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UNIDAD I. ÁNGULOS, TRIÁNGILOS,
POLÍGONOS Y CIRCUNFERENCIA
Tema. Ángulos
ÁNGULOS
CONCEPTOS GEOMÉTRICOS FUNDAMENTALES
D
entro de la geometría plana, existen conceptos fundamentales cuya definición
es un tanto complicada. Algunas veces tenemos la idea muy bien hecha pero
sólo en nuestro cerebro; y cuando queremos trasladar de manera escrita esa
idea surgen ciertas dificultades. De manera introductoria daremos algunas definiciones ya
preestablecidas de algunos entes geométricos.
Desde la antigüedad, han existido hombres de ciencia preocupados por establecer
definiciones correctas de figuras geométricas y que de alguna forma lograron sentar las
bases de la geometría plana. Entre los hombres que contribuyeron a dar estas bases
podemos mencionar a personajes como Tales de Mileto, Euclides, Arquímedes, Pitágoras,
etc.
Por ejemplo, Euclides recopilo muchos de los resultados geométricos conocidos en su
época y los reunió en su obra “Los elementos”, primer tratado formal de Geometría plana y
que en nuestros días se le conoce comúnmente como Geometría Euclidiana.
A continuación enlistaremos algunas definiciones importantes de ciertos entes geométricos
que nos serán de gran utilidad previos a un estudio de geometría plana:
Punto: se concibe como algo que carece de longitud, anchura, altura y que solamente
puede señalar una posición en el espacio. Un punto es la figura geométrica más simple del
espacio.
Línea recta: se define como una sucesión infinita consecutiva de puntos que se extienden
con una misma dirección.
Cuando tomemos solamente una porción de línea recta limitada por un solo punto,
estaremos hablando de una semirrecta. Ejemplo:
A
Pero si tomamos una porción de línea recta limitada por dos puntos, entonces estaremos
considerando un segmento de línea recta.
A
B
Plano: se puede definir como una figura geométrica que cuenta con longitud y anchura, pero que
no tiene altura. Las paredes de nuestra casa, los cristales de las ventanas y una hoja de papel; no
siendo tan estrictos, nos dan la idea de un plano.
CONCEPTO DE ÁNGULO
Si miramos a nuestro alrededor, se refleja la idea de ángulo. Así observamos sillas,
ventanas, casas, calles, árboles, etc., donde de alguna manera se encuentra muy bien
dibujada y plasmada la imagen de un ángulo.
Incluso este concepto es fundamental en la realización de ciertas actividades en la vida
diaria, especialmente cuando se practican actividades deportivas dentro de una
competencia. Por ejemplo, para un competidor en lanzamiento de jabalina es importante
elegir un buen ángulo de lanzamiento para llevarse el triunfo. En el juego de billar, es
necesario escoger un buen ángulo de golpeo para realizar una buena jugada. Para un
clavadista es fundamental caer con un ángulo totalmente perpendicular sobre la superficie
del agua para que su clavado sea muy bien calificado. Si el columpio de un niño, hace un
mayor ángulo de oscilación, este le proporciona mayor satisfacción al niño.
Como podemos darnos cuenta la idea de ángulo está presente por todos lados. A
continuación damos una definición de este concepto.
Angulo: es la abertura que se origina por dos
semirrectas que parten de un mismo punto, a este punto
se le llama vértice del ángulo.
A las semirrectas que forman la abertura, regularmente se les llaman lados
del ángulo. A pesar de que hay otras formas de denotar un ángulo,
optaremos por elegir la más práctica. Para designar un ángulo utilizaremos
una letra griega minúscula, una letra minúscula de nuestro alfabeto o en
dado caso números; los cuales escribiremos dentro de la abertura. Entre las
letras griegas más comunes para denotar ángulos se encuentran: (alfa),
(beta), (gamma), (teta), (delta), etc.
MEDICIÓN DE LOS ÁNGULOS EN EL PLANO
Dentro de los sistemas de medidas más importantes y usuales, se pueden mencionar dos:
el sistema sexagesimal y el sistema circular.
Sistema sexagesimal: Este sistema tiene sus orígenes con los babilónicos y es el más
utilizado hoy en día. Consiste en dividir a la circunferencia en
partes iguales (esta
decisión gracias a que los babilónicos manejaban un calendario de
días); cada una de
estas partes corresponde a un grado. A su vez un grado se divide en
partes iguales
para que cada una de estas conforme los minutos y un minuto se vuelve a dividir en
partes iguales las cuales conformaran los segundos.
En resumen:
a)
Un grado equivale a una de las trescientas
sesenta partes iguales en que se divide la
circunferencia.
Nota: la notación de un ángulo se hace mediante el
símbolo que se coloca después del número en la parte
superior.
b)
Un minuto es una de las sesenta partes iguales en las que se divide un grado. Para
denotar los minutos se usa el símbolo ´ que se coloca después del número en la parte
superior. Esto es:
c)
Un segundo es una de las sesenta partes iguales en las que se divide un minuto.
Para denotar los segundos se utiliza el símbolo ´´ que se coloca después del número en la
parte superior. Es decir:
Sistema circular: En este sistema se usa como unidad de
medida al radian. Un radian es un ángulo construido dentro de
una circunferencia, de tal manera que su vértice es el centro
de esta y sus lados son dos radios que delimitan una porción
de arco igual a la medida de estos. (Ver figura)
Después de haber definido cada uno de estos sistemas de medida se puede establecer
una correspondencia entre grados y radianes de la siguiente manera:
Consideremos cualquier circunferencia de radio , entonces su longitud equivale a
(Perímetro). Por definición de radian, la longitud de arco es , por lo tanto, el número de
arcos de longitud que caben en nuestra circunferencia es:
De esta manera, se deduce que una circunferencia tiene
radianes, pero por otro lado
sabemos que una circunferencia tiene
(sistema sexagesimal). Así tenemos que:
De aquí,
O bien,
OPERACIONES MÁS COMUNES CON ÁNGULOS
Suma de Ángulos: Para sumar ángulos se suman segundos con segundos, minutos con
minutos y grados con grados. Sólo que si en la suma los segundos o minutos son números
mayores o iguales a , entonces habrá la necesidad de hacer algunas conversiones.
Por ejemplo:
a)
Sumar
con
Solución:
__________
En este caso, los segundos y los minutos son números menores que
es el resultado final.
b)
Sumar
Solución:
___________
, por lo tanto, ese
con
Aquí como los segundos y minutos son mayores a 60, convertiremos segundos a minutos y
minutos a grados de la siguiente forma:
con residuo 28
_________
Observe que los segundos se dividen entre
y el cociente se le suma a los minutos y el
residuo equivale a los segundos finales. Por último,
con residuo 31
__________
Finalmente, los minutos se dividen entre
y el cociente se le suma a los grados y el
residuo equivale a los minutos finales. Por lo tanto, el resultado final de la suma debe ser
.
Resta de Ángulos: Para restar dos ángulos, se restan segundos con segundos, minutos
con minutos y grados con grados, sólo que bajo ciertas restricciones. Por ejemplo, si los
segundos o minutos del minuendo son menores que los del sustraendo, entonces en el
minuendo se le restan un grado a los grados y se le suma ese grado en minutos a los
minutos o bien se le puede restar un minuto a los minutos y sumar ese minuto en segundos
a los segundos. Ejemplos:
a)
Restar
a
Solución:
___________
b)
Convirtiendo un minuto
a segundos
____________
A
restar
Solución:
_
___________
_
Convirtiendo un grado a
minutos y un minuto a segundos
_____________
Algunas veces es necesario expresar los ángulos señalando sus grados, minutos y
segundos. Por lo regular, se acostumbra hacer esto, con aquellos ángulos expresados en
grados pero cuyo valor no es un número entero, es decir, cuenta con una parte decimal.
Ejemplo: Expresar
a grados, minutos y segundos.
Solución:
La parte entera se queda como los grados finales, en este caso , luego la
parte decimal se multiplica por
, esto es,
, la parte entera de este
resultado serán los minutos y la parte decimal se vuelve a multiplicar por
, o sea:
que serán los segundos. Así:
CONVERSIÓN DE GRADOS A RADIANES Y VICEVERSA
Para convertir de grados a radianes o viceversa, se deben tener bien presentes las
equivalencias obtenidas en la sección 1.3, que son:
Ejemplos:
a)
Convertir
Solución: Expresemos
en forma decimal. Para ello, dividimos los
entre
se lo sumamos a
(tomar dos o tres dígitos a partir del punto decimal), así:
Para convertir a radianes se multiplica este nuevo valor por
tiene:
a radianes
y el resultado
(ver equivalencias), de lo que se
Por lo tanto,
b)
grados
Convertir
Solución: Para convertir a grados se multiplican los
es:
por
(ver equivalencias), esto
Luego de la sección anterior,
Para convertir a minutos
Y
Para convertir a segundos
Por lo tanto,
a
CLASIFICACIÓN DE LOS ÁNGULOS
Clasificación de los ángulos de acuerdo a la medida que tienen:
Ángulo Agudo: es aquel ángulo que mide
menos de
.
Ángulo Obtuso: es el ángulo que
mide más de
y menos de
.
Ángulo Cóncavo o Entrante: es
un ángulo cuya medida es mayor
a los
pero menor a los
.
Ángulo Recto: es el ángulo que mide
exactamente
. Comúnmente se le
conoce como ángulo recto.
Ángulo Plano, Llano o Colineal: este
ángulo se caracteriza por medir
exactamente
.
Ángulo Perigonal: es aquel ángulo
que mide exactamente
.
Clasificación de los ángulos de acuerdo a la posición de sus lados
Ángulos opuestos por el vértice: son aquellos
ángulos que se forman por la intersección de
dos líneas rectas. En este caso, el vértice de los
ángulos es el punto de intersección de las
líneas. Los ángulos opuestos por el vértice son
iguales.
Ángulos consecutivos: son los
ángulos que se forman compartiendo un
lado y utilizando un mismo vértice.
Ángulos adyacentes: estos ángulos son un
caso particular de ángulos consecutivos. Están
formados de tal manera que uno de sus lados
es común y los otros dos lados son originados
por una sola línea recta. (Ver figura)
Clasificación de los ángulos de acuerdo a la suma de sus medidas
Ángulos complementarios: son los
ángulos cuya suma de sus medidas es
igual a
.
Ángulos conjugados: la suma de
sus medidas es igual a
.
Ángulos suplementarios: para estos ángulos
la suma de sus medidas es igual a
.
Definición: Diremos que dos o más rectas
son concurrentes, si se cortan en un mismo
punto del espacio.
Definición: Dos rectas serán perpendiculares si son concurrentes
formando ángulos de
.
En base a las clasificaciones hechas anteriormente, se pueden resolver problemas como
los siguientes:
Ejemplos: En cada uno de los siguientes esquemas halle el valor de las incógnitas involucradas en
las medidas de los ángulos.
a)
b)
Puesto que los ángulos
y
suplementarios, se tiene que:
son
Como los ángulos señalados son opuestos
por el vértice, estos son iguales, así:
c)
d)
Observe que los ángulos
y
son consecutivos, y que la suma de ellos
es
, por lo que:
Los ángulos opuestos por el vértice son iguales,
así:
Por otro lado, los ángulos
suplementarios, de aquí:
y
son
ÀNGULOS FORMADOS POR UNA SECANTE Y DOS RECTAS
PARALELAS
Definición: Dos líneas rectas serán paralelas en un plano si no
tienen ningún punto en común; esto es, no se cortan en ninguno de
sus puntos.
Una de las características de dos líneas paralelas es que siempre
guardan la misma distancia entre ellas, así se puedan extender
demasiado ellas nunca se cortaran. (Ver figura)
Consideremos dos líneas paralelas en el plano, una
línea secante o transversal a dichas paralelas, es
aquella que corta a cada una de estas.
Cuando trazamos dos líneas paralelas y las cortamos por una transversal no perpendicular
a ellas, se forman una serie de ángulos que guardan ciertas relaciones entre sí.
Ángulos originados por una secante que cruza a dos líneas paralelas
Ángulos Internos: son los ángulos que
están ubicados dentro de las paralelas.
Esto es, los marcados con las letras d, c, e
y f.
Ángulos externos: son los ángulos que
quedan fuera de las paralelas. En este
caso, los marcados con letras a, b, h y g.
Ángulos alternos internos: son los
ángulos internos no adyacentes que se
encuentran a distintos lados de la transversal. Los ángulos alternos internos son los pares
de ángulos señalados con las letras e y c, f y d.
Ángulos alternos externos: son los ángulos externos no adyacentes que se encuentran a
distintos lados de la transversal. Los ángulos alternos externos son los pares: h y b, g y a.
Ángulos correspondientes: es un ángulo interno y un ángulo externo no adyacentes
situados a mismo lado de la transversal. Los pares de ángulos correspondientes son: e y a,
f y b, h y d, g y c.
Ángulos colaterales: son dos ángulos internos, o dos externos, situados del mismo lado
de la transversal. Los ángulos colaterales son: e y d, f y c, h y a, g y b.
Definidos y ubicados los ángulos, podemos establecer ciertas relaciones entre ellos:
1.
2.
3.
4.
5.
Los ángulos alternos internos son iguales, esto es, e c y f d
Los ángulos alternos externos son iguales, es decir, h b y g a
Los ángulos correspondientes también son iguales, o sea, e a, f
Los ángulos colaterales son suplementarios, así,
e
d
c
f
a
h
b
g
b, h
dyg
c.
Los ángulos adyacentes son suplementarios.
A continuación, aplicaremos estas propiedades a la solución de problemas de ángulos
generados por dos paralelas y una secante.
Ejemplo 1. Calcule la medida del ángulo
figura.
en la siguiente
Solución: Observemos que los ángulos señalados son
colaterales, luego son suplementarios, o sea que,
Ejemplo 2. Calcula el valor de la incógnita
marcados en la siguiente figura.
involucrada en la medida de los ángulos
Solución: Como los ángulos señalados son alternos
externos, se tiene que son iguales, por lo tanto,
Ejemplo 3. Calcule el valor de
y
en los siguientes ángulos.
Solución: Puesto que los ángulos
y
correspondientes, entonces son iguales, así:
Por otro lado, los ángulos
y
son
son adyacentes, son suplementarios, luego: