Download Elementos del plano.

U.D. 8
*
2º ESO
π
GEOMETRÍA PLANA
@ Angel Prieto Benito
Apuntes Matemáticas 2º ESO
1
U.D. 8.1
*
2º ESO
π
PUNTOS Y RECTAS
@ Angel Prieto Benito
Apuntes Matemáticas 2º ESO
2
PUNTO, RECTA Y PLANO
•
PUNTO
•
El punto es la entidad básica de geometría. Carece de dimensiones, es decir no tiene
largo, ni ancho ni espesor. Es el lugar de la recta, del plano o del espacio al que es
posible asignar una posición.
•
RECTA
•
La recta se puede definir como la sucesión de puntos alineados en una misma
dirección. Tiene longitud, pero no tiene ni anchura ni espesor.
•
•
SEMIRECTA
Una semirecta es cada una de las dos partes en que queda dividida una recta por un
punto. Tiene principio, pero no fin.
•
•
•
•
•
SEGMENTO
Es la parte de una recta limitada por dos puntos, A y B. Se representa por AB.
PLANO
Es una superficie tal que una recta que tenga dos puntos comunes con ella está
contenida totalmente en la misma.
@ Angel Prieto Benito
Apuntes Matemáticas 2º ESO
3
P
Punto
Recta
Plano
r
Segmento
π
A
B
@ Angel Prieto Benito
Apuntes Matemáticas 2º ESO
4
POSICIONES DE DOS RECTAS
•
•
•
•
Dos rectas del plano pueden
cortarse o no en un punto común.
Si es así se llaman secantes.
De todas las rectas secantes entre
sí un caso particular muy
importante es cuando forman un
ángulo de 90º, en cuyo caso se
llaman perpendiculares.
Si dos rectas no se cortan entre sí
es que son paralelas.
Un caso particular de rectas
paralelas es cuando son
coincidentes.
@ Angel Prieto Benito
r
r
s
s
r
s
Apuntes Matemáticas 2º ESO
r=s
5
ÁNGULO EN EL PLANO
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•
•
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•
•
•
El ángulo es la región del plano limitado por dos rectas que se cortan.
El vértice es el punto común de las dos rectas.
Los lados de un ángulo son las semirrectas que lo forman.
Los ángulos se miden en grados sexagesimales.
Un grado es lo que mide el ángulo que resulta de dividir un ángulo cuyos lados son
perpendiculares, en 90 partes iguales y tomar una de ellas.
Se representa por º.
1º = 60’ (minutos)
90º
1’ = 60” (segundos)
180º
0º
360º
α
270º
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6
MEDIDA DE ÁNGULOS
•
TRANSPORTADOR
•
El transportador es un semicírculo graduado que se utiliza para medir
ángulos. Está graduado de grado e grado, y en ambos sentidos.
•
Un ángulo es también la región del espacio limitada por dos planos que se
cortan. Una pared y el suelo de una habitación forman un ángulo de 90º.
α
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7
EXPRESIÓN COMPLEJA E INCOMPLEJA
•
EXPRESIÓN COMPLEJA E INCOMPLEJA DE ÁNGULOS
•
Una medida de ángulos se puede escribir como expresión compleja cuando
se indican grados (º), minutos (‘) y segundos (“).
•
Ejemplo:
•
Una medida del ángulo se puede escribir como expresión incompleja
cuando se indica sólo en una unidad.
•
•
•
Ejemplo:
Ejemplo:
Ejemplo:
•
PASO DE EXPRESIÓN COMPLEJA A INCOMPLEJA Y VICEVERSA
•
Se multiplica por 60, o se divide entre 60 según proceda.
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2º 21’ 14”
2’24º
214’
1234”
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8
Ángulos interiores de un triángulo
•
La suma de los ángulos interiores
de un triángulo es de 180º.
•
La suma de los ángulos interiores
de un polígono es:
S=180º.(n – 2) , donde n es el
número de lados.
EJEMPLOS
Triángulo
S=180º.(3 – 2)= 180º
Cuadrilátero
S=180º.(4 – 2)= 360º
Pentágono
S=180º.(5 – 2)= 540º
Exágono
S=180º.(6 – 2)= 720º
•
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•
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•
•
@ Angel Prieto Benito
B = 80º
A = 60º
C = 40º
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9
Ángulos centrales de un polígono
• Sea P un punto cualquiera de la
superficie de un polígono cualquiera.
• Desde el punto P trazamos rectas a
cada uno de los vértices del polígono.
• El polígono queda dividido en
triángulos, tantos como número de
lados tenga.
P
• Los ángulos centrales de un
polígono suman siempre 360º.
• Los ángulos de cada triángulo en que
se descompone suman siempre 180º
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Apuntes Matemáticas 2º ESO
10
SUMA DE ÁNGULOS
•
Para SUMAR ángulos:
•
•
1.- Se suman los grados con los grados, los minutos con los minutos y
los segundos con los segundos.
2.- Si una vez sumados los segundos son más de 60 se pasan a
minutos.
3.- Si una vez sumados los minutos son más de 60 se pasan a grados.
•
Ejemplo
•
Sumar
•
•
•
•
2º
21’
14”
7º
53’
49”
---------------------------9º
74’
63”
•
2º 21’ 14” con 7º 53’ 49”
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
9º
75’
3”
 10º 14’ 3”
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11
DIFERENCIA DE ÁNGULOS
•
Para RESTAR ángulos:
•
1.Se colocan los grados, minutos y segundos de cada tiempo en columnas,
teniendo en cuenta que el ángulo menor se coloca debajo del mayor.
2.Si el número de segundos del minuendo es menor que el número de segundos
del sustraendo, se resta un minuto a los minutos del minuendo y se suman 60
segundos a los segundos del minuendo.
3.Si el número de minutos del minuendo es menor que el número de minutos del
sustraendo, se resta una hora a los grados del minuendo y se suman 60 minutos a
los minutos del minuendo.
4.Se restan los grados con los grados, los minutos con los minutos y los
segundos con los segundos.
•
•
•
•
Ejemplo
•
Restar 3 º 57 " a
•
•
•
•
4º
3º
35 '
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57 "
4 º 35 '


4 º 34 ' 60 "
3º
57 "
---------------------------------1 º 34 ' 3 "
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MULTIPLICACIÓN DE ÁNGULOS
•
Para multiplicar ángulos por un número natural:
•
•
•
1.- Se multiplican los grados, los minutos y los segundos por dicho
número.
2.- Si segundos son más de 60 se pasan a minutos.
3.- Si los minutos son más de 60 se pasan a grados.
•
Ejemplo
•
Multiplicar por 7 el ángulo de 2 º 21 ' 14 "
•
•
•
•
2 º 21 '
14 "
x7
-------------------------14 º 147 '
98 "
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
14 º 148 ' 38 "
 16 º 28 ' 38 "
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13
DIVISIÓN DE ÁNGULOS
•
Para DIVIDIR un ángulo por un número natural:
•
•
1.Se dividen los grados entre dicho número y el resto se pasa a minutos, que se
suman a los minutos del dividendo.
2.Se dividen los minutos entre dicho número y el resto se pasa a segundos, que
se suman a los segundos del dividendo.
3.Se dividen los segundos entre el número.
•
Ejemplo
•
Dividir 13 º 39 ' 47 " entre 4
•
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•
•
•
•
•
•
13 º / 4 = 3,25 º = 3 º + 0,25 º
0,25 º = 60 x 0,25 = 15 '
39 ' + 15 ' = 54 '
54 ' / 4 = 13,5 ' = 13 ' + 0,5 '
0,5 ' = 60 x 0,5 = 30 "
47 " + 30 " = 77 "
77 " / 4 = 19 "
Luego (13 º 39 ' 47 ") : 4 = 3 º 13 ' 19 "
•
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14