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TEMA 2: DIVISIBILIDAD.
1. Divisibilidad en los números naturales.

DIVIDIR ES REPARTIR EN PARTES IGUALES UNA CANTIDAD.

LOS TÉRMINOS DE LA DIVISIÓN SON:
Ejemplo resuelto 1: Un profesor quiere repartir 12 positivos entre sus 3 alumnos.
¿Cuántos positivos le corresponden a cada alumno?
Respuesta: Si queremos repartir 12 positivos entre 3, debemos dividir 12 entre 3:
Luego a cada alumno le corresponden 4 positivos.

CUANDO EL RESTO ES 0, SE DICE QUE LA DIVISIÓN ES EXACTA.
CUANDO EL RESTO ES DISTINTO DE 0, SE DICE QUE LA DIVISIÓN NO
ES EXACTA.
Ejemplo resuelto 2: Di si la siguiente división es exacta o no:
a) 12:3
Respuesta:
Como el resto es 0, la división es exacta.
Ejercicios: Di si las siguientes divisiones son exactas o no:
a) 16:4
b) 62:12
c) 93:18

CUANDO LA DIVISIÓN ES EXACTA (el resto es 0), SE DICE QUE EL
DIVIDENDO (D) ES DIVISIBLE POR EL DIVISOR (d).
Ejemplo resuelto 3: ¿Es divisible 12 entre 3?
Respuesta:
Como el resto es 0, la división es exacta, luego 12 es divisible entre 3.
Ejercicios: Di si son ciertas las siguientes afirmaciones:
a) 16 es divisible entre 4
b) 62 es divisible entre 12
c) 93 es divisible entre 18
 EN LAS DIVISIONES SIEMPRE SE CUMPLE LA SIGUIENTE REGLA:
“EL DIVIDENDO (D) ES IGUAL AL DIVISOR (d) MULTIPLICADO POR EL
COCIENTE (c) MÁS EL RESTO (r)”.
D=d·c+r
Ejemplo resuelto 4: Comprueba la regla de la división para 12:3
Respuesta:
¿Es 12 igual a 3·4+0?
3·4+0=12+0=12, luego 12=12 así que es cierto. Se cumple la regla de la división
Ejercicios: Comprueba la regla de la división para:
a) 16:4
b) 62:12
c) 93:18
2. Múltiplos de un número.

UN NÚMERO ES MULTIPLO DE OTRO NÚMERO SI LA DIVISIÓN ENTRE
AMBOS ES EXACTA.
Ejemplo resuelto 1: Comprueba si 12 es múltiplo de 3
Respuesta: Para ver si 12 es múltiplo de 3 debo buscar un número tal que si lo
multiplico por 3 el resultado sea 12. Para conseguirlo divido 12 entre 3:
El cociente es el número 4 y el resto es 0, luego la división es exacta. Como 3·4 es 12 y
la división es exacta, puedo decir que 12 es múltiplo de 3.
Ejercicios: Di si son ciertas las siguientes afirmaciones:
a) 16 es múltiplo de 4
b) 62 es múltiplo de 12
c) 93 es múltiplo de 18

PARA OBTENER LOS MÚLTIPLOS DE UN NÚMERO TENEMOS QUE
MULTIPLICAR EL NÚMERO POR TODOS LOS NATURALES.
Ejemplo resuelto 2: Calcula los diez primeros múltiplos de 3.
Respuesta: Tenemos que ir multiplicando el 3 por todos los números naturales.
3·1=3
3·2=6
3·3=9
3·4=12
3·5=15
3·6=18
Luego los 10 primeros múltiplos de 3 son: {3,6,9,12,15,18,21,24,27,30}
3·7=21
3·8=24
3·9=27
3·10=30
3·11=33
…
Ejercicios: Calcula los 10 primeros múltiplos de:
a) 4
b) 6
c) 9
3. Divisores de un número.

UN NÚMERO ES DIVISOR DE OTRO NÚMERO SI AL HACER LA DIVISIÓN,
EL RESTO ES CERO.
Ejemplo resuelto 1: Calcula si 3 y 5 son divisores de 36.
Respuesta: El número 3 es divisor del número 36, porque si dividimos 36 entre 3, el
resto es 0:
36
3
06
12
0
Sin embargo, el número 5 no es divisor del número 36, porque si dividimos 36 entre 5,
el resto no es 0:
36
5
1
Ejercicios:

7
1) Comprueba si 7 y 8 son divisores de 32.
2) Comprueba si 5 y 9 son divisores de 25.
SI EN UN PROBLEMA TE PIDEN TODOS LOS DIVISORES DE UN
NÚMERO, TIENES QUE DECIR UNA LISTA CON TODOS LOS NÚMEROS
QUE, AL DIVIDIR A ESE NÚMERO, TIENEN DE RESTO 0.
Ejercicio resuelto 2: Calcula todos los divisores de 12.
Respuesta: Para calcular todos los divisores de 12, escribimos una lista con todos los
números desde el 1 hasta el 12:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12.
Y ahora intentamos dividir 12 por cada uno de los números de esa lista:
12:1=12y el resto es 0  es exacto
12:2=6 y el resto es 0  es exacto
12:3=4 y el resto es 0  es exacto
12:4=3 y el resto es 0  es exacto
12:5= 2 y el resto es 2  no es exacto
12:6=2 y el resto es 0  es exacto
12:7= 1 y el resto es 5  no es exacto
12:8= 1 y el resto es 4  no es exacto
12:9= 1 y el resto es 3  no es exacto
12:10= 1 y el resto es 2  no es exacto
12:11= 1 y el resto es 1  no es exacto
12:12=1 y el resto es 0  es exacto
Los divisores de 12 son todos aquellos números (de los rojos) que dividen a 12 y la
división es exacta:
Div (12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12}
Ejercicio: Calcula todos los divisores de los siguientes números:
a) 35
b) 24
c) 28
d) 32
4. Números primos y compuestos.

UN NÚMERO ES PRIMO SI SOLO TIENE DOS DIVISORES: EL 1 Y ÉL
MISMO.
Por ejemplo: El número 3 es un número primo, porque solo tiene dos divisores:
Div(3)={1, 3}. Otros ejemplos de números primos son el 5, el 7, …
Ejercicio resuelto: Calcula si los siguientes números son primos o no.
a) 23
b) 12
Respuesta:
a) Para saber si el número 23 es primo, debemos calcular los divisores de 23
(recuerda: los divisores de 23 son todos los números que al dividir a 23 tienen
como resto 0)
Los divisores de 23 son solamente el 1 y el 23: Div(23)={1,23}
Como los únicos números que pueden dividir a 23 son el 1 y el 23, decimos que
23 es un número primo.
b) Para saber si el número 12 es primo, debemos calcular los divisores de 12 (para
ello mira el apartado 3 de este tema)
Los divisores de 12 son todos aquellos números que dividen a 12: Div (12) = {1,
2, 3, 4, 6, 12}
Como hay más números que dividen a 12 además del 1 y el 12, podemos decir
que el número 12 no es primo.
Ejercicio: Calcula si los siguientes números son primos o no.
a) 19
b) 27
c) 25
d) 17

SI UN NÚMERO TIENE OTROS DIVISORES ADEMÁS DE 1 Y ÉL MISMO,
DECIMOS QUE ES UN NÚMERO COMPUESTO.
Por ejemplo: el número 12 tiene como divisores a Div(12)={1, 2, 3, 4, 6, 12}. Como
tiene otros divisores además del 1 y el 12, decimos que es un número compuesto.
Ejercicio resuelto: Calcula si los siguientes números son compuestos o no.
a) 16
b) 19
Respuesta:
c) Para saber si el número 16 es compuesto, debemos calcular los divisores de 16
(para ello mira el apartado 3 de este tema)
Los divisores de 16 son todos aquellos números que dividen a 16: Div(16)={1,
2, 4, 8, 16}
Como hay más números que dividen a 16 además de 1 y 16, podemos decir que
el número 16 es compuesto.
d) Para saber si el número 19 es primo, debemos calcular los divisores de 19 (para
ello mira el apartado 3 de este tema)
Los divisores de 19 son todos aquellos números que dividen a 19: Div (19) = {1,
19}
Como los únicos números que pueden dividir a 19 son el 1 y el 19, decimos que
19 no es un número compuesto.
Ejercicio: Calcula si los siguientes números son primos o no.
a) 26
b) 13
c) 15
d) 30

DESCOMPONER UN NÚMERO EN FACTORES ES ENCONTRAR DOS
NÚMEROS QUE MULTIPLICADOS DEN ESE PRIMER NÚMERO.
Por ejemplo: Podemos descomponer en factores el número 24 diciendo que 24 es igual
que 4·6  24=4·6
Ejercicio resuelto: Descompón en factores el número 36
Respuesta: Para descomponer en factores el número 36, tomamos la lista de sus
divisores:
Div(36)={1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36}
Ahora elegimos cualquier elemento de esta lista. Yo voy a elegir el 4. Ese será uno de
mis factores.
Para calcular el otro factor, dividimos 36 entre 4 y el resultado será el otro factor:
36:4=9
Luego 9 es el segundo factor.
Los dos factores que yo he encontrado son el 4 y el 9.
Ejercicio: Descompón en factores los siguientes números:
a) 22
b) 18
c) 35
d) 28
5. Criterios de divisibilidad.

LOS CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD SON REGLAS QUE NOS PERMITEN
SABER CUANDO UN NÚMERO ES DIVISIBLE POR OTRO.
Divisible
por…
2
3
5
10
11
Criterio de divisibilidad
Si la última cifra es 0 o par.
Si la suma de sus cifras es múltiplo de 3.
Si la última cifra es 0 o 5.
Si la última cifra es 0.
(Suma de las cifras de lugar par) – (Suma de las de lugar impar) = 0 o
múltiplo de 11
Ejemplo resuelto 1: Aplica al número 1.254 los criterios de divisibilidad que conoces.
Respuesta: Observa el cuadro anterior:
 ¿Es divisible por 2?  La última cifra es 4  4 es par  Sí es divisible por 2
 ¿Es divisible por 3?  La suma de sus cifras es: 1 + 2 + 5 + 4 = 12 
 12 es múltiplo de 3  Sí es divisible por 3
 ¿Es divisible por 5?  La última cifra es 4  4 no es 0 ni 5  No es divisible por 5
 ¿Es divisible por 10?  La última cifra es 4  4 no es 0  No es divisible por 10
 ¿Es divisible por 11?
Cifras en lugar PAR

Cifras en lugar IMPAR 
2
1. +
+
5
4
=
=
6
6
0
Ejercicios:
 Sí es divisible por 11
1) Aplica los criterios de divisibilidad que conoces a estos números: 33,
5.025, 616, 900, 1.100, 812 y 3.322.
2) De los números 230, 455, 496, 520, 2.080, 2.100 y 2.745:
a) ¿Cuáles son múltiplos de 2? ¿Y de 3?
b) ¿Cuáles son múltiplos de 5? ¿Y de 10?
6. Factorización de un número.

PARA FACTORIZAR UN NÚMERO SE DIVIDE ENTRE LA SERIE DE
NÚMEROS PRIMOS {2,3,5,7,11…}, TANTAS VECES COMO SE PUEDA.

LA FACTORIZACIÓN DEL NÚMERO ES EL PRODUCTO DE SUS
DIVISORES PRIMOS.
Ejemplo resuelto 1: Escribe la factorización del número 60.
Respuesta:
1º) Dividimos el número por los sucesivos números primos: 2, 3, 5, 7, 11…, tantas
veces como se pueda hasta que el resto sea 1.
Siempre empezaremos por el número primo más pequeño, el 2.
Como 60 termina en 0, entonces 60 es divisible por 2
60 : 2 = 30
El resto es 30, que también es divisible por 2, porque termina en 0  30 : 2 = 15
Ahora el resto es 15, que termina en 5, un número impar. Por tanto no es divisible por
2.
Probamos con el siguiente número primo de la lista más pequeño, el 3. Las cifras de
15 suman 1 + 5 = 6, y 6 es múltiplo de 3. Por tanto, 15 es divisible por 3 15 : 3 = 5
Como el resto es un número primo, el 5, sólo es divisible por él (y por 1) 5 : 5 = 1
Ya terminamos el primer paso, porque el resto es 1.
60
60 : 2 = 30
30 : 2 = 15
15 : 3 = 5
5:5= 1
2
2
3
5
2º) Escribimos el número como el producto de todos los factores primos de la
columna de la derecha:
60 = 2 • 2 • 3 • 5
3º) Si hay números primos repetidos los expresamos como potencias:
60  22  3  5
Ejemplo resuelto 2: Descompón en producto de factores primos el número 84.
Respuesta: Recuerda que descomponer en producto de factores primos un número es lo
mismo que escribir su factorización.
84
42
21
7
1
2
2
3
7
84  2  2  3 7
84  22  3  7
Ejercicios: Descompón en producto de factores primos los siguientes números:
a) 36
b) 100
c) 98
d) 120
7. Máximo común divisor.

EL MÁXIMO COMÚN DIVISOR DE DOS NÚMERO ES EL MAYOR DE SUS
DIVISORES COMUNES, Y SE ESCRIBE m.c.d.
Por ejemplo, los divisores de 12 y de 16 son: 1, 2 y 4.
El mayor de estos divisores es 4, por tanto m.c.d.(12, 16) = 4
Ejemplo resuelto: Calcula el máximo común divisor de 36 y 60.
Respuesta:

SI DOS NÚMEROS NO TIENEN DIVISORES COMUNES, ENTONCES EL
m.c.d. ES 1.
En la práctica no se calculan todos los divisores de ambos números, sino que se hace lo
siguiente:
1º) Descomponemos los números en factores primos:
36
18
9
3
1
2
2
3
3
36  22  32
60
30
15
5
1
2
2
3
5
60  22  3  5
2º) Tomamos los números primos comunes, elevados al menor exponente: 22 y 3
3º) Multiplicamos esos números y ese es el máximo común divisor:
m.c.d.(36, 60) = 2 2 × 3 = 12
Ejercicios: 1) Encuentra el máximo común divisor de 42 y 48:
42
48
42 = ……………
48 = …………..
m.c.d.(42, 48) = ……….
2) Calcula el máximo común divisor de 40 y 50.
8. Mínimo común múltiplo.

EL MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO DE DOS NÚMERO ES EL MENOR DE SUS
MÚLTIPLOS COMUNES, Y SE ESCRIBE m.c.m.
Por ejemplo, los múltiplos de 6 son
6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54…
los múltiplos de 9 son
9, 18, 27, 36, 45, 54, 63…
Los múltiplos comunes de 6 y 9 son
18, 36, 54…
El menor de estos múltiplos es 18, por tanto m.c.m.(6, 9) = 18
Ejemplo resuelto: Calcula el mínimo común múltiplo de 36 y 60.
Respuesta: En la práctica no se calculan los múltiplos de ambos números, sino que se
hace lo siguiente:
1º) Descomponemos los números en factores primos:
36
18
9
3
1
2
2
3
3
36  22  32
60
30
15
5
1
2
2
3
5
60  22  3  5
2º) Tomamos todos los números primos, comunes y no comunes, elevados cada uno
al mayor exponente: 2 2 , 32 y 5 .
3º) Multiplicamos esos números y ese es el mínimo común múltiplo:
m.c.m.(36, 60) = 2 2 × 32 × 5 = 180
Ejercicios: 1) Encuentra el mínimo común múltiplo de 18 y 20:
18
20
18 = ……………
20 = …………..
m.c.m.(18, 20) = ……….
2) Calcula el mínimo común múltiplo de 15 y 25.