar con el
lado mayor de la pieza paralelo al
lado mayor de la habitación.
¿Cuántas piezas necesita Bob para
este trabajo?
El trabajo principal se reduce a dividir 400 por 30 y 300
por 15.
400 30
-390 13
10
100
-90
10
300 15
-300 20
0
Esto significa que se necesitan 14 piezas a lo largo y 20
piezas a lo ancho. Para saber la cantidad total de piezas,
se multiplica 14 por 20, lo que nos da un total de 280
piezas de cerámica.