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RACAPEAS --- MATEMÁTICA --- ANÁLISIS --- 2011
CONJUNTO
CONCEPTO
Se entiende por conjunto a una lista, colección o clases de objetos bien definidos, estos
objetos pueden ser cualesquiera: números, letras, personas, ríos, pueblos, almacenes,
etc
Ejemplos de conjuntos
1. Los barrios de Quibdó.
2. Las vocales del alfabeto: a, e, i, o, u.
3. Los números: 0, 2, 4, 6, 8, ...
4. Los departamentos de Colombia.
OJO: Conjunto no se puede definir, porque se
entraría en contradicción con el conjunto Unitario
y con el conjunto Vacío.
5. La solución de la ecuación x 2  x  2  0 .
6. Las droguerías de Quibdó.
7. Los números naturales mayores que 5 y menores que 13.
8. Los trenes de Quibdó.
9. Los países suramericanos.
10. Los aeropuertos de Quibdó.
11. Los municipios del Chocó.
12. Las sedes de la Normal.
Los objetos o seres individuales que componen un conjunto se llaman elementos
del conjunto. Así, los elementos del conjunto de las vocales son: a, e, i, o, u.
NOTACION DE CONJUNTOS
Es usual denotar los conjuntos con las letras mayúsculas del alfabeto: A, B, C,..., Z.
Los elementos con letras minúsculas: a, b, c,..., z.
Ejemplos
 Denotemos el segundo ejemplo de conjuntos.
Solución:
Sea A el conjunto de las vocales del alfabeto, entonces: A  a, e, i, o, u

Denotemos el noveno ejemplo de conjuntos.
Solución:
B
Sea
el
conjunto
de
los
países
B  x / x es un país suramericano

Ojo: x/x, léase: x tal que x
suramericanos,
entonces:
Denotemos el conjunto de los números: 2, 4, 6, 8, 2, 6, 10, 12.
Solución:
Sea E el conjunto de los números: 2, 4, 6, 8, 2,6, 10, 12, entonces:
E  2, 4, 6, 8, 10, 12
1
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De los conjuntos A, B y E podemos observar lo siguiente:
 Los elementos se escriben dentro de llaves o corchetes.
 Los elementos van separados por una coma.
 No se repiten elementos
La forma como se han denotados los conjuntos A y E se llama forma tabular de un
Conjunto
DETERMINACION DE UN CONJUNTO
Los conjuntos se determinan o nombran de dos formas:
1. Por Extensión
Como los conjuntos A y E. O sea, cuando se nombra cada uno de los elementos.
2. Por Comprensión
Cuando se nombra con la característica común que poseen los elementos. Como el
conjunto B.
B = x/ x es un país suramericano. La característica común es que son países de
Suramérica.
Ejercicios
 Determine por extensión los conjuntos 1, 6, 7, 9 del ejemplo anterior.
 Determine por comprensión los conjuntos 2, 3, 7, 8 del ejemplo anterior.
REPRESENTACION GRÁFICA DE UN CONJUNTO
Gráficamente los conjuntos se representan en los llamados diagramas de Venn
Los diagramas de Venn son figuras planas cerradas que se paran la región interior
de la exterior. En el interior de la figura se representan los elementos del conjunto y en el
exterior los elementos que no pertenecen al conjunto. Las figuras planas que más se
utilizan son los rectángulos, círculos y óvalos.
Ejemplos
 Representemos gráficamente el conjunto E = 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12.
Gráfica de E
E
0
2
 12
8
6
4
 10
 Representemos gráficamente el conjunto B = x/ x es un país suramericano.
B
Gráfica del conjunto B
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Como el conjunto B está determinado por comprensión, la parte sombreada representa
los elementos del conjunto.
Represente gráficamente los conjuntos del ejercicio anterior.
PERTENENCIA Y NO -- PERTENENCIA
Cuando decimos que un conjunto está constituido por elementos, establecemos una
relación entre los elementos y el conjunto, que llamamos relación de pertenencia.
Dado el conjunto D = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10. Decimos que 4 es un elemento de D o
que 4 pertenece a D. Simbólicamente se expresa de la siguiente forma: 4  D , léase: “4
pertenece a D” o “4 está en D”. De igual forma: 6  D y 1  D
En cambio, 12 no está en D. Si un elemento no está en un conjunto, decimos que no
pertenece a dicho conjunto. Simbólicamente se expresa así: 12  D , léase:12 no
Pertenece a D.
 Pertenece.
 No pertenece
Ejercicio
Dado el siguiente diagrama, determinar si las siguientes afirmaciones son verdaderas (v)
o falsa (f)
t
r
M
d
k
c
s
a
i
f
g
h
1. d  M
7. c  M
2. h  M
8. i  M
3. a  M
9.
4. t  M
10. r  M
5. g  M
11. g  M
6. r  M
12. k  M
f M
CONJUNTO VACIO
Carece (no tiene) elemento. Este conjunto suele llamarse conjunto Nulo. El conjunto
vacío se denota con el símbolo  o  
Ejemplo
El conjunto de los trenes de Quibdó es vacío, porque en Quibdó no existen ningunos
trenes.
Sí A es el conjunto de los trenes de Quibdó, entonces: A   o A   
CONJUNTO UNITARIO
Tiene un solo elemento.
3
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Ejemplo: El conjunto de los aeropuertos de Quibdó.
Sí B es el conjunto de los aeropuertos de Quibdó, entonces: B  aeropuerto el caraño.
CONJUNTO FINITO
Un conjunto es finito si consta de un cierto número de elementos distintos, es decir, Si al
contar los diferentes elementos el proceso puede acabar, independientemente de lo difícil
que sea…
Son conjuntos finitos los siguientes:
a) E = 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12. Los elementos se pueden contar. El proceso de contar
termina.
b) A = x/ x es una estrella de vía láctea.
c) B = x/ x es la arena del mar.
d) C = x/ x es un río de la Tierra
CONJUNTO INFINITO
Un conjunto es infinito si al contar los diferentes elementos del conjunto, el proceso de
contar no termina.
Son conjuntos infinitos los siguientes:
a) M = 2, 4, 6, 8, 10, .... Los elementos se pueden contar. El proceso de contar no
termina.
b) N = 1, 2, 3, 4, 5,... 
Sólo los conjuntos numéricos son considerados infinitos.
CONJUNTOS NUMÉRICOS
CONJUNTO DE
NÚMEROS REALES
El conjunto de los números reales está constituido por todos los números que utilizamos
a diario para resolver nuestros problemas. Estos números son: Racionales, Irracionales,
R  conjunto de números reales
Enteros y Naturales principalmente.
CONJUNTO DE NÚMEROS RACIONALES
Este conjunto se denota con la letra
p / q,
p y qZ
con q  0.
p
Q . Los elementos son de la forma:
Q  q , p y qZ

con q  0
4
Algunos elementos de este conjunto son: 12 ,  32 , 13
5 ,  9 , etc
Del conjunto Q se desprenden dos conjuntos denotados: Q  y Q 
Q   racionales positivos.
Q   racionales negativos.
Q está contenido en R
CONJUNTO DE NÚMEROS IRRACIONALES
Este conjunto se denota con la letra Q | , léase: Q prima. Son elementos de
Q | :   3,1415927..., e  2,71828..., 3 ,
3
17 ,  2 , 2 5 , etc
4
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De Q | se desprenden dos conjuntos denotados: Q | y Q |
Q |  irracional es positivos.
Q |  irracional es negativos.
Q | está contenido en R
CONJUNTO DE NÚMEROS ENTEROS
Este conjunto se denota con la letra Z .
Z     9,  8,  7,  6,  5,  4,  3,  2,  1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9   
Los elementos de este conjunto son todos los números enteros positivos y negativos,
incluido el cero. El cero no tiene signo, o sea, no es positivo ni negativo.
De Z se obtienen tres conjuntos: Z  , 0, Z 
Z   enteros positivos.
Z   enteros negativos.
Z   1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9   . Z    1,  2,  3,  4,  5,  6,  7,  8,  9.
0, conjunto unitario cuyo elemento es cero, se encuentra en medio de Z  y Z 
O sea que: Z  Z   0 Z  . Z está contenido en Q y por consiguien te en R
CONJUNTO DE NÚMEROS NATURALES
Se denota con la letra N = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,    =  . El conjunto N está
contenido en .
Todo lo anterior se resume en el siguiente diagrama lineal de los números reales.
R  números reales
Q |  números irracional es
Q  números racionales
1
2
negativos  Q 
,  53 ,  100
93 ,
Q   positivos
 12 ,  53 ,  100
93
1
2
,
5
3
,
2,
19
37
19
37
  3,14159 ...,
 3 25 ,  2 , e  2,718 ...
Q |  negativos
 3 25 ,  2 ,  4 456
Q |  positivos
2,
  3,14159 ...,
3 25 , e  2,718 ...
Z  números enteros
  ,
negativos  Z
  ,

 3,  2,  1
 2,  1, 0, 1, 2,   
Z   positivos
0
1, 2, 3, 4, 5,   
N  naturales
1, 2, 3, 4, 5, 6

5
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CONJUNTOS DISYUNTOS E INTERSECANTES
Dos conjuntos son Disyuntos si y solo si no tienen elementos comunes. Veamos:
A = 0, 2, 4, 6, 8.
B = 1, 3, 5, 7, 9. Los conjuntos A y B son Disyuntos, porque no
tienen ningún elemento común.
C = 0, 2, 4, 5, 6, 7.
D = 1, 3, 5, 8, 9. Los conjuntos C y D no son Disyuntos,
porque 5C y 5D O sea, que C y D tienen un elemento común, por lo tanto, C y D son
Intersecantes Dos conjuntos C y D son Intersecantes, cuando al menos hay un
elemento que pertenece a los dos conjuntos.
A
0
B
Gráficamente:
1
2
4
6
8
3
5
7
9
Conjuntos disyuntos
C
D
0
5
4
6
1
2
7
8
3
9
Conjuntos intersecantes
SUBCONJUNTO
Si todos los elementos de un conjunto A son también elementos de un conjunto B,
entonces A es subconjunto de B, lo cual se simboliza: A  B.
A  B, léase: A subconjunto de B o A está contenido en B.
Ejemplo
A = 0, 2, 4, 5.
B = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, .Como se puede observar, todos los
elementos de A son también elementos de B, entonces: A  B.
Todo conjunto es subconjunto de sí mismo.

Dos conjuntos son iguales si y solo si tienen los mismos elementos.
Veamos:
C = 0, 2, 4, 5
D = 5, 2, 0, 4. Todos los elementos que están en C, también están
B, por lo tanto C = D. Estableciendo la condición de subconjunto queda:
6
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C  D.
Léase: C subconjunto o igual a D.
Si A  B y B  A, entonces, A es un subconjunto propio de B.
Si A no es subconjunto de B, es decir A  B, entonces hay un elemento de A
que no está en B.
EJERCICIOS
1. Dados los conjuntos:
A = 1, 2,   , 8, 9. B = 2, 4, 6, 8. C = 1, 3, 5, 7, 9. D = 3, 4, 5. E = 3,5.
Determinar cuáles de las siguientes afirmaciones son correctas.
 B y C son disyuntos.  C y D son intersecantes.  A = .
B  A.  A  B.
4  D 5A  D  E.  E  A.    A.  A es infinito.  E es unitario.  C es finito.
6  B.
2. Establezca relaciones de subconjunto en el diagrama líneal de los números reales
Nota: El conjunto vacío es subconjunto de todos los conjuntos.
Gráficamente A  B se representa de la siguiente forma:
B
A
1
3
0
2
6
B
Diagrama lineal
4
5
8
A
7
A
B
Sea: M = x/ x es un ser vivo.
N = x/ x es un hombre.
El conjunto de los hombres está contenido en el conjunto de los seres vivos, entonces:
NM
M
Gráficamente:
N
M
N
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RACAPEAS --- MATEMÁTICA --- ANÁLISIS --- 2011
Establezca relaciones de subconjuntos en el diagrama lineal de los números
reales.
CONJUNTOS DE CONJUNTOS
Consideremos el conjunto: A =  1, 2,3, 4,5,6.
Los elementos 1, 2,3, 4,5,6 son conjuntos.
Como los elementos de A son
también conjuntos, entonces A es un conjunto de conjuntos o una familia de conjuntos.
El conjunto B =  2, 1,3, 2,5, 4 no es una familia de conjuntos, porque hay un
elemento que no es conjunto. ¿Cuál es ese elemento?
CONJUNTO DE PARTES DE UN CONJUNTO O CONJUNTO POTENCIA
Consideremos el conjunto:
M = 0, 1, 2. Obtengamos de M todos los subconjuntos de un solo elemento, esto es:
0, 1, 2. Ahora los de dos elementos: 0,1,0,2,1,2 Los que no tienen
elementos:, y finalmente los que tienen tres elementos:0, 1, 2 = M
Reunamos todos los subconjuntos de M en un nuevo conjunto denotado P(M), entonces:
P(M) =  , 0, 1 2,0,1.0,2,1,2, M.El conjunto P(M), se llama conjunto de
partes de M o conjunto potencia de M
Cabe anotar que todos los elementos de P(M) son subconjuntos de M
El conjunto potencia o conjunto de partes de un conjunto dado M es el conjunto cuyos
elementos son todos los subconjuntos de M
La expresión 2n permite calcular cuántos subconjuntos o partes de un conjunto se
obtienen de un conjunto dado. Donde n es el número de elementos del conjunto.
Retomemos el conjunto M = 0, 1, 2. M tiene 3 elementos. Entonces: 23 = 8.Esto indica
que del conjunto M salen 8 subconjuntos o partes, como en su efecto ocurrió.
Ejemplo
Dado: A = a, b. Hallemos P(A).
Solución:
El conjunto A tiene 2 elementos, o sea que n = 2. 2n = 22 = 4. Luego, del conjunto A se
obtienen 4subconjuntos. Esto es:
P(A) = , A, a, b.
Ejercicios
1. N = 2, 4, 6
2. S = a, e, i, o
3. R = 5
4. T = 1, 2, 3, 4, 5
Halle P(N)
Halle P(S)
Halle P(R)
Halle P(T)
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RACAPEAS --- MATEMÁTICA --- ANÁLISIS --- 2011
CONJUNTO UNIVERSAL O REFERENCIAL
Consideremos el conjunto A = x/ x es un animal mamífero. Este conjunto es
subconjunto de un conjunto mucho mayor, el conjunto de los animales. Este conjunto se
denota con la letra U.
U = los animales.
El conjunto U es un conjunto universal o referencial para el conjunto A.
Gráficamente:
U
Ejercicio
Busca un conjunto universal o referencial para cada
uno de los siguientes conjuntos y represéntalos en
un diagrama de Venn:
1. M = los números pares
2. N = alumnos de sexto grado de la N.S.Q.
3. Q = a, e, i, o, u 
4. R = números de un solo digito.
5. T = los habitantes del barrio Cesar Conto de
Quibdó.
Los animales
A
Animal mamífero
Los animales
OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS
1. UNIÓN DE CONJUNTOS
Consideremos los conjuntos:
A = 0, 2, 4, 6, 8 .
B = 0, 1, 2, 3, 5, 6, 7, 9
La unión de los conjuntos A y B que se denota A  B es el conjunto formado por los
elementos que pertenecen a A, o B, o a ambos. Entonces:
A  B  0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
A  B, Léase: A unido B.
, Signo de la Unión.
Gráficamente se representa así:
B
A
4
8
1
0
2
6
A
3
7
B
5
Simbólicamente:
A  B  x / x  A  x  B
Gráfica:
A
B
9
, Léase: “o”
Los conjuntos A y B,
son intersecantes
AB
Sean los conjuntos:
C =  xx es un barrio de Quibdó
D =  xx es un número primo
C  D = xx es un barrio de Quibdó o es un número primo
9
RACAPEAS --- MATEMÁTICA --- ANÁLISIS --- 2011
Gráficamente:
A
B
Los conjuntos C
y D, son Disyuntos.
AB
EJERCICIOS
 Dados los conjuntos: A =  0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 . B =  0, 2, 4, 6, 8, 10, 12 .
C =  2, 3, 5, 7, 11, 13 . Halle:
a) A  B. b) A  C. c) B  C. d) (A  B)  C. e) A  (B  C).
f) Demuestre que:(A  B)  C = A  (B  C). g) Demuestre que: A  B = B  A.
h) Demuestre que: A  A = A. B  B = B. C  C = C.
 Represente gráficamente las operaciones: a, b, c y d.
 Dado el siguiente diagrama, determine si las siguientes afirmaciones son verdaderas
(V) o falsas (F).
Q
P
h
a)
c
a
m
u
2.
c)
e)
g)
b
a(PQ).
aP y aQ.
m(PQ).
c(PQ).
b)
d)
f)
h)
u(PQ).
bP.
b(PQ).
hQ
INTERSECCIÓN DE CONJUNTOS
Sean los conjuntos: M = a, b, c, d, e, f, i, h.
N = a, e, I, o, u.
Formemos el conjunto M  N con los elementos comunes de M y N, ósea, los
elementos que están en M y N. Esto es : M  N  a, e, i. Este conjunto (M 
M  N, Léase: M intersectado N.
N) es la intersección de M y N.
Gráfica.
M
b
c
d
N
f
h
a
e
i
M
o
La flechita indica la intersección de
u
M y N.
, signo de intersección
N
10
RACAPEAS --- MATEMÁTICA --- ANÁLISIS --- 2011
La intersección de los conjuntos M y N es el conjunto formado por los elementos que
pertenecen a M y a N.
Simbólicamente:
M  N  x / x  M  x  N.
, Léase: “i”.
Gráfica:
La parte sombreada representa a M  N
N
M
NOTA
La intersección entre dos o más
conjuntos, se forma con los elementos
que pertenecen a todos los conjuntos.
MN
EJERCICIOS
 Dados los conjuntos:
A = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. B = 0, 3, 5, 10, 12. C = 3, 5, 7, 11. D = 10, 11, 13
Halle: a) A  B. b) A  C. c) A  D. d) B  C. e) B  D. f) C  D.
g) (A  B)  C. h) A  (B  C).
 Demuestre que: (A  B)  C =A  (B  C), y A  B = B  A
 Represente gráficamente las operaciones: a, b, c, g.
3.
DIFERENCIA DE CONJUNTOS
Consideremos los conjuntos: A = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9. B = 1, 4, 7, 8, 10, 12
Formemos el conjunto A  B con los elementos de A que no están en B. Esto
es: A  B   2, 3, 5, 6, 9. Éste conjunto es la diferencia entre A y B.
A  B, Léase: A menos B.
A
Gráfica:
2 6
3 5
9
, Signo de la diferencia.
B
1
4
8
7
10
12
CONCEPTO
Dados dos conjuntos cualesquiera A y B,
llamamos diferencia entre A y B, al
conjunto formado por los elementos de A
que no pertenecen (no están) a (en) B.
AB
Simbólicamente:
A
A  B   x / x  A  x  B
B
La parte sombreada
es: A  B
Gráfica:
AB
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RACAPEAS --- MATEMÁTICA --- ANÁLISIS --- 2011
EJERCICIOS
 Dados los conjuntos: A =0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. B = 0, 2, 4, 6, 8, 10.
C = 2, 3, 5, 7, 11, 13. Halle:
a) A  B. b) A  C. c) B  C . d) (A  B)  C. e) C  B. f) (B  A)  B. g) A  A.
 Demuestre que: A  B  B  A.
, Léase: No es igual a.
 Grafique las operaciones: a, b, c y f.
4
DIFERENCIA SIMÉTRICA
Sean los conjuntos: M =a, b, c, d, e. N = a, e, i, o, u.
Hallemos la Unión y la Intersección de M y N:
Luego: M  N  a, e.
M  N  a, b, c, d , e, i, o, u.
Ahora formemos el conjunto MN, aplicando la diferencia entre M y N. Esto es:
M Δ N  M  N  M  N  a, b, c, d , e, i, o, u a, e  b, c, d , i, o, u.
Éste conjunto es la diferencia simétrica entre los conjuntos M y N.
MN, léase: Diferencia simétrica entre M y N. , signo de diferencia simétrica.
M
N
b
c
d
CONCEPTO
La diferencia Simétrica entre dos conjuntos
Cualesquiera M y N, es el conjunto formado
por los elementos que pertenecen a la Unión
de M y N menos, los que pertenecen a la
intersección de M y N.
i
o
u
a
e
MN
Simbólicamente:
M Δ N  x / x  M  N  x  M  N
Gráfica:
M
N
La parte sombreada representa la
diferencia simétrica entre M y N.
MN
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RACAPEAS --- MATEMÁTICA --- ANÁLISIS --- 2011
EJERCUCIO
Dados: A =1, 2, 3, 5, 6, 7, 9, 10. B = 2, 4, 6, 7, 8. D = 4, 8,11, 12. Halle:
a)
AB.
b)
AD.
c)
BD. d)
Grafique las operaciones a, b y c.
5
COMPLEMENTO DE CONJUNTO
Consideremos el conjunto universal:
U = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 y el conjunto A = 2, 4, 6, 8, 10.
Formemos el conjunto A con los elementos que están en U, pero que no están en A.
Entonces:
A |  0, 1, 3, 5, 7, 9, 11, 12. Éste nuevo conjunto es el complemento de A.
A, Léase: A prima.
Como se puede observar, en A están los elementos de U que no pertenecen a A. Por
A|  U  A
lo tanto:
Gráficamente:
1
U
A
5
9
2
0
4
6
 10
3
8
 11
 12
A|
La región en blanco es A y la otra, A
Simbólicamente:
El complemento A de un conjunto A,
está constituido por todos los elementos
de U que no pertenecen a A.
A es el complemento de A, y viceversa.
OJO:
A |  x / x  U  x  A.
Gráfica:
U
A
A
Sean:
U  a , b, c, d , e, f , g , h, i , j , k 
A  a , b, c, d , e
B  c, d , e, f , g 
C  b, f , i , j , k 
Halle :
a  A| , B |
y C|
  B 
|
b  A| ,
| |
c  Demuestre que :
y
C 
A   A, B   B
| |
| |
| |
 
|
y C|  C
13
RACAPEAS --- MATEMÁTICA --- ANÁLISIS --- 2011
EJERCICIO
Dados:
U =a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k. A = a,b, c, d, e. B = c, d, e, f, g.
C = b, f, i, j, k. Halle: a). A, B, C.
b)
(A), (B), (C).
c) Demuestre que: (A)= A; (B)= B y (C) = C.
EJERCICIOS SOBRE OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS
Dados los conjuntos:
U =0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14.
A = 0, 1, 2, 3, 4, 5.
B = 5, 6, 7, 8. C = 7, 8, 9, 10, 11.
8, 10.
E = 11, 12, 13, 14.
D = 2, 4, 6,
Halle:
a) A  B. b) A  C. c) A  B. d) BC. e) A. f) (A  B). g) (C  D).
h) A  B. i) C  D. j) (A  B)  E. k) (E  D)  (A  B).
l) (B  C)  (A  D). m) A  , B  
n) Demuestre que: (A  B) = A  B. o) Demuestre que: (A  B) = A  B.
REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LAS PRINCIPALES OPERACIONES ENTRE
CONJUNTOS
B
A
A
A B
U
A
B
B
AB
B
A B
A B
A
B
A
B|
14
RACAPEAS --- MATEMÁTICA --- ANÁLISIS --- 2011
U
U
A
U
B
A
B

( A  B) |
U
La
región
sombreada,
pintada o rayada, representa
la conclusión de la operación
A|  B |
U
A
A
B
B

( A  B) |
U
A
A|  B |
B
A
B
A B C
( A  B) |
C
15
RACAPEAS --- MATEMÁTICA --- ANÁLISIS --- 2011
PROBLEMAS SOBRE CONJUNTOS
ESQUEMAS PARA DOS CONJUTOS
Únicamente los de A
A
B
Q
R
Únicamente los de B
P
Los de A y B
Los elementos de R pertenecen a A y a B. O sea que: R = A  B.
Los elementos de Q son los que únicamente pertenecen a A: Q = A  (A  B).
Los elementos de P son los que únicamente pertenecen a B: P = B  (A  B).
A=QR
Ahora:
B=PR
y
A B  A B  A B
EJEMPLO 1.
Los empleados de una fábrica están afiliados a dos clubes sociales. 30 empleados hacen
parte de los dos clubes, 48 hacen parte del primer club y 80 hacen parte del segundo
club.
a)
¿Cuántos empleados tiene la fábrica?
b)
¿Cuántos empleados hacen parte únicamente del primer club?
c)
¿Cuántos empleados pertenecen únicamente al segundo club?
d)
¿Cuál es el porcentaje de empleados que prefiere únicamente el segundo club?
e)
¿Cuál es la relación o proporción entre los empleados que prefieren únicamente
un club?
f)
¿Cuál es la probabilidad de escoger un empleado que este en los dos clubes?
Solución:
A = primer club. B = segundo club.
30 empleados pertenecen a A y B, entonces: R = A  B = 30 empleados.
48 empleados hacen parte del club A, entonces: A = 48.empleados.
80 empleados hacen parte del club B, luego: B = 80 empleados.
Gráfica de A y B.
A
18
B
30
R = A  B = 30 empleados.
Se ubica primero en la gráfica.
50
Q = A  (A  B) = 48  30 = 18 empleados
P = B  (A  B) = 80  30 = 50 empleados
16
RACAPEAS --- MATEMÁTICA --- ANÁLISIS --- 2011
RESPUESTAS:
a)
La fabrica tiene: 18  30  50 = 98 empleados.
b)
Los empleados que hacen parte únicamente del primer club son 18
c)
Los empleados que hacen parte únicamente del segundo club son 50
d)
Porcentaje de los que prefieren únicamente el segundo club:
Empleados que están únicamente en B
 100 
Total de empleados
e)
50
98
 100 
5000
 51,02%
98
Relación o proporción entre los que prefieren solamente un club:
Únicamente los de A

Únicamente los de B
18

50
9
. La relación o proporción es de 9 a 25, significa que
25
por cada 9 empleados que prefieren únicamente el primer club, hay 25
que prefieren únicamente el segundo.
f)
Probabilidad de escoger un empleado que este en los dos clubes:
Empleados de A y B

Total de empleados
30
98

15
 0,30 .
En porcentaje : 0,30  100  30 %
47
EJEMPLO 2.
Para analizar el rendimiento de los 33 alumnos de un curso, se realizaron dos
exámenes: Uno de Matemática y otro de Biología. El análisis arrojó los siguientes
resultados: 10 alumnos aprobaron únicamente Matemática y 15 alumnos solamente,
Biología y el resto aprobó Matemática y Biología.
a)
¿Cuántos alumnos aprobaron Matemática y Biología?
b)
¿Cuántos alumnos aprobaron Matemática?
c)
¿Cuántos alumnos aprobaron Biología?
d)
Hallemos la relación entre los que aprobaron las dos y los que aprobaron
únicamente matemática.
e)
Hallemos la probabilidad entre los que aprobaron las dos y los que aprobaron
únicamente matemática
f)
Hallemos el porcentaje de los que aprobaron las dos
Solución:
.B = Biología.
M = Matemática.
10 alumnos aprobaron únicamente Matemática, entonces: M = 10
15 alumnos aprobaron únicamente Biología, entonces: B = 15
Gráfica de B y M.
Primero ubicamos B y M, finalmente, R
B
M
Hasta ahora 25 alumnos de los 33 han aprobado el
15
8
10
examen. Como el resto aprobó Matemática y Biología,
entonces: 33  25 = 8. Solamente 8 alumnos ganaron
matemática y Biología, luego: R = 8
17
RACAPEAS --- MATEMÁTICA --- ANÁLISIS --- 2011
RESPUESTAS:
a)
8 alumnos aprobaron Matemática y Biología
b)
10 + 8 = 18 alumnos aprobaron Matemática.
c)
15 + 8 = 23 alumnos aprobaron Biología.
d)
Relación:
Los que ganaron las dos
8

Únicamente los de M

10
4
. Por cada 4 que ganaron las dos
5
hay 5 que ganaron matemática.
e)
Probabilidad:
Los que ganaron las dos
Todos
f)
Porcentaje de las dos:
8

 0, 242 .
En porcentaje : 0,24  100  24, 2%
33
Los que ganaron las dos
Todos
 100 
8
 100 
33
800
 24, 2%
33
EJEMPLO 3.
Con el objetivo de asistir a una excursión, a los 140 estudiantes de último grado de la
NSQ, se presentaron dos planes turísticos. 80 estudiantes escogieron el primer plan, 110
estudiantes seleccionaron el segundo plan y el resto escogió el los dos planes.
a) ¿Cuántos estudiantes escogieron los dos planes?
b) ¿Cuántos estudiantes escogieron únicamente el primer plan?
c) ¿Cuántos estudiantes escogieron solamente el segundo plan?
Solución:
A  primer plan, entonces : A  80 estudiantes.
B  segundo plan, entonces : B  110 estudiantes.
A  B  los dos planes.
A B  ?
Como en total hay 140 estudiantes, que se distribuyen en los planes A y B , entonces:
A  B  140 . Haciendo uso de la expresión A  B  A  B  A  B , determinemos los
estudiantes que seleccionaron los dos planes.
A B  A B  A B
 140  80  110  A  B  140  80  110   A  B
 50   A  B  A  B  50 estudiantes
Respuestas:
a) 50 estudiantes escogieron los dos planes
b) Solamente escogieron el plan A: 80  50  30 estudiantes
c) Únicamente escogieron el plan B: 110  50  60 estudiantes
B
A
Gráfica
30
50
60
18
RACAPEAS --- MATEMÁTICA --- ANÁLISIS --- 2011
EJERCICIOS
1.
100 alumnos del Liceo se presentaron a dos prácticas.
15 alumnos participaron de las dos prácticas, 40 alumnos participaron en la primera
y 25 alumnos, en la segunda.
a) ¿Cuántos alumnos participaron únicamente en la primera práctica?
b) ¿Cuántos alumnos participaron únicamente en la segunda práctica?
c) ¿Cuántos alumnos no participaron en ninguna práctica?
d) ¿Cuántos alumnos en total participaron en las dos práctica?
e) Halle la probabilidad de los que no asistieron a ninguna práctica.
f) Halle el porcentaje de los que estuvieron en la primera práctica solamente
g) Halle la proporción o relación entre los que estuvieron únicamente en una práctica.
2
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
3.
a)
b)
15 operarios de una fabrica manejan a la perfección dos maquinas. El doble
de operarios maneja a la perfección únicamente la primera máquina y el
triplo de operarios, únicamente la segunda. Si en la fábrica hay 123 operarios:
¿Cuántos operarios manejan la primera máquina?
¿Cuántos operarios manejan la segunda maquina?
¿Cuántos operarios no manejan ninguna maquina?
¿Cuántos operarios en total manejan las dos maquinas?
Halle el porcentaje de los que manejan la primera máquina solamente.
Halle el porcentaje de los que manejan la segunda máquina.
Halle la probabilidad de los que manejan la primera máquina solamente.
Los 205 estudiantes de un colegio mixto se presentaron a dos universidades. 80
alumnos ingresaron a la primera ,77 a la segunda. y 10 alumnos no ingresaron a las
universidades. El resto ingreso a las dos.
¿Cuántos alumnos ingresaron a las dos universidades?
¿Cuántos alumnos en total continuaron sus estudios?
PARA TRES CONJUTOS
Únicamente A y B
A
B
L
Únicamente A
Únicamente B
Análisis:
P
Q
R
R = (A 
K
N
Únicamente
AyC
Únicamente
ByC
T
C
Únicamente C
Q, los que pertenecen únicamente a A.
B)  C
L = (A  B)  (A  B)  C
N = (A  C)  (A  B)  C
K = (B  C)  (A  B)  C
A=LNQR
B=KLPR
C=KNRT
Q = A  (L  R  N)
19
RACAPEAS --- MATEMÁTICA --- ANÁLISIS --- 2011
P, los que pertenecen únicamente a B.
T, los que pertenecen únicamente a C.
P = B  (L  R  K)
T = C  (K R  N)
( A  B  C)  A  B  C  A  B  A  C  B  C  A  B  C
EJEMPLO 1.
Para analizar el comportamiento académico de los alumnos de 6º grado , se practicaron
tres pruebas: De Biología, Matemática e Inglés. El análisis arrojó el siguiente resultado: 4
alumnos acertaron en las tres, 11 alumnos en Biología y Matemática, 9 alumnos en
Biología e Inglés, 7 alumnos en Matemática e Inglés, 25 alumnos en Biología, 30 alumnos
en Matemática y 16 alumnos en Inglés.
a)
¿Cuántos alumnos aprobaron Biología y Matemática únicamente?
b)
¿Cuántos alumnos aprobaron Biología e Inglés solamente?
c)
¿Cuántos alumnos aprobaron Matemática e Inglés estrictamente?
d)
¿Cuántos alumnos aprobaron únicamente Biología?
e)
¿Cuántos alumnos aprobaron únicamente Matemática?
f)
¿Cuántos alumnos aprobaron únicamente Inglés?
g)
¿Cuántos alumnos aprobaron una sola asignatura?
h)
Sí en 6º grado hay 50 alumnos, ¿Cuántos alumnos no presentaron ninguna
prueba?.
Solución:
B = Biología.
M = Matemática.
I = Inglés.
4 alumnos acertaron en las tres pruebas, entonces: R = (B  M)  I = 4, se ubica primero
en la gráfica
11 alumnos acertaron en Biología y Matemática, entonces: B  M = 11. De donde:
L = (B  M)  (B  M)  I = 11  4 = 7
9 alumnos acertaron Biología e Inglés, entonces: B  I = 9.
De donde: N = (B  I)  (B  M)  I = 9  4 = 5.
7 alumnos acertaron Matemática e Inglés, entonces: M  I = 7.
De donde: K = (M  I)  (B  M)  I = 7  4 = 3.
25 alumnos acertaron en Biología, entonces: B = 25.
B
M
De donde: Q = B  (L  N R) = 25 (7  5  4) = 9.
7
16
30 alumnos acertaron en Matemática, entonces: M = 25.
9
De donde: P = M  (L  K R) = 30 (7  3  4) = 16.
4 3
16 alumnos acertaron en Inglés, entonces: I = 16.
5
De donde: T = I  (N  K R) = 16 (5  3  4) = 4.
Gráficamente:
Primero ubicamos R, luego: L, N y K, y finalmente,: P, Q y T.
4
I
RESPUESTAS
a)
b)
7 alumnos aprobaron Biología y Matemática únicamente.
5 alumnos aprobaron Biología e Inglés solamente
20
RACAPEAS --- MATEMÁTICA --- ANÁLISIS --- 2011
c)
d)
e)
f)
g)
h)
3 alumnos aprobaron Matemática e Inglés estrictamente
9 alumnos aprobaron únicamente Biología.
16 alumnos aprobaron únicamente Matemática.
4 alumnos aprobaron únicamente Inglés.
Una sola asignatura: 9 + 16 + 4 = 29 estudiantes.
El número total de alumnos que presentaron las pruebas es:
K  L  N  P  Q  T  R = 3  7  5  16  9  4  4 = 48 alumnos. Como en el
curso hay 50 alumnos, entonces: 50  48 = 2. Luego, 2 alumnos no presentaron
las pruebas.
EJEMPLO 2
Un recuento de 500 estudiantes que cursan álgebra, física y estadística reveló los siguientes
números: 329 en álgebra, 186 en física, 295 en estadística, 83 en álgebra y física, 217 en álgebra y
estadística y 63 en física y estadística.
a  ¿Cuántos estudiantes están matriculados en las tres?
b  ¿Cuántos estudiantes están matriculados en álgebra pero no estadística?
c  ¿Cuántos estudiantes están matriculados en física pero no álgebra?
d  ¿Cuántos estudiantes están matriculados en estadística pero no física?
e  ¿Cuántos estudiantes están matriculados en álgebra o estadística?
f  ¿Cuántos estudiantes están matriculados en álgebra solamente?
g Hallemos la probabilidad de que un estudiante esté matriculado en álgebra o estadística
Solución:
A = álgebra.
A = 329.
F = física.
F = 186.
E = 295.
E = estadística
AF = 83.
AE = 217.
FE = 63.
Para hallar el número de estudiantes matriculados en las tres, hacemos uso de la siguiente
expresión:
(A + F + E) = A + F + E  AF  AE  FE + AFE 500 = 329 + 186 + 295  83  217 
63 + AFE  AFE = 53 estudiantes están matriculados en las tres…
Gráfica:
A
F
30
93
82
53
10
164
68
E
ANÁLISIS:
 53 Pertenecen cursan las tres asignaturas.
 Como hay 83 en álgebra y física, entonces: 83  53 = 30 en
álgebra y física únicamente
 Como hay 217 en álgebra y estadística, entonces: 217  53 = 164
en álgebra y estadística únicamente
 Como hay 63 en estadística y física, entonces: 63  53 = 10 en
álgebra y física únicamente
 Como hay 83 en álgebra y física, entonces: 83  53 = 30 en
álgebra y física únicamente
 Como en álgebra hay 329, entonces: 329  53  30  164 = 82
en álgebra solamente
 Como en física hay 186, entonces: 186  53  30  10 = 93 en
física únicamente
 Como en estadística hay 295, entonces: 295  53  10  164 =6
8 en estadística solamente
21
RACAPEAS --- MATEMÁTICA --- ANÁLISIS --- 2011
Respuestas…..analizando la gráfica
a  En las tres hay 53 estudiantes matriculados.
b  Álgebra pero no estadística: 82 + 30 = 112 estudiantes.
c  Física pero no álgebra: 93 + 10 = 103 estudiantes.
d  Estadística pero no física: 164 + 68 = 232 estudiantes.
e  Álgebra o estadística: 82 + 164 + 68 = 314 estudiantes.
f  Álgebra solamente: 82 estudiantes.
g  Probabilidad álgebra o estadística:
A lg ebra o estdística

Todos
314
500
 0,628 .
En porcentaje : 0,628  100  62,8%
EJERCICIOS
1.
200 alumnos del Liceo se presentaron a tres pruebas pruebas deportivas:
Atletismo, Fútbol y Voleybol. 80 alumnos participaron en Atletismo, 50 en Fútbol y
70 en Voleybol. 20 alumnos participaron en las tres, 25 alumnos participaron en
Atletismo y Fútbol, 30 alumnos participaron en Fútbol y Voleybol y 28 alumnos
participaron en Atletismo y Voleybol.
a)
¿Cuántos alumnos participaron únicamente en Atletismo?
b)
¿Cuántos alumnos participaron solamente en Fútbol?
c)
¿Cuántos alumnos participaron estrictamente en Voleybol?
d)
¿Cuántos alumnos participaron en Atletismo o Fútbol?
e)
¿Cuántos alumnos participaron en Atletismo o Voleybol?
f)
¿Cuántos alumnos participaron en Atletismo y Fútbol únicamente?
g)
¿Cuántos alumnos no participaron en ninguna prueba?
h)
¿Cuántos alumnos participaron en únicamente en Atletismo y Voleybol?
i)
Halle el porcentaje de los que participaron en atletismo y fútbol únicamente
j)
Halle el porcentaje de los que participaron en atletismo o voleybol.
k)
Halle el porcentaje de los que participaron en una prueba.
l)
Halle la relación entre los que participaron en las tres y los que estuvieron en
Fútbol y Voleybol.
m)
Halle la probabilidad de seleccionar un estudiante que haya participado
únicamente en Fútbol.
22
RACAPEAS --- MATEMÁTICA --- ANÁLISIS --- 2011
2. Los 820 empleados de una empresa deben de afiliarse a comfachocó, Coomeva o a
barrios unidos. 100 empleados se afiliaron a comfachocó y a Coomeva úicamente,
150 a Coomeva y a barrios unidos solamente y 200 a comfachocó y a barrios unidos
estrictamente. 100 se afiliaron únicamente a comfachocó, 100 solamente a Coomeva
y 100 únicamente a barrios unidos. El resto de los empleados se afiliaron a las tres.
a)
¿Cuántos empleados se afiliaron a las tres?
b)
¿Cuántos empleados se afiliaron a Coomeva o a barrios unidos?
c)
¿Cuántos empleados se afiliaron a comfachocó y a barrios unidos?
d)
¿Cuántos empleados se afiliaron a comfachocó y Coomeva?.
3. Los 200 estudiantes del grado once de la NSQ se presentaron a tres pruebas
deportivas. 62 participaron en la primera prueba, 84 participaron en la segunda, 116
participaron en la tercera, 24 en la primera y en la segunda, 26 en la primera y en la
tercera, 28 en la segunda y la tercera, y el resto participó en las tres pruebas.
a) ¿Cuántos estudiantes participaron únicamente en la primera?
b) ¿Cuántos estudiantes participaron solamente en la tercera?
c) ¿Cuántos estudiantes participaron únicamente en la primera y en la segunda?
d) ¿Cuántos estudiantes participaron en la segunda o en la tercera?
e) ¿Cuántos estudiantes participaron en la primera pero no en la segunda?
f) ¿Cuántos estudiantes participaron en la segunda o en la tercera pero no en la
primera?
23