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Funciones Reales en una Variable
Concepto de función
La palabra “función” es utilizada en nuestro
lenguaje común para expresar que algunos
hechos dependen de otros. Así, la idea
matemática de función no es un concepto
nuevo, sino una formalización de nuestra idea
intuitiva
Definición de Función
Una función de un conjunto A no vacío en un conjunto B
no vacío, es una relación que se establece entre ambos
conjuntos de tal forma que a todo elemento de A le
corresponde un único de B . En símbolos matemáticos
  x  A  IR  ! y  B  IR   y  f  x 
En forma de esquema
f : A  IR 
Donde
x
x : Variable Independiente
y  f  x  : Variable Dependiente

B  IR
y  f x 
f  x  es la imagen de x
x : es la preimagen de f  x 
¿ Cuál es Función ?
A
B
A
B
A
B
A
B
¿ Cuál es Función ?
Menú
Representación Grafica
Método de Óvalos
Plano Cartesiano
B  IR
y  f  x
P  x; f  x  
x
A  IR
Menú
Dominio y Recorrido
Dominio
Sea A y B dos conjuntos no vacío, y f una función de A
en B, a un sub conjunto del conjunto A se llama Dominio
de la función a





x

A

y

B
f
(
x
)

y








Y lo denotaremos por
Dom  f 
Dominio y Recorrido
Recorrido
Sea A y B dos conjuntos no vacío, y f una función de A en B,
a un sub conjunto del conjunto B se llama recorrido de la
función a




  y  B   x  A  f ( x)  y 




Y lo denotaremos por
Rec  f 
Dominio y Recorrido (Rango) en el plano
cartesiano
Dominio y Recorrido usando Método de Óvalos
¿Cual es el Dominio y Recorrido de la
siguiente función?
f  x  4  x  2
Recorrido
Dominio
y  4 x2
 y4 x2
x20

x  2
Dom  f    2;  
  y  4 2  x  2
  y  4 2  2  x
Re c  f    4;  
Buscar condiciones para la variable
x
Buscar condiciones para la variable
y
Tabla de Evaluación
Y su grafica es
Menú
Clasificación de las funciones
Función Lineal
Función Cuadráticas
f  x   mx  b
f  x   ax2  bx  c
Función Cúbica
f  x   ax3
Función Potencia
f  x   xc
Función Raíz
Función Reciproca
f  x  x
f  x 
1
x
donde
x0
donde
x0
Función Valor Absoluto
f  x  x
 x si

x   0 si
 x si

donde
p  x
Funciones Racionales
Funciones Irracionales
x0
x0
x0
an x n  an 1 x n 1  a1 x  a0
f  x 

q  x  bm x m  bm 1 x m 1  b1 x  b0
f  x   mx  b
Función Exponenciales
Función Logarítmicas
f  x   bx
f  x   l o gb  x 
Funciones Trigonométricas
f  x   Sen  x 
f  x   Cos  x 
f  x   Tang  x 
Funciones Hiperbólicas
e x  e x
f  x   Senh  x  
2
e x  e x
f  x   Cosh  x  
2
e x  e x
f  x   Tangh  x   x  x
e e
Ver Graficas
Menú
Propiedades de las funciones
Función Inyectiva (1-1)
Se dice que
f
: A  IR  B  IR
es una Función Inyectiva si
f a  f b  a  b
a, b  Dom f 
Función Epiyectiva (sobre)
Se dice que f
: A  IR  B  IR
es una Función Sobre si Re c f   B
Función Biyectiva
Se dice que
f
: A  IR  B  IR
es inyectiva y sobre a la vez
es una Función Biyectiva si
Función Inversa
Sea
f : A  B una función biyectiva, entonces la función inversa
f 1 de f
es una función biyectiva tal que
f 1 : B  A
y
f 1  y   x  y  f  x 
Gráficamente podemos representar estas funciones de la manera
siguiente:
Operaciones con funciones
AC y g: B  D
Dom  f   Dom  g   
Sean f :
dos funciones tal que
Suma de f y g
 f  g x  f x  g x
Resta de f y g
 f  g  x   f  x   g  x 
Producto de f y g
 f  g  x   f  x   g  x 
Cociente de f y g
f  x
 f 
  x 
g  x
g
g  x  0
Composición de de f y g
 g f  x   g  f  x 
Ejemplos
1.- Para cada una de las siguientes relaciones,
determine Dominio, Recorrido para que sea
función
a)
f x   x 2  1
b)
f  x  2  x 1
c)
x 1
f  x 
x 1
2.- Para cada una de las siguientes relaciones,
determine Dominio para que sea función
a)
b)
f x   2 x  4
f  x 
x2
x 1
3.- Trace la grafica de la siguiente función
a)
 x  3 si 5  x  1

f ( x)   2
si 1  x  1
 x  3 si 1  x  3

b)
 x  5 si  6  x  0


f ( x)   x  1 si 0  x  2

 2
 x  8 si
x2
5.- Usando alguna aplicación grafica determine
Dominio, Recorrido
a)
b)
c)
f x   3x  2
d)
1
f x  
 x 1
3  2x
4
h  x  2
x 4
e)
f  x   log  x 1
f)
x
h  x  2
x 4
1
f  x   Sen  
x
6.- Sean la funciones definidas por
f x   x  1
g  x  x  2
Hallar dominio de cada una de las siguientes funciones.
 f  g x  f x  g x
 f  g  x   f  x   g  x 
 f  g  x  f  x   g  x 
f  x
 f 
  x 
g  x
g
g  x  0
7.- Para cada uno de los pares de funciones determine
(f O g) (x) y  g f  x 
a)
f  x   2 x2  6
b)
f  x   x2  x  1
g  x  7x  2
g  x   x 1
Menú
Terminar
Función Lineal
Función Cuadráticas
Función Potencia
Función Raíz
Función Cúbica
Función Reciproca
Función Valor Absoluto
Función Exponenciales
Función Logarítmicas
Funciones Trigonométricas
f  x   Sen  x 
f  x   Cos  x 
f  x   Tang  x 
Funciones Hiperbólicas
f  x   Senh  x 
f  x   Cosh  x 
f  x   Tangh  x 
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