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Matemáticas
6
MATEMÁTICAS
6º grado
James R. Velasco Mosquera
Profesor Universidad de Pamplona
Luis Ernesto Rojas Morantes
Profesor Universidad de Pamplona
Yolanda Gallardo de Parada
Profesora Universidad de Pamplona
MINISTERIO DE EDUCACIÓN NACIONAL
Coordinación Pedagógica y Editorial
Hernando Gélvez Suárez
Supervisor de Educación
Impresión:
ISBN Colección 958-9488-56-0
ISBN Volumen 958-9488-65-X
Prohibida su reproducción total
y parcial sin autorización escrita del
Ministerio de Educación Nacional MEN.
Derechos Reservados
Distribución gratuita
CONTENIDO
LOS SISTEMAS NUMÉRICOS..............................................................................................1
LOS NÚMEROS NATURALES ..............................................................................................9
LA ADICIÓN DE NÚMEROS NATURALES .....................................................................20
SUSTRACCIÓN DE NÚMEROS NATURALES .................................................................27
MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS NATURALES ...........................................................32
DIVISIÓN DE NÚMEROS NATURALES ..........................................................................38
DIVISIBILIDAD ...................................................................................................................43
POTENCIACIÓN .................................................................................................................52
APRENDAMOS QUE ES LA LÓGICA................................................................................59
TRABAJEMOS CON CONJUNTOS ...................................................................................75
REALICEMOS OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS ...................................................81
LA ESTADÍSTICA.................................................................................................................86
NÚMEROS FRACCIONARIOS...........................................................................................95
ESTUDIEMOS GEOMETRÍA ...........................................................................................113
MEDIR ................................................................................................................................125
PERPENDICULARIDAD Y PARALELISMO ....................................................................139
EL SISTEMA MÉTRICO DECIMAL .................................................................................143
POLÍGONOS ......................................................................................................................149
PRESENTACIÓN
El diagnóstico de la actual situación socioeconómica de las áreas rurales de Colombia presenta
un panorama complejo. Se da por una parte, la creciente modernización tecnológica y empresarial
del agro donde la actividad económica tiende a organizarse bajo la forma de empresas modernas
en el marco de la integración dependiente con la agroindustria y por otra parte se constata el
progresivo y creciente empobrecimiento de aquellos grupos de la población directamente
vinculada a la producción agrícola tradicional.
Una de las necesidades insatisfechas es la de la educación, considerada como un elemento clave
en cualquier estrategia que se proponga lograr un desarrollo rural equitativo. Se alude aquí,
específicamente a la educación básica obligatoria establecida por la Constitución Política de
Colombia de 1991.
La actual Ley General de Educación define la educación básica “Como la educación primaria y
secundaria”; comprende nueve grados y se estructura en torno a un currículo común, conformado
por las áreas fundamentales del conocimiento y de la actividad humana, las cuales deben
comprender por lo menos el 80% del plan de estudios. Los decretos reglamentarios de la Ley
General de la Educación se refieren a la educación básica en los siguientes términos:
• Es un proceso pedagógico que comprende nueve grados y debe organizarse de manera
secuenciada y articulada que permita el desarrollo de actividades pedagógicas, de formación
integral, que facilite la evaluación por logros y favorezca el avance y la permanencia del educando
dentro del servicio educativo (Decreto 1860 del 94).
• A quienes hayan terminado satisfactoriamente los estudios de educación básica se les otorgará
un diploma mediante el cual se certifica la culminación del bachillerato básico, por el cual se
permite comprobar el cumplimiento de la obligación constitucional de la educación básica y
habilita al educando para ingresar a la educación media, al servicio especial de educación
laboral o al desempeño de actividades que exijan este grado de formación,
El Ministerio de Educación Nacional consciente de la responsabilidad que tiene frente a la
promoción de la educación para las zonas rurales, no ha ahorrado esfuerzos para presentar
innovaciones y estrategias para el desarrollo rural. Actualmente esta en marcha el proyecto de
educación rural “PER”, que tiene como objetivos: cobertura con calidad en el sector rural;
capacidad de la gestión educativa fortalecida en las entidades territoriales; procesos de formación
de las escuelas y comunidades para la convivencia y la paz, y una política para la educación
técnica rural.
La Postprimaria rural como una opción de educación básica completa, enmarcada dentro del
objetivo de calidad y cobertura, surge a partir de innovaciones educativas vividas en la década
de los noventa que apuntaron especialmente, a la introducción de cambios en las metodologías
de aprendizaje, en las formas de organización escolar, en el diseño de materiales, en la evaluación
y promoción, en propuestas curriculares pertinentes al medio, mediante la implementación de
proyectos institucionales de educación rural que garantizaran articulación secuencia y
continuidad del servicio educativo.
La Postprimaria se puede considerar como una estrategia innovadora que integra educación
formal, no formal e informal especialmente dirigida a los niños y niñas jóvenes en edad escolar
para ofrecerles mas grados en las escuelas rurales que hayan logrado el 5º de primaria y puedan
ampliar los grados hasta alcanzar la educación básica completa directamente o por convenio
con instituciones rurales organizadas por fusión o asociación, para lo cual se ha diseñado un
conjunto de materiales curriculares o textos guías (del 6º al 9º grados) de apoyo para el auto
aprendizaje y el aprendizaje cooperativo en las áreas obligatorias y fundamentales, en los
proyectos pedagógicos y en los proyectos pedagógicos productivos.
La Universidad de Pamplona, dada su experiencia en el diseño de ese tipo de materiales fue
responsabilizada mediante convenio con el Ministerio de Educación Nacional para la producción
de dichos materiales, el énfasis está puesto en el funcionamiento de centros e instituciones
educativas de forma presencial y semipresencial, con calendarios, horarios, planes y programas
flexibles, y adecuados a la realidad del medio.
En este sentido los materiales curriculares que se incluyen se ubican en la perspectiva de adoptar
procesos que contribuyan a generar acciones que aproximan la educación básica rural a la
realidad vivida por los educandos y sus familias y abrir espacios de participación a través del
diseño de estrategias pedagógicas activas que ponen énfasis en su propia realidad y en la búsqueda
de soluciones a los problemas que los afectan.
La estructura curricular, adapta los contenidos a la realidad del medio, combinando en los
mismos ciencia y tecnología, propiciando el desarrollo de estrategias curriculares que sitúen en
la misma línea de objetivos la relación teoría-practica, en todas las áreas del conocimiento,
orientándolas hacia el análisis y comprensión de los obstáculos que frenan el desarrollo y la
búsqueda de soluciones a los problemas derivados de la producción e interacción comunitaria.
Los contenidos presentados en estos módulos, pueden ser trabajados en torno a ejes problemáticos
o proyectos seleccionados a través de procesos participativos, que comprometan en su conjunto
a la comunidad educativa, con el fin de que se generen conocimientos socialmente útiles. El
desarrollo de las temáticas deben ser seleccionadas según las necesidades y la realidad del
medio, especialmente en lo referente a las áreas optativas en las cuales se debe introducir
innovaciones por medio de la adaptación y selección de contenidos según las necesidades,
realidades e intereses de las comunidades locales.
En relación con la metodología que identifica el diseño de los materiales, no se puede definir
una sola metodología o una única metodología, cada una de las áreas, de los proyectos
pedagógicos presenta o aplica su propio proceso o procesos metodológicos, el fin es buscar la
producción e interpretación de conocimientos adaptados a las necesidades básicas de aprendizaje,
para luego contrastarlos con su practica cotidiana y con los factores que inciden en el desarrollo
de su comunidad, mediante la utilización de estrategias participativas de investigación y acción
educativa en la detección de problemas y desarrollo de proyectos.
Por último, el papel del educador como gestor y orientador de estos procesos, valorados desde
su actitud, sus dominios académicos, pedagógicos y de identidad con el medio en el cual labora,
son definitivos para el desarrollo del programa de Postprimaria Rural como una alternativa
para implantar la institución básica, reconociendo la capacidad del educando para generar y
adaptar los contenidos a sus necesidades e intereses.
Los módulos curriculares aquí desarrollados son un medio para el aprendizaje, no un fin.
D
U
1
N
LOS SISTEMAS
NUMÉRICOS
I DA
D
MATEMÁTICAS 6º
DA
•
•
U
NI
○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○
•ACTIVIDAD
OBJETIVOS1.
(Trabajo individual). Lectura
LOS INDÍGENAS TAMBIÉN CUENTAN
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○
Una de las expresiones intelectuales más antiguas del hombre es la de contar y comparar
el número de elementos de ciertas colecciones de objetos. Esta característica nos
diferencia de los demás animales, a pesar de que algunos de ellos poseen “cierto sentido”
para diferenciar conjuntos de hasta 3 ó 4 elementos.
Por otro lado la historia de la matemática nos enseña que cualquier grupo humano,
llámese pueblo, civilización, tribu, etc., por más primitivo que sea posee sus propias
palabras y símbolos, al igual que ciertas reglas de formación, para representar las ideas
que sobre números ellos poseen. Así por ejemplo en nuestro país tribus como los
Ticunas en el Amazonas, los Motilones en el Norte de Santander, poseen solo palabras
para expresar los números, en cambio los Mayas en Centroamérica, además de palabras
tienen símbolos para representar números. (Ver tabla de sistemas de numeración,
Actividad 4).
Con el transcurrir del tiempo se fueron estableciendo símbolos y reglas de formación
y, fue así como a partir del siglo XVI, el sistema de numeración indo-arábigo o decimal
terminó por imponerse en la mayoría de los países del mundo.
1
POSTPRIMARIA RURAL
El término indo-arábigo obedece a dos razones: la primera que se originó en la India y
la segunda, el haber sido los árabes quienes durante su hegemonía expansionista lo
trajeron de allí y lo impusieron en todos los pueblos que conquistaron. De esta manera,
a través de España, el sistema se introdujo en Europa y se extendió por toda la tierra. A
este sistema se le llama decimal porque su “base” es diez. Sin embargo existen sistemas
en otras bases como por ejemplo el sistema binario o de base 2, que es el que usan los
computadores en su memoria. Este sistema hace uso de dos números solamente: 0 y
1. y sus tablas para la suma y la multiplicación son muy sencillas.
•
+
0
1
*
0
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0
0
1
0
0
0
1
1
10
1
0
1
Comenta la lectura con tus compañeros.
ACTIVIDAD 2. (Trabajo en grupos)
Respondo las siguientes preguntas:
1. ¿Has oído hablar o has visto números diferentes a los indo-arábigos? ¿Cómo se
llaman? Escribe 5 de estos números.
2. Ahora escribe estos 5 números en el sistema decimal. Compara sus escrituras y
escribe tus conclusiones.
3. ¿Qué diferencia y qué semejanza encuentras cuando lees lo siguiente: 3, tres,
three, III.?
4. Considera el número 4838. De izquierda a derecha, ¿qué representa el primer 8,
el 3? ¿y el último 8?
5. ¿La expresión “valor posicional” te dice algo de matemáticas?
• Comparemos las respuestas de cada uno: ¿Son iguales? ¿Difieren?
• Aclaremos dudas.
2
(Trabajo en grupo)
Trabajemos con el Ábaco
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El ábaco abierto es un instrumento de madera, muy sencillo en su forma y de fácil
manejo, pero con el que se puede construir conocimiento matemático que nos interesa.
ACTIVIDAD 2.
Fichas para introducir en las varillas
Varillas
Base de madera
Ábaco Abierto.
3
MATEMÁTICAS 6º
ACTIVIDAD 3.
POSTPRIMARIA RURAL
El Ábaco se utiliza para representar
Números:
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
Para representar números usando el ábaco, primero decidimos “de a cuánto
vamos a contar”. Ejemplo: si decidimos que vamos a contar “de a diez”, esto
significa que cada vez que se tenga 10 fichas en una varilla, éstas se pueden y
deben reemplazar por una ficha colocada en la varilla siguiente trabajando de
derecha a izquierda, es decir:
➡
10 unidades.
1 decena ó 1 diez.
10 fichas de la varilla 1 (figura de la izquierda) se reemplazan por 1 ficha de la
segunda varilla (figura de la derecha)
Ahora si decidimos contar “de a dos” tendríamos:
➡
2 fichas de la varilla 1
4
representa lo mismo que
1 ficha de la varilla 2
MATEMÁTICAS 6º
Si se desea representar 13 fichas en el ábaco y contar “de a diez” se procede
así:
➡
Leémos: 1 diez y tres unidades, es decir trece.
El número 328 en el ábaco se representa así:
Leémos: tres cienes, dos dieces y ocho unidades.
O sea, 3x100, 2x10 y 8, es decir 328 = 3x100 + 2x10 + 8
= 3x102 + 2x10 + 8
Si en cambio queremos contar “de a 2”, veamos cómo representamos 7 fichas.
➡
➡
1 de 2 de 2
1
1 1
1 de 2 1 de 1
4 + 2 +1
5
POSTPRIMARIA RURAL
Es decir, si contamos “de a 2”, 7 fichas se representan como 111, o sea, 111 =
1x22 + 1x21 + 1
•
Comparemos 13 fichas representándolas en los casos anteriores. Hazlo en
tu ábaco.
13 = 1x10 + 3.
13 = 1 1 0 1 = 1x23 + 1x22 + 0x2 + 1, aquí decimos que trece en base dos, y
lo representamos como 1101.
•
Similarmente podemos contar “de a cinco” y para este caso 7 fichas se
representan... Completa el gráfico, pero hazlo antes en tu ábaco.
➡
➡
•
Ahora usando tu ábaco, ¿cómo representarías el número 23 contando “de
a ocho” ?
•
Analiza lo siguiente:
La base de un sistema de numeración corresponde al
número “de a cuántos vamos a contar”
6
MATEMÁTICAS 6º
Si vamos a contar “de a ocho” la base es ocho, si en cambio vamos a contar
“de a diez” la base es diez.
En casos anteriores veíamos que:
•
En base 10:
328 = 3x102 + 2x10 + 8
13 = 1x10 + 3
•
En base 2:
1101 = 1x23 + 1x22 + 0x2 + 1
10
= 1x2 + 0
Las expresiones ubicadas a la derecha del signo = en las 4 expresiones anteriores
son representaciones polinómicas de esos números, es decir, se representa el
mismo número pero de manera diferente algo así como cuando en vez de
Santafé de Bogotá escribimos “la capital de Colombia”.
Ahora considera el número 1101 en base 2. El primer 1 encontrado de izquierda
a derecha representa 1x23 o sea ocho, el último 1 representa 1. ¿Qué representa
el segundo 1?
Luego dependiendo del lugar donde se encuentre el 1 en el número 1101, éste
representa valores diferentes. Cuando esto sucede, se dice que el sistema de
numeración hace uso del principio del “valor posicional”.
¿Será que el sistema de numeración romano hace uso de este principio?
CONCLUYAMOS:
Un sistema de numeración es una colección de símbolos
junto a unas reglas de formación de nuevos símbolos, los
cuales nos sirven para representar números.
7
ACTIVIDAD 4.
(Trabajo grupal)
Responde:
1. ¿Por qué no usamos en nuestra sociedad el sistema en base 2 sabiendo que sólo
usamos el 1 y el 0?
2. ¿Cómo serían las tablas de multiplicar en el sistema binario?
3. Efectúa 1011 + 101 en base dos.
4. Encuentra las expresiones polinómicas de dos números de dos cifras en base 3 y
dos números de tres cifras en base 7.
Sistemas de Numeración Escritos
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○
○
○
○
○
○
○
○
○
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○
○
SISTEMA
○
○
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○
NUMERALES
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○
○
○
○
BASE
1
2
3
4
5
10
DIEZ
BABILÓNICO
¶
¶¶
¶¶¶
¶¶¶¶
¶¶¶¶¶
diez y sesenta
EGIPCIO
I
II
III
IIII
IIIII
∩
DIEZ
GRIEGO
I
II
III
IIII
Γ
∆
DIEZ
α
β
&
δ
ε
ι
MAYA
•
••
•••
••••
-
=
VEINTE
CHINO
-
=
≡
≡
≡
⊥
DIEZ
HINDÚ
-
=
≡
£
⊥
∧
2
3
ϒ
BINARIO
1
10
11
100
101
1010
ROMANO
I
II
III
IV
V
X
8
⊥
INDO-ARÁBIGO
➣
POSTPRIMARIA RURAL
RETANDO
DIEZ
∧•
DOS
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○
ACTIVIDAD 1. (Trabajo en grupo). Recordemos
•
Responde a la siguiente pregunta basado en tu propia experiencia: ¿Cuáles fueron
los primeros conocimientos numéricos que tuviste? Es decir, cuándo empezaste a
contar, cuáles fueron los primeros números que aprendiste, para qué utilizabas los
números, ...
•
Comentemos las respuestas y seleccionemos los tres primeros conocimientos
numéricos que son comunes en todos.
Leémos lo siguiente:
La historia de la matemática nos cuenta que los pueblos además de tener sus
propios sistemas de numeración, también comerciaban, canjeaban artículos,
hacían mediciones etc. Esto los condujo a desarrollar una aritmética elemental
basada en las operaciones de suma y resta esencialmente y en casos especiales
la multiplicación y la división. Adicionalmente también tuvieron que establecer
relaciones de tipo cuantitativo (o sea utilizando números), para expresar hechos
de la vida real como por ejemplo quién tenía más ovejas, o quién era más alto
o más viejo, quién es menor que otro, o mayor que otro.
9
MATEMÁTICAS 6º
TRABAJEMOS EL SISTEMA
DE LOS NÚMEROS NATURALES
POSTPRIMARIA RURAL
Resumiendo podemos decir que en un momento dado de su historia, al conjunto
de los números que le servía al hombre para contar y que se representa como:
N = {1, 2, 3, 4, ...}, se le adhirieron operaciones y relaciones constituyéndose así lo
que hoy se denomina un sistema de numeración.
ACTIVIDAD 2. (Trabajo individual)
En tu cuaderno responde:
1. ¿Cuántos elementos tiene el conjunto formado por los alumnos de tu salón de
clase?
2. ¿Si cambiamos la ubicación de los alumnos dentro del salón de clase, el número de
elementos del conjunto varía?
3. ¿Cuántos elementos aparecen en la siguiente gráfica?
<<<<<<<
4. Dados los siguientes conjuntos A y B:
A = { Santander, Norte de Santander, Boyacá, Antioquia }
B = { Bucaramanga, Cúcuta, Tunja, Medellín }
10
¿Cuántos elementos tiene el conjunto A?
◆
¿Cuántos elementos tiene el conjunto B?
◆
¿Se cumple que A es coordinable con B? ¿Por qué?
5.
Dado el conjunto V = { a, e, i, o, u }. ¿Cuántos elementos tiene el conjunto
V?
6.
Sea M el conjunto formado por las mujeres que han sido presidentes de
Colombia. ¿Cuántos elementos tiene M?
7.
Sea N = { x/ x es la ciudad capital de Colombia}. ¿Cuántos elementos
tiene N?
8.
Reúnete con otros dos compañeros para comparar y discutir las respuestas
de los ejercicios anteriores.
ACTIVIDAD 3. (Trabajo en grupo)
En grupos de tres resolvemos los siguientes ejercicios:
1. Si dos conjuntos A y B son coordinables, ¿cómo es el número de elementos de A
con relación a B?
2. Sea R el conjunto formado por los meses del año.
•
¿Cuántos elementos tiene R?
•
¿Cuántos meses del año tienen menos de 30 días?
•
¿Cuántos meses del año tienen 30 días?
•
¿Cuántos meses del año tienen 31 días?
11
MATEMÁTICAS 6º
◆
POSTPRIMARIA RURAL
INFORMÉMONOS
Los expertos han llamado Cardinal de un conjunto al
número de elementos del conjunto.
ACTIVIDAD 4. (Trabajo en grupo)
Analicemos y respondamos:
•
¿Cuál es el cardinal de los siguientes conjuntos?
A =
B =
::::::
(((((
C = { x/x es un mes del año }
D = { x/x es un mes del año con 25 días }
E = { x/x es el Rector del Colegio }
12
Observemos los siguientes grupos de conjuntos.
MATEMÁTICAS 6º
•
GRUPO A
&
&
&
L =
M =
☺
☺
☺
C
C
C
N =
GRUPO B
S =
««
««
V =
T=
g g
g g
u u
V =
u u
U=
S S
S S
l l
l l
GRUPO C
O=
♣
P=
♦
Q=
♥ ♠
R=
13
POSTPRIMARIA RURAL
RESPONDEMOS:
•
¿Qué tienen en común los conjuntos del grupo A?
•
¿Qué tienen en común los conjuntos del grupo B?
•
¿Qué tienen en común los conjuntos del grupo C?
•
¿Cuántos conjuntos hay en el grupo A? ¿Cuál es el cardinal de cada uno
de estos conjuntos?
•
¿Cuántos conjuntos hay en el grupo B? ¿Cuál es el cardinal de cada uno
de estos conjuntos?
•
¿Cuántos conjuntos hay en el grupo C? ¿Cuál es el cardinal de cada uno
de estos conjuntos?
•
¿Cuáles de los anteriores conjuntos son coordinables?
•
Discutamos sobre el cardinal de los conjuntos coordinables y saquemos una
conclusión.
CONCLUYAMOS
Los conjuntos coordinables poseen la propiedad de tener el mismo número de
elementos, es decir tienen el mismo CARDINAL.
Con los números cardinales se forma el conjunto de los NÚMEROS NATURALES,
se simboliza con IN y se definen por extensión así:
IN = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, ... }
14
MATEMÁTICAS 6º
ACTIVIDAD 5. (Trabajo individual)
Piensa y responde en tu cuaderno:
•
¿Para qué se usan los números naturales?
•
¿Puedo contar los libros que hay en este momento en mi salón de clase?
•
¿Cuántos libros hay?
•
¿Cuántas personas viven en tu casa?
•
En un dado: ¿Cuántos conjuntos con puntos se pueden formar con las caras del
dado? ¿Cuál es el cardinal de esos conjuntos?
•
¿Cuál es el cardinal de un conjunto vacío?
•
Dado el natural 15, ¿puedes decir con exactitud qué número natural sigue?
•
Dado el natural 2.018, ¿qué natural sigue?
•
Si tengo el natural 9.099, ¿cuál natural sigue?
•
Dado cualquier número natural, ¿se puede afirmar con exactitud qué natural es el
que sigue?
•
¿Podrías terminar de enumerar los números naturales?
15
POSTPRIMARIA RURAL
ACTIVIDAD 6. (Trabajo en grupo)
Conformamos grupos de trabajo.
•
Comparemos las respuestas del anterior ejercicio, con las de nuestros compañeros.
•
¿Se parecen? ¿Se diferencian?
•
Discutamos, hallemos quién tiene la razón.
•
Escribamos los resultados de la discusión.
CONCLUYAMOS
El conjunto de los números naturales tiene las siguientes propiedades:
•
Es utilizado para contar los elementos de un conjunto.
•
El proceso de enumeración de sus elementos no termina, por lo tanto es un
conjunto infinito.
•
Dado un número natural cualquiera, se sabe con seguridad qué natural
sigue, por lo tanto es ORDENADO.
ACTIVIDAD 7. (Trabajo en grupo)
•
Conformemos grupos de trabajo y tracemos una recta en el pizarrón, sobre ella
marquemos el número 0, a partir del cero ubiquemos el número 1 y con esta
medida situemos los siguientes números así:
0
16
1
2
3
4
5
•
Observamos y respondemos:
◆
¿El natural 3 está localizado a la izquierda o a la derecha del 4?
◆
El natural 3 que está ubicado a la izquierda del 4. ¿Es 3 menos que 4?
◆
¿A qué lado del 5 está el 2?
◆
¿A qué lado del 2 está el 5?
◆
¿A qué lado del 6 está el 4?
◆
¿A qué lado del 4 está el 6?
◆
¿A qué lado del cero está el 1, el 2, el 3, el 4, el 5?
Representamos en la recta los siguientes números naturales:
a = 8;
b = 6;
c = 5+3
◆
¿A qué lado de a está b?
◆
¿A que lado de b está a?
◆
¿Donde están ubicados los naturales a y c?
◆
El natural b está a la izquierda del natural a, ¿cómo es el natural b con
respecto de a?
◆
¿Qué sucede cuando un natural b está a la izquierda de otro natural
a?
◆
¿Qué sucede cuando un natural a está a la izquierda de otro natural
b?
◆
¿Qué sucede cuando un natural a está a la derecha de otro natural
b?
◆
Cuando el natural a está ubicado en la recta en el mismo lugar que el
natural c. ¿Qué sucede con a y c?
17
MATEMÁTICAS 6º
•
POSTPRIMARIA RURAL
•
¿Es posible encontrar naturales menores que 8? Escribamos algunos.
•
¿Encontremos un natural mayor que 6 y menor que 10.
•
¿Cuántos números naturales son mayores que 30 y menores que 40?
•
Consideremos los siguientes naturales 21, 6, 8, 12, 45, 13, 50, 28, ordenémoslos
en forma ascendente.
•
Escribamos en el pizarrón los siguientes números:
•
2
5
5
2
14
30
30
14
21
3
3
21
4
1
1
4
7
10
10
7
Completemos el cuadro anterior así:
2 es menor que 5
18
5 es mayor que 2
14
30
30
15
21
3
3
21
4
1
1
4
7
10
10
7
Borramos en el cuadro anterior las palabras “mayor que” y “menor
que” y las reemplazamos por los símbolos > (mayor que) y < (menor
que). ¿Es lo mismo 2 es menor que 5 que 5 es mayor que 2?
◆
Realizamos el ejercicio anterior con números diferentes.
MATEMÁTICAS 6º
◆
CONCLUYAMOS
1.
2.
Dados dos números naturales cualesquiera a, b puede suceder una sola
de las siguientes relaciones:
a
es igual a
b
➝
a=b
a
es menor que
b
➝
a<b
a
es mayor que
b
➝
a>b
Si representamos un número natural sobre la recta, todos los naturales que
estén a su derecha serán MAYORES que él, y todos aquellos que estén a su
izquierda serán MENORES que él.
19
LA ADICIÓN CON NÚMEROS NATURALES
POSTPRIMARIA RURAL
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
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○
○
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○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
ACTIVIDAD 1. (Trabajo individual). Repaso
•
Diariamente vivimos situaciones como la siguiente: En la finca de Tomás hay dos
gallineros, uno de ellos tiene 12 gallinas y el otro 9. Tomás desea saber cuántas
gallinas tiene en total en su finca.
•
Analiza y responde en tu cuaderno.
Si consideramos cada gallinero como un conjunto:
*
¿Cuál es el cardinal de cada conjunto?
*
¿Qué debemos hacer para saber cuántas gallinas hay en el conjunto total de
gallinas?
•
Lée y analiza:
*
La acción de agregar, en matemáticas se transforma en la operación llamada
ADICIÓN.
*
Si al cardinal del primer conjunto, que es un número natural, le sumamos el
cardinal del segundo conjunto, que es otro número natural, obtenemos el cardinal del conjunto total, que es otro número natural.
*
El símbolo de la adición es +
12
Símbolo de la adición ➝ +
20
9
} Sumandos
21
➝ Resultado
La adición de dos o números naturales cualquiera a y b se simboliza
MATEMÁTICAS 6º
así: a + b = c. Los elementos de la adición son los sumados a y b. El
resultado es C
ACTIVIDAD 2. (Trabajo individual)
Piensa y responde en tu cuaderno:
•
Lanzar al azar dos dados. ¿Cuántos puntos obtengo en total en las caras superiores?
•
Un obrero trabajó la semana pasada durante 4 días y en esta semana 5 días. ¿Cuántos
días trabajó en las dos semanas?
•
Felipe tiene 6 hermanos, si dos de ellos son mayores que él. ¿Cuántos son menores
que Felipe?
•
Supón que estás jugando a saber cuántos puntos tienes en total con el dominó.
21
POSTPRIMARIA RURAL
•
•
• •
• •
¿Cuántos puntos tiene?
• •
• •
•
¿Cuántos puntos tiene?
•
•
¿Cuántos puntos tiene?
•••
•••
•
•
•
• •
• •
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•••
•••
•
•
¿Cuántos puntos tiene?
•
•
•
•
• •
• •
¿Qué puedes concluir de este ejercicio?
•
Mi vecino Jorge tiene dos establos uno de 8 caballos y el otro con 6. Si
desea saber cuántos caballos tiene en total,
22
¿Qué operación debe efectuar?
◆
Si suma primero 8 y luego 6, ¿qué resultado obtiene?
◆
¿Qué sucede si suma primero 6 y luego 8?
◆
¿Son diferentes los resultados?
•
Inés encontró 6 huevos en un nido y ninguno en el otro. ¿Cuántos huevos
hay en total?
•
¿Cuántos puntos suman las siguientes fichas de dominó?
• •
• •
•••
•••
•
•
•
•
•
•
•
23
MATEMÁTICAS 6º
◆
POSTPRIMARIA RURAL
•
Rosa tiene tres llaveros, el primero con 5 llaves, el segundo con 4 llaves y el
tercero con 2 llaves. ¿Cuántas llaves tiene en total?
•
Qué sucede si agrupamos los llaveros así:
•
¿Qué podemos concluir en los dos casos anteriores?
PONGAMOS EN COMÚN LO TRABAJADO
ACTIVIDAD 3. (Trabajo en grupo)
Conformemos grupos de trabajo:
•
Comparemos las respuestas de los ejercicios anteriores.
•
Discutamos. ¿Son iguales?, ¿difieren?, ¿en qué?
•
Discutamos y obtengamos conclusiones sobre:
•
¿Qué clase de números obtenemos cuando sumamos dos números naturales?
•
¿Qué sucede cuando cambiamos el orden de los sumandos?
•
¿Qué sucede cuando a un natural cualquiera le adicionamos el natural 0?
•
¿De cuántas maneras podemos adicionar tres sumandos?
24
La adición entre números naturales cumple las siguientes propiedades.
1.
La adición de dos números naturales es otro número natural. Propiedad
CLAUSURATIVA.
2.
El orden de los números no altera la adición. Propiedad CONMUTATIVA.
3.
Todo número natural adicionado con el cero (0) da el mismo número natural. Propiedad MODULATIVA.
4.
Para adicionar tres sumandos podemos agruparlos de diferentes formas y
efectuar las sumas parciales sin que el resultado total varíe. Propiedad
ASOCIATIVA.
PRACTIQUEMOS
ACTIVIDAD 4. (Trabajo individual)
En tu cuaderno:
1. ¿Para qué valor de x se cumple que:
x
+
12
=
17?
8
+
x
=
20?
7
+
x
=
7?
x
+
11
=
11?
(5+x) +
3
=
10?
17
=
x?
13
+
25
MATEMÁTICAS 6º
CONCLUYAMOS
POSTPRIMARIA RURAL
2. Un agricultor recogió la cosecha de papa en una semana así: el lunes 23 bultos, el
martes 36 bultos, el miércoles 17 bultos, el jueves 19 bultos, el viernes 18 bultos y
el sábado 21 bultos. ¿Cuántos bultos de papa recogió en total?
3. Completa el siguiente cuadro en tu cuaderno con los números naturales
correspondientes.
SUMANDOS
8
2
TOTAL
0
9
1
20
0
5
12
6
18
7
4. Completa el siguiente cuadro en tu cuaderno de tal forma que en la dia-gonal
aparezcan las adiciones correspondientes.
a
b
c
a
5
8
3
b
8
16
c
3
a+b+c
26
6
a+b+c
SUSTRACCIÓN DE NÚMEROS NATURALES
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
ACTIVIDAD 1. (Trabajo individual) ¿Recuerdas?
•
Supón que en la finca de tu vecino se recogieron ayer 9 bultos de naranja y se
llevaron a la ciudad 7 de ellos para venderlos. ¿Cuántos bultos de naranja le
quedaron al vecino?
Responde:
◆
¿Cuántos bultos de naranja tenía inicialmente?
◆
¿Cuántos bultos de naranja vendió?
◆
¿Cuántos bultos le quedan en la finca?
◆
Si sumas el número de bultos que vendió con el número de bultos que le
quedan en la finca, ¿cuántos bultos obtiene en total?
◆
¿Cuanto le falta a 7 para ser igual a 9?
◆
¿Cuánto le falta a 2 para ser igual a 7?
Lo anterior se puede expresar así: 7 + 2 = 9
2 + 7 = 9
Si 2 + 7 = 9, entonces
◆
9 - 2 =7
9 - 7 = 2
¿Qué clase de número es el 7?
27
MATEMÁTICAS 6º
○
POSTPRIMARIA RURAL
•
Analiza la siguiente conclusión:
La operación inversa de la adición de números naturales es la SUSTRACCIÓN,
luego si a + b = c, entonces c - a = b. Al número natural c se llama MINUENDO,
al natural a SUSTRAENDO y al natural b DIFERENCIA.
En el caso anterior:
9
-
2
=
7
Minuendo Sustracción Diferencia
El signo de la SUSTRACCIÓN: - (Se llama menos)
ACTIVIDAD 2. (Trabajo en grupo)
Nos reunimos en grupos y realizamos los siguientes ejercicios:
1. Si a, b, c son números naturales definidos así: a = 8; b = 15; c = 3; realizamos
las siguientes sustracciones:
a) a - c
b) b - a
c) b - c
d) a - b
¿Algún problema?
28
MATEMÁTICAS 6º
2. ¿Cómo debe ser el minuendo comparado con el sustraendo para poder efectuar la
diferencia?
3. ¿Cuánto le falta al natural 8 para se igual al natural 15?
4. Realicemos las siguientes operaciones:
15 - 8
8 - 15
13 - 7
7 - 13
14 - 9
9 - 14
16 - 6
6 - 16
*
¿Qué conclusión podemos sacar de este ejercicio?
*
¿Es la sustracción una operación que cumple la propiedad conmutativa?
5. Realizamos las siguientes operaciones:
a) 9 - (4 - 3) = 9 - 1 = 8
b) 18 - (8 - 6) = ?
c) 14 - (7 - 2) = ?
6. Realizamos las siguientes operaciones:
a) (9 - 4) - 3 = ?
b) (18 - 8) - 6 = ?
c) (14 - 7) - 2 = ?
*
Comparemos los resultados de los ejercicios 5 y 6.
*
¿Qué conclusión podemos sacar?
*
¿Cumple la sustracción con la propiedad asociativa?
29
POSTPRIMARIA RURAL
7. Realizamos las siguientes sustracciones:
6 - 0
0 - 6
7 - 0
0 - 7
¿Qué podemos concluir de la diferencia con respecto a la propiedad modulativa?
8. Analicemos la siguiente conclusión:
La diferencia entre números naturales no cumple con las propiedades clausurativa,
conmutativa, asociativa y modulativa.
ACTIVIDAD 3. (Trabajo individual)
Resuelve los siguientes problemas:
1. Juan va al mercado y compra un kilo de papa que le cuesta $30, un kilo de carne
por $2.600, una libra de arroz por $300 y fruta por $250. Si llevaba en su cartera
$4.500. ¿Cuánto dinero le sobró?
2. En una escuela hay matriculados 25 alumnos en primer grado, 36 en segundo
grado, 12 en tercero, 24 en cuarto grado. Si la escuela tiene en total 132 alumnos
en los cinco grados, ¿cuántos alumnos hay en quinto grado?
3. Nos reunimos en grupos y comparamos las respuestas con los anteriores ejercicios.
Corregimos los errores.
30
MATEMÁTICAS 6º
CONCURSO
ACTIVIDAD 4. (Trabajo individual)
Para trabajar en el cuaderno.
Colocar en cada círculo uno de los números de 1 a 12. No se puede repetir ninguno.
La suma de los números que resulten en cada lado del triángulo debe ser la misma.
31
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
ACTIVIDAD 1. (Trabajo individual)
Realiza en tu cuaderno lo siguiente:
•
Toma un hoja de papel. Dóblala de manera que queden, bien 4 filas y 8 columnas
o bien 8 filas y 4 columnas así:
Columna 1
➪
Fila 1➪
Columna 1
➪
POSTPRIMARIA RURAL
MULTIPLICACIÓN DE LOS
NÚMEROS NATURALES
Fila 1➪
32
•
Responde las siguientes preguntas:
MATEMÁTICAS 6º
◆ ¿En cuántas partes queda dividido el papel?
◆ ¿Cuántos cuadrados tiene cada columna?
◆ ¿Cuántos cuadrados tiene cada fila?
◆ ¿Cuánto es 8 veces 4?, es decir, 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4
◆ ¿Cuánto es 4 veces 8?, es decir, 8 + 8 + 8 + 8.
◆ ¿Cómo se escribe abreviadamente 4 veces 8?, 8 veces 4?
◆ ¿Qué resultado se obtiene?
•
Recuerda:
La operación, que es una suma abreviada de sumandos iguales, se llama
MULTIPLICACIÓN.
La multiplicación entre dos números naturales a y b, se simboliza así:
a•b
ó
a x b,
8 veces 4 = 8 x 4
El punto y el signo x indican multiplicación. Cada término que interviene en la
operación se llama FACTOR. El número que se repite se llama MULTIPLICANDO y
el número de veces que el sumando se repite se llama MULTIPLICADOR.
8
x
4
=
Multiplicando Multiplicador
32
Producto
Factores
33
POSTPRIMARIA RURAL
Analicemos las Propiedades
de la Multiplicación
○
ACTIVIDAD 2.
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
(Trabajo en grupo)
Conformamos grupos, realizamos las siguientes operaciones y sacamos conclusiones.
•
Respondamos en el cuaderno:
2 x 5 = 10
3 x 4 = 12
¿Qué clase de números son el 2 y el 5?
¿Qué clase de número es el 10?
¿Qué clase de números son el 3 y el 4?
¿Qué clase de número es el 12?
¿Qué clase de números son el 8 y el 7?
8 x 7 = 56
¿Qué clase de número es el 56?
¿Qué clase de número es el producto de dos números naturales?
•
En el cuaderno realizamos las siguientes multiplicaciones:
8x4=?
3X7=?
9x4=?
4x8=?
7x3=?
4x9=?
5x1=?
1x5=?
34
¿Qué podemos concluir?
En el cuaderno realizamos las siguientes multiplicaciones:
(4 x 2) x 3 = ?
(3 x 2) x 5 = ?
4 x (2 x 3) = ?
3 x (2 x 5) = ?
(6 x 2) x 3 = ?
(3 x 4) x 3 = ?
6 x (2 x 3) = ?
3 x (4 x 3) = ?
MATEMÁTICAS 6º
•
¿Qué conclusiones podemos sacar?
•
En el cuaderno. Contemos los puntos.
•
•
•
•
•
•
6 veces 1 = 6
1+1+1+1+1+1
6x1=6
•
•
•
•
•
•
•
Una vez seis
1x6=?
¿Qué conclusión podemos sacar?
35
POSTPRIMARIA RURAL
6x1=?
1x6=?
¿Cuánto es
7x1=?
1x7=?
¿Qué pasa cuando uno de los
factores es 1?
4x1=?
1x4=?
•
En el cuaderno realicemos las siguientes operaciones:
2 x (3 + 5)
(2 x 3) + (2 x 5)
Comparemos los resultados.
3 x (7 + 2)
(3 x 7) + (3 x 2)
Comparemos los resultados.
4 x (2 + 6)
(4 x 2) + (4 + 6)
Comparemos los resultados.
¿Qué conclusión podemos sacar?
•
Representemos gráficamente en una cuadrícula en la cual el primer natural indica las filas:
a) 2 x (3 + 4)
b) (2 x 3) + (2 x 4)
Comparemos los resultados: ¿Qué conclusión sacamos?
36
La multiplicación entre números naturales cumple las siguientes propiedades:
1.
La multiplicación de dos números naturales es otro número natural.
Propiedad CLAUSURATIVA.
2.
El orden de los factores no altera el producto. Propiedad CONMUTATIVA.
3.
Para multiplicar tres factores podemos agruparlos de diferentes formas y
efectuar los productos parciales sin que el producto final varíe. Propiedad
ASOCIATIVA.
4.
La multiplicación de cualquier número natural por 1, da como resultado el
mismo número natural. Propiedad MODULATIVA. (El módulo del producto
es el 1).
5.
El producto de un número natural por una adición de dos números naturales es igual al producto de dicho número por cada uno de los sumandos.
Propiedad DISTRIBUTIVA.
37
MATEMÁTICAS 6º
CONCLUYAMOS
DIVISIÓN DE NÚMEROS NATURALES
POSTPRIMARIA RURAL
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
ACTIVIDAD 1. (Trabajo en grupo)
•
Conformemos grupos de trabajo, realicemos los ejercicios planteados y obtengamos
conclusiones.
◆ ¿Qué número multiplicado por 8 da 24?
◆ ¿Cuántas veces debo sumar 5 para obtener 20?
◆ Ricardo compró 6 lápices en $600. ¿Cuánto le costó cada lápiz?
◆ En un costal puedo meter 4 conejos. Si tengo 36 conejos. ¿Cuántos costales
necesito?
◆ ¿En una multiplicación cuántos números naturales intervienen como mínimo?
¿Cómo se llaman?
•
En el cuaderno completamos los espacios.
7 x3 =
38
7 x
=
21 =
3 x
21
6x4
=
6x
=
24
=
24
x4
9
9
x5
=
x5
=
45
x
=
45
La operación inversa respecto a la multiplicación se llama DIVISIÓN.
Si se conoce el producto de dos factores y uno de esos mismos factores, se
puede hallar por medio de la división el otro factor. El signo de la división es ÷
Simbólicamente: Si a, b, c son números naturales tales que:
a x b = c,
c÷a=b
c÷b=a
entonces,
En una división exacta los términos son: dividendo, divisor, cociente.
x
÷
y
Dividendo
=
z
Divisor
Otras formas de escribir
x
x
y
= z,
Cociente
÷
y
=
z son:
x y
z
ACTIVIDAD 2. (Trabajo individual)
Analiza si los siguientes enunciados son falsos o verdaderos. Justifica tu respuesta, si es
falso da un contraejemplo.
1. La división de dos números naturales es siempre otro número natural.
2. La división de dos números naturales cumple la propiedad conmutativa.
3. La división de números naturales cumple la propiedad asociativa.
4. La división de números naturales cumple la propiedad modulativa.
5. La división de números naturales cumple la propiedad distributiva respecto a la
suma.
39
MATEMÁTICAS 6º
CONCLUYAMOS
POSTPRIMARIA RURAL
ACTIVIDAD 3. (Trabajo en grupo)
•
Discutimos el ejercicio anterior. Comparamos las respuestas. Obtenemos
conclusiones sobre las propiedades que cumple la DIVISIÓN.
•
Realizamos los siguientes ejercicios:
◆ Pedro dispone de $940 para comprar cuadernos. Si cada cuaderno vale $300.
¿Cuántos cuadernos puede comprar? ¿Cuánto dinero le sobra? ¿Cuánto es: (3
x 300) + 40?
◆
34 ÷ 5 = ?
(6 x 5) + 4 = ?
26 ÷ 6 = ?
(4 x 6) + 2 = ?
47 ÷ 8 = ?
(5 x 8) + 7 = ?
70 ÷ 8 = ?
(8 x 8) + 6 = ?
¿Qué conclusión podemos sacar?
EVALUEMOS LO APRENDIDO
ACTIVIDAD 4. (Trabajo individual)
Realiza los siguientes ejercicios:
1. Luisa tiene 15 docenas de naranjas para empacarlas en cajas donde sólo caben 20
naranjas, ¿Cuántas cajas necesita para empacar todas las naranjas?
2. Juanito tenía una alcancía donde sólo ahorraba monedas de $100. El día que la
abrió contó 325 monedas. ¿Cuánto dinero tenía ahorrado?
40
3. En el cuaderno completa el siguiente cuadro:
3
5
2
9
8
MATEMÁTICAS 6º
x
10
1
8
0
¿Qué propiedades de la multiplicación de números naturales aplicas?
4. En el cuaderno realiza las siguientes operaciones siguiendo el sentido de la flecha.
÷
÷
÷
5. A un almacén llegó el siguiente pedido:
19
docenas de camisas a $6.500 cada camisa.
53
pares de medias a $1.680 cada par.
13
docenas de sombreros a $4.500 cada sombrero.
33
docenas de pantalones a $18.600 cada pantalón.
41
POSTPRIMARIA RURAL
*
Halla:
a) El total de camisas.
b) Total de sombreros.
c) Total de pantalones.
d) Valor total de la compra.
*
Si en la venta de cada artículo se gana lo siguiente:
Por cada camisa $300.
Por cada par de medias $50.
Por cada sombrero $430.
Por cada pantalón $280.
¿Cuál es el valor total de la ganancia?
6. En el cuaderno completa las siguientes tablas:
MULTIPLICANDO
MULTIPLICADOR
23
35
12
216
26
234
DIVIDENDO
DIVISOR
COCIENTE
450
9
3
132
•
PRODUCTO
29
12
Reúnete con otros dos compañeros y discute el anterior ejercicio. ¿En qué
están de acuerdo?, en qué en desacuerdo? Revisen nuevamente los
ejercicios y obtengan conclusiones.
42
DIVISIBILIDAD
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
ACTIVIDAD 1. (Trabajo en grupo)
Reúnete con unos compañeros y completa en el cuaderno los siguientes árboles y
responde las preguntas.
*
2
x
ARBOL DEL 2
1
2
2
4
3
?
4
?
5
?
6
?
7
?
8
?
9
?
10
?
¿Los números de los círculos en el
árbol del 2, de dónde resultan?, ¿se
puede dividir por 2 exactamente?
3
x
ÁRBOL DEL 3
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
3
6
?
?
?
?
?
?
?
?
¿Los números de los círculos, de
dónde resultan?, ¿se pueden dividir
por 3 exactamente?
43
MATEMÁTICAS 6º
○
POSTPRIMARIA RURAL
4
x
ÁRBOL DEL 4
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
4
8
?
?
?
?
?
?
?
?
•
¿Los números de los círculos, de
dónde resultan?, ¿se pueden dividir
por 4 exactamente?
Elaboremos los árboles del 5, 6, 7, 8 y 9.
ANALICEMOS
•
Los números que resultan en los círculos, en el árbol del 2, se llaman MÚLTIPLOS
de 2.
•
Los números que resultan en los círculos, en el árbol del 3, se llaman MÚLTIPLOS
de 3.
•
Los números que resultan en los círculos, en el árbol del 4, se llaman MÚLTIPLOS
de 4.
•
Los múltiplos de 2 se pueden dividir por 2 exactamente.
•
Los múltiplos de 3 se pueden dividir por 3 exactamente.
•
Los múltiplos de 4 se pueden dividir por 4 exactamente.
¿Podríamos decir lo mismo de los árboles del 5, 6, 7, 8 y 9?
44
MATEMÁTICAS 6º
ACTIVIDAD 2. (Trabajo individual)
INFÓRMATE
Cuando un número divide a otro exactamente, se dice:
éste es divisible por él.
ejemplo: 10 es divisible por 2 porque 10 ÷ 2 = 5
•
Realiza en tu cuaderno los siguientes ejercicios.
◆
¿24 es divisible por 2? ¿Por qué? ¿El 24 termina en número par o
impar?
◆
¿20 es divisible por 2? ¿Por qué? ¿El 20 termina en par o impar?
◆
Un número es divisible por 2 si termina en cero o en cifra par. ¿Estás de
acuerdo? ¿Puedes buscar ejemplos que contradigan?
◆
¿18 es divisible por 3? ¿Por qué? ¿Cuánto es 1+8? ¿Es 9 divisible por
3?
◆
¿24 es divisible por 3? ¿Por qué? ¿Cuánto es 2+4? ¿Es 6 divisible por
3?
◆
En general, ¿cuándo un número es divisible por 3? ¿Puedes buscar otros
ejemplos?
◆
¿125 es divisible por 5? ¿Por qué? ¿En qué número termina 125?
◆
¿150 es divisible por 5? ¿Por qué? ¿En qué número termina 150?
◆
En general, ¿cuándo un número es divisible por 5?
◆
Escribe los divisores de 30, 25, 17, 27, 10, 7 y 13.
45
POSTPRIMARIA RURAL
Ejemplo:
5
30 ÷ 5
=
6
6
30 ÷ 6
=
5
15
30 ÷ 15
=
2
2
30 ÷ 2
=
15
1
30 ÷ 1
=
30
30
30 ÷ 30
=
1
30
•
Compara tus respuestas con las de tus compañeros.
INFÓRMATE
Un número es divisible por otro cuando su división es exacta. Constantemente
necesitamos saber cuándo un número es divisible por otro.
Cuando un número sólo admite dos divisores que son él mismo y el 1, se llama
PRIMO. El 1 no se considera número primo.
•
Copia los números de 1 a 50 en tu cuaderno y encierra con un círculo los
números primos.
La siguiente tabla resume algunos criterios de divisibilidad. Cópiala en tu
cuaderno y completa:
46
POR 2
EJEMPLOS
MATEMÁTICAS 6º
DIVISIBILIDAD
12, 20, ...
Un número es divisible por 2,
cuando su última cifra es cero o par.
POR 3
Un número es divisible por 3,
cuando la suma de sus cifras
es un múltiplo de 3.
POR 4
Un número es divisible por
4, cuando sus dos últimas cifras
son ceros o múltiplos de 4.
POR 5
Un número es divisible
por 5, cuando termina en cero o en 5.
POR 6
Un número es divisible por 6,
cuando es divisible por 2 y por 3 al
mismo tiempo.
POR 10
Un número es divisible por 10
cuando termina en cero.
47
POSTPRIMARIA RURAL
ACTIVIDAD 3. (Trabajo en grupo)
•
Analicemos los ejercicios, discutamos las respuestas y obtengamos conclusiones.
Descompongamos en factores primos los números 12, 18 y 24. Ejemplo:
12
2 ←
(12 ÷ 2 = 6)
6
2 ←
(6 ÷ 2 = 3)
3
3 ←
(3 ÷ 3 = 1)
12 = 2 x 2 x 3
2. En tu cuaderno completa la siguiente tabla:
NÚMERO
12
DIVISORES
1, 2, 3, 4, 6, 12
18
24
3. ¿Cuáles divisores son comunes a 12 y a 18?
4. ¿Cuáles divisores son comunes a 12, 18 y 24?
5. ¿Cuál es el MAYOR divisor común de 12, 18 y 24?
INFÓRMATE
Los expertos han llamado el mayor de los divisores comunes de dos o más
números MÁXIMO COMÚN DIVISOR, y lo simbolizan así: (m.c.d.).
•
Verifica con tus compañeros, ¿cuál es el máximo común divisor de 12, 18 y
54?
48
Analizamos la siguiente situación:
1. Dos empleados encargados de vigilar una finca deciden revisarla recorriéndola a
caballo. El primero tarda 5 minutos en dar la vuelta; el segundo 3 minutos en dar
una vuelta. Si parten del mismo punto, ¿cuántos minutos deben transcurrir para
que se encuentren de nuevo en el punto de partida si continúan dando vueltas a la
finca? Construye un esquema que represente la situación.
2. Consideremos los números 12 y 18. Construyamos en el cuaderno 6 múltiplos de
estos dos números. Encerremos en un círculo rojo los múltiplos comunes de 12 y
18, señala con una cruz (x) el menor de los múltiplos comunes.
3. Escribamos nuevamente los números 12 y 18 como producto de números primos.
12 = 2 x 2 x 3 x 1 = 22 x 3 x 1
18 = 2 x 3 x 3 x 1 = 2 x 32 x 1
*
Seleccionemos los factores comunes con su mayor exponente y los no comunes
tomados una sola vez.
*
Efectuemos el producto de los factores seleccionados.
*
Comparemos este resultado con el menor de los múltiplos comunes de 12 y
18:
*
¿Qué podemos concluir?
49
MATEMÁTICAS 6º
ACTIVIDAD 4. (Trabajo en grupo)
POSTPRIMARIA RURAL
INFORMÉMONOS
Los expertos han llamado el menor de los múltiplos comunes de dos o más
números MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO, y lo simbolizan (m.c.m.).
Verifica con tus compañeros si el mínimo común múltiplo de 12 y 18 es 36.
EJERCITÉMONOS
ACTIVIDAD 5. (Trabajo individual)
En tu cuaderno:
1. Considera los números 8, 10 y 24.
a) Descompónlos en factores primos.
b) Encuentra los divisores comunes a 8, 10 y 24.
c) ¿Cuál es el mayor de los divisores comunes?
d) ¿Cómo han llamado los expertos este número que es el MAYOR de los divisores
comunes?
e) Encuentra múltiplos de 8, 10 y 24.
f ) Selecciona los múltiplos comunes.
g) Selecciona el menor de los múltiplos comunes.
h) ¿Cómo han llamado los expertos a este número que es el MENOR de los múltiplos
comunes?
50
36 m
60 m
3. En un almacén se compraron 3 piezas de tela. La primera tiene 72 metros, la
segunda 48 metros y la tercera 96 metros. Se quiere obtener pedazos de tela
iguales y de mayor longitud posible para no desperdiciar la tela. ¿Cuál ha de ser la
longitud de cada pedazo de tela? Cuántos pedazos de tela resultan de cada pieza?
Reúnete con dos compañeros más y discutan el
ejercicio anterior.
•
¿En qué están de acuerdo?
•
¿Cuáles son las diferencias?
•
Apóyense en el profesor y obtengan conclusiones.
51
MATEMÁTICAS 6º
2. El padre de mi vecino compró un lote que tiene forma rectangular de 60 metros
de largo y 36 metros de ancho. Él quiere dividir el lote en 36 lotes más pequeños.
¿Cuáles deben ser las máximas dimensiones de cada uno de esos lotes, si quiere
que todos los lotes sean iguales?
POTENCIACIÓN
POSTPRIMARIA RURAL
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
ACTIVIDAD 1. (Trabajo individual)
1. Observa la siguiente figura geométrica:
¿Cuántos cuadrados tiene?
¿Cuántos cuadrados tiene la base?
¿Cuántos cuadrados tiene en la altura?
2. El número de cuadrados se puede obtener multiplicando 4 x 4 Abreviadamente
4 x 4 = 42 = 16
INFÓRMATE
Para evitar escribir el mismo número como factor varias veces, los expertos
idearon una nueva operación que llamaron POTENCIACIÓN.
Si a es un número natural, an significa repetir n veces a.
an = a x a x a x a x ... x a
n-veces
52
Exponente
➝
➝
MATEMÁTICAS 6º
an = b ➝ potencia
Base
Por definición a0 = 1, donde a1-1 = a0; y a1/a1 = 1
PRÁCTICA
•
¿Qué significado tienen las expresiones: 53, 35?
•
Halla la base, el exponente y la potencia en cada uno de los siguientes
ejercicios: 24, 31, 26, 40, 103
•
Representa gráficamente: 32 y 23
•
En el cuaderno completa el siguiente cuadro.
0
1
2
3
4
➝
EXPONENTE➝
BASE
0
0
1
2
1
1
3
•
Descomponer el número 16 de diferentes formas, utilizando potencias.
•
¿A qué potencia debo elevar el 3 para obtener 81?
•
¿A qué potencia debo elevar el 2 para obtener 32?
53
POSTPRIMARIA RURAL
•
¿A qué potencia debo elevar el 10 para obtener 1.000?
•
¿Qué valor de a hace que a2 = 36?
•
¿Qué valor de b hace que b3 = 8?
INFÓRMATE
La operación inversa de la potenciación que nos permite hallar la base
conociendo el exponente y la potencia, se llama RADICACIÓN. Cuyo símbolo
es:
, y quiere decir que:
Si ab = c, entonces, b c = a
EJERCITÉMONOS
ACTIVIDAD 2. (Trabajo individual)
•
En el cuaderno escribe el número correspondiente para cada operación.
54
62
=
➮
2
36 =
43
=
➮
3
64 =
24
=
➮
102
=
➮
103
=
➮
4
81 =
➮
34 =
5
32 =
➮
25 =
3? = 27
➮
3
27 =
5? = 25
➮
2
25 =
10? = 100
➮
2
100 =
3? = 81
➮
4
81 =
16 =
MATEMÁTICAS 6º
4
100 =
3
1000 =
ACTIVIDAD 3. (Trabajo en grupo)
•
Analicemos el anterior ejercicio. Confrontemos respuestas y discutamos las
afirmaciones.
55
POSTPRIMARIA RURAL
•
Efectuar las siguientes operaciones:
2
8
2
3
a) 3 + 4
e) 2
8
b) (2 + 5)3
f)
3
10 x 10
104
2
4
c) (3 + 2)
g)
d) 42 x 43 x 40
h)
2
8 x8x8
0
23
9 2 − 33
22
INFORMÉMONOS
La operación inversa de la potenciación que consiste en hallar el exponente
conocidas la base y la potencia, se llama LOGARITMACIÓN.
Su símbolo es loga y se lee “logaritmo en base a de....”, y quiere decir que:
Si ab = c, entonces loga c = b.
EVALUEMOS LO APRENDIDO
•
Analicemos el siguiente ejercicio:
Encontremos el valor de la incógnita a.
23 = a, a = ?
Puesto que: 3 a = 2
log2 a = 3
56
•
Puesto que: 5 a = 2
log2 a = 5
Completemos en el cuaderno el siguiente ejercicio:
2
32 = ?
9 = ?
log3 9
•
•
MATEMÁTICAS 6º
25 = a, a = ?
= ?
Escribamos en el cuaderno las siguientes dos columnas de datos y tracemos
una flecha que una la expresión con el resultado respectivo.
log2 64
2
3
125
1
log3 81
5
4
10.000
6
log10 100
10
16
343
73
4
En cada segundo, el número de bacterias en un determinado proceso se
triplica. Si de este tipo de bacterias inicialmente se tienen 3 en un tubo de
ensayo, ¿cuántas bacterias se tendrán al cabo de 5 segundos?
57
Realiza los siguientes ejercicios:
POSTPRIMARIA RURAL
•
a)
52
d)
b) 3 4 6
e)
3
4 x 64
9 x4
24
64
c) 3
8
•
Simplifica las siguientes expresiones. Para tal fin:
a) Descompón la cantidad subradical en factores primos.
b
Aplica la propiedad que dice: p mp = m
Ejemplo: 4 81
81
3
27
3
9
3
3
3
81 = 34
1
Luego: 4 81 = 4 34 = 3
58
1) 3 27
4) 3 343
2) 5 32
5)
3) 4 256
6) 3 1.000
256
U
2
N
APRENDAMOS
QUE ES LA
LÓGICA
D
I DA
D
MATEMÁTICAS 6º
DA
•
•
U
NI
○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○
INFORMÉMONOS
ACTIVIDAD 1.
(Trabajo individual)
Lee lo siguiente:
HISTORIA DE LA LÓGICA
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
Aristóteles el gran filósofo griego nacido en Estagira, fue el iniciador de la lógica
al conseguir sistematizar los procesos de razonamiento en un número reducido
de reglas independientes del significado particular de las proposiciones que
conforman el tema discutido.
Así se considera la lógica como el arte de guiar correctamente a la razón en el
conocimiento de las cosas.
Como en otras disciplinas del saber, la influencia de Aristóteles permaneció
inalterada hasta el siglo XVII, época en la que el filósofo y matemático alemán
Leibnitz desarrolla la lógica simbólica y propone un lenguaje científico universal
comúnmente llamado “Característica Universal” y un cálculo de razonamiento
para la manipulación de aquel lenguaje. Pero este programa de Leibnitz no
llegó a feliz término.
Sin embargo en 1847 el inglés George Boole crea el “álgebra booleana”, la
cual es la base para el posterior desarrollo de la lógica. Es así que en una obra
59
POSTPRIMARIA RURAL
se consigue por primera vez un cálculo manejable y completo aplicando en
forma sistemática operaciones de tipo matemático a la lógica.
Como en muchos otros pasajes de la historia de la ciencia, la obra de Boole no
fue reconocida en su época al no recibir buena aceptación, y no fue hasta
que Bertrand Russell y Alfred Whitehead utilizaron la lógica simbólica en su obra
“Principia Mathematica”, que el mundo de la matemática dio importancia a
las ideas propuestas por Leibnitz alrededor de 250 años antes.
Para cualquier persona es importante comunicarse de una manera inteligente
con los demás por lo cual se hace necesario adquirir capacidad para analizar
los argumentos de los otros. Es así que la lógica es una parte importante del
mundo que nos rodea y ahora veremos cómo podemos ser más lógicos, es
decir darle sentido a expresiones como: “Eso es lógico”,“necesariamente...”, o
“es suficiente que ...”, etcétera.
ACTIVIDAD 2. (Trabajo individual)
Lee el siguiente texto:
Juan estudia en la escuela Cariongo del municipio de Pamplona, llega a las ocho de la
mañana, saluda a los profesores y compañeros.
Está establecido que los dos primeros alumnos en llegar al salón de clase, deben colocarle
agua a las matas.
Después de su llegada Juan se sienta y se alista a iniciar sus clases.
60
-
¿Quién fue el primer alumno en llegar?
-
¿Cuál de mis alumnos no ha saludado?
-
¿Cuáles alumnos trajeron el equipo de deporte?
•
En el anterior texto busca lo siguiente:
MATEMÁTICAS 6º
Cuando el profesor llega al salón hace las siguientes preguntas:
1. Tres expresiones
ACTIVIDAD
2. que puedan ser verdaderas.
2. Tres expresiones que puedan ser falsas.
3. Dos expresiones de las cuales se pueda decir que no son ni verdaderas, ni falsas.
En grupo:
Reúnete con otros dos compañeros y discute la verdad o falsedad de cada
una de las expresiones que sacaste del texto anterior.
Junto a tus otros dos compañeros analiza la verdad o falsedad de las siguientes
expresiones:
1.
¿Cuál fue el primer alumno en llegar?
2.
¿Cuál de mis alumnos no ha saludado?
3.
¿Cuáles alumnos trajeron el equipo de deporte?
4.
¡Oh Dios mío!
5.
¿Pensarás en mí?
6.
La vaca es un cuadrilátero.
7.
Colón descubrió América.
8.
Santafé de Bogotá es la capital de Colombia.
61
POSTPRIMARIA RURAL
INFORMÉMONOS
En lógica, a estas expresiones o enunciados de los que podemos decir, que son
verdaderos o falsos ( pero no ambos a la vez ) se les llama proposiciones
simples.
A la verdad o falsedad de una proposición simple se le llama valor de verdad
de la proposición , generalmente usamos las letras p, q, r... para representar
proposiciones.
ACTIVIDAD 3. (Trabajo individual)
Analiza las siguientes expresiones usadas en el
lenguaje diario:
1. Voy a la ciudad y compro semillas para sembrar.
2. Si mañana no llueve, entonces llevo al niño al puesto de salud.
3. Juan revisa su tarea, o le pone agua a las matas.
•
Con el primer enunciado “Voy a la ciudad y compro semillas para sembrar”,
haz lo siguiente:
a. Saca las proposiciones simples que lo conforman.
b Establece el valor de verdad de ellas.
c. Escribe la palabra que conecta las proposiciones simples del enunciado.
•
Haz lo mismo con los otros dos enunciados.
•
Usa las palabras “y”, “o”, “entonces”, “si y solamente si” y con ellas une o
conecta proposiciones simples.
62
Hay enunciados formados por dos proposiciones simples, como los tres anteriores,
a los cuales podemos llamar proposiciones compuestas.
Las proposiciones simples de una proposición compuesta se suelen unir con
algunas palabras como: “y”, “o”, “entonces”, “si y sólo si”; a estas palabras
generalmente se les llama conectivos, enlaces u operadores lógicos.
La lógica simbólica tomó del lenguaje natural las palabras “y”, “o”, “no”,
“si...entonces,...”, “si y sólo si”, para construir proposiciones compuestas a partir
de las simples.
Estas palabras reciben el nombre de conectivos, enlaces u operadores lógicos.
CONECTIVO
NOMBRE LÓGICO
SÍMBOLO
No...
Negación
~
...y...
Conjunción
∧
...o...
Disyunción
∨
si.., entonces...
Implicación o
→
condicional
...si y sólo si...
Doble implicación o
bi-condicional
↔
63
MATEMÁTICAS 6º
CONCLUYAMOS
POSTPRIMARIA RURAL
ACTIVIDAD 4. (Trabajo individual)
En español encontramos palabras que representan la negación de una expresión: no,
si, nada, ninguna...
•
Lee detenidamente las siguientes tres proposiciones y niégalas:
p: Colombia es un país.
q: 3 es un número par.
r:
La papa es un cereal.
•
Establece el valor de verdad de cada una de las proposiciones p, q
de sus negaciones.
•
Haz una tabla con sus valores.
∧
r, y también
CONSTRUYAMOS
EN GRUPO:
•
Con tres de tus compañeros analiza la siguiente proposición :
“Juan compra un kilo de arroz y un kilo de papa”.
Llamaremos p: “Juan compra un kilo de arroz” y q: “Juan compra un kilo
de papa”.
64
Con estas dos proposiciones pueden suceder cuatro casos:
1.
Que Juan compre un kilo de arroz y compre un kilo de papa.
2.
Que Juan compre un kilo de arroz y no compre un kilo de papa.
3.
Que Juan no compre un kilo de arroz y compre un kilo de papa.
4.
Que Juan no compre un kilo de arroz y no compre un kilo de papa.
•
Con tu grupo de trabajo analiza en cual de los cuatro casos anteriores la
proposición compuesta es verdadera.
•
Para mayor facilidad al final construyamos una tabla de verdad.
CONCLUYAMOS
El valor de verdad de una proposición compuesta depende del valor de verdad
de cada proposición simple que la conforma y del conectivo que las une.
En este ejemplo anterior la proposición p está unida a q por medio del conectivo
“y”.
Se simboliza por p ∧ q y se llama la CONJUNCIÓN.
La conjunción p ∧ q es verdadera solamente cuando p ∧ q son verdaderas,
en los demás casos es falsa.
65
MATEMÁTICAS 6º
•
POSTPRIMARIA RURAL
p
q
p∧ q
V
V
V
V
F
F
F
V
F
F
F
F
APLICA LO APRENDIDO
ACTIVIDAD 5. (Individual)
•
Analiza las siguientes proposiciones y responde:
p:
Bogotá es la capital de Colombia.
q:
3 > 4
¿Qué valor de verdad tiene p ∧ q?
•
Considera las siguientes proposiciones y responde:
p:
América es un continente.
q:
El trigo es un cereal.
¿Qué valor de verdad tienen las preposiciones?
•
1) p
3) ∼ p
5) p ∧ q
7) ∼ p ∧ q
2) q
4) ∼ q
6) ∼ p ∧ ∼ q
8) p ∧ ∼ q
Escribe las ocho proposiciones anteriores en lenguaje natural.
66
MATEMÁTICAS 6º
CONSTRUYAMOS
ACTIVIDAD 6. (Trabajo en grupo)
•
Propongamos ejemplos de proposiciones compuestas utilizando la “o”.
Ejemplo:
- Voy a estudiar o voy a pasear.
- Compro un vestido o compro una cicla.
- Apruebo el año o me ponen a trabajar.
- Se necesita obrero que sepa carpintería o que sepa albañilería.
•
Analicemos lo que puede suceder en esta última situación:
1. Sabe carpintería o sabe albañilería.
2. Sabe carpintería o no sabe albañilería.
3. No sabe carpintería o sabe albañilería.
4. No sabe carpintería o no sabe albañilería.
•
Junto a otros dos compañeros analiza en cuál de las cuatro situaciones anteriores el
obrero será aceptado en el empleo.
CONCLUYAMOS
La proposición p unida con q por medio del conectivo “o” se llama disyunción
y tiene un valor falso solamente cuando las dos proposiciones simples son falsas.
67
POSTPRIMARIA RURAL
La disyunción es verdadera en los demás casos.
La “o” se representa por el símbolo ∨ y su tabla de verdad es:
p
q
p∨q
V
V
V
V
F
V
F
V
V
F
F
F
Esta clase de disyunción es llamada INCLUSIVA.
Algunas veces la disyunción es exclusiva y es la más utilizada en el lenguaje
usual; ésta es verdadera cuando sólo una de las dos proposiciones es verdadera,
en los otros casos es falsa.
PRACTIQUEMOS LO APRENDIDO
ACTIVIDAD 7. (Trabajo individual)
Considera las proposiciones simples:
68
p:
3 es menor que 5
q:
6 es un número entero.
Construye la proposición compuesta p ∨ q.
•
Haz una tabla de verdad para ella.
MATEMÁTICAS 6º
•
Considera ahora las dos proposiciones siguientes:
•
•
p:
En mi escuela hay pupitres.
q:
Venezuela no limita con Colombia.
En relación con ellas da el valor de verdad de cada una de las proposiciones que a
continuación encuentras.
1) p ∨ q
3) ∼ q
5) q ∨ ∼ p
2) ∼ p
4) ∼ q ∨ ∼ p
6) ∼ p ∨ q
Escribe las seis proposiciones anteriores en el lenguaje usual.
CONSTRUYAMOS
ACTIVIDAD 8.
(Grupo)
Analicemos el compromiso pactado entre Luis y Pablo: “si mañana pare la vaca, entonces,
le mando un litro de leche”.
Denominemos las proposiciones:
p:
Si mañana pare la vaca.
q:
Le mando un litro de leche.
69
POSTPRIMARIA RURAL
El cumplir el compromiso lo asimilamos con la verdad de la proposición
compuesta si p, entonces q.
•
Analicemos el valor de la proposición compuesta, teniendo en cuenta el
valor de verdad de las proposiciones que la componen.
1.
Si pare la vaca y le envía el litro de leche, Luis está cumpliendo el
compromiso.
2.
Si pare la vaca y no le envía el litro de leche, Luis no está cumpliendo el
compromiso.
3.
Si no pare la vaca y le envía el litro de leche, Luis está cumpliendo el
compromiso.
4.
Si no pare la vaca y no le envía el litro de leche, Luis está cumpliendo el
compromiso.
•
Cada uno responde la siguiente pregunta: ¿En qué caso usted le diría a
Luis: “No sea falso” usted no me cumplió el compromiso?
Analizando las cuatro situaciones anteriores vemos que el único caso donde
no se cumple lo pactado es el 2 , luego es falso.
CONCLUYAMOS
En matemáticas dos proposiciones simples unidas por el conectivo “entonces”
se llama implicación y se notan por p → q.
70
p
q
p→q
V
V
V
V
F
F
F
V
V
F
F
V
MATEMÁTICAS 6º
A p se le llama el antecedente y q el consecuente. Su tabla de verdad es:
De la tabla se concluye que la implicación es FALSA únicamente cuando el
antecedente es verdadero y el consecuente es falso.
ACTIVIDAD 9. (Trabajo en grupo)
Conforma grupos de trabajo de dos personas, construye una implicación en
que se pacte un compromiso entre los dos.
Una vez pactado y escrito el compromiso, analiza en qué casos no se cumple lo
pactado.
RESALTEMOS
El dominio y manejo adecuado de la implicación, es determinante para la
construcción y comprensión del conocimiento matemático.
71
POSTPRIMARIA RURAL
Es lógico, filósofo y matemático Bertrand Russell define la matemática
como el estudio de todas las proposiciones p → q
INFORMÉMONOS
La implicación si p, entonces, q se puede escribir de diferentes formas como:
a) q si p
b) Si p, q
c) p es suficiente para q
Ejemplo: La implicación.
Si llueve, entonces, se moja la tierra, también se puede expresar así:
1. Se moja la tierra, si llueve.
2. Si llueve, se moja la tierra.
3. Es suficiente que llueva para que se moje la tierra.
EJERCITEMOS LO APRENDIDO
ACTIVIDAD 10. (Individual)
Resuelve los siguientes ejercicios:
1. Sea la expresión: Si hoy es lunes, mañana es martes. Escribe simbólicamente la
anterior expresión y analiza su valor de verdad.
72
Sean p:
q:
5 = 2 + 3
1 < 6
MATEMÁTICAS 6º
2.
¿Qué valor de verdad tienen las siguientes proposiciones compuestas?
a) p → q
c) q → p
e) ∼ p → ∼ q
b) ∼ p → q
d) ∼ q → ∼ p
f) p → ∼ q
CONSTRUYAMOS
ACTIVIDAD 11. (Trabajo en grupo)
Consideremos y analicemos la siguiente
situación:
•
La experiencia nos enseña que si una persona está viva, respira y si respira entonces
está viva.
•
De esta expresión saquen dos proposiciones simples y llámenlas “p” y “q”.
•
Con el enunciado que acaban de leer formen dos proposiciones y únanlas por
medio de y.
•
Fácilmente llegan a la proposición compuesta (p → q) ∧ (q → p).
CONCLUYAMOS
En matemáticas (p → q) ∧ (q → p) es una expresión compuesta la cual se
llama bicondicional, doble implicación o equivalencia y generalmente se
simboliza por: p ↔ q.
73
POSTPRIMARIA RURAL
Su tabla de verdad:
p
q
p↔q
V
V
V
V
F
F
F
V
F
F
F
V
Como se puede concluir de la tabla, la equivalencia es verdadera únicamente
cuando las dos proposiciones simples p y q son ambas verdaderas o ambas
falsas.
PRACTIQUEMOS LO APRENDIDO
ACTIVIDAD 12. (Individual)
•
Construye dos proposiciones simples y únelas por el conectivo bicondicional.
•
Analiza la verdad o falsedad en cada situación.
74
TRABAJEMOS CON CONJUNTOS
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
MATEMÁTICAS 6º
○
ACTIVIDAD 1. (En grupo)
Leamos:
Reseña Histórica
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
A pesar de que el concepto intuitivo de conjunto es tan antiguo como el mismo hombre,
sólo hasta finales del siglo XIX la Teoría de Conjuntos se desarrolló en forma rigurosa
y sistemática. Fue el matemático alemán George Cantor (1845-1918) la persona que
propuso una nueva forma de ver y estudiar conjuntos al introducir nuevas ideas
matemáticas muy revolucionarias para su época. Fueron tan profundas estas ideas que
muchos de sus colegas, ante la incapacidad de entenderlas, llegaron hasta tildarlo de
loco con tan mala suerte que estos ataques le produjeron una crisis nerviosa y terminó
su existencia en un hospital para enfermos mentales.
De entre las novedosas ideas desarrolladas por Cantor para estructurar la Teoría de
Conjuntos podemos extractar dos fundamentales: la correspondencia 1-1 o apareo y la
de conjunto contable o enumerable. Con todas sus ideas llegó a argumentar que existen
en matemáticas casos o situaciones un tanto extrañas como por ejemplo: “El todo no
es mayor que cada una de sus partes”. Así logra sacar a algunas personas de lo inmediato
natural e intuitivo y ubicarlas en niveles más altos de pensamiento.
La real importancia de los conjuntos en la matemática radica en el hecho de que basados
en ellos se pueden fundamentar, sistematizar, y desarrollar todos los temas de esta
disciplina del conocimiento.
•
Busquemos en el diccionario las palabras desconocidas.
•
¿Por qué son importantes los conjuntos?
75
POSTPRIMARIA RURAL
ACTIVIDAD 2. (Trabajo individual)
Con los conocimientos que tienes sobre
conjuntos realiza lo siguiente:
•
En un rectángulo representa todos los animales de tu finca. Dentro de él, representa
por medio de círculos o de otras figuras geométricas, los siguientes animales también
de tu finca: aves, mamíferos, perros, gallinas.
•
En la situación y representación anterior responde las siguientes preguntas:
1. ¿Todas las gallinas son aves?
2. ¿Ninguna gallina es un ave?
3. ¿Algunos mamíferos son perros?
4. ¿En tu finca hay aves que sean mamíferos?
5. ¿Dentro de los mamíferos están todos los perros?
6. ¿En tu diagrama no hay perros que sean aves?
7. ¿Las aves están dentro de los animales?
8. ¿Las aves no tienen elementos en común con los mamíferos?
76
•
MATEMÁTICAS 6º
ACTIVIDAD 3. (Trabajo en grupo)
Reúnete con otros compañeros y discute con ellos el siguiente cuestionario:
a. ¿Cuál sería para ti el conjunto referencia en la situación anterior?
b. ¿Enumera todos los subconjuntos que encuentres en dicho ejemplo?
c. ¿De todos los conjuntos anteriores en cuáles se pueden contar los elementos y
este proceso de contar termina?
d. ¿Qué puedes decir del conjunto de las gallinas con respecto al conjunto de las
aves?
e. ¿Qué puedes decir del conjunto de las aves con respecto al conjunto de los
animales?
f. ¿En esta situación encuentras algún conjunto en el cual el proceso de contar no
termine?
•
Comparemos y discutamos las respuestas con las de nuestros compañeros.
a. ¿Cuáles se parecen?
b
¿Cuáles son diferentes?
c. Discutamos y hallemos entre todos la razón.
d. Escribamos los resultados de la discusión.
77
POSTPRIMARIA RURAL
CONCLUYAMOS
En matemáticas y en situaciones como las del ejemplo tratado en las actividades
1, 2 y 3 usamos los siguientes conceptos.
En teoría de conjuntos se acostumbra determinar un conjunto que contenga a
todos los demás involucrados en un problema a resolver. Este conjunto recibe el
nombre de referencial.
Un conjunto formado por un número de elementos diferentes que se pueden
contar y en el cual el proceso de contar termina en alguna parte, recibe el
nombre de conjunto finito.
Si el proceso de conteo no termina se llama Conjunto infinito.
Se dice que un conjunto M es subconjunto de un conjunto N si, y solamente si,
todo elemento de M es también un elemento de N. Lo anterior se nota por M
⊂ N.
NOTA: El conjunto vacío es subconjunto de cualquier conjunto, o sea, φ ⊂ A,
para cualquier conjunto A.
RECORDEMOS
Un conjunto se determina por comprensión cuando se da una propiedad, regla
o ley que deben cumplir todos los elementos del conjunto.
Ejemplo:
A = {x / x es una letra anterior a m en el alfabeto}
Recordemos que la barra “/” significa “tal que” o “tales que”.
Cuando al representar un conjunto escribimos todos y cada uno de los elementos
que lo conforman, se dice que el conjunto se nota por extensión.
78
MATEMÁTICAS 6º
APLIQUEMOS LO APRENDIDO
SOBRE CONJUNTOS
ACTIVIDAD 4. (Trabajo en grupo)
Realizamos los siguientes ejercicios:
1. Sea P el conjunto de los números naturales menores que 8.
a. Notemos P por extensión.
b. Notemos P por comprensión.
2. Dados los siguientes conjuntos expresémoslos por extensión
A = {x / x es planeta del sistema solar}
B = {x / x es cordillera de Colombia}
C = {y / y es vereda de nuestro municipio}
3. Digamos cuáles de los siguientes 5 conjuntos son finitos y cuáles son infinitos.
A = Conjunto formado por los días de la semana.
B = Conjunto de veredas de tu municipio.
C = Conjunto formado por estrellas del firmamento.
D = Conjunto formado por los alumnos de mi salón de clase.
E = Conjunto formado por los números naturales.
79
4. En la escuela Cariongo consideremos los siguientes conjuntos.
POSTPRIMARIA RURAL
A = {Los alumnos de 5º grado}
B = {Los alumnos mayores de 12 años}
C = {Los alumnos que hacen parte del equipo de fútbol de la escuela}
D = {Los alumnos que viven a menos de 1 kilómetro de la escuela}
Encontremos cuál es el conjunto referencial más apropiado para el caso de los
conjuntos A, B, C, D.
5. Consideremos el conjunto referencial H = {y / y es río de Colombia}
Construyamos 3 subconjuntos de H.
6. Consideremos el conjunto M = {1, 0, 2} analicemos si la expresión es falsa o
verdadera.
a) 1 ∉ M
c) 5 ∈ M
b) 2 ∈M
d) 0 ∉ M
7. El conjunto S de los colores del arco iris los podemos notar por extensión de la
siguiente manera S = {violeta, rojo, naranja, verde, azul, amarillo} Notemos este
conjunto por comprensión.
8. De los siguientes conjuntos digamos cuáles son vacíos.
a) El conjunto de matas de papa que producen plátanos.
b) El conjunto de ríos de la tierra.
c) El conjunto de personas vivientes mayores de 30 años.
d) El conjunto de pares entre 4 y 8.
80
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
MATEMÁTICAS 6º
REALICEMOS OPERACIONES
ENTRE CONJUNTOS
○
ACTIVIDAD 1. (Trabajo individual)
Considera los siguientes conjuntos:
M = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20}
M es el conjunto referencial.
N = Conjunto de los pares menores que 15.
X = Conjunto de los múltiplos de 2 que están en M.
Y = Conjunto de los divisores de 20 que están en M.
Con estos conjuntos haz el siguiente trabajo:
1) Determina los conjuntos N, X y Y escribiendo sus elementos.
2) Reúne los múltiplos de 2 que estén en M y los pares menores que 15 en un sólo
conjunto.
3) Haz lo mismo con los elementos de X y con los de Y.
4) Forma el conjunto compuesto por los divisores de 20 y que a su vez sean múltiplos
de 2.
5) Forma el conjunto compuesto por los divisores de 20 y que a su vez sean pares
menores que 15.
6) Forma el conjunto de elementos que sean múltiplos de 2 y que no sean divisores de
20.
81
POSTPRIMARIA RURAL
7) Determina el conjunto formado por los pares de 15 y que no sean divisores de 20.
8) Forma el conjunto de los elementos de M que no estén en el conjunto X.
9) Forma el conjunto de los elementos de M que no estén en el conjunto N.
ACTIVIDAD 2. (En grupo)
Comparamos y discutimos todos y cada uno de los conjuntos formados en la actividad
número 1.
Con los conocimientos sobre conjuntos obtenidos en cursos anteriores, tratemos de
definir las operaciones empleadas para formación de los conjuntos obtenidos en los
pasos 2), 3), 4), 5), 6), 7), y 8) de la actividad No. 1.
CONCLUYAMOS
Operaciones entre Conjuntos
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
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○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
Así como en aritmética operamos dos números para obtener otro número, en
conjuntos también se pueden combinar dos conjuntos para obtener un nuevo
conjunto acorde con determinadas reglas preestablecidas.
82
NOMBRE
SIMBÓLICAMENTE
DEFINICIÓN
SIMBOLIZACIÓN
(REGLA)
GRÁFICA
UNIÓN
AUB
= { x∈U / x∈A, ∨, x∈B }
INTERSECCIÓN
A∩B
= { x∈U / x∈A, ∧, x∈B }
DIFERENCIA
A-B
= { x∈U / x∈A, ∧, x∉B }
COMPLEMENTO
A’ = Ac = CA
= { x∈U, ∧, x∉A }
83
MATEMÁTICAS 6º
Las operaciones más comunes entre conjuntos son: la unión, la intersección, la
diferencia, y complemento, definiéndolas en las siguiente tabla:
POSTPRIMARIA RURAL
ACTIVIDAD 3. Practica lo aprendido
Realiza los siguientes ejercicios:
Sea U = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 }, el conjunto referencial,
y los conjuntos:
A = { 1, 3, 4, 5, 6 }
B = { 3, 6 }
C = { 7, 8, 10 }
Con los conjuntos anteriores, realiza las siguientes operaciones:
1) Ejemplo:
B ∪ C = { 3, 6, 7, 8, 10 }
Halla: A ∪ B, A ∪ C y represéntalos gráficamente.
2) Ejemplo:
A ∩ B = { 3, 6 }
ó,
Halla: A ∩ C, B ∩ C y represéntalos gráficamente.
84
∪ - A = { 2, 7, 8, 9, 10 }
MATEMÁTICAS 6º
3) Ejemplo:
Halla:
B - A, C - A, C - U y represéntalos gráficamente.
4) Ejemplo: B’ = { 1, 2, 4, 5, 7, 8, 9, 10 }
Halla:
A’, C’, U’, φ‘ y represéntalos gráficamente.
85
LA ESTADÍSTICA
POSTPRIMARIA RURAL
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
ACTIVIDAD 1. (En grupo)
Estudia qué son tablas de frecuencia:
•
Conforma grupos de trabajo con dos compañeros más. Cada uno de los compañeros
del grupo responde: ¿Cuántos hermanos vivos tiene actualmente?
•
El conteo se realiza en una tabla como la siguiente:
Número de Hermanos
Número de Alumnos
0
2
1
3
2
4
3
5
4
2
5 ó más
6
Total
86
22
En la segunda fila debe aparecer el número de alumnos que tienen 1 hermano
vivo, o sea, que hay tres alumnos que tienen un hermano vivo.
En la tercera fila debe aparecer el número de alumnos que tienen dos hermanos
vivos. Hay 4 alumnos que tienen 2 hermanos vivos. Y así sucesivamente.
•
Elaboramos una tabla como la anterior para la primera actividad que
realizamos.
Analicemos otro ejemplo:
Supongamos que los siguientes datos corresponden a las edades de los alumnos
de nuestro salón de clase.
Edad
(En años cumplidos)
Número de alumnos
10
2
11
9
12
18
13
13
14
5
15
3
Total
50
87
MATEMÁTICAS 6º
En la primera fila debe aparecer el número de alumnos que tienen 0 hermanos
vivos, o sea, hay dos alumnos que no tienen hermanos vivos.
POSTPRIMARIA RURAL
•
Cada uno analiza y responde según la tabla anterior.
a) ¿Cuántos alumnos tienen 10 años?
b) ¿Cuántos alumnos tienen 13 años?
c) ¿Cuántos alumnos tienen 10, 11 ó 12 años ?
d) ¿Cuántos alumnos tienen menos de 14 años?
e) ¿Cuántos alumnos tienen 14 o más años?
•
Con los datos de la anterior tabla donde está registrada la edad de los
alumnos, construimos una gráfica con líneas de tal manera que la altura de
la línea me indique el número de alumnos que tienen la edad determinada.
•
Analicémosla.
Nº de alumnos
18
16
14
12
10
8
6
4
2
0
10
11
12
13
14
15
EDAD
•
Elaboramos una tabla con la edad de los alumnos de la escuela y la
representamos gráficamente.
88
Analiza el siguiente ejemplo:
Supón que los siguientes datos corresponden al número de bultos de papa
vendidos durante los últimos 20 días.
8
6
7
6
6
9
10
4
9
8
5
6
7
6
6
8
8
8
10
5
Los anteriores datos se pueden organizar en la siguiente tabla y para esto
contamos el número de días en los cuales se vendió un número determinado
de bultos de papa.
Bultos de papas
Número de días
4
1
5
2
6
6
7
2
8
5
9
2
10
2
Total = 20
Analiza y responde:
a) ¿Cuántos días se vendieron 4 bultos de papa?
b) ¿A qué porcentaje corresponden estos días en relación con el total de días?
c) ¿Cuántos días se vendieron 10 bultos de papa?
d) ¿A qué porcentaje corresponden estos días en relación con el total de días?
e) ¿Cuántos días se vendieron más de 8 bultos de papa?
89
MATEMÁTICAS 6º
ACTIVIDAD 2. (Trabajo individual)
POSTPRIMARIA RURAL
Analiza lo siguiente:
Los datos correspondientes de la tabla anterior, se pueden representar utilizando
barras o rectángulos, de tal forma que la altura de la barra indique el número
de días.
Veamos:
Nº de días
ACTIVIDAD 3.
(En el cuaderno)
Realiza los siguientes ejercicios:
1.
Los presentes datos representan los nombres de los alumnos y el grado al
cual pertenecen en la escuela.
90
José
Grado 6º
Carlos
Grado 8º
Tania
Grado 6º
Armando
Grado 7º
Erika
Grado 6º
Helena
Grado 7º
Gabriela
Grado 6º
Liliana
Grado 8º
María
Grado 7º
Cecilia
Grado 7º
Edgar
Grado 7º
Yanet
Grado 9º
Pedro
Grado 6º
José
Grado 6º
Eduardo
Grado 6º
Juan
Grado 8º
Humberto
Grado 8º
Angélica
Grado 9º
Luis
Grado 6º
Fernando
Grado 9º
Deysi
Grado 9º
a) Elabora una tabla como la siguiente y complétala.
Número de alumnos
MATEMÁTICAS 6º
Grados
b) Construye un diagrama en barras correspondiente a la anterior tabla.
2.
Realiza el ejercicio anterior con los alumnos de tu escuela.
ACTIVIDAD 4. (Trabajo en grupo)
INFORMÉMONOS
En estadística el número de veces que se repite un dato recibe el nombre de
FRECUENCIA ABSOLUTA o simplemente FRECUENCIA, mientras que la relación
que existe entre la frecuencia absoluta y el total de las frecuencias se llama
FRECUENCIA RELATIVA.
Para representar gráficamente una tabla de frecuencias se utilizan varios
métodos. Entre ellos están el DIAGRAMA LINEAL que se construye con líneas
rectas y el DIAGRAMA EN BARRAS que se construye con rectángulos.
91
POSTPRIMARIA RURAL
ACTIVIDAD 5. (Trabajo Individual)
Realiza los siguientes ejercicios:
1.
El siguiente diagrama lineal corresponde a la edad de 60 personas que
habitan en mi vereda.
12
10
8
Nº de personas
6
4
2
0
5
10
15
20
25
30 35
40
45
50
Edad en años
Con base en el diagrama lineal completa en el cuaderno la siguiente tabla de
frecuencias.
Edad
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
Total = 60
92
Frecuencia absoluta
Frecuencia relativa
Fracción Decimal Porcentual
MATEMÁTICAS 6º
Responde:
a) ¿Cuántas personas tienen 5 años?
b) ¿Cuántas personas tienen entre 10 y 20 años?
c) ¿Cuántas personas tienen edad menor de 15 años?
d) ¿Qué porcentaje representan las personas que tienen 5 años?
e) ¿Qué porcentaje representan las personas que tienen 40 años?
f)
¿A qué edad corresponde el 20%?
g) Construye el diagrama en barras correspondiente a la anterior tabla de
frecuencia.
93
○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○
CAPÍTULO 1:
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
ESTUDIEMOS QUE ES UNA FRACCIÓN
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
INTRODUCCIÓN
DESCRIPCIÓN DEL GEOPLANO
Un geoplano es un instrumento diseñado para enseñar y aprender temas de
matemáticas.
Consta de una tabla de 35 x 30 cm, a la cual se le clavan puntillas, colocadas
cada 2 cm, para formar un rectángulo con cuadritos de 2 x 2 cm.
Además se deben tener ligas de caucho para desarrollar las diferentes
actividades.
95
MATEMÁTICAS 6º
Números fraccionarios
POSTPRIMARIA RURAL
ACTIVIDAD 1. (Trabajo en grupo)
MATERIAL: Geoplano y ligas.
En grupos de tres estudiantes realiza lo siguiente:
1. En un geoplano encierra un cuadrado de 4 x 4.
2. Con una liga, divide este cuadrado en dos partes iguales.
3. Discute con tus compañeros qué nombre le pondrías a cada una de estas partes.
4. Ahora quita la liga y divide el cuadrado en cuatro partes iguales.
5. Discute con tus compañeros el nombre que le pondrías a cada parte.
6. Ahora forma un segmento de 12 cm y divídelo en tres partes iguales.
7. Discute con tus compañeros qué nombre le pondrías a cada parte.
8. Haz una réplica de los puntos 6 y 7 utilizando el geoplano.
9. En unión con los demás grupos y tu profesor, acuerda el nombre técnico dado a
cada una de las partes de los incisos 3, 5 y 7.
10. Halla la relación entre un cuarto y un medio.
ACTIVIDAD 2.
(Trabajo Individual)
Instrucciones:
Ejemplo: La siguiente gráfica es una partecita de un geoplano.
96
2. Dibuja una parte de un geoplano y raya en él los
2
de la figura que tomes (puedes
5
tomar un cuadrado o un rectángulo).
3. Dibuja ahora un segmento y toma en él exactamente los
2
5
4. Dibuja ahora un rectángulo de 64 cm2 de área y raya en él las
3
8
partes.
5. Dibuja ahora un cuadrado de 64 cm2 de área y raya en él la tercera parte y dí qué
otro nombre le puedes dar a esta tercera parte.
ACTIVIDAD 3. (En grupo)
1. Dibuja una semirrecta numérica. Toma en ella el 2, seguidamente aplícale el
operador 2x y el operador 3x a ese 2, y dibuja sobre la semirrecta el resultado.
2. Analiza con tus compañeros el efecto del operador 2x y del operador 3x.
3. Aplica el operador 3x al área 12 cm2.
4. Aplica el operador 4x al área 6 cm2.
5. Dibuja nuevamente la semirrecta numérica y aplica al 9 el operador
6. Aplica ahora el operador
1
x
3
1
x al área 12 cm2.
4
7. Toma un área de 15 cm2 y aplícale ahora el operador
2
x
3
(Ayuda: Aplica primero el operador 2x y luego al resultado aplica el operador
x).
97
1
3
MATEMÁTICAS 6º
1. Di qué nombre le daría a la parte rayada de la figura.
POSTPRIMARIA RURAL
8. Analiza con tus compañeros de grupo el efecto del operador
2
x al aplicarlo al 15.
3
9. Aplica al 12 cada uno de los operadores siguientes:
a)
2x
c)
1
x
4
b)
d)
3
x
4
3
y discute con tus compañeros con cuáles de estos operadores disminuyó y con
cuáles aumentó el 12.
10. Aplica por separado los operadores
2
1
1
2
3
x, x, x, x, x, al 1, analiza y saca
3
2
4
5
2
algunas conclusiones de este ejercicio.
11. Da un nombre específico (ya conocido por ustedes) a los términos a ∧ b de
la fracción
a
b
12. Con tus compañeros lee las siguientes fracciones:
a)
2
3
b)
1
5
c)
4
3
d)
1
10
e)
3
8
f)
6
10
g)
3
35
h)
5
6
i)
2
21
CONCLUYAMOS
Un operador de la forma ax, donde a = 2, 3, 4... cuando se aplica a una
magnitud la duplica, la triplica, cuadruplica, etcétera.
98
1
x con b = 2, 3, 4, 5,...
b
cuando se aplica a una magnitud, la reduce a la mitad, a la tercera parte, a la
Recordemos también que un operador de la forma
1
1
1 1
x también se puede escribir como ( ), , *( ), etcétera.
b
b
b b
cuarta parte etc,
CAPÍTULO 2: Fracciones Equivalentes
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
Aquí el rectángulo grande lo dividimos en 4 partes
iguales.
¿Qué nombre darías a cada parte?
En este caso el rectángulo fue dividido en 8 partes.
¿Qué nombre darías a cada parte?
En este último caso dividimos el rectángulo en 16
partes.
¿Qué nombre darías a cada parte?
99
MATEMÁTICAS 6º
Recordemos que en algunos libros, en lugar de ax se usa a( ), a. a*( )etcétera.
POSTPRIMARIA RURAL
ACTIVIDAD 4.
(Trabajo individual)
1. Mide el rectángulo grande en cada caso.
2. Mide el rectángulo pequeño en cada caso.
3. Mide la parte rayada en cada caso.
4. Compara el área de la parte rayada en los 3 rectángulos.
Saca una conclusión comparando
1
2
con
4
8
y con
4
16
CONCLUYAMOS
En la actividad número 4 podemos llamar a las fracciones
1 2 4
, ,
, fracciones
4 8 16
equivalentes.
a
c
y
son dos fracciones, decimos que ellas son equivalentes si ad =
b
d
bc.
Si
Simbólicamente ad = bc entonces
100
a
c
=
b
d
Antes de realizar la actividad número 5, observa y analiza el siguiente ejercicio.
Vamos a aplicar el operador
3
x al 1 y seguidamente al resultado aplicarle el operador
2
3
4
3
x
2
a)
Apliquemos el operador
1.
3 x 1
2.
1
x (se le puede aplicar a 3)
2
b)
Al resultado anterior le aplicamos ahora el operador
Al aplicar el operador 3x a
al 1
3
x1
4
3
se obtiene:
2
3
9
3 x ( ) =
2
2
101
MATEMÁTICAS 6º
ACTIVIDAD 5. (En grupo)
Ahora aplicamos el operador
POSTPRIMARIA RURAL
2.
Al aplicar el operador
1
9
x a
4
2
1
9
x a
4
2
nos da
9
8
Con dos de tus compañeros realiza la siguiente
actividad:
1.
Aplica el operador
2
1
x al número 1 y luego aplícale el operador
al
3
3
resultado.
2.
Aplica el operador
1
2
al número 1 y luego aplícale el operador
x al
3
3
resultado.
3.
Haz lo mismo aplicando el operador
1
x al 1 y luego aplicando el operador
4
2
al resultado.
3
3
4
x al 1 y luego el operador
x al resultado.
2
3
4.
Aplica el operador
5.
En los cuatro ejercicios anteriores saca las fracciones equivalentes.
102
CAPÍTULO 3:
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
MATEMÁTICAS 6º
○
Mecanicemos las Operaciones
con Fracciones
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
SUMA Y RESTA DE FRACCIONARIOS
ACTIVIDAD 6. (Trabajo en grupo)
1. Dibuja un rectángulo de 10 cm de largo por 2 de ancho y divídelo en 5 partes
iguales.
3
5
2. Raya los
de este rectángulo.
3. Divide nuevamente el rectángulo en 5 partes y raya 4 de esas partes.
4. Dibuja las
3
4
partes y las partes que rayaste y colócalas pegadas o sea, añádelas.
5
5
5. Da el resultado de esta actividad.
6. Sin hacer la gráfica haz directamente la suma de
2 3 1
+ +
5 5 5
7. Dibuja ahora un rectángulo de 12 cm de largo por 2 de ancho y divide en 6
partes iguales.
8. Raya las
5
del rectángulo.
6
9. Con otro rectángulo raya
•
3
de él.
6
Sumemos las partes rayadas o sea,
1
2
+
1
3
103
POSTPRIMARIA RURAL
10. De estas partes rayadas escoge la más grande y quítale la más pequeña. Dibuja tu
respuesta.
11. Haz lo mismo (sin hacer la gráfica) de la resta de
5 2
7 7
12. Con tus compañeros trata de deducir la respuesta para las dos operaciones siguientes:
a
b
+
=
c
c
a
b
=
c
c
y
ACTIVIDAD 7. (Trabajo con el profesor)
1. Tenemos el siguiente rectángulo 6 x 2 cm.
•
Tomemos en él
•
104
Tomemos ahora
1
2
de la región
1
3
1
2
del rectángulo.
1
3
del rectángulo.
del rectángulo.
1 1
2 3
Sumemos las partes rayadas osea, +
1
2
•
+
MATEMÁTICAS 6º
•
1
3
El resultado se ve más fácilmente si se divide el rectángulo en medio tercios,
cuartos, quintos y sextos etc., de manera que la puedan comparar con la
región final.
1
2
2.
+
1
3
=
5
6
Haz lo mismo con un conjunto de 12 piedras, dibújalas.
Tomas
1
4
de ellas y súmales
2
3
de ellas (en 2 montoncitos).
¿Dí cuál es el resultado final de la suma?.
3.
a
b
Deduce con tres compañeros y tu profesor el resultado de sumar
+
c
d
= ? con b ≠ d.
4. En la semirrecta numérica haz la suma de
2
3
con
5. Usa la semirrecta numérica para la resta siguiente:
6. Usa la semirrecta numérica para la resta siguiente:
3
4
4 2
−
5 5
4 3
−
3 5
7. En la semirrecta numérica realiza la siguiente operación:
5
3
+
1
4
-
1
2
1
2
(Ayuda: haz primero la suma y al resultado le restas )
105
POSTPRIMARIA RURAL
Multiplicación y
Division de Fraccionarios
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
ACTIVIDAD 8. (Dirigido por el profesor)
La multiplicación de fracciones ya se estudió en una actividad anterior en la que
aplicábamos 2 operadores sucesivamente al 1.
Enfoquemos la multiplicación de otra manera.
Multiplicar dos fracciones
dimensiones
a
b
a c
x , significa representar un rectángulo que tenga como
b d
de alto y
c
de largo.
d
El producto lo relacionamos con el área de dicho rectángulo.
•
La expresión que representa dicho producto es:
a
b
•
•
c
d
=
x
x
a.c
donde y = b.d
y
Ahora realiza el siguiente ejercicio:
a) Construye un rectángulo (en este caso es la unidad) y sitúa en una de sus
dimensiones los
3
4
106
3
4
2
5
MATEMÁTICAS 6º
b) En la otra dimensión sitúa los
c) Raya la región rectangular comprendida entre las regiones ubicadas anteriormente.
d) El número de rectángulos que quedan rayados con respecto al total en que quedó
dividida la unidad es el resultado. En nuestro caso la unidad quedó dividida en 20
partes iguales y de éstas aparecen rayadas 6, entonces la fracción resultante es
e)
3
2
6
x
=
4
5
20
x
y
=
6
6
20
(3 x 2 = 6 numerador)
20
(4 x 5 = 20
denominador)
3 2
x
5 3
•
Haz lo mismo con el producto
•
Haz la multiplicación de
•
Idéate un método, junto a tus compañeros, para dividir el fraccionario
3
3 3
x
Ayuda: para tomar usa dos rectángulos unidad).
2 4
2
3
2
por
5
2
haz algo parecido a lo que hiciste con la multiplicación de fraccionarios.
107
POSTPRIMARIA RURAL
CONCLUYAMOS
Para sumar fraccionarios que tengan igual denominador, se suman los
numeradores y se coloca el mismo denominador:
a
c
+
b
c
+
d
c
=
a + b + d
c
Para sumar fraccionarios con diferente denominador se reducen primero al
mínimo común denominador y luego se suman como en el caso anterior:
a
c
ad + cb
+
=
b
d
bd
Para restar fraccionarios de igual denominador se restan los numeradores y se
coloca el mismo denominador:
a
b
a - b
=
c
c
c
Para restar fraccionarios con diferente denominador se reduce primero al mínimo
común denominador y luego se restan los numeradores como en el caso anterior:
a
c
ad - cb
=
b
d
bd
Como ya se vio anteriormente, para multiplicar fracciones se multiplican los
numeradores entre sí y los denominadores entre sí. Para la división se multiplica
el dividendo por el recíproco del divisor:
a
c
a
d
ad
÷
=
x
=
b
d
b
c
bc
108
MATEMÁTICAS 6º
ACTIVIDAD 9. (Trabajo individual)
Evaluemos lo aprendido:
1. Lee las siguientes fracciones:
3
2
d)
2. Da la relación existente entre
1 1
y
3 6
a)
2
3
b)
1
5
c)
4
7
1
8
e)
3. En las columnas A y B busca las fracciones equivalentes y únelas por una flecha.
(Haz este ejercicio en tu cuaderno).
A
B
A
B
20
32
24
9
5
6
15
27
11
17
14
21
15
30
35
42
2
3
5
8
90
162
5
7
8
3
55
85
45
63
1
2
109
POSTPRIMARIA RURAL
4. En cada caso halla el operador que se aplicó al número representado en la
semirrecta X para obtener el número representado en la semirrecta Y.
5. Realiza directamente las siguientes operaciones:
110
a)
2
5
+
3
2
f)
1
2
3
•
8
3
2
b)
1
3
+
4
8
g)
1
1
÷
2
4
c)
2
3
1
+
5
2
4
h)
3
4
÷
8
5
d)
1
1
3
6
i)
8
1
1
−
+
3
2
6
e)
4
2
•
5
3
j)
8
3
•
1
2
-
1
6
6. Aplica sucesivamente los operadores que se dan, al número 1.
2
1
y
3
4
c)
4
2
y
3
5
b)
3
1
y
5
3
d)
2
1
y
3
5
8
1
y
3
2
e)
MATEMÁTICAS 6º
a)
7. Da dos fracciones equivalentes a cada una de las respuestas del ejercicio
anterior.
ACTIVIDAD 10. (Trabajo en grupo)
Problemas para aplicar
las cuatro operaciones
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
1) Si en tu familia la fracción
○
○
○
○
3
representa las mujeres, indica la fracción que representa
5
los hombres.
2) Un vendedor de naranjas vendió a una señora
2
5
luego vendió,
3
y le quedaron
8
19 naranjas.
¿ Cuántas naranjas tenía al principio?
3) Un granjero tiene 1.200 m de alambre, gasta
2
2
en una cerca y los en encerrar
10
3
un potrero.
¿ Cuántas metros de alambre le sobraron?
111
POSTPRIMARIA RURAL
4) ¿Puedes creerle a un obrero que afirma lo siguiente?
El primer día sembré los
3
4
de la huerta y al siguiente día sembré los
de la
5
7
misma.
Explica tu respuesta.
5) Si 3 de cada 5 niños de tu vereda asisten a tu escuela y la vereda tiene 420 niños.
¿Cuántos niños dejan de asistir a la escuela?
6) Si el perímetro de un cuadrado mide
80
40
¿Cuánto mide el lado?
7) Un obrero vendió 15 docenas y
1
de docena de plátanos por $ 920
3
¿A cómo vendió la docena? ¿A como vendió cada plátano?
8) Resolver:
a) Dá el resultado de aplicar el operador
1
x al 3
4
b) Dí qué le aplicas al 6 para obtener 3
c) A qué número se le aplicó el operador
112
1
para obtener 5
2
D
U
3
N
I DA
D
ESTUDIEMOS
GEOMETRÍA
MATEMÁTICAS 6º
DA
•
•
U
NI
○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○
EXPLORANDO EL ESPACIO
QUE NOS RODEA
○
ACTIVIDAD 1.
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
Leamos lo siguiente:
Desde tiempos muy antiguos el hombre ha sentido necesidad por conocer y tener
explicaciones racionales acerca de su medio ambiente y de los diferentes fenómenos
que a diario suceden en él.
En la búsqueda de este conocimiento la geometría juega un papel esencial ya que
permite entre otras cosas solucionar problemas que tienen que ver con ubicaciones en
el espacio, mediciones de objetos, eventos y fenómenos, apreciar las bellezas de la
naturaleza y las obras diseñadas o construidas por el hombre además de ser un
componente muy importante en la cultura de un pueblo.
Así tenemos que algunos hombres a través de la historia se han dedicado a descubrir,
crear, relacionar, ampliar y aplicar los conocimientos geométricos presentes en su época.
Dentro de estos hombres de ciencia podemos destacar a los griegos: Thales de Mileto,
Pitágoras de Samos y Euclides de Alejandría, quienes vivieron entre los siglos VI y III
a. c e iniciaron el estudio sistemático riguroso y deductivo de la geometría, a diferencia
de los conocimientos geométricos de otras civilizaciones como la babilónica con los
cuales sólo se solucionaban problemas de tipo práctico y muy particulares.
113
POSTPRIMARIA RURAL
Otros científicos a pesar de no haber contribuido con significativos aportes al desarrollo
de la geometría, sí fueron grandes propulsores de ésta. Así, tenemos el gran filósofo
griego Platón (429-348 a.C.) quien en sus famosos Diálogos resaltó la importancia de
la matemática y en especial de la geometría: “Nadie que ignore la geometría puede
pasar” decía un letrero a la entrada de la Academia de Atenas, sitio de reunión de
filósofos y eruditos griegos de la época.
ACTIVIDAD 2. (En grupos)
Discutamos las siguientes preguntas:
1. ¿Cuáles creen ustedes que fueron los primeros conocimientos geométricos que
manejó el hombre? ¿Dónde se manifestaron?
2. ¿Qué elementos geométricos aparecen en nuestro medio ambiente y vida cotidiana?
3. ¿Qué significado encontramos a las afirmaciones “ser un hombre recto”, “tener
posiciones verticales” ?
ACTIVIDAD 3. Estudia los puntos y las rectas
Analiza lo siguiente:
Si observamos la punta del lápiz, un semáforo, los ojos de una res, las pecas o lunares
de una persona, la esquina de un cubo, tenemos buenos ejemplos de lo que es punto.
Sin embargo la idea de punto es abstracta y se llega incluso al caso de considerarlo
como un término indefinido aun sabiendo que todos tenemos una idea más o menos
clara de lo que es el punto.
114
•
MATEMÁTICAS 6º
Eso que estamos pensando en este momento acerca de lo que es punto, es lo que es el
punto.
Observa los siguientes gráficos:
• ACTIVIDAD
Relaciona el concepto
2. de punto con cada una de ellos.
•
Ahora, toma tu lápiz y regla, coloca 2 puntos diferentes en el papel. ¿Cuántas
rectas pasan por estos dos puntos?
•
Si nos dan un solo punto, ¿cuántas rectas pasan por él?
CONCLUYAMOS
•
Una figura geométrica es un conjunto de puntos.
•
Por dos puntos diferentes A y B pasa una y solamente una recta.
Notación:
115
POSTPRIMARIA RURAL
ACTIVIDAD 4. (Individual)
1. Describe 5 situaciones físicas donde haya rectas.
2. ¿Por qué por dos puntos diferentes no puede pasar más de una recta?
3.
¿Cuántas puntos tiene una recta?
4.
Dada la siguiente recta y algunos puntos que pertenecen a ella, cuántas formas
diferentes de notación de la recta puedes encontrar?
5. Pinta tres o más rectas que pasen por un mismo punto.
En este caso se dice que las rectas son concurrentes.
6. ¿Dados tres puntos diferentes, ellos siempre estarán sobre la misma recta?
Sugerencia: haz gráficas y comprueba tus hipótesis.
116
Si dos o más puntos pertenecen a una misma recta, los puntos se dice que son
colineales. En caso contrario se dice que son no colineales.
Ejemplo:
A, B, C, D, E son puntos colineales.
A, B, C son puntos no colineales.
Responde:
1.
Dados 2 puntos diferentes, ¿qué se puede afirmar de ellos?
2.
Dados 4 o más puntos, ¿qué sucederá con respecto a la colinealidad?
3.
Explico con palabras qué significa que los puntos A, B y C son no colineales.
ACTIVIDAD 5.
Estudia la semirrecta y
segmentos.
Como has podido observar una recta tiene infinitos puntos y es continua en el trazo.
•
Ahora toma una recta y un punto A que pertenezca a ella.
Considera el punto A y todos los puntos de la recta que están a la derecha de A.
117
MATEMÁTICAS 6º
CONCLUYAMOS
POSTPRIMARIA RURAL
Esta figura geométrica se llama “semirrecta” y su punto inicial es A.
Para notarla seleccionamos un punto de ella diferente a A, por ejemplo B y su notación
➝
es AB.
Observe que:
Justifica esta aseveración con un gráfico a colores y descríbelo oralmente.
•
Dada la siguiente gráfica, haz una lista de todos las semirrectas diferentes que
podemos construir con punto inicial en M, N u O.
•
Pinta una recta cualquiera, ubica 2 puntos sobre ella y resáltalos junto a todos los
puntos de la recta que están entre ellos.
Este pedazo de recta resaltado se llama “segmento” y como puedes observar es un
conjunto de puntos, luego es también una figura geométrica.
Un segmento es un subconjunto de una recta el cual esta
formado por dos puntos llamados extremos y todos los puntos
de la recta que están entre los dos puntos
118
Ejemplo:
B
MATEMÁTICAS 6º
A
Notación: AB
Y se lee segmento AB.
Ejercicio:
•
Pinta dos segmentos tales que:
1. Su intersección sea un punto.
2. Su intersección sea más de un punto.
3. Su intersección sea vacío.
4. Su unión sea una letra mayúscula del alfabeto.
5. Pinta un árbol usando únicamente segmentos.
ACTIVIDAD 6. Estudia: ¿qué es el plano?
La palabra plano, al igual que punto y recta, representa un conjunto de puntos.
¿Pero qué tipo de conjunto de puntos?
Veamos:
•
Observa el piso y las paredes del salón.
•
Ahora imagina un libro con cubierta dura o la superficie del agua contenida en un
platón y en estado de quietud total o una lámina de madera colocada sobre una
mesa.
119
POSTPRIMARIA RURAL
Lo común de todas estas situaciones es un pedazo de plano. Eso es: lo que estás
pensando formado por dicho conjunto de puntos es lo que se llama plano, teniendo en
cuenta que el pedazo de plano se extiende en todas direcciones y así este plano no tiene
centro y es ilimitado.
•
Ahora en tu cuaderno pinta objetos con superficies planas y no planas.
Así como dos puntos diferentes determinan una recta, tres
puntos diferentes no colineales determinan un plano, es decir
existe un único plano que contiene los tres puntos.
INFÓRMATE
Representación del plano:
Para representar un plano en una hoja de papel o en cualquier superficie plana,
se acostumbra a pintar una figura como la siguiente:
α
Plano α
•
¿Qué relación existirá entre un plano y una recta, sabiendo que la recta
tiene dos de sus puntos en el plano? Sugerencia: Trabaja varios casos y
trata de sacar una conclusión.
120
•
¿Por qué será que los fotógrafos y topógrafos usan un objeto de tres patas
para colocar sus instrumentos y no un objeto de cuatro patas?
•
¿Por qué la mayoría de las mesas tienen cuatro patas y no tres?
•
¿Dada una recta, cuántos planos contienen la recta?
•
Los planos α, β, λ, contienen la recta AB . Hay muchos más.
INFÓRMATE
Como una recta contiene al menos dos puntos diferentes, entonces dada una
recta y un punto que no pertenece a la recta, va a existir un único plano que
contiene la recta y el punto dado.
A propósito de este hecho, trata de hacer un modelo real que lo ejemplifique;
(materiales: hilo para la recta , punta de un lápiz para el punto y una hoja de
papel para el plano).
121
MATEMÁTICAS 6º
Para pensar:
POSTPRIMARIA RURAL
Una recta AB y un punto que no pertenece a ella P, determina un plano α.
•
Ahora piensa en la recta determinada por la unión de la pared y el piso, y
un punto que puede ser la punta de la nariz de un compañero tuyo.
•
Una vez ubicada la recta y el punto trata de representarte mentalmente el
plano que contiene la recta y el punto.
•
Ahora con las paredes del salón de clase, selecciona 2 planos, observa y
responde:
¿Cuál será la intersección de esos 2 planos?
•
Trata casos similares.
Si dos planos diferentes se intersectan, entonces
la intersección es una recta,
A propósito de este hecho, elabora un modelo en papel o cartulina para
mostrarlo.
•
Toma dos pedazos de hilo, cabuya o bejuco. Con ellos representa dos rectas
diferentes que se intersecten.
¿Será que bajo estas condiciones siempre existirá un plano que las contenga?
122
existe un único plano que lo contiene.
DESAFÍO
1.
Considera tres planos diferentes. Describe con tus propias palabras lo que
constituye la intersección de los tres planos.
Sugerencias: Analiza diferentes casos y elabora gráficos o modelos en papel
para representar los diferentes y así las conclusiones serán más fáciles de
obtener.
2.
¿Qué figura se obtendrá de la intersección de la superficie de un balón con
un plano?
INFÓRMATE
Observa los siguientes objetos y responde:
•
¿En qué partes de estos objetos hay pedazos de planos? Las otras partes
corresponden a superficies curvas las cuales abundan en la naturaleza.
•
Da ejemplos de objetos con superficies curvas.
123
MATEMÁTICAS 6º
Si dos rectas diferentes se intersectan, entonces
SEPARACIÓN DEL PLANO
POSTPRIMARIA RURAL
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
Si tomamos una recta l en un plano π, es fácil observar que:
S2
S1
π
l
Los puntos del plano que no están en la recta forman 2 conjuntos S1 y S2 tales
que :
S1 y S2 son disyuntos, es decir no tienen puntos en común.
Si A ∈ S1 y B ∈ S2 entonces AB ∩ l ≠ φ, es decir AB intersecta la recta l.
Los conjuntos S1 y S2 se llaman semiplanos y la recta l se llama la frontera.
Concluye:
1.
¿Si C ∈ S1
2.
¿Si M ∈ l y N ∈ S2, qué puedes afirmar de MN ?
124
y D ∈ S2 , entonces?
Medir
○
○
○
○
○
○
Reflexiona. ¿Qué es medir?
Cuando vamos al mercado podemos observar y tomar parte en diversas y
variadas actividades que involucran conocimientos matemáticos.
Por ejemplo: Pedro compra 5 libras de plátano verde en un puesto y 8 libras de
plátano verde en otro puesto y los reúne.
Del nuevo conjunto podemos concluir:
1.
Los plátanos siguen siendo verdes, es decir, la propiedad de ser verdes no
cambió.
2.
Ahora el peso de todos los plátanos es de 13 libras, es decir, el peso cambió
con respecto al peso de cada conjunto inicial.
3.
El número de plátanos del nuevo conjunto se aumentó con respecto del
número de plátanos de cada uno de los primeros conjuntos.
Como se puede observar, al reunir los dos conjuntos, hubo propiedades que no
cambiaron, el caso del color verde; y otras que sí, como el peso y el número de
plátanos. A éstas últimas se les llama propiedades medibles y como se ve, se
pueden representar mediante números (13 libras); a las primeras se les llama
propiedades no medibles.
125
MATEMÁTICAS 6º
○
POSTPRIMARIA RURAL
CONCLUYAMOS
Medir es asignar números a las propiedades medibles
de los cuerpos de acuerdo con un patrón preestablecido,
es decir se compara la propiedad con una unidad
seleccionada de antemano.
Actividad 1.
(Trabajo individual)
•
Selecciona 3 objetos diferentes. Hállales propiedades que sean medibles y que no
lo sean. Selecciona una propiedad medible que sea común (si es posible) y observa
cómo es el cambio al considerar el conjunto formado por los tres objetos.
•
Haz lo mismo con una propiedad no medible.
•
¿Qué sucede si alguien te dice, cuánto mide tal o cuál cosa?
•
¿Qué haces tú para resolver este problema?
Al resolver las preguntas anteriores tú tomaste 2 puntos del espacio, observaste el
instrumento de medida y dijiste: mide tanto.
Matemáticamente hablando sucedió lo siguiente:
Hace mucho tiempo se seleccionaron 2 puntos del espacio y a este par de puntos se les
asignó el número 1 y se les llamó el par unidad (esto determina la graduación del
instrumento).
Ahora si se toman los 2 puntos extremos del segmento que se va medir, se lee el
instrumento y la medida queda hallada.
126
puntos del espacio, este número está determinado por el par
unidad seleccionado con anterioridad.
Para el caso de un segmento, sus extremos son dos puntos del espacio, luego
podemos asignarle un número a este par de puntos y este número se llama la
longitud del segmento o también la distancia entre esos dos puntos.
•
Analiza el siguiente ejemplo:
AB segmento determinado por A y B.
A
•
B
AB es la longitud de AB es decir AB está dado
por un número el cual depende del par unidad
relacionado con anterioridad.
Observemos que AB ≠ AB
Mide con tu propia unidad de medida:
•
Selecciona dos puntos del espacio, ese es tu par unidad.
•
Bautízalo con el nombre que quieras. Ahora consigue un pedazo de alambre
o algo por el estilo tan largo como la distancia que hay entre sus puntos
relacionados.
A continuación halla AB sabiendo que:
•
A es el extremo superior izquierdo de la raya de tu cuaderno y B el inferior
derecho.
•
A es tu corona y B la planta de tus pies.
127
MATEMÁTICAS 6º
Es decir, medir linealmente es asignar un número a cada par de
POSTPRIMARIA RURAL
•
A el punto donde estás y B el punto donde está el profesor.
•
Compara tus respuestas con las de algunos de tus compañeros .
¿Por qué algunas son diferentes a las tuyas?
•
Selecciona una unidad común para que la comunicación sea más fácil.
Ahora mide de nuevo y observa si hubo o no cambio en tus medidas.
•
A continuación tantea, usando tu unidad, el ancho del tablero y las
dimensiones de la mesa del comedor de tu casa. Comparte esta
experiencia con tus compañeros.
ACTIVIDAD 2.
Reflexiona.
¿Podemos medir ángulos?
Recuerda que una figura geométrica es un conjunto de puntos.
Ahora consideremos la figura formada por dos semirrectas que tienen un punto inicial
común. Esta tiene un nombre muy especial: ÁNGULO.
Gráficamente un ángulo es una figura como la siguiente.
El punto inicial común se llama vértice del ángulo y los lados del ángulo son semirrectas.
Observa que estos se extienden indefinidamente.
128
MATEMÁTICAS 6º
Formas de notar un ángulo:
A
α
B
C
M
Ángulo ABC
Ángulo M
Ángulo a
Ejercicio:
Para cada caso pinta 2 ángulos tales que:
•
Su intersección sea un punto, 2 puntos, 3 puntos, 4 puntos, e infinitos puntos o
ningún punto.
•
Su unión sean 2 rectas.
Estudia el interior de un ángulo:
En el cuaderno sobre el ángulo MON, raya con
lápiz a color lo que creas que es el interior de este
ángulo. Ponte de acuerdo con tus compañeros
respecto al tema.
Ahora ejecuta la siguiente tarea:
•
Dado el ángulo MON, con un color rojo colócale el semiplano determinado
÷
por ON que contiene el punto M; con un color azul colorea el semiplano
÷
determinado por OM que contiene el punto N.
•
El conjunto de puntos que sean rojos y azules a la vez se llama el interior del
ángulo MON.
129
POSTPRIMARIA RURAL
Observa que los lados del ángulo no pertenecen a su interior.
ACTIVIDAD 3.
Estudia qué es medida angular
Así como a cada persona se le asigna un número llamado “la edad de”, a cada ángulo
se le asigna un número llamado “la medida en grados de”. Este número varía entre 0
y 180º.
Ejemplo:
Medida en grados de ABC = 50º.
Medida en grado de
XYZ = 135º.
Por comodidad, en vez de medida en grados de ABC se escribe:
m <)
ABC.
Para asignarle a un ángulo el número
correspondiente a su medida se usa un
instrumento llamado el transportador.
130
Con ayuda del transportador mide los siguientes ángulos.
•
Tantea la medida de los siguientes ángulos:
•
Ahora compara tus respuestas con las de tus compañeros y decidan cuál
es la que más se aproxima a la verdad.
•
Pinta ángulos que midan 30º, 54º, 85º, 90º, 120º, 145º, 170º.
•
Pinta ángulos que midan lo mismo que el punto anterior y que tengan un
lado como el siguiente:
MATEMÁTICAS 6º
•
131
Nombra todos los ángulos de la figura y mídelos.
•
Con tu cuerpo, haz movimientos que correspondan a ángulos que midan
45º, 90º, 135º y 180º.
•
¿Si nuestra unidad de medida angular fuese un cuarto de vuelta (rotando
el cuerpo), cuánto mediría un ángulo recto?, ¿un ángulo llano?, ¿un ángulo
de 135º?
POSTPRIMARIA RURAL
•
ENTÉRATE
La bisectriz de un ángulo es la semirrecta que tiene punto inicial en el vértice
del ángulo, pertenece al interior del ángulo y forma con los lados del ángulo, 2
ángulos que tienen igual medida.
m
<)
•
¿Cómo trazar la bisectriz de un ángulo?
132
ABD = m <)
BDC, BD bisectriz del
<)
ABC.
1. Usando el transportador.
2. Con regla y compás.
•
Mide el ángulo dado, luego con el mismo transportador construye un ángulo
cuya medida sea la mitad del ángulo dado y tenga un lado en él como
base y el otro esté en el interior del ángulo dado. Este último lado construido
es la bisectriz del ángulo.
•
Proceso:
Haciendo centro en B trazo un arco DE.
Ahora haciendo centro en D trazo un
pedazo de arco punteado y con el
mismo radio; haciendo centro en E trazo
otro arco punteado en forma tal que
corte al anterior (ver figura) y así
obtener el punto F.
Ahora se une B con F y BF es la bisectriz del <) ABC.
ACTIVIDAD 4. Estudia las clases de ángulos
Así como tomamos la edad de una persona para clasificarla en niño, joven, adulto o
viejo, podemos tomar la medida de los ángulos para clasificarlos.
133
MATEMÁTICAS 6º
Para trazar la bisectriz de un ángulo existen 2 procedimientos:
POSTPRIMARIA RURAL
Es así que si la medida de un ángulo es:
90º se llama recto
mayor de 90º, obtuso
menor de 90º, agudo
180º se llama llano
•
Clasifica todos los ángulos graficados en la actividad No. 3
Pares de ángulos:
•
Observa la figura anterior.
•
Ahora busca entre ellos 2 ángulos que cumplan los siguientes requisitos:
1) Tengan un lado en común y
2) sus interiores no se intersectan.
Si un par de ángulos cumplen 2 condiciones
anteriores se dice que son adyacentes
134
Ahora pinta 2 ángulos cuya suma de sus medidas sea 180ºy otro par de
ángulos cuya suma de sus medidas sea 90º.
A los primeros se les llama ángulos suplementarios y a los últimos
complementarios.
Ejercicios:
•
Pinta un par de ángulos suplementarios que sean adyacentes.
•
Lo mismo que el anterior pero complementarios.
•
¿Si un ángulo mide 65º, cuánto mide su suplementario y su complementario?
•
¿Si un ángulo mide xº, cuánto mide su suplementario y su complementario?
•
¿Es posible que el complemento y el suplemento de un ángulo sean iguales?
ENTÉRATE
A partir de la figura formada por dos rectas que se cruzan,
escribe pares de ángulos que no sean adyacentes. (Excluye los ángulos llanos).
135
MATEMÁTICAS 6º
•
POSTPRIMARIA RURAL
A estos pares de ángulos se les llama opuestos por el vértice y tienen igual medida
porque tienen el mismo suplemento.
Así: el suplemento del <)
el <)
AEC.
BEA es el <)
AEC y el suplemento del <) DEC es
Ejercicios. En tu cuaderno:
1.
A partir de los siguientes ángulos construye sus ángulos opuestos.
2.
Considera la siguiente figura y nombra los pares de ángulos opuestos.
3.
En la figura anterior:
¿
Cuáles ángulos son suplementarios?
¿
Cuáles ángulos son adyacentes?
136
Así como entre personas, conjuntos u objetos existen relaciones, entre segmentos
también las hay.
Si dos segmentos miden lo mismo, entonces los dos
segmentos se dice que son congruentes
Es decir si AB = CD, entonces AB se dice que es congruente con
simboliza como AB = CD.
CD y se
Ejemplo:
2 cm
2 cm
Entonces, AB = CD.
Considera la relación “ser congruente con” entre segmentos. ¿Es esta relación
de equivalencia?
137
MATEMÁTICAS 6º
ENTÉRATE DE LO QUE ES CONGRUENCIA
POSTPRIMARIA RURAL
Recuerda que una relación es de equivalencia si ésta es reflexiva, simétrica y
transitiva.
Ahora, si a cambio de segmentos consideramos ángulos, en estos también
podemos definir la relación de congruencia.
Dos ángulos son congruentes si tienen la misma medida
Si m <) ABC = m <) MNO entonces <) ABC es congruente con <)
y en este caso se escribe <) ABC <) MNO.
MNO
¿De acuerdo con lo anterior, qué podemos decir de:
•
¿Los ángulos rectos?
•
¿Los ángulos tienen el mismo complemento?
•
¿Un ángulo que mide 75º y el suplemento de un ángulo que mide 105º?
138
PERPENDICULARIDAD Y PARALELISMO
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MATEMÁTICAS 6º
○
En tu cuaderno:
•
Pinta un ángulo recto.
•
Ahora pinta 2 rectas que contengan a los lados de este ángulo.
A estas 2 últimas rectas se les llama rectas perpendiculares.
<) ABC dado, rectas L1 y L2 rectas pintadas.
L1 es perpendicular a L2, simbólicamente L1
| L2.
ACTIVIDAD 1. (En grupo)
1. Describamos, grafiquemos y mostremos, objetos del mundo real donde hayan
rectas perpendiculares.
2. Pidámosle al compañero que pinte, en una hoja en blanco, una recta y un punto
que bien puede o no, pertenecer a la recta.
139
POSTPRIMARIA RURAL
Ahora a mano limpia o alzada (sin ningún instrumento) tracemos una recta que
sea perpendicular a la recta dada y pase por el punto dado.
3. En una hoja en blanco tracemos una recta y un punto que no pertenece a la recta,
ahora con una regla graduada busquemos un punto de la recta en forma tal que la
distancia de este punto al punto dado sea la más pequeña (mínima).
¿Cómo resultó el segmento que une estos dos puntos con respecto a la recta?
Concluyamos:
Para medir la distancia de un punto a una recta se toma el
segmento que pasa por el punto y es perpendicular a la recta
dada, la longitud de este segmento es la distancia requerida.
4.
Dada una recta y un punto que pertenece a la recta, ¿cuántas rectas pasan
por el punto y son perpendiculares a la recta dada?
Sugerencia: En el espacio estira y templa un pedazo de pita o cabuya para
representar la recta. Luego toma (marca) un punto sobre esta recta y
resuelve el problema. Recuerda que una cosa es trabajar en una hoja de
papel y otra cosa es trabajar en el espacio.
PARA LOS PILOSOS
•
Averiguar qué es una recta vertical.
Sugerencia: Piensa en todas las verticales de las porterías de las canchas
de fútbol, además analiza qué sucede con las rectas determinadas por los
postes cuando éstos están de pie y bien “derechitos”. No olvides que en
Europa, en China, en África o en la Patagonia también hay canchas de
fútbol y postes.
140
En una hoja de papel pinta 2 rectas cualesquiera y contesta:
•
¿Se intersectan estas dos rectas bien sea en la hoja o fuera de ella? (no olvides que
las rectas se prolongan en ambas direcciones todo cuanto queramos, es decir hasta
el infinito).
•
Si tu respuesta es positiva, pinta otras dos rectas en forma tal que no se intersectan
ni en el infinito.
•
Ahora da ejemplos de tu espacio cotidiano en donde encuentres rectas que por
más que se prolonguen no se encuentren.
Concluyamos:
Dos rectas son paralelas si están contenidas en un mismo plano
y no tienen puntos en común.
Notación: Si L1 y L2 son dos rectas paralelas entonces ello se representa así:
L1 || L2.
Responde en tu cuaderno:
•
¿Cuándo dos rectas no son paralelas?
•
¿Por qué una figura como la que se muestra a continuación no representa
unas rectas paralelas?
141
MATEMÁTICAS 6º
ACTIVIDAD 2. (Trabajo individual)
POSTPRIMARIA RURAL
ACTIVIDAD 3.
•
(Trabajo en grupo)
Con dos pedazos de hilo, cabuya o alambre representa dos rectas que a pesar de no
tener puntos en común no sean paralelas.
* El “ser paralelas” entre rectas se puede considerar como una relación. ¿Es esta
relación de equivalencia? (Una recta se considera paralela a sí misma).
* En el plano, ¿qué sucede si dos rectas son perpendiculares a una tercera recta?
* Busca a tu alrededor ejemplos reales que se ajusten al ejercicio anterior.
* Conformen grupos de a tres estudiantes y analicen para al final concretar y acordar
cuál será el significado de las siguientes expresiones:
a. Dos segmentos son paralelos.
b. Un segmento es paralelo a una recta.
c. Dos semirrectas son paralelas.
d. Tener vidas paralelas.
142
EL SISTEMA MÉTRICO DECIMAL
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ACTIVIDAD 1. Estudia individualmente
Si descomponemos en sus raíces griegas la palabra geometría obtenemos: geo: tierra y
metrón: medida. Éste parece ser el significado práctico primitivo de geometría como
lo atestiguan civilizaciones antiguas como la egipcia.
A pesar de que con el tiempo, la geometría dejó de ser sólo medida, ésta actividad
siguió siendo importante, ¿y es que quién no ha tomado o estimado medidas alguna
vez en su vida? Es así que el medir y estimar se convierten en actividades valiosas en la
vida diaria de cada uno.
Como veíamos anteriormente, para medir se hace necesario seleccionar y unificar
unidades de medidas con el fin de facilitar la comunicación y entendimiento entre los
hombres.
Esto lo entendieron muy bien los miembros de la Asamblea Nacional Constituyente,
creada en 1790 como uno de los resultados de la Revolución Francesa, y delegaron en
la Academia de Ciencias de París el nombramiento de una comisión encargada de:
1) Adoptar una medida de longitud de carácter internacional, tomada del globo
terrestre, en forma tal que no cambiara con el tiempo.
143
MATEMÁTICAS 6º
○
POSTPRIMARIA RURAL
Así nació el metro que es la diez millonésima parte de un cuadrante (cuarta parte)
de un meridiano terrestre, y se halla representado por una barra de platino e Iridio
la cual se encuentra en Sevres cerca de París.
2) Derivar las unidades de área, volumen y peso de esa unidad de longitud.
Ejemplo: m2, m, litros, kilogramos, etcétera.
3) Construir unidades mayores y menores de cada unidad basadas en el sistema de
numeración decimal.
Ejemplo: decámetros, kilómetros, centímetros, etcétera.
Así nació el Sistema Métrico Decimal como un aporte más de la Revolución Francesa
al mundo. Pero a pesar de que se trató de universalizar este sistema, países como Inglaterra
y Estados Unidos usan el llamado Sistema Inglés cuya unidad principal de longitud es
el pie, y aunque ha habido interés de adoptar el sistema métrico, no han tenido éxito.
Además de las unidades que componen el sistema métrico decimal, en algunas regiones
del país se usan medidas como el jeme, el palmo, brazada etcétera.
•
•
Averigua si en tu región usan algunas medidas diferentes a las derivadas del metro.
Tantea en metros:
a) El ancho del salón de clases.
b) El ancho y largo del tablero de clases.
c) La distancia de la puerta del salón a la puerta de la escuela en línea recta y siguiendo
un camino normal.
144
(Trabajo individual)
Estudia los múltiplos
y Submúltiplos del Metro
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Como existen en el universo distancias que para representarlas en metros se
necesita de muchas cifras, entonces se usaron unas unidades que son múltiplos
del metro para las grandes distancias, y para los muy pequeños los submúltiplos
de él.
Nombre
Abreviatura
Número de metros
Metro
m
1
Decámetro
Dm
10
Hectómetro
Hm
100
Kilómetro
Km
1.000
Miriámetro
Mm
10.000
decímetro
dm
0.1 ó
1
10
centímetro
cm
0.01 ó
1
100
milímetro
mm
0.001 ó
1
1.000
Ahora responde en tu cuaderno:
Observa:
10 dm
equivalen a 1 metro.
100 cm
equivalen a 1 metro.
1.000 mm
equivalen a 1 metro.
•
¿1 dm a cuántos cm equivale?
•
¿Cuántos mm tiene un cm?
145
MATEMÁTICAS 6º
ACTIVIDAD 2.
POSTPRIMARIA RURAL
EJERCICIOS:
1.
Tantea en cm las dimensiones de esta cartilla y de tu cintura.
2.
¿Qué es más grande: 0,085 m o 985 cm? ¿Cuánto?
3.
Tantea en mm el grosor del cuaderno de matemáticas.
4.
Expresa en 2 múltiplos y 2 submúltiplos del metro, 13,5 m.
5.
Discute con tus compañeros la siguiente situación:
En cierta fiestas la gente acostumbra a echar voladores. Si estamos lejos de
donde estalla un volador, primero vemos el humo del estallido y después oímos
el estallido del trueno.
◆
¿Por qué esta diferencia no se percibe cuando estamos cerca del
hecho?
Recuerda: Velocidad del sonido 340 m por segundo y velocidad de la
luz 300.000 Km por segundo.
◆
6.
Como las distancias espaciales son extremadamente grandes, los
astrónomos crearon una unidad especial llamada el año luz la cual equivale
a la distancia que recorre la luz en un año.
◆
7.
Expresa esta distancia en m, en dm y en Hm.
No es raro escuchar en los almacenes de telas expresiones como: deme un
cuarto de seda blanca, deme tres metros y medio de paño y otros de este
estilo.
◆
8.
¿En qué otros fenómenos ocurre este hecho?
Expresa las medidas anteriores en m, dm y cm.
¿Si una persona compra 15 cuartos de tela, cuántos m compró?, ¿Cuántos
Km?, ¿Cuántos cm?
146
En los reinados se ha oido o leído la expresión: 90-60-90, ¿Qué significará?
10. ¿En este país, o en tu región cuándo una persona se considera alta?
Discútelo con tus compañeros.
11. ¿Qué significa la expresión “Con la vara que midiereis serás medido”?
12. ¿Cuándo un discurso se considera kilométrico?
13. Estima en kilómetros la distancia, en línea recta y siguiendo tu camino habitual, que hay de tu casa a tu escuela.
ENTÉRATE
Gran parte de la información que circula por el mundo se transmite a través de
la lengua inglesa y si esa información se origina en Inglaterra o en Estados Unidos,
entonces las medidas vienen en unidades del sistema inglés.
Por eso es importante conocer las equivalencias entre los dos sistemas:
1 pie equivale a 0,3048 m
1 pulgada equivale a 2,54 cm
1 milla equivale a 1.608 m
1 pie tiene 12 pulgadas
Responde:
1.
¿Cuántos pies hay en un metro?
2.
¿Cuántas millas hay en un Km?
3.
Si encuentras escrito u oyes que una persona mide 5 y 11, eso significa que
tiene 5 pies y 11 pulgadas de estatura.
¿Cuál será su estatura en m?
147
MATEMÁTICAS 6º
9.
POSTPRIMARIA RURAL
4.
Estima tu altura, tu brazo, tu cintura y las dimensiones de tu cuaderno en
pies.
5. Estima en millas la distancia de tu casa a tu escuela.
6. ¿Qué distancia es mayor y en cuánto: 8 pies o 2 m?
7. ¿Qué distancia es mayor y en cuánto:
1
m m o 0,001 pulgada?
100
Compara tus respuestas con las de tus compañeros.
148
POLÍGONOS
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○
○
MATEMÁTICAS 6º
○
ACTIVIDAD 1. Estudiemos los polígonos.
Analiza lo siguiente:
Un polígono es una figura bidimensional cerrada formada por la unión de segmentos
tales que ningún par de ellos se entrecruza y es coplanar.
Los segmentos se llaman lados y el punto donde se intersectan dos segmentos de llama
vértice. El número de lados determina el nombre del polígono así:
No. de lados
Nombre
3
Triángulo
4
Cuadrilátero
5
Pentágono
6
Hexágono
7
Heptágono
8
Octágono
9
Nonágono
10
Decágono
Gráfica
.
.
.
n
n- ágono
149
POSTPRIMARIA RURAL
Responde:
•
¿Qué relación existe entre el número de lados y el número de vértices de un
polígono?
•
Completa el siguiente cuadro en tu cuaderno, pintando el polígono y
midiendo sus ángulos.
No. de lados del polígono
Suma de ángulos
3
180º
4
5
6
ENTÉRATE
El segmento que une 2 vértices no consecutivos de un polígono se llama diagonal.
•
Pinta un pentágono y traza todas sus diagonales.
•
Pinta un nonágono. Elige un vértice, ¿cuántas diagonales puedes trazar
partiendo de ese vértice? Repite el ejercicio con un triángulo y con un
hexágono.
ACTIVIDAD 2. Estudia los triángulos
Los triángulos se pueden clasificar de acuerdo con la longitud de sus lados o
con la medida de sus ángulos.
150
•
Isósceles si tiene 2 lados congruentes.
•
Equilátero si tiene 3 lados congruentes.
•
Escaleno si sus 3 lados tienen diferente medida.
•
Acutángulo si sus 3 ángulos son agudos.
•
Rectángulo si tiene un ángulo recto.
•
Obtusángulo si tiene un ángulo obtuso.
MATEMÁTICAS 6º
Un triángulo se llama:
Ejemplo:
Equilátero
Isósceles
Rectángulo
Escaleno
Obtusángulo
Contesta:
•
De los triángulos anteriores, ¿cuáles son acutángulos?
•
Mide los ángulos de cada uno de los triángulos anteriores y suma las tres
medidas. ¿Qué puedes concluir?
•
¿Será que un triágulo equilátero es isósceles?
ACTIVIDAD 3.
Estudia los cuadriláteros
Si dos lados de un cuadrilátero son paralelos, entonces el cuadrilátero se dice
que es un trapecio.
151
POSTPRIMARIA RURAL
Ejemplo:
Un trapecio se dice isósceles si sus lados no paralelos son congruentes.
Ejemplo:
Contesta:
•
¿Qué puedes decir de los ángulos de un trapecio isósceles?
ENTÉRATE
Si el par de los lados paralelos de un trapecio es congruente, entonces el trapecio
se dice que es un paralelogramo, o lo que es lo mismo: un paralelogramo es un
cuadrilátero con un par de lados paralelos y congruentes.
En tu cuaderno:
•
Pinta un par de segmentos que sean congruentes y paralelos.
Ahora completa el cuadrilátero. ¿Qué puedes decir de estos 2 nuevos
lados?
•
Pinta un paralelogramo con un ángulo recto. ¿Qué figura obtuviste?
Esta nueva figura se llama rectángulo.
152
Pinta un rectángulo con un par de lados consecutivos congruentes. ¿Qué
figura obtuviste?
Esta nueva figura se llama cuadrado.
•
•
•
¿Cuáles son las características que determinan que un cuadrilátero sea
rombo?
Pinta un rectángulo y trázale las diagonales. ¿Qué puedes concluir?
Pinta un paralelogramo que no sea rectángulo y trázale las diagonales.
¿Se te cumple la condición del ejercicio anterior en este caso?
CONCLUYAMOS
Cuadrados ⊂ Rectángulos ⊂ Paralelogramos ⊂ Trapecios ⊂ Cuadriláteros.
153
MATEMÁTICAS 6º
•