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Dinámica
Introducción
Mientras la cinemática nos permite describir el movimiento, la dinámica nos permite determinar cómo cambiará
ese movimiento. La dinámica se basa en nuestra intuición de cómo funciona el mundo, pero alcanza más allá de
esa intuición. Representa un enfoque que termina siendo tan valioso que se puede describir como la base misma
de la física. Es el primer paso en nuestro viaje para describir la naturaleza de manera de llegar más allá del
sentido común.
Todos desarrollamos nuestro sentido común sobre cómo funciona el mundo basado en los instintos y
entendimientos que le han permitido al ser humano sobrevivir en este planeta por tantos años. Estas
comprensiones nos han servido a lo largo del tiempo y son correctas en su contexto. Si no lo fueran, no
podríamos haber confiado en ellas para sobrevivir. De todos modos, mientras nos esforzamos para ampliar
nuestro entendimiento más allá de lo que es necesario para sobrevivir, descubriremos que necesitamos
cuestionar algunas de las ideas en las que hemos confiado.
Los conceptos que nos parecen familiares, tales como la fuerza, la masa, etc, serán modificados y definidos de
manera precisa que les permitirán usarlos para entender el mundo de una nueva manera. Mientras hacemos
esto, necesitarás aún mantener tu intuición acerca de cómo funcionan las cosas. No se te pedirá que descartes
esas intuiciones. De hecho, confiaremos en que las uses. Pero necesitaremos ser lo suficientemente flexibles
para llegar más allá de las intuiciones para captar su significado más profundo.
Marcos de Referencia Inercial
El marco que se desarrollará en este capítulo está construido sobre las tres leyes de movimiento de Newton.
Estas leyes fueron desarrolladas para trabajar en los marcos de referencia inercial; los mismo marcos de
referencias que se trataron en el capítulo anterior. Un marco de referencia inercial es cualquier punto que no está
acelerando. Por ejemplo, si estás sentado en una habitación leyendo un libro, te puedes considerar a ti mismo en
un marco de referencia inercial. De manera similar, si estás en un auto manejando a una velocidad constante
sobre una carretera lisa, también estás en un marco de referencia inercial. Las leyes de movimiento que se
desarrollarán en este capítulo se aplican a ti. Por otro lado, si estás en un auto que está acelerando en la
autopista, no te encuentras en un marco de referencia inercial. El sistema de la dinámica que se desarrolla en
este capítulo tiene que ser modificado para explicar el movimiento de los objetos en ese auto.
Una buena prueba para ver si estás en un marco de referencia inercial serán posibles si las leyes que
desarrollamos en este capítulo funcionan para ti. SI haces un experimento y descubres que se obedecen las
leyes de Newton, entonces te encuentras en un marco de referencia inercial. Si no se obedecen, entonces no lo
estás. Esto es un poco circular, pero funciona dentro del sistema intrínsecamente consistente que estaremos
desarrollando..
Resulta que no hay marcos de referencia inercial completamente válidos. La habitación en la que estás sentando
gira una vez cada 24 horas alrededor del eje de la tierra. Y la tierra gira alrededor del centro de la galaxia una vez
cada un millón de años. Y aún nuestra galaxia se está moviendo en relación al Grupo Local de galaxias. Como
aprenderemos luego, en nuestro estudio del movimiento circular, todas estas rotaciones están involucradas en
las aceleraciones, dado que la dirección de nuestro movimiento continúa cambiando. Como resultado, no hay
marcos de referencia inercial puros fácilmente disponibles para nosotros. Sin embargo estos efectos resultaron
ser muy pequeños comparados a los problemas que estaremos resolviendo así que podemos tratar a la
habitación en la que estás sentado como un marco de referencia inercial para la mayoría de los propósitos. De
todos modos, es importante tomarse un momento para considerar el camino salvaje que tú y tu habitación están
recorriendo a través del espacio a medida que lees esto.
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Fuerza
En gran medida, tu comprensión intuitiva de la fuerza funcionará en dinámica. Siempre que empujes sobre algo,
estás ejerciendo una fuerza sobre el objeto que empujas. O cuando algo te empuja, este objeto ejerce una fuerza
sobre ti. Cuando lanzas un objeto, puedes pensar que la tierra lo tira hacia abajo, ejerciendo una fuerza sobre
ese objeto. Estos son sólo algunos ejemplos de fuerzas. Aprenderás mucho sobre un número de fuerzas en este
libro. Sin embargo, hay algunas características comunes de todas las fuerzas que introduciremos aquí y
desarrollaremos más ampliamente a medida que sea necesario.
Una propiedad importante de la fuerza es que siempre involucra dos objetos que interactúan. Puedes
ejercer una fuerza empujando algo, pero no significaría nada decir que estás ejerciendo una fuerza empujado en
nada. Del mismo modo, algo puede empujarte, pero no tiene sentido decir que estas experimentando una fuerza
porque “nada” te está empujando. Para que una fuerza exista debe haber algo empujando y alguna otra cosa
que está siendo empujada. Una fuerza siempre involucra la interacción entre dos cosas diferentes. Por ende,
cuando describimos una fuerza necesitaremos siempre identificar los dos objetos que están involucrados en esa
fuerza.
A medida que los problemas se ponen más complicados tendremos que seguir el rastro de muchas fuerzas.
Usaremos subíndices para hacer eso. El primer subíndice representará el objeto que está siendo empujado
mientras que el segundo indicará el objeto que empuja. Entonces, por ejemplo, si estoy empujando un objeto con
mi mano, describiría la fuerza sobre el objeto así: Fobjecto mano o Fom. O si quiero describir la fuerza sobre un libro
debida a la tierra tirando de él hacia abajo escribiría Flibro tierra o Flt. Invirtiendo los subíndices puedo describir la
fuerza en mi mano debido al objeto como Fmo o la fuerza sobre la tierra debido al libro como Ftl. El subíndice
para el objeto que experimenta la fuerza está siempre escrito primero mientras que el objeto que ejerce la
fuerza está escrito segundo. La relación entre estos pares de fuerzas, por ejemplo Fmo y Fom, será tratada
cuando se te presente la Tercera Ley de Newton un poco más adelante en este capítulo.
La unidad de fuerza del Sistema Internacional es el Newton (N). Cuando una fuerza se especifica el tamaño
o magnitude es dado en Newtons. Sin embargo, una propiedad crítica de las fuerzas es que son vectores.
Tal es el caso de los vectores analizados en el capítulo anterior, una fuerza debe ser descripta dando tanto su
magnitude como su dirección. Por ende no es suficiente decir, por ejemplo, que Flt (la fuerza sobre el libro debida
a la tierra) es de 20 N. Necesitas decir que Flt es de 20 N hacia el centro de la tierra. Necesitas especificar tanto
el tamaño de la fuerza (20N) como su dirección (hacia el centro de la tierra).
Cuando más de una fuerza actúa sobre el objeto, esas fuerzas deben ser sumadas como vectores. Una
implicancia de esto es que las fuerzas actúan en la misma dirección se agregarán, mientras que las fuerzas que
actúan en direcciones opuestas se restarán entre las mismas. El determinante crítico de como un objeto se
mueve no será la fuerza que actúa sobre él, sino más bien, la suma de las fuerzas que actúan sobre él. La suma
vectorial de todas las fuerzas que actúan sobre un objeto se llama fuerza neta del objeto. Esto se tratará
más en profundidad como parte de la Segunda Ley de Newton.
La Primera Ley de Newton
Galileo fue realmente el desarrollador del principio de inercia que se convertiría en la primera ley de Newton.
Newton usó ese principio como el primero de los tres pilares que apoyarían esta teoría de la dinámica y que fue
cómo se hizo conocida como la Primera Ley de Newton. Sin embargo, el pensamiento que desarrollo el principio
fundamental vino de Galileo. Su pensamiento representa un excelente ejemplo de cómo la física usa tanto la
intuición humana y va más allá de ella.
Nuestro sentido común nos dice que un objeto estará naturalmente detenido a menos que algo o alguien lo esté
empujando. Si un libro fuera visto deslizarse sobre el piso, nos preguntaríamos porqué. ¿Quién lo empujó? Sin
embargo, si el libro estuviera detenido sobre el piso no nos preguntaríamos porqué. Parecería perfectamente
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razonable que permaneciera en un solo lugar. De hecho, si volviéramos a la habitación, y no estuviera allá , nos
preguntaríamos razonablemente quién lo movió.
Nuestra intuición nos dice que el estado natural de un objeto es el reposo. Aún si algo se está moviendo,
esperaríamos que eventualmente se detenga. Si le das a ese libro que ha estado descansando sobre el piso, un
rápido empujón, se moverá por una distancia y luego se detendrá. Si deseas que se siga moviendo sabes que
tendrás que empujarlo nuevamente.
Levanta el libro de piso y luego suéltalo. Caerá al piso tal como nuestra intuición nos dice que sucederá con los
objetos que no están sostenidos. Pero una vez que alcance el piso, se detendrá nuevamente. Los objetos en
movimiento parecen naturalmente detenerse en algún momento, y una vez que están detenidos, no comienzan a
moverse por sí mismos nuevamente. Galileo fue la primer persona que conocemos que cuestionó esta idea y
demostró que está limitada al contexto de nuestra experiencia diaria. Reconoció que ir más allá de la intuición
llevaría a una comprensión más profunda de cómo funciona el mundo. Sigamos su enfoque general para esta
pregunta.
Figura 1:
Primero, imagina un dispositivo que consiste en dos rampas que están conectadas entre ellas
(Figura 1). Si soltáramos una pelota sobre la primer rampa, está rodaría hacia abajo sobre esa
rampa y luego hacia arriba sobre la segunda rampa hasta una altura que es menor que la altura
desde la cual fue soltada. Si hiciéramos que la pelota y la rampa fueran más lisas e
incrementáramos la densidad de la pelota, haciéndola más pesada para su tamaño, veríamos
que se acerca más y más a la altura inicial. Mientras más ideales hagamos la rampa y la pelotamás cerca estará la pelota de alcanzar la altura inicial en la segunda rampa. Podemos ahora
imaginar el caso ideal; si pudiéramos hacer la pelota y la rampa perfectamente lisas y eliminar
toda la resistencia del aire, la pelota llegaría a su altura inicial nuevamente. Este paso de hacer
experimentos prácticos para luego extender los resultados imaginando un grupo de situaciones
más ideales fue un elemento crítico del genio de Galileo. Los pasos críticos aquí son reconocer
que en el caso ideal la pelota seguirá moviéndose hasta alcanzar su altura original.
Figura 2:
a
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b
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c
Ahora examina los Dispositivos “a” y “b” en la Figura 2. Mientras que la rampa de “lanzamiento” tiene la misma
pendiente, la rampa “objetivo” tiene menos pendiente en cada dispositivo. Si la pelota tuviera que alcanzar la
misma altura, se debería mover más hacia la derecha en cada caso sucesivo. Ahora, considera el Dispositivo “c”
en la Figura 2, donde la pendiente de la segunda rampa es cero. La pelota nunca llegaría a su altura inicial, por
ende, seguiría moviéndose hacia la derecha. Si imaginamos el caso ideal, seguirá moviéndose para siempre, sin
nada que lo empuje. Esto se opone directamente a la idea de que un objeto debe ser empujado por algo para
seguir moviéndose. De hecho, esto indicaría que si nada está empujando un objeto, su velocidad no cambiará.
Galileo fue tal vez el primero en reconocer que la velocidad constante es el estado natural de un objeto.
¿Cómo conciliamos esto con nuestra perspectiva de sentido común de que algo se detiene a menos que esté
siendo empujado? En nuestra experiencia diaria hay un número de fuerzas que afectan un objeto sobre las que
no pensamos porque siempre están ahí. Una de estas es la fricción. Cuando le das un empujón al libro sobre el
piso, se detiene porque la fricción entre el piso y el libro empujó sobre el libro. Imagina ahora que en vez del piso,
le diéramos un empujón a un libro sobre un pedazo de hielo. Se movería más lejos en relación a lo que se mueve
sobre el piso. Pero eventualmente se detendría. Ahora usa tu imaginación para visualizar una superficie sin
fricción. Podes imaginar que una vez que empujes un libro sobre esa superficie, éste seguiría moviéndose sin
detenerse…jamás. Esto resulta ser un concepto clave en física, por ende si logras mantener esa imagen en tu
cabeza probablemente te será de mucha ayuda..
Newton adoptó y formalizó el principio de Galileo y ahora se lo conoce como la Primera Ley de Newton, o la Ley
de Inercia. Un objeto mantendrá una velocidad constante tanto en rapidez como en dirección a menos que
otro objeto ejerza una fuerza neta sobre éste. Por favor, nota que sólo una fuerza neta resultará en un
cambio de dirección. Esto significa que si la suma vectorial de todas las fuerzas que actúan en un objeto es cero,
mantendrá una velocidad constante. Este podría ser el caso porque no hay fuerzas actuando sobre un objeto o
porque hay un número de fuerzas que suman cero, cancelándose entre ellas. En esta circunstancia el objeto se
dice que está en equilibrio.
¿Cómo nos permite esto reconectarnos con nuestra intuición nuevamente? Miremos distintos casos, uno donde
empujo un libro sobre el piso con una velocidad constante. Si el libro se mueve con una velocidad constante
significa que debe haber una fuerza neta igual a cero actuando sobre él. Esto significa que si sumamos todas las
fuerzas que actúan sobre el libro, éstas deben sumar cero. Sé que estoy empujando el libro en una dirección.
Debe haber una fuerza y fricción opuestas e iguales que apunten a la dirección contraria. El libro mantiene una
velocidad constante no porque no haya fuerzas actuando sobre él, sino más bien porque la suma de todas las
fuerzas actuando sobre él es igual a cero. Nuestra intuición nos dice que tengo que seguir empujando algo para
hacer que se siga moviendo. Pero resulta que eso solo es verdad porque la fricción empuja hacia el lado
opuesto. Si no hubiera fricción, no tendría que seguir empujando. Pero vivimos en un mundo donde la fricción
está por todos lados. Así que nuestra intuición funciona pero sólo en este contexto.
La Segunda Ley de Newton
Sabemos que un objeto mantiene una velocidad constante a menos que una fuerza neta actúe sobre él. Pero
¿Cómo se comporta si una fuerza neta sí actúa sobre él? La respuesta es que un objeto sujeto a una fuerza
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neta acelera. Si empujo un objeto puedo hacer que comience a moverse, cambiando por lo tanto su velocidad de
cero a algo. La aceleración es solo el cambio de velocidad en un período de tiempo, por ende si empujar algo
hace que eso empiece a moverse, entonces una fuerza neta debe resultar en aceleración. Nota, sin embargo,
que solo una fuerza neta resulta en aceleración. Si empujo un objeto en una dirección y alguna otra cosa
empuja ese objeto con una fuerza igual pero dirección opuesta, no habrá aceleración. Entonces, la primera
parte de la Segunda Ley de Newton es que la aceleración de un objeto es proporcional a la fuerza neta
que actúa sobre el mismo.
Pero no todos los objetos acelerarán con la misma intensidad cuando son sujetos a la misma fuerza neta. La
aceleración de un objeto también depende de su masa. La masa es una propiedad fundamental de la materia.
Comprender lo que es la masa y de dónde proviene es un tema muy complejo e involucraría comprender la
Teoría general de la Relatividad de Einstein (su Teoría Especial de la Relatividad, no funcionaría!). Esto está
muchos más allá de los límites de este libro. Sin embargo, hay algunas cuestiones de la masa que necesitarás
comprender.
1. La masa es intrínseca del objeto. No depende de dónde esté ubicado el objeto. No importa si es sobre la
tierra, en el espacio exterior o en lo profundo del océano, la masa de un objeto no cambiará.
2. La aceleración de un objeto es inversamente proporcional a su masa. Mientras más masa tenga un
objeto, menos va a acelerar cuando esté sujeto a una fuerza neta dada. Si tienes una cierta cantidad de
fuerza neta, puedes comparar las masas de distintos objetos observando cómo aceleran. Mientras más
masa tenga un objeto, menos acelerará. Si duplicas la masa de un objeto, acelerará la mitad cuando la
misma fuerza neta actúa sobre él.
3. La masa es escalar, no es un vector. No hay dirección asociada a la masa, solo magnitud.
Entonces la Segunda Ley de Newton dice que la aceleración de un objeto es proporcional a la fuerza neta que
actúa sobre él y es inversamente proporcional a su masa.
a = Fneta / m
Esto se escribe a menudo así:
Fneta = ma
o
ΣF = ma
En la segunda expresión, el símbolo griego “Σ”, sigma, actúa como una instrucción de “sumar” todas las fuerzas
que actúan sobre ese objeto. Esto es el mismo proceso que se usa para encontrar la fuerza neta, por ende Fneta
es lo mismo que ΣF. Hay dos razones por las que usaremos más a menudo ΣF en vez de Fneta. La primera
razón es que “Σ” nos servirá para recordarnos que tenemos que encontrar todas las fuerzas y luego sumarlas. La
segunda razón es que esto nos deja espacio para los subíndices. Recuerda que puede haber fuerzas múltiples
actuando sobre un solo objeto. Tenemos que sumar todas las fuerzas que actúan sobre ese objeto para obtener
ΣF. Pero cuando hacemos eso tenemos que recordar sobre qué objeto actúan esas fuerzas. Entonces por
ejemplo, digamos que hay tres objetos que están interactuando. Para hacerlo simple, nombrémoslos dándole a
cada uno un número. Luego para evaluar el movimiento del objeto n° 1 usaríamos la segunda ley como sigue
ΣF1 = m1a1
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lo cual en este caso, con un total de tres objetos, significa que
F12 + F13 = m1a1
Mientras esto nos permitiría determinar la aceleración del primer objeto, podríamos igualmente encontrar la
aceleración de los otros dos objetos con las ecuaciones análogas (en general, la aceleración de cada uno si los
tres objetos no fueran los mismos).
ΣF2 = m2a2 o F21 + F23 = m2a2
ΣF3 = m3a3 o F31 + F32 = m3a3
Una vez más, recuerda que las fuerzas se deben sumar como vectores, no simplemente como números.
Unidades de Masa y Fuerza
La unidad en el Sistema Internacional de la masa es el kilogramo (kg) Dado que es una unidad de medida
fundamental su valor ha sido definido por un acuerdo internacional. Como es verdad para todas las unidades
fundamentales, tales como el metro o el segundo, su valor no se puede derivar.
La unidad de fuerza es el Newton (N). El Newton no es una unidad fundamental dado que se puede derivar,
usando la Segunda Ley de Newton, de las unidades fundamentales como metros, kilogramos y segundos. Las
unidades de la masa según el SI son los kilogramos (kg) y de la aceleración son los metros por segundo
cuadrado (m/s2). Como una muestra de respeto hacia Isaac Newton (1642-1727), la unidad de fuerza se llama
Newton.
Dado
ΣF = ma
Entonces las unidades de fuerza deben ser:
N = (kg)(m / s2)
N = kg∙m/s2
Otro aspecto importante de la segunda ley de Newton es que la aceleración de un objeto siempre estará en la
misma dirección que la fuerza neta que actúa sobre el mismo. Esto debe ser verdadero dado que en la expresión
Fneta = ma, solo “Fneta” y “a” son vectores, mientras “m” no lo es. Esto significa que “m” cambiará el tamaño de la
aceleración, pero no su dirección. La fuerza neta y la aceleración siempre tendrán la misma dirección.
Ejemplo 1: Determina la aceleración de una pelota cuya masa es 20 kg y que está sujeta a una fuerza neta de
40N hacia la derecha debido a una colisión con un segundo objeto.
Primero, definamos la dirección +x- como dirección hacia la izquierda. Esto nos permitirá interpretar la frase
“40N hacia la derecha” como +40N. Luego podemos aplicar la Segunda Ley de Newton
ΣFb = mbab
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Comienza con la ecuación inicial.
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ab = ΣFb / mb
Porque estamos buscando la aceleración,
necesitamos resolver la ecuación para ab.
Para aislar ab, divide ambos lados por mb.
ab = +40 N / 20kg
ab = (+40 kg∙m/s2) / 20 kg
ab = +2.0 m/s2
Con la ecuación encontrada conecte los
valores dados para ΣFb y mb.
ab = 2.0 m/s2 hacia la derecha
Dado que definimos “hacia la derecha” como
la dirección positiva.
Ejemplo 2: Determina la aceleración de un paquete cuya masa es de 20 kg y que está sujeto a dos fuerzas. La
primera fuerza es de 40N hacia la derecha y la segunda es de 20N hacia la izquierda.
Primero, definamos la dirección +x-como dirección hacia la derecha. Esto nos permitirá interpretar la frase “40N
hacia la derecha” como +40N y “20N hacia la izquierda” como -20N. Usaremos “p” como el subíndice para
designar al paquete y “1” y “2” para etiquetar las dos fuerzas. Luego podemos aplicar la Segunda Ley de Newton
considerando que necesitamos sumar las fuerzas para encontrar ΣFp.
ΣFp = mpap
ap = ΣFp / mp
ap = (Fp1+ Fp2) / 20kg
ap = (+40 N - 20N) / 20kg
ap = (+20 kg∙m/s2) / 20 kg
ap = +1.0 m/s2
ap = 1.0 m/s2 hacia la derecha
La Segunda Ley de Newton en dos Dimensiones
Cuando trabajamos con vectores (ej. Desplazamiento, velocidad, aceleración y fuerza) es importante definir
primero un grupos de ejes. Definiremos el eje +x hacia la derecha y el eje +y hacia arriba, lejos del centro de la
tierra, a menos que se determine de otra manera. Si los ejes son elegidos de esta manera la ecuación vectorial
ΣF = ma puede ser dividida en dos ecuaciones, una a lo largo de eje x horizontal y otra a lo largo del eje y
vertical..
La ecuación vectorial ΣF = ma se convierte en ΣFx = max y ΣFy = may. El movimiento y las fuerzas a los largo del
eje x y del eje y pueden ser tratados separadamente. La dinámica y la cinemática en las direcciones horizontales
y verticales son independientes y no se afectan unas a las otras y por esto la segunda ley de Newton debe ser
verdadera en ambas direcciones.
Ejemplo 3: Determina la aceleración de un objeto cuya masa es de 20 kg y que está sujeto a tres fuerzas. La
primera fuerza, Fo1, es de 80N hacia la derecha, la segunda fuerza, Fo2, es de 20N hacia arriba y la tercera
fuerza, Fo3, es de 20N hacia abajo.
Con nuestra convención de definir la dirección +x-como dirección a la derecha y la dirección +y- como dirección
a la arriba, podemos interpretar la frase “80N hacia la derecha” como +80N sobre el eje x, “20N hacia arriba”
como +20N sobre el eje y, y “20N hacia abajo” como -20N sobre el eje y luego podemos aplicar la Segunda Ley
de Newton independientemente sobre cada aje teniendo en cuenta que necesitamos sumar las fuerzas para
encontrar Fneta.
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ΣF = ma
dirección x
dirección y
ΣFo = moao
ΣFo = moao
ao = ΣFo / mo
ao = ΣFo / mo
ao = (Fo1 / mo)
ao = (Fo2 + Fo3) / mo
ao = (+80N/20kg)
ao = (+20N-20N)/(20kg)
ao = +1.0 m/s2
ao = 0
a = 1.0 m/s2 hacia la derecha
En este ejemplo, todos los vectores (fuerzas y aceleración) estaban dirigidos tanto en paralelo como en
perpendicular al eje x. En la naturaleza, las fuerzas y las aceleraciones pueden están dirigidas en cualquier
dirección arbitraria. Esto no representa ninguna física nueva, pero requeriría el uso de la trigonometría. Dado que
este texto no se supone una formación previa en trigonometría, solo trabajaremos con vectores que estén o
paralelos o perpendiculares al eje x. Trabajar con vectores en ángulos arbitrarios no representará demasiada
dificultad adicional una vez que se hayan perfeccionado en trigonometría básica.
Tercera Ley de Newton
Indicamos anteriormente que las fuerzas pueden existir solo entre dos objetos. Un objeto aislado no puede
experimentar una fuerza. La tercera ley de Newton indica que simpe relación entre la fuerza que cada objeto
ejerce en el otro; siempre serán iguales y actuarán en direcciones opuestas. Por ende si empujas una caja con
una fuerza de 20N hacia la derecha, la caja estaría empujándome con una fuerza de 20 N hacia la izquierda.
Usando nuestros subíndices nos diría simplemente que Fyc = -Fcy, con el subíndice “y” que significa “yo” y “c” que
es la caja.
Otra forma de decir esto es que las fuerzas siempre se dan en pares iguales y opuestos. Algunas personas se
confunden con esta ley porque piensan que estas fuerzas se cancelarán y no habrá aceleración. Sin embargo,
este no es el caso dado que cada fuerza actúa sobre un objeto distinto. Solo una fuerza actúa sobre cada objeto
así que no pueden cancelarse. Esto puede hacer más claro trabajando a través de un ejemplo.
Ejemplo 3: Empujo una caja cuya masa es de 30 kg con una fuerza de 210 N hacia la derecha. Tanto la caja
como yo estamos sobre una superficie sin fricción por ende no hay otras fuerza que actúen sobre la caja o sobre
mi masa es de 90 kg. Determina la aceleración de la caja y mi propia aceleración. ¿Son iguales?
No hay fuerzas en la dirección y así que solo necesito usar un eje. Primero, resolvamos la aceleración de la caja.
ΣFb = mbab
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ab = ΣFb / mb
ab = Fmb / mb
ab = +210 N/ 30kg
ab = (+210 kg∙m/s2) / 30 kg
ab = +7.0 m/s2
ab = 7.0 m/s2 hacia la derecha
Ahora resolvamos mi aceleración.
ΣFm = mmam
am = ΣFm / mm
am = Fmb / mm
am = -Fbm / mm
am = -210 N/ 90kg
am = -210 kg∙m/s2 / 30 kg
am = -2.3 m/s2
am = 2.3 m/s2 hacia la izquierda
pero Fyc = - Fcy
(Nota el cambio de orden de los subíndices)
Por ende, mientras empujo la caja a la derecha, la caja me empuja hacia la izquierda. Dado que mi masa es
mayor, mi aceleración es menor. La aceleración no es la misma. Y tampoco ninguna de ellas es igual a cero.
Esquemas y Diagramas de Cuerpo Libre
I. El primer paso para resolver un problema es hacer un esquema rápido, a menos que haya uno. Sin tener un
esquema, es fácil ir en la dirección equivocada o no saber cómo empezar. A menudo el esquema está hecho, si
no es así haz tu primer paso. Luego que hayas hecho esto, necesitas dibujar un diagrama de cuerpo libre
para cada objeto en tu esquema.
II. Antes de comenzar con esto, es importante definir que queremos decir con objeto. Obviamente, cualquier
entidad sola, como un bloque de madera, una pelota, un libro, un auto o una persona etc., representa un objeto.
Pero también, si dos bloques de madera están unidos y por ende si uno se mueve, el otro también, los dos
objetos pueden ser tratados como uno solo objeto. En este caso, puedes generar tres diagramas de cuerpo libre,
uno para cada bloque de madera separadamente y un tercero para la combinación de los dos bloques. Cada vez
que dos bloques estén unidos y que por ende tengan la misma aceleración, pueden ser tratados como un sólo
objeto. Esta técnica puede darte esa parte crucial de información que necesitas para resolver un problema.
III. Ahora veamos cómo dibujar un diagrama de cuerpo libre.
1. Dibuja y etiqueta un punto para representar el primer objeto.
2. Dibuja una fleche desde el punto que apunte hacia la dirección de una de las fuerzas que actúa sobre
ese objeto. Etiqueta con claridad la flecha con el nombre de la fuerza, por ej, Fc1.
3. Repite para cada fuerza que actúa sobre el objeto. Trata de dibujar cada flecha a aproximadamente la
misma escala, fuerzas mayores tienen flechas más grandes.
4.
Una vez que hayas finalizado el diagrama de cuerpo libre, chequéalo nuevamente para asegurarte que
has dibujado y etiquetado una flecha por cada fuerza. Este no es el momento de olvidarse de una fuerza.
5. Dibuja una flecha separada al lado de tu diagrama de cuerpo libre indicando la posible dirección de la
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aceleración del objeto. Esto te ayudará a usar tu diagrama de cuerpo libre de manera efectiva.
6. Repite el proceso para cada objeto en tu esquema.
IV. Ahora usemos el diagrama de cuerpo libre para aplicar la Segunda Ley de Newton. Una de las cosas
maravillosas de esta ley es que funcionará para cada objeto independientemente. Esto significa que puedes
aplicarlo a cada uno de tus diagramas y proceder a analizarlo.
1. Escribe la ley en su forma vectorial general usando un subíndice para indicar el objeto que está siendo
analizado. ΣFo = moao.
2. Si hay fuerzas actuando a lo largo de más de un eje, rompe esta ecuación general en los componentes x
e y.
3. Ahora lee tu diagrama para escribir todas las fuerzas sobre el lado derecho de la ecuación. Usando
cualquier convención que desees, siempre y cuando seas consistente, indica la dirección de cada fuerza
con los símbolos + y -. Por ejemplo si las fuerzas estaban en dirección vertical, podrías usar + para arriba
o – para abajo.
4. Ahora es cuando puedes usar el vector de aceleración que dibujaste al lado del diagrama de cuerpo
libre. Sé consistente. Si usaste un signo negativo para indicar hacia abajo o hacia la izquierda, tienes que
poner un signo negativo delante de “ma” en el lado derecho de la ecuación. Por otro lado, si el vector de
aceleración apunta hacia arriba o hacia la derecha, debería tener un signo positivo.
5. Ahora puedes repetir este proceso por todos tus diagramas de cuerpo libre que sean necesarios para
resolver tu problema.
Hagamos algunos ejemplos.
Ejemplo 4: Dos objetos están unidos por un cordel. El objeto 1 tiene una masa de 20 kg mientras que el objeto 2
tiene una más de 10 kg. El objeto dos es tirado hacia la derecha por una fuerza de 60 N. Determina la
aceleración de los objetos y la tensión de la cuerda que los une.
1
2
Primero, nota que hay tres posibles objetos, 1, 2 y 1+2. El objeto combinado 1+2 existe porque la cuerdal que
conecta el objeto 1 con el 2 asegura que se moverán siempre juntos y tendrán la misma aceleración..
Aquí están los tres diagramas de cuerpo libre.
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Nota que en los diagramas, F12=- F21 por lo tanto las fleches son del mismo tamaño pero apuntan a direcciones
opuestas. La Faplicada es la misma para ambos objetos, 2 y (1+2) así que esas flechas tendrán el mismo tamaño.
Dado que la aceleración de los tres objetos es la misma y debe ser hacia la derecha, las tres flechas etiquetadas
con “a” tienen el mismo tamaño y se dirigen a la derecha.
Primero, resolvamos la aceleración combinada del objeto (1+2). Esa es la forma más fácil de resolver dado que
conozco la masa combinada y la fuerza que actúa sobre él.
ΣF(1+2) = m(1+2) a(1+2)
a(1+2) = ΣF(1+2) / m(1+2)
a(1+2) = Faplicada / m(1+2)
a(1+2) = +60 N/ (20kg + 10k)
a(1+2) = (+60 kg∙m/s2) / 30 kg
a(1+2) = +2.0 m/s2
a(1+2) = 2.0 m/s2 hacia la derecha
Ahora resolvamos la tensión en la cuerda, F12, usando el diagrama de cuerpo libre para el objeto 1. Esta es la
forma más simple dado que ahora conozco la aceleración y la masa del objeto 1 y F12 es la única fuerza
actuando sobre él.
ΣF1 = m1a1
F12 = +m1a1
F12 = (20 kg)(+ 2.0 m/s2)
F12= + 40 kg∙m/s2
F12 = 40 N hacia la derecha
Solo para mostrar que los tres diagramas de cuerpo libre funcionarían, también podríamos resolverlo usando el
diagrama de cuerpo libre para el objeto 2. Esto puede ser usado para chequear nuestro trabajo pero no nos dará
información extra.
ΣF2 = m2a2
Faplicada+ F21 = m1a1
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Faplicada - F21 = +m1a1
F21 = - m1a1 + Faplicada
F21 = -(10 kg)(+ 2.0 m/s2) + 60N
F21= + 40 kg∙m/s2
F21 = 40 N hacia la derecha
Algunos ejemplos de fuerzas
Existe una gran variedad de fuerzas que experimentamos todos los días. Uno de los objetivos de la física es
mostrar el origen de esas fuerzas y como están conectadas unas a las otras. Este tema se irá presentando a
medida que continúes con tu estudio de física. Sin embargo, para alcanzar ese nivel de comprensión primero
necesitarás mejorar las habilidades que se basan en las fuerzas naturales diarias. En esta sección del texto
presentaremos cuatro de esas fuerzas naturales. Su conexión con fuerzas más fundamentales será abordada
pero una exploración más profunda sobre esas conexiones tendrá que esperar a más adelante. Una
comprensión completa no está aún disponible en física. Hay aún mucho que queda por ser entendido.
Peso
Todos hemos visto que si sueltas un objeto, como un libro o una birome, se cae hacia abajo. Dado que el objeto
no se estaba moviendo cuando lo dejaste (ese es el significado de dejar caer) y se está moviendo luego que lo
sueltas eso significaría que el objeto aceleró al momento de ser soltado. En general, los objetos que no están
sostenidos cerca de la superficie de la tierra, aceleran hacia abajo (digo” en general” dado que esto no
funcionaría si soltaras un globo de helio, pero veremos esto luego en el libro cuando hablemos de la flotabilidad)
Esta atracción de los objetos hacia el centro de la tierra es resultado de una importante y fundamental fuerza: la
gravedad. Una discusión más amplia sobre gravedad generalmente requiere su propio capítulo. Sin embargo
ahora estudiaremos las consecuencias cerca de la superficie de la tierra.
Por la Segunda Ley de Newton sabemos que si un objeto acelera debe haber una fuerza neta actuando sobre el.
En este caso, la fuerza ejercida sobre el objeto es debida a la tierra así que podemos llamarla, Fot. Sin embargo,
esta fuerza es sentida tan universalmente por todos nosotros en el planeta que ha recibido su propio nombre y se
refiere a ella a menudo como el peso (P) del objeto. Resultó que el P o la Fot, de un objeto es proporcional a su
masa. Mientras más masa tenga el objeto- mayor es su peso. La constante de proporcionalidad entre el peso
de un objeto y su masa ha sido definida como, “g”, y es igual a 9.8 m/s2. Esto es expresado por la siguiente
formula.
P = Fot = mg
Un resultado sorpresivo del hecho que el peso de un objeto es proporcional a su masa es que todos los objetos
que no estén sostenidos cerca de la superficie de la tierra caen con la misma aceleración de, 9.8 m/s2, en tanto y
en cuanto no haya otras fuerzas que actúen sobre ellos. Podemos ver como esto sería verdad si usamos la idea
de que P=mg y se combine con la Segunda Ley de Newton. Si un objeto solo tiene fuerza de su peso actuando
sobre él, su diagram de cuerpo libre mostrará solo una fuerza, P, apuntando hacia abajo. Su aceleración
apuntaría también hacia abajo. Entonces…
ΣFo = moao
P= m0ao
mg = ma
a=g
a = 9.8 m/s2
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Por un lado parece un resultado razonable. Un objeto con más masa es más pesado, así tiene más fuerza
empujándolo hacia la tierra. Sin embargo, tiene también más masa en la misma proporción, y mientras más masa
tenga un objeto, más fuerza toma darle la misma aceleración. Estos dos efectos, más peso pero también más
masa, se cancelan y todos los objetos caen con la misma aceleración.
Por el otro lado, esto es un resultado sorprendente dado que parece que los objetos pesados deberían caer más
rápido que los objetos livianos. Y eso suele suceder. Si dejas caer una pluma y un libro en el mismo momento,
está claro que la pluma caerá más lentamente que el libro. Sin embargo, debemos recordar la condición que
pusimos en nuestra afirmación sobre los objetos que caían que tenían la misma aceleración. Dijimos que esto
sería verdad si “no había otras fuerzas actuando sobre el objeto”. Esto es un poco el caso que discutimos antes
donde la fuerza de fricción dificultaba ver que un objeto en movimiento continuaría moviéndose a una velocidad
constante si no hay fuerza neta actuando sobre él. En este caso, es la resistencia del aire al movimiento de la
pluma que sirve como un tipo de fricción que se opone al peso de la pluma. Si sacas el aire y repites el
experimento, la pluma y el libro caerán con la misma aceleración. Dado que no sólo vivimos en la tierra sino que
además vivimos en la atmosfera de la tierra, es razonable que nuestra intuición nos diga que los objetos livianos
no caen al piso tan rápidamente como los objetos pesados. Pero es importante ir más allá de nuestra intuición
para tratar de separar los dos distintos efectos, gravedad y resistencia del aire y estudiar cada uno por separado.
Una forma de probártelo esto a tí mismo es dejar caer primero un papel de 8 ½ x 11 y una birome al mismo
tiempo. Verás que la birome cae mucho más rápido que el papel. Sin embargo, si arrugas y abollas bien el papel
y repites el experimento, verás que caen casi a la misma velocidad. Ahora imagina, como hizo Galileo en sus
experimentos, que se podía hacer la bola de papel lo suficientemente pequeña, entonces caería con la misma
rapidez que la lapicera.
Fuerzas superficiales
Siempre que las superficies de dos objetos entren en contacto, hay dos tipos de fuerzas que pueden resultar

La Fuerza Normal – que siempre actúa perpendicular a las superficies
 Fricción – que siempre actúa paralelo a las superficies
Ambas fuerzas son debidas a los efectos microscópicos entre los objetos. Son ambos muy complicados para
comprender a ese nivel y requieren una base de electroestática para obtener una idea razonable de cómo
operan. Entender estas fuerzas en detalle requiere un entendimiento muy avanzado de física. Sin embargo,
como veremos que es el caso a menudo. Las características de cómo estas fuerzas funcionan pueden ser
comprendidas sin entender completamente los mecanismos inherentes que los hacen funcionar.
La Fuerza Normal es el resultado de los átomos en un objeto tratando de evitar ser comprimidos. Cuando son
comprimidos por otro objeto, se resisten empujando contra ese objeto. Mientras más se comprimen más,
empujan en contra.
La fricción es el resultado de dos superficies que se rozan mientras se deslizan o tratan de deslizarse unos sobre
otro. Cada una de las superficies tiene tanto una textura como átomos de superficie que tienen propiedades
electroestáticas. La interacción de las texturas y los átomos en las dos superficies determina cuán resbalosas se
siente una sobre la otra.
Fuerza Normal
Si pones un libro sobre una mesa plana y lo sueltas verás que no se mueve, su aceleración es cero. Sabemos
que hay por lo menos una fuerza actuando sobre el objeto, su peso. También sabemos que si hubiera una fuerza
neta actuando sobre el libro, no aceleraría, y en este caso no está acelerando la única manera de que la fuerza
total que actúa sobre el libro pudiera ser cero, si sabemos que hay una sola fuerza que actúa sobre el libro, es si
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una segunda fuerza está actuando sobre el libro en la dirección opuesta (podría haber más de una fuerza extra
pero mantengámoslo simple por ahora).
También sabemos que una fuerza requiere la interacción de dos objetos. En este caso, uno de los objetos es un
libro. El otro objeto debe ser la mesa. Esto se hace claro si imaginas que sucedería si la mesa de repente
desapareciera (o si intentaras poner el libro al lado pero no sobre la mesa). El libro aceleraría son la mesa para
sostenerlo. Podríamos concluir de esto que la mesa debería estar proveyendo la fuerza que cancela el efecto de
la tierra sobre el libro.
Usando nuestro acuerdo para nombrar la fuerza entre dos objetos, llamemos esta fuerza Flm, la fuerza sobre el
libro que hace la mesa. Esta fuerza debe ser igual y opuesta a la fuerza de la tierra sobre el libro para cancelar el
tirón de la tierra. Dado que esta dirección es perpendicular, o normal, a la superficie de la mesa esta fuerza es
también llamada Fuerza Normal, Fn. Puedes usar tanto Flm como Fn para nombrar esta fuerza.
Ahora analicemos nuestro libro que descansa sobre la mesa utilizando un diagrama de cuerpo libre y la Segunda
Ley de Newton para determinar la fuerza normal ejercida sobre un libro de 10 kg por la mesa.
N
W
ΣFo = moao
P – Flm = 0
P = Flm
Flm = mg
Flm = (10kg) (9.8 m/s^2)
Flm = 98 N
Mientras sólo hemos mostrado dos objetos, y un par de fuerzas en este dibujo, hay realmente tres objetos y dos
pares de fuerzas. La Tercera Ley de Newton nos dice que las fuerzas solo existen entre dos objetos y en pares.
El primer par de fuerzas está entre la tierra y el objeto, Fot y Fto. El segundo par de fuerzas está entre el objeto y
la mesa, Fom y Fmo. Para mantener este diagrama simple, no hemos mostrado la tierra. Pero nada de lo anterior
ocurriría si la tierra no estuviera presente. Si pusieras un libro sobre la mesa en el espacio, lejos de la tierra, no
habría peso para tirar el libro contra la mesa; por ende no habría fuerza normal resultante..
Un diagrama más comprensivo mostraría todas las cuatro fuerzas como siegue. Sin embargo, en muchos casos
esta complicación sumada no es necesaria y podría hacer que los dibujos fueran más difíciles de leer- lo cual
vencería el propósito. Esto sí muestra, sin embargo, que la mesa está experimentando una fuerza normal hacia
abajo, debido al libro, que es igual y opuesta a la fuerza normal que está ofreciendo al libro hacia arriba. Si esas
fuerzas hacia abajo fueran demasiado fuertes, la mesa se rompería.
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Feo
Fot
Mientras afirmamos que la fuerza normal es una fuerza que se opone a la gravedad en el caso del libro que
descansa sobre la mesa, tiene en realidad un amplio rango de aplicaciones..

Cuando te paras en un ascensor, el piso del ascensor ejerce una fuerza normal hacia arriba sobre tus
pies. Descubrimos que puedes ser acelerado hacia arroba, o hacia abajo, cuando esa fuerza normal no
es igual a tu peso.

Cuando te apoyas contra una pared, ejerces una fuerza normal sobre esa pared. Por la Tercera Ley de
Newton, sabes que la pared ejercerá una fuerza igual y opuesta contra ti. Dado que la pared es vertical, y
la fuerza normal es siempre perpendicular a las superficies, la fuerza normal ofrecida es en la dirección
horizontal.

Cuando una pelota de béisbol es golpeada por un bate, la fuerza normal ejercida por el bate sobre la
pelota es en una dirección perpendicular a las superficies del bate y de la pelota cuando colisionan. Dado
que la pelota es una esfera y el bate es un cilindro, hay un amplio rango de direcciones a las cuales esa
fuerza normal puede ser dirigida dependiendo de dónde entran en contacto. Esta es la razón por la cual
la pelota acelera de maneras que llevan a que la pelota haga distintos movimientos.
Fricción
Hay dos tipos de fricción que pueden ser generados entre un par de superficies. La diferencia entre los dos tipos
depende de la velocidad relativa de las superficies entre ellas. Por favor, nota que esto significa que ambas
superficies se están moviendo juntas, su velocidad relativa es cero.
Fricción cinética es el resultado de la superficie de dos objetos restregándose mientras se deslizan entre ellos
con una velocidad relativa. En este caso, la fuerza de fricción actuará en cada objeto en una dirección opuesta a
su velocidad relativa a la otra. La fricción cinética actúa de forma que lleva esos objetos a descansar
relativamente uno a otro.
Fricción estática resulta cuando un objeto experimenta una fuerza neta paralela a su superficie de contacto con
un segundo objeto. La fuerza de fricción estática es dirigida opuestamente a la dirección de esa fuerza neta para
mantener los objetos en descanso relativo en relación con el otro.
Hay dos factores que determinan la cantidad máxima de la fuerza de fricción que puede ser generada; el
deslizamiento de las superficies y la cantidad de fuerza que une las superficies. Esto tiene sentido en tanto que si
dos superficies son perfectamente resbalosas, nunca generarán fricción alguna entre ellas, sin importar cuán
fuerte las presiones una contra la otra. Por el otro lado, si dos superficies no son muy resbalosas pero no se las
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están tratando de unir, tampoco generarán fricción alguna. Solo se deslizarán una sobre la otra, apenas
tocándose.
La cantidad de viscosidad (cuán resbalosas son) entre las dos superficies es indicada por el coeficiente de
fricción entre esas dos superficies. Esto está dado por el símbolo “μ” que es una letra griega que se pronuncia
“mu”. Los valores μ van de cero a uno. Dos superficies que tienen un coeficiente de fricción de cero no
generarán fricción, sin importar cuán fuerte se trate de unirlas; son perfectamente resbaladizas. En el otro
extremo, dos superficies con un μ de 1 generarán un alto nivel de fricción si se las presiona una contra la otra.
Nota que los valores de μ solo pueden ser dados por pares de superficies. No hay forma de computar un valor
para cada superficie y luego combinarlas para comprender cómo las superficies se comportarán cuando se
pongan juntas.
Si alguna vez intentas deslizar algo muy pesado sobre el piso te darás cuenta que es más difícil hacer que
comience a moverse que mantenerlo en movimiento. Una vez que comienza a moverse, no debes empujar tan
fuerte para que siga moviéndose. Esto es el resultado de las superficies que se hacen más resbaladizas una vez
que comienzan a deslizarse una sobre la otra. En un nivel microscópico, los átomos sobre la superficie no tienen
tiempo de hacer lazos unos con los otros a medidas que se deslizan. Como resultado, hay dos coeficientes de
fricción para cada par de superficies. El coeficiente de fricción estática, μe, da la medida de cuán resbalosas
están las superficies mientras no se están moviendo una contra la otra, mientras el coeficiente de fricción
cinética, μc, da la medida de cuánto resbalarán cuando se están moviendo. Por favor nota que para determinar
cuál coeficiente usar hay que considerar si las superficies se están moviendo una contra la otra, si se están
deslizando por encima o no. Las superficies que se están moviendo juntas son tratadas como si estuvieran en
descanso y usarías μe, y no μc.
El otro factor que determina la fuerza de fricción es cuán fuerte se están presionando las superficies una contra
la otra. Una fuerza que presiona dos superficies debería ser perpendicular a ellas. Esta es solo otra forma de
describir la fuerza normal que discutimos anteriormente. Así que ahora tenemos información suficiente para
escribir una fórmula para la cantidad máxima de fricción que puede ser generada por dos superficies.
Si las dos superficies se deslizan una sobre la otra entonces:
Ffr max = μc Fn
Si las dos superficies no están en movimiento relativo entonces:
Ffr max = μe Fn
Ahora tenemos un solo paso para dar y habremos redondeado nuestro cuadro sobre la fricción. Tenemos que
determinar cuando la cantidad de fricción estará en los valores máximos dados por las fórmulas de arriba y
cuando no lo estará. En el último caso, necesitamos descubrir qué será si no es el máximo.
La fuerza de fricción cinética es la más simple porque está siempre en su valor máximo. Una vez que las
superficies estén deslizándose una sobre la otra, la fuerza de fricción cinética estará en su valor máximo y nada
afectará su valor siempre y cuando mantenga el movimiento relativo. Por ende podemos reemplazar nuestra
formula máxima con:
Ffr = μc Fn para el caso de la fricción cinética.
Indicamos arriba que la fuerza de fricción estática está dirigida opuesta a la dirección de una fuerza aplicada para
mantener los dos objetos en descanso relativo con el otro. Esto significa que si no hay fuerza neta aplicada a un
objeto paralela a su superficie de contacto con un segundo objeto no habrá fricción estática. Como resultado, la
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fricción estática mínima debe ser cero. La máxima cantidad es dada por Ffr
fricción estática se transformará en.
max
= μe Fn. La fórmula para la
Ffr ≤ μe Fn
Hay fricción estática solo si hay una fuerza neta aplicada que, en ausencia de fricción estática aceleraría el
objeto paralelo a su superficie de contacto. A medida que esa fuerza neta aplicada crece, crece también la
cantidad de fricción estática, siempre en la dirección opuesta a la fuerza neta aplicada. Sin embargo, esta fricción
estática no puede crecer sin límite. Una vez que se alcanza el máximo, Ffr max = μe Fn, el objeto comenzará a
deslizarse. A ese punto la fórmula de fricción estática se hace inaplicable y la formula de fricción cinética se hace
más relevante, Ffr = μc Fn. Esto permanecerá así hasta que las superficies queden en descanso en relación una
con la otra.
Fuerza de Tensión
Otra forma de sostener un objeto es colgándolo de una cuerda. Por ejemplo, imagina colgar una planta con una
cuerda que está conectada con el techo. La fuerza hacia abajo debido al peso de la planta causará que la cuerda
se estire un poco y quede tirante. La tirantez en la cuerda resulta en una fuerza de tensión que tira la planta hacia
arriba y el techo hacia abajo.
Para que una fuerza de tensión actúe, la cuerda debe estar conectada a los objetos por ambos extremos. En
este ejemplo los objetos son la planta y el techo. La tensión actúa siempre sobre los dos objetos con igual
magnitud pero en direcciones opuestas. Tiene el efecto de tirar los objetos uno hacia el otro.
La fuerza de tensión no está solo presente en una cuerda. Puede encontrarse en cuerdas, cables y barillas de
metal, etc. De hecho, cualquier material que resista ser estirado puede exhibir una fuerza de tensión cuando se
conecta entre dos objetos. Puede ser etiquetado como Ft o usando el sistema de subíndice usando el objeto en
estudio primero y el material que ofrece la tensión segundo. Por ejemplo, en el ejemplo de arriba, la fuerza de
tensión podría ser denominada Ft o Fpc, donde “p” se refiere a planta y “c” la cuerda.
Trabajemos con un ejemplo donde una planta de 5 kg cuelga de una cuerda conectada al techo. Primero
hagamos el diagrama de cuerpo libre para la planta (como se
muestra a la derecha.)
Luego usemos la Segunda Ley de Newton, teniendo en cuenta que
la aceleración es cero dado que la planta no se está cayendo.
ΣFp = mpap
P – Ft = 0
Ft = P
Ft = mg
Ft = (5kg) (9.8 m/s^2)
Ft = 49 N
Hasta ahora hemos discutido la tensión como una fuerza vertical que compensa el peso de un objeto cuando
está colgando. Sin embargo, la tensión no tiene que actuar verticalmente. Cuando un objeto es jalado sobre una
superficie horizontal por medio de una cuerda, la fuerza de tensión actúa horizontalmente. Lo que siempre es
verdad sobre la fuerza de tensión es:
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
La fuerza de tensión siempre actúa sobre la dirección de la cuerda, o sobre el material que esté bajo
tensión. Nunca puede actuar en ángulo con la cuerda.

La fuerza de tensión requiere que haya dos objetos conectados.

La fuerza de tensión actúa en direcciones opuestas en esos dos objetos para acercarlos.
Fuerza Elástica – Ley de Hooke
La fuerza elástica, Fe, es la fuerza ejercida por un material estirado y comprimido. Robert Hooke originalmente
explore la fuerza en el contexto de los dinamómetros, pero veremos que tiene aplicaciones más variadas.
También nos llevará un paso hacia una mejor comprensión de la fuerza de tensión y la fuerza normal.
Hooke observo que se necesitaba muy poca fuerza para estirar un poquito un dinamómetro. Sin embargo,
mientras más se estira el dinamómetro, más difíciles es estirarlo. La fuerza que se necesita aumenta en
proporción a la cantidad que se ha estirado. Lo mismo se vio que era verdad cuando se comprimía un
dinamómetro. Esto puede ser afirmado matemáticamente como
Fdinamómetro = - k x
En esta ecuación, k representa la constante de dinamómetro (una característica del dinamómetro individual) y x
representa la magnitud de la distancia que el dinamómetro es comprimido o estirado de su largo natural. El signo
negativo nos dice que la fuerza que ejerce el dinamómetro es hacia su largo equilibrado, su largo cuando no está
ni estirado ni comprimido. Nota que x es siempre o cero o positivo dada su magnitud. El signo menos muestra la
dirección de la fuerza.
Por ende, si la constante para un dinamómetro particular fuera 100N/m, necesitaría ejercer una fuerza de 100 N
para estirarlo, o comprimirlo 1 metro. SI fuera a ejercer una fuerza de 50N, se estiraría 1/2 m. Una fuerza de 10
N lo estiraría or comprimiría en 1/10m. Esto se muestra debajo en el gráfico.
La fuerza de tensión subyace la tensión y las fuerzas normales. En el caso de las fuerzas de tensión, la cuerda
que está ejerciendo la fuerza se estira un poco cuando la fuerza es ejercida, justo como un dinamómetro. La
diferencia es que en el caso de la fuerza de tensión, la cantidad de estiramiento es relativamente pequeña y es
dejada de lado. Asumimos que la cuerda no se estira a los fines de nuestros cálculos. Pero la cuerda ejercerá su
fuerza para llegar a su largo de equilibrio, por ende actúa como un dinamómetro en este aspecto.
Otra diferencia clave entre la cuerda y el dinamómetro es que no puede comprimir una cuerda. Las cuerdas,
piolas y etc. muestran una fuerza elástica cuando son estiradas no cuando son comprimidas. Asimismo,
obedecen la ley de Hooke para pequeñas cantidades de estiramiento. Después de eso se complican bastante.
Entonces, mientras la fuente de la fuerza es la misma que la fuerza elástica, la tensión se trata de modo distinto.
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Lo mismo ocurre con la fuerza normal, sin embargo, en este caso solo se muestra bajo compresión. Cuando
pones un libro sobre la mesa, la mesa se dobla solo un poquito al comprimirse en el medio. La inclinación es tan
pequeña que apenas se percibe. Pero si pones muchos libros sobre una repisa, puedes ver cómo se pliega. Una
vez más, la mesa o la repisa quieren volver a su posición de equilibrio. Para hacer esto, ejerce una fuerza en
dirección opuesta a la que causa su compresión. Esta es la fuerza normal. Es como la fuerza elástica debido a la
compresión pero, como en el caso de la tensión, obedece a la ley de Hooke para pequeñas cantidades.
Asimismo, la cantidad de compresión es pequeña para ser dejada de lado en nuestro cálculos. Sin embargo,
esa compresión es la fuente de la fuerza normal. Sin compresión no hay fuerza normal.
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Preguntas del Capítulo
1. ¿Qué es la inercia? Da algunos ejemplos.
2. ¿Cuál es la diferencia entre los marcos de referencia inercial y no inercial?
3. Establece la relación entre masa e inercia
4. Un chico parece caerse para atrás en un colectivo en aceleración. ¿Qué propiedad ilustra esto?
5. Un pescador está parado en un bote que se mueve hacia adelante en dirección a la playa. ¿Qué le pasa
al pescador cuando el bote choca con la playa?
6. Un pasajero está sentado en un tren detenido. Hay algunos objetos en la mesa: una manzana, una caja
de caramelos, y una lata de gaseosa. ¿Qué le sucede a todos estos objetos con respecto a los pasajeros
cuando el tren acelera hacia adelante?
7. Un objeto está en equilibrio. ¿Esto significa que no hay fuerzas actuando sobre el mismo?
8. Una piedra es arrojada verticalmente hacia arriba y se detiene en su punto más alto por un segundo.
¿Está la piedra en equilibrio en ese punto? ¿Hay fuerzas actuando sobre la piedra?
9. ¿Es posible para un objeto tener una aceleración cero y velocidad cero cuando sólo una fuerza actúa
sobre él?
10. ¿Es posible que un auto se mueva a una velocidad constante cuando su motor está apagado?
11. Dos niños están tirando un dinamómetro en direcciones opuestas. ¿Cuánto marca el dinamómetro si
cada niño aplica una fuerza de 50 N?
12. Se produce mucho más daño a un auto que a un camión cuando éstos colisionan. ¿Esto responde a la
Tercera Ley de Newton?
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Problemas del Capítulo
Ley de Newton:
Ejemplos
1. Un auto de juguete de 0.40 kg se mueve con una aceleración constante de 2.3 m/s 2. Determina la
fuerza neta aplicada que es responsable de esa aceleración.
2. Una fuerza neta horizontal de 175 N se aplica a una bicicleta cuya masa es de 43 kg, ¿qué
aceleración se produce?
3. ¿Qué fuerza promedio se requiere para detener un carrito de compras de 7 kg en 2 s si inicialmente
se mueve a 3.5 m/s?
4. Una bala de cañón de 7.5 kg sale del cañón a 185 m/s. Encuentra la fuerza neta promedio aplicada a
la bala si la boca del cañón tiene un largo de 3.6 m.
Trabajo en Clase
5. Un bloque de madera es tirado con una aceleración constante de 1.4 m/s2. Encuentra la fuerza neta
aplicada sobre el bloque si la masa es de 0.6 kg.
6. Una fuerza neta de 95 N es aplicada a un bloque de hielo con una masa de 24 kg. Encuentra la
aceleración del bloque si se mueve sobre una superficie lisa horizontal.
7. Una fuerza neta de 345 N acelera un niño en un trineo a 3.2 m/s2. ¿Cuál es la masa combinada del
niño y el trineo?
8. ¿Qué fuerza promedio se necesita para detener un camión de 8500 kg en 10 s si está inicialmente
viajando a 20 m/s?
9. ¿Qué fuerza neta promedio se necesita para acelerar una bala de 9.5 g detenida a 650 m/s 2 sobre la
distancia de 0.85 m a lo largo del cañón de un rifle?
Trabajo en casa
10. Un estudiante de física empujó una carga de 50 kg por el piso, acelerándola a una velocidad de 1.5
m/s2. ¿Cuánta fuerza aplicó?
11. Una fuerza neta de 10,000 N está acelerando un auto a una velocidad de 5.5 m/s2. ¿Cuál es la masa
del auto?
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12. Un niño pedalea su bicicleta con una fuerza horizontal de 235 N si la masa total del niño y su
bicicleta es 40 kg, ¿cuánto están acelerando?
13. Un nadador de 45 kg de una posición de descanso alcanza una velocidad de 12 m/s en una distancia
de 20 m. ¿Cuánta fuerza neta debe ser aplicada para lograr esto?
14. Una fuerza neta de 3000 N está acelerando un ascensor de 1200 kg hacia arriba. Si el ascensor
empieza desde una posición de descanso, ¿Cuánto tiempo tomará para subir 15 m?
15. Un paracaidista de 57 kg cae por el aire. ¿Cuánta fuerza lo está empujando hacia abajo?
16. Una fuerza neta de 34 N es aplicada para acelerar un objeto a una velocidad de 2.5 m/s2. ¿Cuál es la
masa del objeto?
17. Un corredor ejerce una fuerza neta de 225 N para acelerar a una velocidad de 3 m/s2. ¿Cuál es la
masa del corredor?
18. ¿Qué fuerza neta se requiere para parar una bola de boliche de 4 kg en 0,5 s si inicialmente se
mueve a 10 m/s?
19. Un disco de hockey con una masa de 0,18 kg está en reposo sobre la superficie horizontal sin
fricción de la pista. Un jugador aplica una fuerza horizontal de 0,5 N al disco. Encuentra la velocidad
y la distancia recorrida 5 s después.
Masa y Peso
Ejemplos
20. Una mujer pesa 580 N. ¿Cuál es su masa?
21. Encuentra el peso de un elefante de 2000 kg.
22. Un astronauta tiene una masa de 85 kg. Calcula su peso en la Tierra y en la Luna de la Tierra (g luna =
1.6 m/s2). ¿Cambia su masa cuando va de la Tierra a la Luna?
Trabajo en Clase
23. Un auto pesa 14500 N. ¿Cuál es su masa?
Dynamics - 22
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24. Calcula el peso de un conejo de 4,5 kg.
25. En la superficie de Marte la aceleración debida a la gravedad es de 3.8 m/s 2. Un libro pesa 34 N en
la superficie de la Tierra. ¿Cuál es su masa en la superficie de la tierra? ¿Cuáles son su masa y peso
en la superficie de Marte?
Trabajo en casa
26. Un niño pesa 270 N. ¿Cuál es su masa?
27. Descubra el peso de una mesa de 60 kg.
28. Un marciano pesa 17 N en la superficie de Marte. Calcula el peso sobre la Tierra y los la Luna.
¿Cambia su masa a lo largo del viaje desde Marte a la Luna y a la Tierra?
29. Descubre el peso de un chip de computadora de 2 g.
30. ¿Cuál es la masa de un televisor de 330 N?
31. El robot de exploración de Marte, Spirit, tiene una masa de 836 kg. Calcula su peso en la Tierra y en
Marte.
Diagrama de cuerpo libre
32. Una caja descansa sobre una mesa. Dibuja y rotula claramente todas las fuerzas que actúan sobre
la caja; compara sus magnitudes y direcciones.
33. Un bloque de madera se mueve a una velocidad constante sobre una superficie rugosa horizontal.
Dibuja un diagrama de cuerpo libre que muestre claramente todas las fuerzas aplicadas al bloque;
compara sus magnitudes y direcciones.
34. Un niño tira un trineo horizontalmente a una velocidad constante sosteniendo una soga que está
unida al trineo.
a.
b.
c.
d.
Dynamics - 23
Muestra todas las fuerzas ejercidas sobre el trineo (no ignores la fricción
Muestra todas las fuerzas ejercidas sobre el niño (no ignores la fricción)
Muestra todas las fuerzas que actúan sobre la soga;
Usa la Ley de Newton para explicar las direcciones y magnitudes de todas las fuerza; compara
“acción” y “reacción”.
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35. Una grúa levanta una carga a una velocidad constante. Dibuja un diagrama de cuerpo libre para la
carga y compara las magnitudes y las direcciones ejercidas sobre el cajón.
36. Una grúa es acelerada a una velocidad constante a lo largo de un piso rugoso horizontal. Dibuja un
diagrama de cuerpo libre para la caja y compara todas las fuerzas ejercidas en el cajón.
37. Un disco de hockey se desliza sobre una superficie rugosa horizontal. Dibuja un diagrama de cuerpo
libre para el disco y compara las magnitudes y las direcciones de las fuerzas ejercidas sobre éste.
Problemas de Diagrama de cuerpo libre
Ejemplo
38. Un ascensor de 1500 kg se mueve hacia arriba y hacia abajo sobre un cable. Calcula la tensión en el
cable para los siguientes casos:
a. El ascensor se mueve a una velocidad constante hacia arriba
b. El ascensor se mueve a una velocidad constante hacia abajo
c. El ascensor se acelera hacia arriba a una velocidad constante de 1,2 m/s2.
d. El ascensor se acelera hacia abajo a una velocidad constante de 1,2 m/s2.
39. Una grúa acelera una carga de 175 kg hacia arriba. La tensión en el cable es de 2000 N. Encuentra
la magnitud y la dirección de la aceleración del ascensor.
Trabajo en clase
40. Una mujer de 65 kg está dentro de un ascensor. Calcula su peso aparente para los siguientes casos:
a. El ascensor se mueve a una velocidad constante hacia arriba
b. El ascensor se mueve a una velocidad constante hacia abajo
c. El ascensor acelera hacia arriba a una velocidad constante de 2,4 m/s2.
d. El ascensor acelera hacia abajo a una velocidad constante de ,.4 m/s2.
41. Un hombre de 800 N está parado sobre una balanza en un ascensor detenido. Cuando el ascensor
comienza a moverse, la balanza muestra 650 N. Encuentra la magnitud y la dirección de la
aceleración del ascensor.
Trabajo en casa
42. Un objeto de 56 kg está sujetado a una soga, que puede ser usada para mover la carga
verticalmente.
a. ¿Cuál es la fuerza de tensión en la soga cuando el objeto se mueve a una velocidad constante
hacia arriba?
b. ¿Cuál es la fuerza de tensión en la soga cuando el objeto acelera hacia abajo con una
aceleración constante de 1.8 m/s2?
c. ¿Cuál es la fuerza de tensión en la soga cuando el objeto acelera hacia arriba con una
aceleración constante de 1.8 m/s2?
43. Una carga de 140 kg esta sujetado a una grúa, que mueve la carga verticalmente. Calcula la tensión
en el cable para los siguientes casos:
a. La carga se mueve hacia abajo a una velocidad constante.
Dynamics - 24
v 1.0
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b. La carga acelera hacia abajo a una velocidad de 0,4 m/s2
c. La carga acelera hacia arriba a una velocidad de 0,4 m/s2
44. Un trabajador de 88 kg está parado sobre una balanza de baño dentro de un ascensor detenido.
Cuando el ascensor comienza a moverse la balanza muestra 900 N. Encuentra la magnitud y la
dirección de la aceleración del ascensor.
45. Un cable en el cual hay una fuerza de tensión de 12500 N sostiene un ascensor. ¿Cuál es la
magnitud y la dirección de la aceleración del ascensor si su masa total es de 1175 kg?
Fricción cinética
Ejemplos
46. El coeficiente de fricción cinética entre un objeto y la superficie sobre la que se desliza es 0,25. El
peso del objeto es de 20 N. ¿Cuál es la fuerza de fricción?
47. La fuerza de fricción entre un objeto y la superficie sobre la que se desliza es 12 N. El peso del
objeto es 20 N. ¿Cuál es el coeficiente de fricción cinética?
48. El coeficiente de fricción cinética entre un objeto y la superficie por la que se desliza es 0,40. La
masa del objeto es 3,2 kg. ¿Cuál es la fuerza de fricción?
49. La fuerza de fricción entre un objeto y la superficie sobre la que se desliza es 15 N. El peso del
objeto es 20 kg. ¿Cuál es el coeficiente de fricción cinética?
Trabajo en clase
50. El coeficiente de fricción cinética entre un objeto y la superficie por la que se desliza es 0,40. El peso
del objeto es 80 N. ¿Cuál es la fuerza de fricción?
51. El coeficiente de fricción cinética entre un objeto y la superficie por la que se desliza es 0.6. La masa
del objeto es 12 kg. ¿Cuál es la fuerza de fricción?
52. La fuerza de fricción entre un objeto y la superficie sobre la que se desliza es 15 N y el coeficiente de
fricción entre ellos es 0.70. ¿Cuál es el peso del objeto?
53. La fuerza de fricción entre un objeto y la superficie sobre la que se desliza es 250 N y el coeficiente
de fricción es 0.80. ¿Cuál es la masa del objeto?
54. La fuerza de fricción entre un objeto y la superficie sobre la que se desliza es 36 N. El peso del
objeto es 85 N. ¿Cuál es la fuerza de fricción?
Trabajo en casa
Dynamics - 25
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55. El coeficiente de fricción cinética entre un objeto y la superficie por la que se desliza es 0,10. La
masa del objeto es 8 kg. ¿Cuál es la fuerza de fricción?
56. La fuerza de fricción entre un objeto y la superficie sobre la que se desliza es 46 N y el coeficiente de
fricción es 0,30. ¿Cuál es el peso del objeto?
57. La fuerza de fricción entre un objeto y la superficie sobre la que se desliza es 360 N. La masa del
objeto es 95 kg. ¿Cuál es el coeficiente de fricción cinética?
58. La fuerza de fricción entre un objeto y la superficie sobre la que se desliza es 126 N y el coeficiente
de fricción es 0,20. ¿Cuál es la masa del objeto?
59. La fuerza de fricción entre un objeto y la superficie sobre la que se desliza es 12 N y el coeficiente de
fricción es 0,60. ¿Cuál es el peso del objeto?
60. El coeficiente de fricción cinética entre un objeto y la superficie por la que se desliza es 0,15. La
masa del objeto es 16 kg. ¿Cuál es la fuerza de fricción?
61. La fuerza de fricción entre un objeto y la superficie sobre la que se desliza es 3.5 N. La masa del
objeto es 4kg. ¿Cuál es el coeficiente de fricción cinética?
62. La fuerza de fricción entre un objeto y la superficie sobre la que se desliza es 100 N y el coeficiente
de fricción entre ellos es 0,24. ¿Cuál es la masa del objeto?
** Fricción Estática
Ejemplos
Un objeto detenido de 15 kg está ubicado sobre una mesa cerca de la superficie de la tierra. El
coeficiente de fricción estática entre las superficies es 0,40 y el coeficiente de fricción cinética es 0,25.
63. ** Una fuerza horizontal de 20 N es aplicada al objeto.
a. Dibuja un diagrama de cuerpo libre con las fuerzas a escala.
b. Determina la fuerza de fricción
c. Determina la aceleración del objeto.
64. ** Una fuerza horizontal de 40 N es aplicada al objeto.
a. Dibuja un diagrama de cuerpo libre con las fuerzas a escala.
b. Determina la fuerza de fricción.
c. Determina la aceleración del objeto
65. ** Una fuerza horizontal de 60 N es aplicada al objeto.
a. Dibuja un diagrama de cuerpo libre con las fuerzas a escala.
b. Determina la fuerza de fricción.
c. Determina la aceleración del objeto
Dynamics - 26
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66. ** Una fuerza horizontal de 100 N es aplicada al objeto.
a. Dibuja un diagrama de cuerpo libre con las fuerzas a escala
b. Determina la fuerza de fricción.
c. Determina la aceleración del objeto
Trabajo en clase
Un objeto detenido de 250 kg está ubicado sobre una mesa cerca de la superficie de la tierra. El
coeficiente de fricción estática entre las superficies es 0,30 y el coeficiente de fricción cinética es 0,15.
67. ** Una fuerza horizontal de 100 N es aplicada al objeto.
a. Dibuja un diagrama de cuerpo libre con las fuerzas a escala.
b. Determina la fuerza de fricción.
c. Determina la aceleración del objeto
68. ** Una fuerza horizontal de 100 N es aplicada al objeto.
a. Dibuja un diagrama de cuerpo libre con las fuerzas a escala
b. Determina la fuerza de fricción.
c. Determina la aceleración del objeto
69. ** Una fuerza horizontal de 100 N es aplicada al objeto.
a. Dibuja un diagrama de cuerpo libre con las fuerzas a escala
b. Determina la fuerza de fricción.
c. Determina la aceleración del objeto
70. ** Una fuerza horizontal de 100 N es aplicada al objeto.
a. Dibuja un diagrama de cuerpo libre con las fuerzas a escala
b. Determina la fuerza de fricción.
c. Determina la aceleración del objeto
Trabajo en casa
Un objeto de 2 kg está ubicado sobre una mesa cerca de la superficie de la tierra. El coeficiente de
fricción estática entre las superficies es 0,80 y el coeficiente de fricción cinética es 0,65.
71. ** Una fuerza horizontal de 5 N es aplicada al objeto.
a. Dibuja un diagrama de cuerpo libre con las fuerzas a escala
b. Determina la fuerza de fricción.
c. Determina la aceleración del objeto
72. ** Una fuerza horizontal de 10 N es aplicada al objeto.
a. Dibuja un diagrama de cuerpo libre con las fuerzas a escala
b. Determina la fuerza de fricción.
c. Determina la aceleración del objeto
73. ** Una fuerza horizontal de 16 N es aplicada al objeto.
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a. Dibuja un diagrama de cuerpo libre con las fuerzas a escala
b. Determina la fuerza de fricción.
c. Determina la aceleración del objeto
74. ** Una fuerza horizontal de 100 N es aplicada al objeto.
a. Dibuja un diagrama de cuerpo libre con las fuerzas a escala
b. Determina la fuerza de fricción.
c. Determina la aceleración del objeto
Problemas Generales
Trabajo en Clase
75. Un tren con una masa de 25000 kg incrementa su velocidad de 10 m/s a 25 m/s en 20 segundos.
Asume que la aceleración es constante y que no puedes obviar la fricción.
a. Encuentra la aceleración del tren
b. Encuentra la distancia recorrida durante estos 20 s
c. Dibuja un diagrama de cuerpo libre para el tren
d. Encuentra la fuerza neta promedio aplicada por la locomotora.
Trabajo en casa
76. Una motocicleta de 150 kg empieza desde una posición detenida y acelera a una velocidad
constante a lo largo de una distancia de 350m. la fuerza aplicada es de 250 N y el coeficiente de
fricción cinética es 0.03.
a. Dibuja un diagrama de cuerpo libre para la motocicleta mostrando las fuerzas aplicadas a
escala. Al lado del diagrama muestra la dirección de la aceleración;
b. Encuentra la fuerza neta aplicada a la motocicleta
c. Encuentra la aceleración de la motocicleta;
d. ¿Cuál es la velocidad al final de los 350 m?
e. Encuentra el tiempo transcurrido de esta aceleración,
Trabajo en clase
77. ** Dos bloques con masas m 1 = 400 g and m2 = 600 g, están conectadas por un cordel sobre una
mesa sin fricción. Una fuerza F= 3.5 N es aplicada al bloque m 2.
a. Dibuja un diagrama de cuerpo libre para cada bloque mostrando las fuerzas aplicadas a
escala. Al lado de cada diagrama muestra la dirección de la aceleración de ese objeto.
b. Encuentra la aceleración de cada objeto
c. Encuentra la fuerza de tensión en el cordel entre los dos objetos.
Tarea para el hogar
Dynamics - 28
v 1.0
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78. Dos cajas están ubicadas en una superficie horizontal sin fricción, como se muestra arriba. La caja A
tiene una masa de 10 kg y la caja B tiene una masa de 16 kg. Una fuerza de 54 N está empujando la
caja A.
a. Dibuja un diagrama de cuerpo libre para cada bloque mostrando las fuerzas aplicadas a
escala. Al lado de cada diagrama muestra la dirección de la aceleración de ese objeto.
b. Encuentra la aceleración del sistema de cajas
c. Encuentra la fuerza de contacto que cada caja ejerce sobre la adyacente.
Trabajo en clase
79. Una carga de 12 kg cuelga de un extremo de una cuerda que pasa por una pequeña polea sin
fricción. Un contrapeso de 15 kg está suspendido del otro extremo de la cuerda. El sistema está
suelto del resto.
a. Dibuja un diagrama de cuerpo libre para cada bloque mostrando las fuerzas aplicadas a
escala. Al lado de cada diagrama muestra la dirección de la aceleración de ese objeto.
b. Encuentra la aceleración de cada masa
c.
¿Cuál es la fuerza de tensión de la cuerda?
d. ¿Qué distancia se mueve la carga de 12 kg en los primeros 3 s?
e. ¿Cuál es la velocidad de la masa de 15 kg al final de 5 s?
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80. Las masas de los bloques A y B son de 4,5 kg y 3,7 kg respectivamente. Los bloques están
inicialmente detenidos y conectados por un cordel sin masa que pasa por una polea sin masa y sin
fricción. El sistema se libera desde el reposo
a. Dibuja un diagrama de cuerpo libre para cada bloque mostrando las fuerzas aplicadas a
escala. Al lado de cada diagrama muestra la dirección esperada de la aceleración.
b. ¿Cuál es la aceleración de los bloques?
c.
¿Cuál es la fuerza de tensión en el cordel?
d. ¿Cuán alto se moverá el bloque de 3.7 kg en los primeros 2.5 s?
e. Encuentra la velocidad del bloque de 4.5 kg al final de 5to segundo.
Trabajo en clase
81. Un bloque de 500 g está apoyado sobre una mesa horizontal. El coeficiente de fricción cinética entre
el bloque y la superficie es 0,25. El bloque está conectado por una soga sin masa a un segundo
bloque de masa 300 g. El cordel pasa por una polea ligera sin fricción como se muestra arriba. El
sistema se libera desde el reposo
a. Dibuja un diagrama de cuerpo libre claramente rotulado para cada masa de 500 g y 300 g.
Incluye todas las fuerzas y dibújalas en escala relativa. Dibuja la dirección esperada de la
aceleración al lado de cada diagrama de cuerpo libre.
b. Usa la Segunda Ley de Newton para escribir la ecuación para la masa de 500 g.
c.
Usa la Segunda Ley de Newton para escribir la ecuación de la masa de 300 g.
d. Encuentra la aceleración del sistema resolviendo simultáneamente el sistema de dos
ecuaciones.
e. ¿Cuál es la fuerza de tensión en la soga?
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800 g
400g
82. Un bloque de 800 g se encuentra en reposo sobre una mesa horizontal. La fricción entre la mesa y
el bloque es insignificante. El bloque está conectado por una cuerda sin masa a un segundo bloque
con masa de 400 g. La cuerda pasa a través de una polea sin fricción como se muestra arriba. El
sistema se libera desde el reposo.
a. Dibuja un diagrama de cuerpo libre claramente rotulado para cada masa de 800 g y 400g.
Incluye todas las fuerzas y dibújalas en escala relativa. Dibuja la dirección esperada de la
aceleración al lado de cada diagrama de cuerpo libre.
b. Usa la Segunda Ley de Newton para escribir una ecuación para la masa de 800 g.
c.
Usa la Segunda Ley de Newton para escribir una ecuación para la masa de 400 g.
d. Encuentra la aceleración del sistema resolviendo el sistema de dos ecuaciones.
e. ¿Cuál es la fuerza de tensión en la soga?
Trabajo en casa
83. ** Un cajón con una masa de 45 kg está suspendido de una cuerda sin masa que corre verticalmente
hacia arriba sobre una ligera polea. El otro extremo de la cuerda está conectado a un cajón de 35 kg,
que reposa sobre una mesa. Los coeficientes de fricción cinética y la fricción estática entre el cajón y
la superficie es 0,3 y 0,5 respectivamente. Una fuerza aplica F empuja el cajón de 35 kg hacia la
derecha.
a. En el primer caso, la fuerza aplicada es sólo suficiente para evitar que los cajones se
deslicen. Dibuja diagramas de cuerpo libre claramente rotulados para cada cajón incluyendo
las fuerzas dibujadas a escala.
b. ¿Cuánta fuerza se necesitaría aplicar en el primer caso?
Dynamics - 31
v 1.0
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c.
En el segundo caso, el cajón de 35 kg se desliza a la derecha con una velocidad constante.
Dibuja diagramas de cuerpo libre claramente rotulados incluyendo las fuerzas dibujadas a
escala.
d. ¿Cuánta fuerza se necesitaría aplicar en el segundo caso?
e. En el tercer caso, el cajón de 35 kg se mueve a la derecha con una aceleración constante de
0,5 m/s2. Dibuja diagramas de cuerpo libre claramente rotulados para cada cajón incluyendo
todas las fuerzas dibujadas a escala. En este ejemplo, dibuja la dirección de la aceleración al
lado de cada diagrama.
f.
¿Cuánta fuerza se necesitaría aplicar en el tercer caso?
Trabajo en clase
84. ** Un auto de 2000 kg viaja en línea recta en un camino horizontal. La relación entre la velocidad del
auto y el tiempo están dados en el gráfico arriba.
a. ¿Cuál es la aceleración del auto durante los primeros 20 s?
b. ¿Cuál es la fuerza neta aplicada por el motor durante los primeros 20 s?
c.
¿Cuál es la aceleración del auto desde 20 s a 40 s?
d. ¿Cuál es la fuerza neta aplicada por el motor durante este tiempo?
e. ¿Cuál es la aceleración del auto desde 40 s a 50 s?
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v 1.0
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f.
¿Cuál es la fuerza neta aplicada por el motor durante este tiempo?
Trabajo en casa
85. ** Una motocicleta de 180 kg viaja en línea recta en un camino horizontal. La relación entre la
velocidad de la motocicleta y el tiempo está dada en el gráfico arriba.
a. ¿Cuál es la aceleración durante los primeros 5 s?
b. ¿Cuál es la fuerza neta durante los primeros 5 s?
c.
¿Cuál es la aceleración desde 5 s a 10 s?
d. ¿Cuál es la fuerza neta desde 5 s a 10 s?
e. ¿Cuál es la aceleración desde 10 s a 15 s?
f.
¿Cuál es la fuerza neta desde 10 s a 15 s?
g. ¿Cuál es la aceleración desde 15 s a 25 s?
h. ¿Cuál es la fuerza neta desde 15 s a 25 s?
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1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
0,92 N
4,07 m/s2
-12,25 N
35651 N
0,84 N
3,96 m/s2
107,8 kg
-17000 N
2361 N
75 N
1818 kg
12)
5,875 m/s2
13) 162 N
14) 3,46 s
15) 558,6 N
16) 13,6 kg
17)
75 kg
18) -80 N
19) 13,9 m/s
34,75 m
20) 59,2 kg
21) 19600 N
22) 833 N
136 N
No
23) 1479,6 kg
24) 44,1 N
25) 3,47 kg
3,47 kg
13,2 N
26) 27,6 kg
27) 588 N
28) 43,8 N
7,16 N
No
29) 0,0196 N
30) 33,7 kg
31) 8192,8 N
3176,8 N
32-37) ultima
pagina
48)
49)
50)
51)
52)
53)
54)
55)
0,39
64,3 kg
20 N
23,52 N
0,09
42,5 kg
a) balanceada
b) 20 N
c) 0 m/s2
56) a) balanceada
b) 40 N
c) 0 m/s2
57) a) balanceada
b) 60 N
c) 0m/s2
58) a)
43) 70,56 N
44) 17,1 N
45) 31,9 kg
46) 0,42
47) 7,84 N
Dynamics - 34
b) 10 N
c) 0 m/s2
65) a) balanceada
b) 16 N
c) 0 m/s2
66) a) balanceada
b) 20 N
c) 0 m/s2
78) a) A
FN
FB-A
mBg
FA-B
mBg
b) a = 2,08 m/s2
c) T = 33,3 N
67) a) 14700N
79) a) FT
b) 14700N
c) 16500 N
d) 12900 N
68) 1,63 m/s
69) a) 637 N
m/s2
b) 637 N
c) 793 N
d) 481 N
80) a ) FT
FFr
Fapp
mg
b) 300 N
c) 0 m/s2
60) a)
FN
FFr
Fap
mg
b) 500 N
c) 0 m/s2
61) a)
FN
Ffr
b) 228
c) 649,6 N
m2g
b) a = 0,96 m/s2
c) T = 39,8 N
d) x = 3 m
e) v = 4,8 m/s
72) a) 1372 N
73) +0,43 m/s2
74) +0,84 m/s2
81) b) FT-FFR=m1a
75) a) 0,75 m/s2
b) 350 m
c) fuerza neta en
dirección de Fapp
d) 18750 N
76) a) fuerza neta dirección Fapp
b) 205,9 N
c) 1,37 m/s2
d) 31 m/s
e) 22,6 s
62) a)
FN
b) 2000 N
c) 0 m/s2
d) 0 N
e) -2 m/s2
f) -4000 N
a=
FT
FN
Ffr
mg
Fap
FA
m2g
b) a = 3,5 m/s2
c) T = 1,4 N
b) 375 N
c) 4,5 m/s2
63) a) balanceada
b) 5 N
c) 0 m/s2
v 1.0
c)FT-m2g=-m2a
d) a = 3,33 m/s2
e) T = 2,664 N
84) a) 1 m/s2
a=
m1g
m2
82) b) FT =m1a
d) F = 543,9 N
f) F = 583,9 N
FT
mg
b) 750 N
c) 0 m/s2
c)FT-m2g=-m2a
d) a = 2,14 m/s2
e) T = 2,3 N
83) b) F = 269,5 N
77) a) m1 FN
Fap
FT
m1g
b) 1316 N
c) 1428 N
59) a) FN
FT
m1g
m2g
b) a = 1,1 m/s2
c) T = 130,5 N
d) x = 4,95 N
e) v = 5,5 m/s
2
70) -1.84 m/s
71) a) 548,8 N
b) 37.5
c) 4.167
FA
mAg
2
38) 5 N
39) 0,6
40) 12,5 N
41) 0,077
42) 32 N
Respuestas
64) a) balanceada
153,3 N
85) a) 2 m/s2
b) 360 N
c) 0 m/s2
d) 0 N
e) -1 m/s2
f) -180 N
g) -0,5 m/s2
h)-90 N
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F
N
32)
mg
33)
FN
Ff
Fappl
r
mg
34) a) trineo
ied
b) niño
FN
c) soga
FN
trineo
Ffr
FT
mg
Dynamics - 35
FT
niño
Ffr
mg
v 1.0
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35)
FT
mg
FN
36)
Ffr
Faplicada
mg
FN
37)
Ffr
mg
Dynamics - 36
v 1.0
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