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II.- PRODUCTOS NOTABLES
Representaremos algunos productos notables mediante el uso de material
concreto.
Binomio conjugado.
(y + 4) (y – 4) = y 2 - 4y + 4y - 4 2
= y 2 - 16
Cuadrado de un binomio.
(x + 3) 2 = x 2 + 2 (x) (3) + 3 2
= x 2 + 6x + 9
(2x – 2) 2 = 4x 2 + 2 (2x) (-2) + 2 2
= 4x 2 - 8x + 4
Cubo de un binomio.
(x + y) 3 = x 3 + 3x 2 y + 3xy 2 + y 3
Representación del cubo de un binomio, utilizando material concreto.
III.- Factorización.
El proceso de escribir como productos de polinomios se llama Factorización y es
una herramienta importante para resolver ecuaciones y reducir expresiones
fraccionarias así; como arreglar los Blocks en rectángulos es lo mismo que
rescribir los polinomios como productos esto es a lo que llamamos Factorización
utilizando el material concreto.
Esta sección motivó el desarrollo de las siguientes técnicas de Factorización
mostrando a los estudiantes como pueden auxiliarse con los Blocks para
factorizar expresiones algebraicas.
Polinomios con factor común.
x + 2x + xy = x (x + 2 + y )
2
Trinomios con factores de binomios.
2x 2 + x - 15 = (2x -5 ) ( x + 3 )
2
Factorización por agrupación.
2x 2 + 6x – x – 3 = (2x 2 + 6x) – (x + 3)
Se agrupan términos.
= 2x (x + 3) – (x + 3)
Se factorizan grupos.
= (x + 3) (2x – 1)
Propiedad distributiva.
Factorización de formas especiales de polinomios.
a) Diferencia de cuadrados.
4x 2 - 4 = (2x) 2 - 2 2
= (2x + 2) (2x – 2)
b) Trinomio cuadrado perfecto
y 2 + 6y + 9 = y 2 + 2 (y) (3) + 3 2
= (y + 3 ) 2
y 2 - 6y + 9 = y 2 - 2 (y) (3) + 3 2
= (y – 3) 2
3
c).- Diferencia de dos cubos.
x 3 - y 3 = (x – y) (x 2 + xy + y 2 )
= (x – y) x 2 + (x – y) xy + (x – y) y 2
Donde x = 5, y = 2
Representación de la diferencia de dos cubos, utilizando cubos.
IV.- División.
En esta sección se llevaran a cabo divisiones entre algunos polinomios, las
cuales, se representaran mediante el algoritmo de la división algebraica, de igual
manera, se representaran mediante el uso de material concreto.
División de monomio entre monomio.
Para dividir un monomio entre otro se dividen sus coeficientes con sus signos y
variables, aplicando las leyes de los exponentes. Por ejemplo:
x2
=x
x
Observe que los exponentes se restan.
Representándolo mediante el uso del material, tenemos que el dividendo estará
dentro de la escuadra y el divisor por fuera de la escuadra en la parte izquierda.
4
El cociente quedara representado en la parte superior, por fuera de la escuadra
como lo muestra la figura.
División de polinomios entre monomios.
Para dividir un polinomio entre un monomio se divide cada uno de los términos
del polinomio entre el monomio, separados los cocientes parciales con sus
propios signos. Por ejemplo:
x 2 + xy x 2 xy
=
+
= x+ y
x
x
x
Representando esta división algebraica mediante el uso del material concreto
tenemos:
División de polinomios entre polinomios.
Partiremos de un ejemplo:
(3x + 3x ) Entre (x + 1)
2
Tanto el dividendo como el divisor, se ordenan en forma decreciente con respecto
a una variable en este caso x.
x + 1 3x 2 + 3x
Divisor
Dividendo
Se divide el primer término del dividendo, en este caso 3x 2 , entre el primer
término del divisor, en este caso x , así de esta manera encontramos el primer
término del cociente.
3x
x + 1 3x + 3x
2
5
Multiplicamos cada uno de los términos obtenidos por cada uno de los términos
del divisor. A este producto se le cambia el signo para restarlo de los términos
semejantes del dividendo.
3x
x + 1 3x + 3x
2
− 3x 2 − 3x
0
Se repite este procedimiento hasta que el residuo sea cero o de potencia inferior
al divisor.
Ejemplo: Realizar la siguiente división entre polinomios, 3x 2 + 2 x − 8 entre x + 2
representarla algebraicamente y mediante el uso de material concreto.
3x − 4
x + 2 3x + 2 x − 8
2
− 3x 2 − 6 x
0 − 4x − 8
4x + 8
0
Representando la división mediante el uso del material tenemos:
Observe que al momento de reacomodando las piezas, se introducen variables
negativas como positivas, en la misma cantidad de manera que el dividendo no se
altera.
La solución obtenida queda representada de la siguiente manera:
6
Ejemplo: Realizar la siguiente división entre polinomios, x 2 + 5 x + 1 entre x − 1
representarla algebraicamente y mediante el uso de material concreto.
x+6
x − 1 x + 5x + 1
2
(
)
− x2 − x
0 + 6x + 1
− (6 x − 6)
0+7
Representando la división mediante el uso del material tenemos:
Al momento de reacomodar las piezas se tendrán que introducir algunas, en las
mismas proporciones tanto positivas como negativas de manera que el dividendo
no se altera, con la finalidad de representar un rectángulo.
Así, la solución de la división quedaría representada de la siguiente manera,
donde el residuo son las siete piezas que se encuentran fuera del rectángulo.
V.- Ecuaciones lineales.
En esta sección, la atención estará enfocada hacia la solución de ecuaciones
lineales simples, al igual que representaremos y daremos solución a estas
ecuaciones mediante el uso de material concreto.
El tipo más común de ecuación condicional es la ecuación lineal o de primer
grado.
Una ecuación lineal en una variable x, es una ecuación que en forma estándar
puede escribirse como:
ax
+ b = 0
Término
Lineal
Término
Independiente
7
En donde el exponente de la incógnita o incógnitas es uno, además a y b son
números reales con a ≠ 0.
Para resolver una ecuación lineal se aísla la variable a un lado de la ecuación
mediante una sucesión de ecuaciones equivalentes.
Ejemplo:
3x – 6 = 0
3x = 6
x=2
Ecuación dada.
Se suma 6 en ambos lados de la igualdad.
Se divide ambos lados de la igualdad entre 3.
La solución de la ecuación lineal es x = 2, para comprobar esta solución tenemos
que sustituir en la ecuación dada el valor obtenido.
Representando la ecuación, mediante el uso de material concreto para ello,
utilizaremos una hoja base como la que se presenta.
Donde el primer cuadrante y el segundo cuadrante, son positivos, el tercero y
cuarto cuadrante son negativos. Ahora representemos la ecuación sobre la hoja
base utilizando las piezas como lo muestra la imagen.
Para poder aislar las variables (despejar), tendremos que colocar la misma
cantidad de unidades con el signo contrario, en ambos lados de la igualdad como
lo muestra la imagen.
8
De aquí, 6 unidades positivas se anulan con 6 unidades negativas, quedaría
solamente las piezas que se indican en la imagen.
Esto nos indica que 3x es igual a 6 unidades, reacomodando las piezas de manera
que a cada variable x le corresponda la misma cantidad de unidades es decir:
A cada variable x le corresponde 2 unidades, que es la solución de la ecuación
lineal.
VI.- Ecuaciones de segundo grado.
En esta sección, la atención estará enfocada hacia la solución de ecuaciones
cuadráticas o de segundo grado aplicando la fórmula general, al igual que
representaremos y daremos solución a estas ecuaciones mediante el uso de
material concreto.
Una ecuación cuadrática o de segundo grado con una incógnita es aquélla que
una vez simplificada la ecuación, el más alto grado de la incógnita es dos.
Las ecuaciones de segundo grado se clasifican en completas e incompletas.
9
Una ecuación de segundo grado, completa es aquélla que cuenta con los tres
términos por ejemplo:
4x 2 + 3x + 12 = 0
Término
Cuadrático
Término
Lineal
Término
Independiente
Una ecuación de segundo grado, incompleta es aquélla que carece de términos;
por ejemplo puede no tener el término independiente o el término lineal.
La solución de la ecuación de segundo grado nos da dos valores o raíces. Existen
diversos métodos para resolver ecuaciones de segundo grado con una incógnita,
tanto completas como incompletas. A continuación veremos el procedimiento de
solución aplicando la fórmula general.
Para obtener la fórmula general se parte de una ecuación literal de la forma:
ax 2 + bx + c = 0
Donde se concluye que en toda ecuación de segundo grado el valor de la
incógnita es igual al coeficiente del término lineal con signo cambiado, más o
menos la raíz cuadrada del cuadrado del coeficiente del término lineal menos el
cuádruplo del producto del coeficiente del término cuadrático por el termino
independiente, todo dividido por el doble del coeficiente del primer término.
− b ± b 2 − 4ac
=
x
Donde se llega a la fórmula general:
donde a ≠ 0.
2a
Ejemplo: Dada la siguiente ecuación de segundo grado encontrar sus raíces,
mediante la fórmula general y el uso de material concreto.
x2 + 6x + 5 = 0
Sustituyendo en la fórmula general:
− 6 ± 62 − 4(1)(5)
x=
2(1)
Simplificando tenemos:
x=
− 6 ± 36 − 20
2
− 6 ± 16
x=
2
−6±4
x=
2
Para obtener las dos soluciones de la ecuación, primero se considera el signo
positivo es decir.
x1 =
−6+4
2
x1 = −1
Para obtener la segunda raíz se considera el signo negativo.
10
x2 =
−6−4
2
x2 = −5
Así de esta manera es como se obtienen las dos raíces: x1 = −1 , x2 = −5 .
Mediante el uso del material concreto representemos la ecuación cuadrática
x2 + 6x + 5 = 0
Donde ocuparíamos las siguientes piezas que están representadas en la imagen.
Con estas piezas representaremos un rectángulo, existen diversas maneras de
representarlo, una es la forma que presenta la imagen.
De aquí calculamos la longitud que tiene el rectángulo que se forma es decir.
De la imagen encontramos, dos ecuaciones lineales:
1).- x + 5 = 0
2).- x + 1 = 0
Representando en la hoja base las respectivas ecuaciones.
11
Para poder despejar la variable tenemos:
De esta manera encontramos las raíces de la ecuación cuadrática.
Encontramos que las raíces de la ecuación cuadrática son:
x1 = −5
x2 = −1
VII.- Trigonometría
Definición de trigonometría.- Etimológicamente, la palabra trigonometría
significa medida de los triángulos. Y es la rama de la matemática que estudia las
relaciones entre los ángulos y los lados de un triángulo.
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La trigonometría fue inventada como un medio para medir indirectamente las
partes de un triángulo rectángulo; actualmente, tiene muchas aplicaciones, pero
los conceptos básicos se entienden mejor todavía en relación con el triángulo
rectángulo.
Nota histórica: La palabra “seno” tiene un origen interesante. Las primeras tablas
trigonométricas eran de cuerdas de un circulo correspondiente a un ángulo, (en
nuestro caso las varillas representan las cuerdas), los hindúes dieron el nombre
“jiva” a la mitad de la cuerda y los árabes usaron la palabra “jiba”. En la lengua
árabe hay también una palabra “jaib” que significa “bahía” cuya traducción latina
es “sinus”. Un traductor medieval confundió inadvertidamente la palabra jiba y
jaib. Así, la palabra “seno” es utilizada en lugar de “cuerda”. Una visualización
geométrica adecuada de las funciones e identidades trigonométricas, siempre es
importante conocerlas. Esto evita muchos disparates provocados por los errores
en el uso de las calculadoras.
La trigonometría se basa en relaciones que se llaman, funciones trigonométricas
las cuales se definen como: “La razón que relaciona la medida de un ángulo
agudo con el cociente de los lados del triángulo rectángulo”.
En esta actividad se consideran las funciones trigonométricas, como segmentos
de recta, donde cada una de estas funciones (seno, coseno, tangente, cotangente,
secante, cosecante) se encuentra señaladas en la siguiente imagen.
Comprobación de algunas funciones trigonométricas como segmentos de
recta.
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Sen α ≤
AB
,
OA
pero OA = 1 de aquí tenemos que,
Sen α
Cos
α
≤
≤ AB
OB
, pero OA = 1
OA
Cos α
de aquí tenemos que,
≤ OB
En el ∆OAB , observamos que Tan
α
≤
AB
OB
En el ∆OCA , observamos que Tan
α
≤
AC
OA
Pero OA ⊥ CD
En ∆OCA
90º +
α
+
β
= 180º
En ∆OAB
90º +
α
+
β′
=180
De aquí tenemos:
β
=
β′
Por lo tanto ∆OAB es congruente con ∆OCA por el criterio AAA, entonces:
14
Tan
α
≤
AC
,
OA
pero OA = 1
Tan α
por tanto
≤ AC
El ∆OAB es congruente con ∆OAD por el criterio ALA
En el ∆OAB ; Cot
α
Pero en el ∆DOA Cot
≤
α
OB
AB
≤
AD
OA
Pero OA = 1
Cot α
≤ AD
En el ∆OCA ;
Sec
α
≤
OC
;
OA
pero OA = 1
Sec α
por tanto
≤ OC
En ∆OAD ;
Csc
α
≤
OD
, pero OA = 1
OA
Csc α
por tanto
≤ OD
Manejo del círculo trigonométrico.
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El procedimiento a seguir es encontrar el valor de las seis funciones
trigonométricas, para distintos ángulos mediante el uso del círculo trigonométrico
de radio uno.
Por ejemplo: Calculemos para un ángulo de 45º cada una de las funciones
trigonométricas, así como lo muestra la imagen.
Seno 45º = OG = 0.70
Coseno 45º = OB = 0.70
Tangente 45º = AC = 1
Cotangente 45º = AD = 1
Secante 45º = OC = 1.41
Cosecante 45º = OD = 1.41
Con los valores encontrados, para cada una de las funciones se llena la siguiente
tabla:
Funciones
0o
450
sen
0.70
cos
0.70
tan
1
cot
1
sec
1.41
csc
1.41
90o
1350
180o
2250
270o
3150
360o
Calculemos para un ángulo de 90º cada una de las funciones trigonométricas, así
como se muestra en la imagen.
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Seno 90º = OG = 1
Coseno 90º = OB = 0
Tangente 90º = AC = ∞
Cotangente 90º = AD = 0
Secante 90º = OC = ∞
Cosecante 90º = OD = 1
Con los valores encontrados, para cada una de las funciones se llena la siguiente
tabla:
450
90o
sen
0.70
1
cos
0.70
0
tan
1
∞
cot
1
0
sec
1.41
∞
csc
1.41
1
Funciones
0o
1350
180o
2250
270o
3150
360o
Graficación de las funciones seno y coseno.
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Con los valores obtenidos en la tabla; indicar cuales funciones son positivas en
cada uno de los cuatro cuadrantes y posteriormente, obtener la gráfica de las
funciones seno y coseno
Bibliografía:
18
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Primera parte., Secretaría de Educación Pública., México.
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19