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Números
Reales
Funciones
Curso Propedéutico de Cálculo
Sesión 1: Funciones
Joaquín Ortega Sánchez
Centro de Investigación en Matemáticas, CIMAT
Guanajuato, Gto., Mexico
Funciones
Esquema
Números
Reales
Funciones
1 Números Reales
2 Funciones
Funciones
Esquema
Números
Reales
Funciones
1 Números Reales
2 Funciones
Funciones
Números Reales
Números
Reales
Funciones
El cálculo se basa en las propiedades de los números
reales, así que comenzaremos por dar una idea de cómo
surge este conjunto de números y que propiedades tiene.
En el camino iremos definiendo otros conjuntos de números
que son necesarios para la descripción de los números
reales.
Funciones
Números Naturales
Números
Reales
Funciones
Los números naturales o enteros positivos son los números
que usamos para contar: 1, 2, 3, .... El conjunto de los
números naturales es infinito y usualmente se denota con el
símbolo N, de modo que
N = {1, 2, 3, 4, . . . }.
Si a es un número entero usamos la notación a ∈ N para
indicar que a es un elemento del conjunto N de los números
naturales.
Funciones
Números Enteros
Números
Reales
Funciones
Si sumamos dos números naturales el resultado siempre es
un número natural.
En cambio, si restamos dos números naturales el resultado
puede no ser un entero positivo. Por ejemplo, si restamos 5
menos 7 el resultado no es un entero positivo. Tampoco lo
es el resultado de restar 5 menos 5.
Para poder realizar estas operaciones tenemos que ampliar
el conjunto de números que estamos considerando para
incluir los enteros negativos y el cero.
Funciones
Números Enteros
Números
Reales
Funciones
El conjunto que incluye todos estos números, es decir, los
naturales, el cero y los enteros negativos se conoce como
el conjunto de los enteros y se denota por Z:
Z = {. . . , −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, . . . }.
Ahora podemos sumar o restar enteros y el resultado será
siempre otro entero.
Esto nos permite resolver cualquier ecuación de la forma
x + a = 0 dónde a es un número entero (a ∈ Z) y x es la
incógnita. La solución de esta ecuación es x = −a.
Funciones
Números Enteros
Números
Reales
Funciones
Consideremos ahora la operación de multiplicar dos
números.
Si multiplicamos enteros el resultado es otro entero, al igual
que ocurre con las operaciones de suma y resta. Decimos
por lo tanto que el conjunto de los números enteros es
cerrado respecto de las operaciones de suma, resta y
multiplicación.
Sin embargo, si consideramos la operación de dividir dos
números enteros, el resultado no siempre es otro entero.
Por ejemplo, 4 dividido por 2 es 2, que es entero, pero 2
dividido por 4 no es un número entero.
Funciones
Números Racionales
Números
Reales
Funciones
De nuevo, si queremos realizar la operación de dividir dos
enteros cualesquiera debemos considerar otro conjunto de
números, más amplio que el conjunto de los enteros, que
se conoce como el conjunto de los números racionales y se
denota por la letra Q.
Este conjunto está formado por todos los cocientes de
números enteros:
o
na
Q=
: a, b ∈ Z .
b
Q contiene a los números enteros; basta tomar b = 1 en el
cociente que aparece en la definición.
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Números Racionales
Números
Reales
Funciones
Q es cerrado respecto de las operaciones de suma, resta,
multiplicación y división.
Por lo tanto, dentro de este conjunto podemos resolver
cualquier ecuación lineal con coeficientes racionales, es
decir, ecuaciones de la forma ax + b = 0 para a, b ∈ Q.
Los números racionales tienen una característica
importante cuando vemos sus desarrollos decimales. La
parte decimal de un número racional o es finita o tiene un
patrón que se repite indefinidamente. Por ejemplo
1/4 = 0.25, 1/3 = 0.3333 . . . y 20/11 = 1.818181 . . . .
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Números Reales
Números
Reales
Funciones
Pudiéramos pensar que con este conjunto tendríamos
suficiente para todas las operaciones que queremos hacer
pero si intentamos resolver ecuaciones con términos no
lineales tendremos problemas.
Por ejemplo, si queremos resolver x 2 = 2, la solución no es
un número racional. Esto no es tan fácil de ver como en los
ejemplos anteriores pero este era un hecho conocido por
los matemáticos griegos.
La demostración que presentamos a continuación aparece
en los libros de Euclides y es una demostración por
contradicción o reducción al absurdo.
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Números Reales
Números
Reales
Funciones
Supongamos que la solución de esta ecuación es un
número racional, es decir que existen a, b enteros tales que
(a/b)2 = 2.
Podemos suponer que a y b no tienen factores
comunes.
Despejando obtenemos
a2 = 2b2 .
Por lo tanto a2 es un número par.
Como consecuencia a también es par, porque los
cuadrados de números impares no pueden ser pares.
(1)
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Números Reales
Números
Reales
Funciones
Como a2 es par, existe un entero k tal que a2 = 2k .
Sustituyendo en la ecuación (1) obtenemos que 4k 2 = 2b2
o equivalentemente b2 = 2k 2 .
El mismo argumento anterior nos dice ahora que b también
es par y en consecuencia tanto a como b son pares. Pero
habíamos supuesto que a y b no tenían factores
comunes.
Esta contradicción muestra que no existe ningún número
racional x que sea solución de la ecuación x 2 = 2.
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Números Reales
Números
Reales
Funciones
Para poder resolver esta ecuación es necesario ampliar el
conjunto de números e incluir, además de los racionales a
los llamados números irracionales.
Los números irracionales son aquellos cuyo desarrollo
decimal no termina (o sea que su desarrollo decimal es
infinito) y tampoco tiene un patrón
que se repite. Ejemplos
√
de números irracionales son 2 y π.
Es posible demostrar que todo número irracional se puede
obtener como límite de una sucesión de números
racionales, pero como aún no hemos introducido la idea de
límite, no podemos profundizar en esta idea.
Funciones
Números Reales
Números
Reales
Funciones
Este conjunto ampliado, que incluye tanto a los racionales
como a los irracionales se conoce como los números
reales, se denota por el símbolo R y va a ser el conjunto
con el cual vamos a trabajar.
Una propiedad fundamental de los números reales es que
están ordenados, es decir, existe una relación de orden que
denotamos por < tal que dados dos números reales x, y
cualesquiera, siempre se tiene que una y sólo una de las
relaciones
x < y;
x = y;
y < x,
es cierta. Esta relación es transitiva: si x < y , y < z
entonces x < z. Además si x < y entonces 0 < y − x.
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Esquema
Números
Reales
Funciones
1 Números Reales
2 Funciones
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Funciones
Números
Reales
Funciones
Una noción fundamental en Cálculo es la de función.
Definición
Una función es una regla que a cada elemento a de un
conjunto A le asocia un único elemento f (a) en un conjunto
B.
El conjunto A se conoce como el dominio de la función f y
B es el codominio o conjunto de llegada de la función f .
Usamos la siguiente representación simbólica para una
función de A a B:
f :A→B
Decimos que el valor de la función f (a) es la imagen de a
por la función f . El recorrido de f es el conjunto de valores
que toma la función
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Funciones
Números
Reales
Funciones
Aunque en la definición los conjuntos A y B pueden ser
cualesquiera, en lo que sigue vamos a considerar funciones
que están definidas entre conjuntos de números.
Veamos algunos ejemplos.
1
La función f : R → R definida por la fórmula f (x) = x le
asocia a cada número real, el mismo número real. Se
conoce como la función identidad.
2
La función f (x) = 2x asocia a cada número real, el
doble de su valor.
Funciones
Funciones
Números
Reales
Funciones
3 La función f (x) = x 2 es una función que va de los
números reales a los números reales positivos. En este
caso todo número real tienen una única imagen (el
dominio de la función es el conjunto de los números
reales) pero dos números reales distintos pueden tener
la misma imagen. Por ejemplo, f (−2) = f (2) = 4. Esto
está permitido por la definición.
Observamos que no todos los números reales son
imagen de otro número real, es decir, que el recorrido
no es el conjunto de los números reales sino un
subconjunto, el de los números reales positivos, que
denotamos por R+ .
Funciones
Funciones
Números
Reales
Funciones
4 La relación x 2 + y 2 = 4 define una circunferencia de
radio 2, pero la variable y no es una función de x
porque para cada valor de x hay dos valores de y
asociados: Tenemos que√y 2 = 4 − x 2 y por lo tanto
para −2 < x < 2, y = ± 4 − x 2 .
6
'$
&%
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Funciones
Números
Reales
Funciones
Con frecuencia sólo damos una fórmula para definir una
función,√por ejemplo, decimos que f (x) = 3x + 5 o
g(x) = x − 5.
En estos casos está implícito que el dominio de la función
es el conjunto de números reales en el cual la fórmula que
define la función tiene sentido.
La función f está definida en todo R porque a cualquier
número real lo podemos multiplicar por 3 y sumarle 5, sin
embargo en el caso de g tenemos que tener en cuenta que
las raíces de números negativos no están definidas (dentro
de los números reales; hay que introducir los números
imaginarios para poder hacer esto).
Funciones
Funciones
Números
Reales
Funciones
Por lo tanto es necesario que x − 5 sea positivo, es decir,
x − 5 ≥ 0 y x ≥ 5.
Así vemos que el dominio de esta función es el conjunto de
los reales que son mayores o iguales a 5:
Dom(f ) = {x ∈ R : x ≥ 5}.
Este conjunto con frecuencia se conoce como el dominio
natural de la función g.
Funciones
Funciones
Números
Reales
Representación Gráfica
Funciones
La gráfica de una función es la representación gráfica
respecto de un sistema de coordenadas cartesianas de la
colección de pares ordenados (x, f (x)).
Esta representación generalmente es una curva en el plano
xy , aunque en ocasiones la representación puede ser más
complicada. Veamos algunos ejemplos.
Funciones
Funciones
Representación Gráfica
Números
Reales
Funciones
1
La gráfica de la función f (x) = 0.5x − 1 es una recta
con pendiente 0.5 e intercepto -1. Su gráfica es
6
2
−1 -
Funciones
Funciones
Representación Gráfica
Números
Reales
Funciones
1
La gráfica de f (x) = x 2 es una parábola que pasa por
el origen y se abre hacia arriba. Su gráfica es la
siguiente
6
1
−1
1
Funciones
Funciones
Números
Reales
Funciones definidas a trozos
Funciones
En todos los ejemplos que hemos visto el dominio de la
función es un intervalo, posiblemente infinito, pero esto no
siempre es así. El dominio de una función puede ser la
unión de intervalos disjuntos o incluso conjuntos más
complicados.
En general, aunque no siempre, este tipo de funciones
requiere dos o más fórmulas para su definición. Veamos
algunos ejemplos de las situaciones que se presentan
Funciones
Funciones
Funciones definidas a trozos
Números
Reales
La función definida por
(
x − 1 para x < 0,
f (x) =
x + 1 para x ≥ 0.
−2
0
2
4
es una función definida a trozos.
−4
1
f(x)
Funciones
−3
−1
0
x
1
2
3
Funciones
Funciones
0
1
2
3
2 La función f (x) = |x| se puede escribir más
explícitamente como
(
x
si x ≥ 0
f (x) =
−x si x < 0.
−1
Funciones
f(x)
Números
Reales
Funciones definidas a trozos
−3
−1
0
x
1
2
3
Funciones
Funciones
4
6
√
3 La función f (x) = x 2 − 4 está definida sólo si
x 2 − 4 ≥ 0, es decir, si x ≤ −2 o x ≥ 2, y estos
intervalos son disjuntos y no son contiguos.
2
0
Funciones
f(x)
Números
Reales
Funciones definidas a trozos
−6
−2
0
x
2
4
6
Funciones
Funciones
Funciones inyectivas, sobreyectivas y biyectivas
Números
Reales
Funciones
Definición
Una función f : A → B es inyectiva si dados dos elementos
x, y en el dominio de f con x 6= y se tiene que f (x) 6= f (y ).
La definición nos dice que elementos distintos del dominio
tienen imágenes distintas y es equivalente a la siguiente
condición:
Dados dos puntos x, y en el dominio, si f (x) = f (y )
entonces necesariamente x = y .
Funciones
Funciones
Ejemplo
La función f (x) = 2x − 3 es inyectiva porque si x 6= y ,
también se tiene que 2x 6= 2y y de manera similar
2x + 3 6= 2y + 3.
2
En cambio la función f (x) = |x| no es inyectiva porque
f (−1) = f (1) = 1.
1
f(x)
f(x)
5
2
10
3
1
−1
0
0
Funciones
−5
Números
Reales
Funciones inyectivas, sobreyectivas y biyectivas
−4
−2
0
x
2
4
−3
−1
0
x
1
2
3
Funciones
Funciones
Funciones inyectivas, sobreyectivas y biyectivas
Números
Reales
Funciones
Definición
Una función f : A → B es sobreyectiva si todo elemento de
B es imagen de un elemento de A, es decir, para todo
y ∈ B existe x ∈ A tal que y = f (x).
Una función es biyectiva si es a la vez inyectiva y
sobreyectiva.
Una función es sobreyectiva si el recorrido de la función es
igual al conjunto de llegada o codominio de la función.
Una función f : A → B es biyectiva si todos los elementos
de A tienen una única imagen en B y todo elemento de B
es imagen de algún elemento de A.
Funciones
Funciones
Funciones inyectivas, sobreyectivas y biyectivas
Números
Reales
Funciones
1
La función f : R → R definida por f (x) = ax + b con
a 6= 0 es sobreyectiva porque dado cualquier número
real y , podemos ver que y es la imagen según f de
x = (y − b)/a:
f (x) = ax + b = a
y −b
+b =y
a
Como f también es inyectiva, vemos que es biyectiva.
2
La función f : R → R definida por f (x) = x 2 no es
inyectiva porque f (−1) = f (1) y tampoco es
sobreyectiva porque ningún número negativo es
imagen de otro número real según esta función.
Funciones
Funciones
Números
Reales
Funciones inyectivas, sobreyectivas y biyectivas
Funciones
3 Si restringimos el dominio de la función del ejemplo
anterior a los números positivos f : R+ → R,
obtenemos una función inyectiva, porque ahora la
imagen de cada número positivo es única, pero no es
sobreyectiva por la misma razón del ejemplo anterior.
Si modificamos el codominio de la función y
consideramos f : R+ → R+ entonces la función es
inyectiva y sobreyectiva, y por lo tanto es biyectiva.
Funciones
Funciones
Paridad
Números
Reales
Funciones
Definición
Una función f es par si su gráfica es simétrica respecto al
eje y, o equivalentemente si
f (−x) = f (x)
para todo x en el dominio de f .
Una función f es impar si su gráfica es simétrica respecto al
origen, o equivalentemente si
f (−x) = −f (x),
para todo x en el dominio de f .
Funciones
Funciones
Paridad
Números
Reales
Funciones
1
La función f (x) = |x| es un ejemplo de una función par
pues si x > 0, f (−x) = x = f (x). Tambíén lo es la
función f (x) = x 2 y en general las potencias pares:
f (x) = x 2k , para k ∈ N.
2
La función f (x) = x es una función impar pues
f (−x) = −x = −f (x). También lo son todas las
potencia impares: f (x) = x 2k −1 para k ∈ N.
3
Hay funciones que no son pares ni impares, como por
ejemplo f (x) = 2x − 1, ya que no satisface ninguna de
las dos condiciones que aparecen en la definición:
f (−x) = − 2x − 1 6= 2x − 1 = f (x)
f (−x) = − 2x − 1 6= −2x + 1 = −f (x).
Funciones
Funciones
Números
Reales
Paridad
Funciones
La gráfica de una función par es simétrica respecto al eje y :
Una gráfica es simétrica respecto al eje y si cada vez que
un punto (x, y ) está en la gráfica, el punto (−x, y ) también
lo está.
Recordemos que la gráfica de una función f está dada por
la colección de puntos (x, y ) con y = f (x).
Si la función es par y tomamos un punto cualquiera (x, f (x))
sobre su gráfica, teniendo en cuenta que f (−x) = x vemos
que el punto (−x, f (−x)) = (−x, f (x)) también está sobre la
gráfica, de modo que ésta es simétrica.
Funciones
Funciones
Números
Reales
Paridad
Funciones
En cambio, la gráfica de una función impar es simétrica
respecto al origen de coordenadas. Una gráfica tiene esta
propiedad si dado cualquier punto (x, y ) en la gráfica, el
punto (−x, −y ) también está en la gráfica.
Geométricamente esta propiedad quiere decir que si
unimos con una recta al origen con el punto (x, y ) de la
gráfica, hay otro punto de la gráfica que se encuentra sobre
esta misma recta y a la misma distancia que (x, y ) del
origen, pero en dirección contraria. No es difícil ver que
este punto es (−x, −y ).
Funciones
Funciones
Números
Reales
Paridad
Funciones
Consideremos ahora la gráfica de una función impar y
recordemos que la propiedad que caracteriza a estas
funciones es que
f (−x) = −f (x).
(2)
El punto (x, f (x)) está en la gráfica de esta función para
toda x en el dominio de la función. Pero usando la ecuación
(2) vemos que (−x, −f (x)) también está en la gráfica y por
lo tanto ésta es simétrica respecto al origen.
Observamos además que si el origen está en el dominio de
la función, la gráfica de la función tiene que pasar por él.
Funciones
Funciones
Funciones Monótonas
Números
Reales
Funciones
Definición
Decimos que la función f es creciente si se tiene que
f (x) ≤ f (y ) siempre que x ≤ y . f es estrictamente creciente
si la desigualdad x < y implica que f (x) < f (y ).
Decimos que la función f es decreciente si se tiene que
f (x) ≤ f (y ) siempre que x ≥ y . f es estrictamente creciente
si la desigualdad x < y implica que f (x) > f (y ).
En cualquiera de los casos anteriores decimos que f es una
función monótona. Si f es estrictamente creciente o
estrictamente decreciente decimos que es estrictamente
monótona.
Funciones
Funciones
Funciones Monótonas
Números
Reales
Funciones
Si f es una función lineal: f (x) = ax + b con a, b ∈ R
entonces f es estrictamente creciente si a > 0,
estrictamente decreciente si a < 0 y es constante si
a = 0.
f(x)
5
−5
−0.5
0
f(x)
5
f(x)
0
0.5 1.0 1.5
a=0
10
a<0
10
a>0
−5
1
−4
−2
0
x
2
4
−4
−2
0
x
2
4
−4
−2
0
x
2
4
Funciones
Funciones
Funciones Monótonas
Números
Reales
1
f(x)
10
0
−1
f(x)
2
15
3
La función f (x) = x 2 no es monótona. Si restringimos
el dominio de la función a los reales negativos
entonces es estrictamente decreciente, mientras que si
restringimos el dominio a los reales positivos la función
es creciente. Algo similar ocurre con la función
f (x) = |x|.
5
1
0
Funciones
−4
−2
0
x
2
4
−3
−1
0
x
1
2
3
Funciones
Funciones
Funciones Monótonas
Números
Reales
Funciones
1
En general, la función f (x) = x n es creciente si n es
impar mientras que para n par la función no es
monótona.
En este último caso se presenta una situación análoga
a la del ejemplo anterior: la función es creciente para
x ≥ 0 y decreciente para x ≤ 0
Funciones
Funciones
Funciones Monótonas
Números
Reales
Funciones
Una función estrictamente monótona es inyectiva porque si
x 6= y , por las propiedades de los números reales o bien
x < y o y < x. Supongamos que este último es el caso y
que la función es estrictamente creciente, entonces
y < x ⇒ f (y ) < f (x)
y f (x) 6= f (y ).
Un argumento similar muestra el resultado en los otros
casos
Funciones
Funciones
Polinomios
Números
Reales
Funciones
Definición
Un polinomio o una función polinomial f es una función de
la forma
f (x) = an x n + an−1 x n−1 + · · · + a2 x 2 + a1 x + a0
donde ai ∈ R para i = 0, 1, . . . , n. Si an 6= 0 decimos que f
tiene grado n.
Observamos que un polinomio tiene como dominio al
conjunto de los números reales. Si el grado del polinomio
es impar entonces el recorrido de la función también es el
conjunto de los números reales. Si el grado es par entonces
el recorrido es solo un subconjunto de los números reales.
Funciones
Funciones
Polinomios
Números
Reales
Funciones
Ejemplo
La función f (x) = x 3 − x es un polinomio de grado 3
mientras que g(x) = x 18 − 3x 9 + 2 es un polinomio de
grado 18.
Definición
Si g y h son polinomios, decimos que la función
f (x) =
g(x)
h(x)
es una función racional.
Observamos que una función de este tipo sólo estará
definida si el denominador no se anula, de modo que el
dominio de f excluye los puntos en los cuales h(x) = 0, o
sea, las raíces del polinomio h.
Funciones
Funciones
Polinomios
Números
Reales
Funciones
Consideremos la función
f (x) =
x2
1
+a
Veamos cuál es el dominio de f . Esta función está definida
para todos los números reales x excepto cuando
x 2 + a = 0. Por lo tanto necesitamos hallar las raíces de
este polinomio. Hay tres casos:
• Si a > 0 entonces la ecuación x 2 = −a no tiene raíces
reales y por lo tanto x 2 − a no se anula para ningún
x ∈ R, de modo que la función f está definida para
todos los números reales.
Funciones
Funciones
Polinomios
Números
Reales
• Si a = 0 la ecuación x 2 + a = 0 tiene una única
solución x = 0. Por lo tanto el dominio de f es el
conjunto de los números reales distintos de 0.
• Si a < 0 la ecuación x 2 = −a tiene dos soluciones,
√
x = ± −a, de modo que el dominio√de f es el conjunto
de los números reales excepto = ± −a.
−4
−2
0
x
2
4
15
10
0
5
f(x)
10
0
5
f(x)
10
5
f(x)
a<0
15
a=0
15
a>0
0
Funciones
−4
−2
0
x
2
4
−4
−2
0
x
2
4
Funciones
Funciones
Números
Reales
Transformaciones de Funciones
Funciones
Veamos cuál es el resultado de hacer una transformación
lineal sobre el argumento o sobre una función dada f .
Sea c > 0 y consideremos inicialmente las traslaciones.
• Si definimos g(x) = f (x − c), la gráfica de g se obtiene
trasladando la gráfica de f c unidades a la derecha. En
cambio la gráfica de g(x) = f (x + c) se obtiene
trasladando la gráfica de f c unidades a la izquierda.
Funciones
Funciones
Transformaciones de Funciones
Números
Reales
Funciones
5
f(x)
−5
−15
−15
−5
f(x)
5
15
f(x−1)
15
f(x+1)
0
1
2
3
−3
−1
x
5
15
f(x)
f(x)
0
x
−5
−1
−15
−3
−3
−1
0
x
1
2
3
1
2
3
Funciones
Funciones
Números
Reales
Transformaciones de Funciones
Funciones
• Si la traslación se aplica a la función en lugar del
argumento, el resultado es distinto.
La gráfica de la función g(x) = f (x) + c se obtiene
trasladando c unidades hacia arriba la gráfica de f y la
gráfica de g(x) = f (x) − c corresponde a trasladar la
gráfica de f c unidades hacia abajo.
Funciones
Funciones
Transformaciones de Funciones
Números
Reales
f(x)−5
5
f(x)
−5
−15
−15
−5
f(x)
5
15
f(x)+5
15
Funciones
0
1
2
3
−3
x
−1
f(x)
5
15
f(x)
−3
−1
0
x
0
x
−5
−1
−15
−3
1
2
3
1
2
3
Funciones
Funciones
Números
Reales
Transformaciones de Funciones
Funciones
Sea f una función y c > 1 una constante.
• La gráfica de g(x) = f (cx) se obtiene comprimiendo
horizontalmente la gráfica de f por un factor de c
unidades.
• La gráfica de g(x) = f (x/c) se obtiene estirando
horizontalmente la gráfica de f por un factor de c
unidades.
Funciones
Funciones
Transformaciones de Funciones
Números
Reales
f(1.5x)
f(x/1.5)
1
0
f(x)
−1
0
−2
−50
0
1
2
3
−3
x
−1
15
f(x)
−3
−1
0
x
0
x
5
f(x)
−1
−5
−3
−15
f(x)
50
2
Funciones
1
2
3
1
2
3
Funciones
Funciones
Números
Reales
Transformaciones de Funciones
Funciones
• La gráfica de g(x) = cf (x) se obtiene estirando
verticalmente la gráfica de f por un factor de c
unidades.
• La gráfica de g(x) = f (x)/c se obtiene comprimiendo
verticalmente la gráfica de f por un factor de c
unidades.
Funciones
Funciones
Transformaciones de Funciones
Números
Reales
5f(x)
5
f(x)
−5
−15
−15
−5
f(x)
5
15
f(x)/5
15
Funciones
0
1
2
3
−3
x
−1
f(x)
5
15
f(x)
−3
−1
0
x
0
x
−5
−1
−15
−3
1
2
3
1
2
3
Funciones
Funciones
Composición de Funciones
Números
Reales
Funciones
Definición
Sean f y g funciones tales que los valores de f caen dentro
del dominio de g, de modo que tiene sentido considerar el
valor de g en f (x) para cualquier x. Definimos la
composición de g y f , que se denota por g ◦ f por
(g ◦ f )(x) = g(f (x)).
Funciones
Funciones
Composición de Funciones
Números
Reales
Funciones
1
Sean f (x) = ax para a ∈ R y g(x) = x + b para b ∈ R,
entonces la composición de g y f es
(g ◦ f )(x) = g(f (x) = g(ax) = ax + c
que es una transformación lineal. Si hacemos la
composición en el orden inverso obtenemos
(f ◦ g)(x) = f (g(x) = f (x + c) = a(x + c)
y vemos que el resultado es diferente, de modo que la
composición de funciones no es conmutativa.
Funciones
Funciones
Números
Reales
Funciones
Composición de Funciones
√
2 Sean f (x) = x y g(x) = 2x + 3. Observamos que la
función f sólo está definida para x ≥ 0 mientras que g
está definida para todo x ∈ R. El resultado de la
composición g ◦ f es la función
√
(g ◦ f )(x) = 2 x + 3
que está definida para x ≥ 0. Si buscamos componer
las funciones en el orden inverso queremos que la raíz
cuadrada de ax + b esté definida, y por lo tanto
tenemos que restringirnos los valores de x para los
cuales 2x + 3 ≥ 0, o sea x ≥ −3/2. En este conjunto
tenemos
√
para x ≥ −3/2.
(f ◦ g)(x) = 2x + 3,
Funciones
Funciones
Números
Reales
Funciones Trigonométricas
Funciones
Las funciones trigonométricas tienen su origen en el
estudio de los triángulos rectángulos.
Las principales funciones trigonométricas son el seno, el
coseno y la tangente y sus funciones inversas, arcoseno,
arcocoseno y arcotangente. Veamos la definición de las
tres primeras.
Funciones
Funciones
Funciones Trigonométricas
Números
Reales
Funciones
x
h b
a
Consideremos un triángulo rectángulo como el de la figura
con hipotenusa de longitud h y sea x el valor en radianes
del ángulo de la base del triángulo opuesto al angulo recto,
definimos
sen x =
b
;
h
cos x =
a
;
h
tan x =
b
sen x
=
.
a
cos x
Funciones
Funciones
Funciones Trigonométricas
Números
Reales
Algunas identidades trigonométricas importantes son
sen(−x) = − sen x;
cos(−x) = cos x;
sen2 x + cos2 x = 1.
tan(−x) = − tan x;
−1.0
0.0 0.5 1.0
La función coseno
cos(t)
0.0 0.5 1.0
sin(t)
La función seno
−1.0
Funciones
−10 −5
0
t
5
10
−10 −5
0
t
5
10
Funciones
Funciones
Función Exponencial
Números
Reales
Funciones
Definición
Dado un número a > 0, la función exponencial con base a
es la función
f (x) = ax .
El dominio es el conjunto de los números reales mientras
que el recorrido es el conjunto de los números reales
(estrictamente) positivos.
Si a > 1 la función f es estrictamente creciente mientras
que si a < 1 la función es estrictamente decreciente. Si
a = 1 entonces f (x) = 1 para todo x y la función es
constante.
Funciones
Funciones
Función Exponencial
Números
Reales
Funciones
La función exponencial con base a satisface las siguientes
propiedades, que son consecuencia de las propiedades de
la operación de potenciación de números reales.
1
ar as = ar +s , es decir, f (r )f (s) = f (r + s).
2
ar /as = ar −s , es decir, f (r )/f (s) = f (r − s).
3
(ar )s = ars , es decir (f (r ))s = f (rs).
4
a0 = 1, es decir f (0) = 1.
Funciones
Funciones
Función Exponencial
Números
Reales
La siguiente figura muestra la gráfica de las funciones
exponenciales con bases 2 y 1/2.
8
Función exponencial
2
4
6
a=2
a=1/2
0
f(x)
Funciones
−3
−2
−1
0
x
1
2
3
Funciones
Funciones
Función Exponencial
Números
Reales
Funciones
La función exponencial se puede definir con cualquier base
a > 0 pero hay un valor de a que juega un papel muy
especial en el cálculo y en las matemáticas en general, que
es el número de Euler, denotado por la letra e. Este número
usualmente se define como el límite de una sucesión,
e = lim
n→∞
1+
1 n
n
y su valor es aproximadamente 2.7182818 . . . .
Si hablamos de la función exponencial sin especificar la
base, se sobreentiende que la base es el número e.
Funciones
Funciones
Función Exponencial
Números
Reales
Funciones
Para denotar la función escribimos f (x) = ex o también
f (x) = exp(x).
Al igual que en el caso general tenemos las siguientes
propiedades
1
er es = er +s .
2
er /es = er −s .
3
(er )s = ers .
4
e0 = 1.
5
Como e > 1 la función ex es estrictamente creciente.
Funciones
Funciones
Funciones Inversas
Números
Reales
Funciones
Definición
Sea f una función con dominio A y recorrido B, f : A → B.
Decimos que la función g con dominio B y recorrido A,
g : B → A es una inversa de f si para todo x ∈ A
y = f (x)
si y sólo si
x = g(y ).
Como x ∈ A, x tiene una imagen según f .
Como B es el recorrido de f , todos los elementos de B son
imagen de algún elemento x del dominio A. Esto último nos
dice que la función f es sobreyectiva.
Funciones
Funciones
Funciones Inversas
Números
Reales
Funciones
Supongamos que f tiene una inversa g y veamos que f
necesariamente es inyectiva:
Supongamos que x 6= y pero f (x) = f (y ) = z ∈ B.
• Como x ∈ A y f (x) = z, por la definición vemos que
g(z) tiene que ser igual a x.
• Análogamente como y ∈ A y f (y ) = z, g(z) = y .
• Pero x 6= y de modo que g toma dos valores distintos
en z y en consecuencia no es una función.
Esta contradicción muestra que f tiene que ser inyectiva.
Funciones
Funciones
Números
Reales
Funciones Inversas
Funciones
En consecuencia una función con inversa tiene que ser
biyectiva.
Recíprocamente, si una función es biyectiva, entonces tiene
una función inversa (¿puedes demostrar esto?).
Funciones
Funciones
Funciones Inversas
Números
Reales
Funciones
A partir de la definición vemos que
(g ◦ f )(x) = g(f (x)) = g(y ) = x,
de modo que g ◦ f es la identidad en A: (g ◦ f )(x) = x para
todo x ∈ A.
De manera similar
(f ◦ g)(y ) = f (g(y )) = f (x) = y ,
de modo que f ◦ g es la identidad en B.
La notación usual para la función inversa de f es f −1 .
Funciones
Funciones
Números
Reales
Funciones Inversas
Funciones
Si f es una función estrictamente creciente, entonces es
inyectiva y es sobreyectiva si consideramos que su
codominio es el recorrido de la función.
Por lo tanto esta función es biyectiva y tiene una inversa.
Es posible demostrar que esta inversa también es
estrictamente creciente.
De manera similar una función estrictamente decreciente
tiene inversa y esta inversa es estrictamente decreciente.
Funciones
Funciones
x^1/2
1.2
Funciones inversas
0.8
2
La función f (x) = x n para n es impar es estrictamente
creciente y por lo tanto tiene una inversa que
denotamos por f −1 (y ) = y 1/n , la n-ésima raíz de y .
La función f : R+ → R+ definida por f (x) = x 2 tiene
√
función inversa g : R+ → R+ , g(y ) = y .
f(x)
1
0.4
Funciones
0.0
Números
Reales
Funciones Inversas
0.0
0.4
0.8
x
1.2
Funciones
Funciones
Números
Reales
Funciones Inversas
Funciones
3 La función f (x) = x n para n par no es inyectiva porque
tenemos que f (−x) = (−x)n = x n = f (x).
Sin embargo, si restringimos el dominio de la función a
x ≥ 0 como hicimos en el ejemplo anterior, la función
es estrictamente creciente y tiene una inversa
f −1 (y ) = y 1/n .
Para ambas funciones el dominio y recorrido es el
conjunto de los reales positivos R+ .
Funciones
Funciones
Logaritmo
Números
Reales
Funciones
Definición
Sea a un número real positivo. El logaritmo con base a:
f (x) = loga (x) es la función inversa de la función
exponencial g(x) = ax .
El logaritmo natural f (x) = ln(x) es la función inversa de la
exponencial con base e, g(x) = ex .
En general vamos a considerar sólo el logaritmo natural y
usaremos las notaciones ln(x) o log(x) indistintamente.
Funciones
Funciones
Logaritmo
Números
Reales
Funciones
Esta función tiene las siguientes propiedades
• El dominio de la función logaritmo son los números
reales positivos mientras que su recorrido son todos
los números reales.
• Se tiene que log(ex ) = x y elog x = x.
• La función logaritmo es estrictamente creciente.
• Tenemos que log(xy ) = log(x) + log(y ),
log(x/y ) = log(x) − log(y ), log(x s ) = s log(x)