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TEMA 9. ÁGULOS Y RECTAS
9.1. Rectas, semirrectas y segmentos.
 RECTA: ES LA LÍNEA QUE PASA POR DOS PUNTOS, Y ES
INFINITAMENTE LARGA HACIA AMBOS LADOS. NO TIENE PRINCIPIO NI
FIN.
- Sobre el papel, es imposible dibujar una recta entera porque es infinita.
- Por dos puntos sólo pasa 1 recta.
- Por un punto pueden pasar infinitas rectas.
 SEMIRRECTA: ES CADA UNA DE LAS DOS PARTES QUE QUEDAN AL
DIVIDIR UNA RECTA POR UN PUNTO. ES COMO LA MITAD DE UN
RECTA: EMPIEZA EN UN PUNTO PERO ES INFINITAMENTE LARGA
HACIA UN LADO.
- Al punto del extremo donde empieza la semirrecta se le llama extremo.
 SEGMENTO: ES EL TROZO DE RECTA QUE HAY ENTRE DOS PUNTOS
DIBUJADOS SOBRE LA MISMA RECTA. TIENE UN PRINCIPIO Y UN FIN.
- A los puntos donde empieza y termina el segmento se les llama extremos.
POSICIONES RELATIVAS DE LAS RECTAS:
- SECANTES: CUANDO SE CRUZAN LAS 2 RECTAS EN UN PUNTO, COMPARTEN
1 SOLO PUNTO.
- PARALELAS: CUANDO NO SE CRUZAN NUNCA, NO TIENEN PUNTOS EN
COMÚN.
- COINCIDENTES: CUANDO UNA RECTA ESTÁ ENCIMA DE OTRA, TODOS LOS
PUNTOS SON COMUNES.
- PERPENDICULARES: SON RECTAS SECANTES QUE FORMAN 4 PARTES
IGUALES.
- Para dibujar rectas se utilizan los instrumentos de dibujo: regla, escuadra y cartabón.
- Para dibujar rectas perpendiculares se utiliza la escuadra casi siempre.
EJERCICIO 1: Dibuja en tu cuaderno un punto y 3 rectas que pasen por él.
EJERCICIO 2: Dibuja en tu cuaderno 2 puntos y la recta que pasa por ellos.
EJERCICIO 3: Dibuja en tu cuaderno un punto y 3 semirrectas que salgan de él.
EJERCICIO 4: Dibuja en tu cuaderno una recta y 2 puntos sobre la misma recta, luego
señala con distinto color los segmentos y semirrectas que se formen.
EJERCICIO 5: Mira a tu alrededor y busca, en las formas de las cosas que ves, rectas
secantes, paralelas, coincidentes y perpendiculares.
9.2. Ángulos.
 ÁNGULO: ES EL ESPACIO QUE HAY ENTRE 2 SEMIRRECTAS QUE
TIENEN EL MISMO EXTREMO O, LO QUE ES LO MISMO, QUE EMPIEZAN
EN EL MISMO PUNTO.
- A las dos líneas se les llama lados y al punto común se le llama vértice.
TIPOS DE ÁNGULOS:
- ÁNGULO NULO: ES CUANDO LOS DOS LADOS ESTÁN UNO ENCIMA DEL
OTRO, NO HAY ABERTURA.
- ÁNGULO RECTO: ES CUANDO SUS LADOS SON PERPENDICULARES.
- ÁNGULO LLANO: ES CUANDO LOS DOS LADOS ESTÁN EN LA MISMA RECTA
PERO CADA UNO A UN LADO.
POSICIONES RELATIVAS DE LOS ÁNGULOS:
- OPUESTOS POR EL VÉRTICE: LOS LADOS DE UNO SON CONTINUACIONES
DEL OTRO Y EL VÉRTICE ES EL MISMO. FORMAN UNA ESPECIE DE CRUZ O
ASPA.
- CONSECUTIVOS: EL VÉRTICE ES EL MISMO Y COMPARTEN UN LADO.
- ADYACENTES: SON DOS ÁNGULOS QUE COMPARTEN UN LADO Y ADEMÁS
FORMAN ENTRE LOS DOS UN ÁNGULO LLANO.
- COMPLEMENTARIOS: SON DOS ÁNGULOS SEPARADOS QUE AL PONERLOS
CONSECUTIVOS FORMAN UN ÁNGULO RECTO.
- SUPLEMENTARIOS: SON DOS ÁNGULOS SEPARADOS QUE AL PONERLOS
CONSECUTIVOS FORMAN UN ÁNGULO LLANO.
EJERCICIO 1: Mira a tu alrededor y busca todos los tipos de ángulos.
EJERCICIO 2: Identifica tipos de ángulos entre los siguientes:
EJERCICIO 3: Encuentra las posiciones relativas entre estos ángulos.
9.3. Operaciones con ángulos.
 SUMA DE ÁNGULOS: PARA SUMAR ÁNGULOS HAY QUE PONERLOS
UNO DETRÁS DE OTRO UNIÉNDOLOS POR EL VÉRTICE Y HACIENDO
COINCIDIR UNO DE LOS LADOS. LA ABERTURA QUE QUEDA ENTRE
LOS LADOS QUE NO COINCIDEN ES LA SUMA DE ESOS ÁNGULOS.
Ejemplo:
 RESTA DE ÁNGULOS: PARA RESTAR ÁNGULOS SE PONE UNO ENCIMA
DE OTRO HACIENDO COINCIDIR EL VÉRTICE Y UN LADO. LA
ABERTURA QUE QUEDA ENTRE LOS LADOS NO COINCIDENTES ES EL
ÁNGULO RESTA.
Ejemplo:
 PRODUCTO DE UN ÁNGULO CON UN NÚMERO NATURAL: ES LO
MISMO QUE SUMAR EL ÁNGULO A SÍ MISMO TANTAS VECES COMO
INDICA EL NÚMERO NATURAL QUE MULTIPLICA.
Ejemplo:
EJERCICIO 1: Suma y resta dos ángulos que dibujes antes.
EJERCICIO 2: Haz el producto de un ángulo que dibujes por 3.
9.4. Sistema sexagesimal.
 EL SISTEMA SEXAGESIMAL ES EL QUE SE UTILIZA PARA MEDIR
ÁNGULOS.
Al igual que la masa se mide en kilogramos, el volumen en litros, la temperatura en
grados centígrados, pues, la abertura de los ángulos se mide en grados sexagesimales.
La palabra sexagesimal viene de que cada unidad es 60 veces mayor que la anterior, lo
mismo que los sistemas centesimales las unidades son 100 veces mayor.
UNIDAD DE MEDIDA DE ÁNGULOS: GRADO SEXAGESIMAL
 LOS ÁNGULOS SE MIDEN EN GRADOS SEXAGESIMALES.
Se representan por un cerito en pequeño a la derecha y arriba de la cantidad de grados
(˚).
Por ejemplo, un ángulo recto mide 90º.
Al mismo tiempo:
 UN GRADO SEXAGESIMAL TIENE 60 MINUTOS Y SE EXPRESA ASÍ: 60’
Y también:
 UN MINUTO TIENE 60 SEGUNDOS Y SE EXPRESA ASÍ: 60”
Por tanto se puede decir que un grado tiene 3600 segundos porque 60x60 = 3600.
x 60
GRADOS ˚
MINUTOS ‘
: 60
x 60
: 60
x 3600
: 3600
SEGUNDOS “
Ejemplos:
¿ Cuántos grados son 3000’ ?
¿ Cuántos segundos son 13º ?
Tengo minutos (3000’) y me piden
grados.
Tengo grados
segundos.
De minutos a grados: : 60
De grados a segundos: x 3600
Por tanto, 3000’ : 60 = 50º
Por tanto, 13º x 3600 = 46800”
3000’ son 50º
13º son 46800”
(13º)
y me
piden
Para medir los ángulos directamente del papel se utiliza el transportador de ángulos.
REPRESENTACIÓN COMPLEJA DE LA MEDIDA DE ÁNGULOS
Si tenemos una cantidad cualquiera de grados, minutos o segundos:
 SE PUEDE EXPRESAR CUALQUIER
SEXAGESIMALES DE LA FORMA: º ‘ “
CANTIDAD
EN
UNIDADES
Ejemplos: 2º 03’ 25” 1º 00’ 56” 8’ 23” 5º 45’
El primer caso se leería: “Dos grados, tres minutos y veinticinco segundos”.
Para convertir una cantidad cualquiera de grados, minutos o segundos en la forma
compleja se hace lo siguiente:
 SE DIVIDE LA CANTIDAD DE SEGUNDOS POR SESENTA, EL RESTO
LOS SEGUNDOS DEL RESULTADO FINAL, Y EL COCIENTE
MINUTOS QUE SE VUELVE A DIVIDIR POR 60, DONDE EL RESTO
LOS MINUTOS DEL RESULTADO FINAL Y EL COCIENTE SON
GRADOS.
Ejemplo: Expresar en forma compleja: 10000”
Primer paso: como nos da la cantidad en segundos, dividimos por 60 directamente:
10000 60
040
166
040
04
En esta división el resto son los segundos que van a figurar al final: 04”
SON
SON
SON
LOS
Segundo paso: El cociente son los minutos que quedan todavía. Como son más de 60 se
divide también:
166
046
60
2
El resto de la división son los minutos que lleva el número final: 46’
El cociente ya son los grados que lleva el resultado final: 2º
Resultado: Por tanto, la forma compleja de escribir 10000” es: 2º 46’ 04”
EJERCICIO 1: Dibuja con el transportador los ángulos: 40º, 65º, 130º, 95º
EJERCICIO 2: Dibuja dos ángulos cualesquiera y mídelos con el transportador.
EJERCICIO 3: ¿Cuántos segundos son 3 minutos?
EJERCICIO 4: ¿Cuántos grados son 12600 segundos?
EJERCICIO 5: Expresa en forma compleja estas cantidades: 8000”, 329’
9.5. Operaciones con ángulos.
SUMA DE ÁNGULOS EN EL SISTEMA SEXAGESIMAL
 PARA SUMAR ÁNGULOS SE SUMAN LOS GRADOS CON GRADOS,
MINUTOS CON MINUTOS Y SEGUNDOS CON SEGUNDOS, LUEGO SI LOS
SEGUDNOS SON MAYORES QUE 60 SE PASAN A MINUTOS Y SE SUMAN, Y
SI EL RESULTADO DE LOS MINUTOS ES MAYOR QUE 60 SE PASAN A
GRADOS Y SE SUMAN.
Ejemplo: Calcular la suma: 2º 47’ 58” + 5º 39’ 21”
Primer paso: se suman las dos cantidades cada valor con el suyo:
2º 47’ 58”
+ 5º 39’ 21”
7º 86’ 79”
Segundo paso: como hay más de 60” hay que pasarlos a minutos dividiendo por 60:
79
19
60
1
Entonces, 79” son: 1’ 19”
Tercer paso: ahora se suma al resultado de antes, poniendo 00 en los segundos:
7º 86’ 00”
+
1’ 19”
7º 87’ 19”
Cuarto paso: como hay más de 60’ hay que pasarlos a grados dividiendo por 60:
87
27
60
1
Entonces, 87’ son: 1º 27’
Quinto paso: ahora se suma al resultado de antes, poniendo 00 en los minutos:
7º 00’ 19”
+ 1º 27’
8º 27’ 19”
Resultado: Por tanto: 2º 47’ 58” + 5º 39’ 21” = 8º 27’ 19”
EJERCICIO 1: Haz esta suma: 12º 44’ + 3º 25’
EJERCICIO 2: Haz esta suma: 3º 42’ 23” + 5º 59’ 48”
RESTA DE ÁNGULOS EN EL SISTEMA SEXAGESIMAL
 PARA RESTAR ÁNGULOS SE SUMAN LOS GRADOS CON GRADOS,
MINUTOS CON MINUTOS Y SEGUNDOS CON SEGUNDOS, PERO SI LA
CANTIDAD DEL SUSTRAENDO ES MAYOR QUE LA DEL MINUENDO, SE
RESTA UNO A LA CANTIDAD INMEDIATAMENTE SUPERIOR EN EL
MINUENDO Y SE SUMA 60 A ESA CANTIDAD.
Ejemplo: Calcular la resta: 10º 28’ 15” – 7º 45’ 30”
Primer paso: se intenta restar las dos cantidades:
10º 28’ 15”
– 7º 45’ 30”
Segundo paso: como al restar los segundos la cantidad del minuendo (15”) es menor
que la del sustraendo (30”), se le resta 1’ al minuendo (28’ – 1’ = 27’) y se suma 60” al
mismo (15” + 60” = 75”):
10º 27’ 75”
– 7º 45’ 30”
45”
Tercer paso: una vez restados los segundos, como al restar los minutos la cantidad del
minuendo (27’) es menor que la del sustraendo (45’), se le resta 1º al minuendo (10º –
1º = 9º) y se suma 60’ al mismo (27’ + 60’ = 87’):
9º 87’ 75”
– 7º 45’ 30”
42’ 45”
Cuarto paso: y ya para terminar se restan los grados:
9º 87’ 75”
– 7º 45’ 30”
2º 42’ 45”
Resultado: Por tanto: 10º 28’ 15” – 7º 45’ 30” = 2º 42’ 45”
EJERCICIO 1: Haz esta resta: 15º 42’ – 8º 56’
EJERCICIO 2: Haz esta resta: 7º 23’ 09” – 1º 59’ 59”