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CENTRO EDUCATIVO DISTRITAL COLEGIO CAFAM SANTA LUCIA
ENFASIS LOGICO MATEMÁTICO
WILLIAM LÓPEZ
IDENTIFICACIÓN GENERAL
CURSO: DÉCIMO-UNDECIMO
CICLO: III
DOCENTE:
ÁREA - ASIGNATURA
MATEMÁTICAS-TRIGONOMETRIA
REFUERZO Y ENTRENAMIENTO
ICFES
URL:matematicascafam.jimdo.com
Número de horas semanales 1Hr
Termómetro de eficiencia:
SUPERIOR ES LA META.
GUIA DE APRENDIZAJE:
Resultados de aprendizaje

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
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




Identificar las características de una función.
Representar gráficamente funciones.
Resolver problemas aplicando el concepto de función.
Hallar funciones y relaciones matemáticas a través de funciones.
Aplicar las leyes
generales de los gases en la solución de problemas
TRIGONOMETRICOS.
Establecer criterios para la utilización de las relaciones trigonométricas en la solución
de problemas relacionados con este tema.
Usar argumentos geométricos para resolver y formular problemas en contextos
matemáticos y de otras ciencias.
Resolver problemas aplicando razones trigonométricas.
Calcular medidas de tendencia central.
INTRODUCCIÓN
La matemática tiene por finalidad involucrar valores y desarrollar actitudes en el
alumno y se requiere el uso de estrategias que permitan desarrollar las capacidades
para comprender, asociar, analizar e interpretar los conocimientos adquiridos para
enfrentar su entorno. Se requiere el uso de estrategias que permitan desarrollar las
capacidades para percibir, analizar e interpretar los conocimientos adquiridos.
Para ello se consideró la situación problemática actual en cuanto a la planificación que
realizan los docentes para impartir clase en el área de matemática, ya que las
estrategias utilizadas no son las más adecuadas para transmitir los contenidos a los
estudiantes.
El docente debe involucrar en su planificación valores a desarrollar en los alumnos, de
forma que este pueda captarlo de manera significativa, de aquí se requiere el uso de
estrategias adecuadas para su eficaz aplicación, debe existir una orientación con el
objeto de facilitar y orientar el estudio donde versará su vida cotidiana y su formación
laboral, debe proveer al alumno de los métodos de razonamiento básico, requerido
para plantear algunos ejercicios a resolver cuya ejecución le permitirá afianzar sus
conocimientos.
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PLANTEAMIENTO DE ACTIVIDADES Y ESTRATEGÍAS DE APRENDIZAJE
MÓDULO 1: FUNCIONES
Generalmente se hace uso de las funciones reales, (aún cuando el ser humano no se
da cuenta), en el manejo de cifras numéricas en correspondencia con otra, debido a
que se está usando subconjuntos de los números reales. Las funciones son de mucho
valor y utilidad para resolver problemas de la vida diaria, problemas de finanzas, de
economía, de estadística, de ingeniería, de medicina, de química y física, de
astronomía, de geología, y de cualquier área social donde haya que relacionar
variables.
Cuando se va al mercado o a cualquier centro comercial, siempre se relaciona un
conjunto de determinados objetos o productos alimenticios, con el costo en pesos para
así saber cuánto podemos comprar; si lo llevamos al plano, podemos escribir esta
correspondencia en una ecuación de función "x" como el precio y la cantidad de
producto como "y".
Función
Afín
Se puede aplicar en muchas situaciones, por ejemplo en economía (uso de la oferta y
la demanda) los ecónomos se basan en la linealidad de esta función y las leyes de la
oferta y la demanda son dos de las relaciones fundamentales en cualquier análisis
económico. Por ejemplo, si un consumidor desea adquirir cualquier producto, este
depende del precio en que el artículo esté disponible. Una relación que especifique la
cantidad de un artículo determinado que los consumidores estén dispuestos a
comprar, a varios niveles de precios, se denomina ley de demanda. La ley más simple
es una relación del tipo P= mx + b, donde P es el precio por unidad del artículo y m y b
son constantes.
Muchas son las aplicaciones de la función lineal en el caso de la medicina. Ciertas
situaciones requieren del uso de ecuaciones lineales para el entendimiento de ciertos
fenómenos. Un ejemplo es el resultado del experimento psicológico de Stenberg,
sobre
recuperación
de
información.
Esta dada por la formula y=mx+b donde m y b son números reales llamados pendiente
y ordenada al origen respectivamente. Su gráfica es una recta.
Dada
la
ecuación
y=mx+b:
Si m=0, entonces y=b. Es decir, se obtiene la función constante, cuya gráfica es una
recta
paralela
al
eje
x
que
pasa
por
el
punto
(0,b).
Si b=0, entonces y=mx. Esta ecuación tiene por gráfica una recta que pasa por el
origen de coordenadas (0,0).
Función
Cuadrática
El estudio de las funciones cuadráticas resulta de interés no sólo en matemática sino
también en física y en otras áreas del conocimiento como por ejemplo: la trayectoria
de una pelota lanzada al aire, la trayectoria que describe un río al caer desde lo alto de
una montaña, la forma que toma una cuerda floja sobre la cual se desplaza un
equilibrista, el recorrido desde el origen, con respecto al tiempo transcurrido, cuando
una partícula es lanzada con una velocidad inicial.
Puede ser aplicada en la ingeniería civil, para resolver problemas específicos
tomando como punto de apoyo la ecuación de segundo grado, en la construcción de
puentes colgantes que se encuentran suspendidos en uno de los cables amarrados a
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dos
torres.
Los biólogos utilizan las funciones cuadráticas para estudiar los efectos nutricionales
de
los
organismos.
Existen fenómenos físicos que el hombre a través de la historia ha tratado de
explicarse. Muchos hombres de ciencias han utilizado como herramienta principal
para realizar sus cálculos la ecuación cuadrática. Como ejemplo palpable, podemos
mencionar que la altura S de una partícula lanzada verticalmente hacia arriba desde el
suelo está dada por S= V0t - ½ gt2, donde S es la altura, V0 es la velocidad inicial de la
partícula,
g es la constante de gravedad y t
es el tiempo.
2
La función cuadrática responde a la formula: y= a x + b x + c con a ≠ 0. Su gráfica es
una
curva
llamada
parábola
cuyas
características
son:
Si a es mayor a 0 es cóncava y admite un mínimo. Si a es menor a 0 es convexa y
admite
un
máximo.
Vértice: Puntos de la curva donde la función alcanza el máximo o el mínimo.
Eje
de
simetría:
x
=
xv.
Intersección
con
el
eje
y.
Intersecciones con el eje x: se obtiene resolviendo la ecuación de segundo grado.
Función
Logarítmica
La geología como ciencia requiere del planteamiento de ecuaciones logarítmicas para
el cálculo de la intensidad de un evento, tal como es el caso de un sismo. La magnitud
R de un terremoto está definida como R= Log (A/A0) en la escala de Richter, donde A
es la intensidad y A0 es una constante. (A es la amplitud de un sismógrafo estándar,
que está a 100 kilómetros del epicentro del terremoto).
Los astrónomos para determinar una magnitud estelar de una estrella o planeta
utilizan ciertos cálculos de carácter logarítmico. La ecuación logarítmica les permite
determinar la brillantez y la magnitud.
Una función, en matemáticas, es el término usado para indicar la relación o
correspondencia entre dos o más cantidades. El término función fue usado por primera
vez en 1637 por el matemático francés René Descartes para designar una potencia xn
de la variable x. En 1694 el matemático alemán Gottfried Wilhelm Leibniz utilizó el
término para referirse a varios aspectos de una curva, como su pendiente. Hasta
recientemente, su uso más generalizado ha sido el definido en 1829 por el matemático
alemán, J.P.G. Lejeune-Dirichlet (1805-1859), quien escribió: "Una variable es un
símbolo que representa un número dentro de un conjunto de ello. Dos variables X y Y
están asociadas de tal forma que al asignar un valor a X entonces, por alguna regla o
correspondencia, se asigna automáticamente un valor a Y, se dice que Y es una
función (unívoca) de X. La variable X, a la que se asignan libremente valores, se llama
variable independiente, mientras que la variable Y, cuyos valores dependen de la X, se
llama variables dependientes. Los valores permitidos de X constituyen el dominio de
definición de la función y los valores que toma Y constituye su recorrido".
Una función f de A en B es una relación que le hace corresponder a cada elemento x
uno y solo un elemento y en B, llamado imagen de x por f, que se escribe y=f (x
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Guía No. 1
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GUIA Nº 2
Organice la clase en grupos de a tres alumnos y entregue a cada grupo una hoja con
la siguiente información:
1. Un auto avanza a una velocidad constante de 40 kilómetros por hora. ¿Qué
distancia recorre al cabo de 8 horas? Complete la tabla siguiente tabla.
Horas
Distancia
X
Y
1
40
2
3
4
5
6
7
8
2. ¿Qué distancia recorre al cabo de 3 horas?
3. ¿Qué distancia recorre al cabo de 8 horas?
Podemos ver una relación R que hace corresponder a cada hora un único
número de kilómetros que se han recorrido.
4. Escriba los pares ordenados encontrados para esta relación)
5. Escriba la relación que indica la distancia recorrida (y) en función del número
de horas (x)
6. ¿Todos los elementos del conjunto de partida están relacionados con algún
elemento del conjunto de llegada? ¿Es igual el conjunto de partida al dominio?
7. ¿Cada elemento del dominio está relacionado con uno y sólo un elemento del
conjunto de llegada?
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
Iniciamos el estudio de la rama de las matemáticas conocida en sus inicios como la
trigonometría, en muchas de nuestras actividades cotidianas se evidencia la presencia
de ángulos y la necesidad de conocer la medida de los mismos. Tal es el caso del
ángulo con el cual debemos enfocar el rayo de una lámpara para ver mejor un objeto,
la medida del ángulo que debe formar con la horizontal un avión para poder superar
un obstáculo que se presenta en la ruta de despegue, el ángulo con el cual se acerca
un meteorito a la órbita de la tierra para poder conocer la distancia a la cual pasara
en su recorrido.
REFLEXIONES
Uno de los métodos que usan los artistas para representar el mundo o para realizar
sus creaciones es la perspectiva. Para aplicarla es necesario visualizar y usar
triángulos, que conservan no solo la medida de sus ángulos y las proporciones entre
sus lados sino que también las razones entre sus medidas. Cuando queremos realizar
un cuadro a escala de un paisaje, ¿cual es la medida del ángulo que debemos utilizar
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entre los rayos de fuga de un dibujo , si deseamos que la razón entre la medida de la
altura de un objeto h y la distancia a la base del objeto al punto centro de perspectiva
(d) , o la razón entre la altura de la representación al punto centro de perspectiva (D),
sea siempre
Ejercicios de Atención y concentración.
En el cuaderno de apuntes se deben adelantar las siguientes consultas referenciando
la fuente
 Qué es un ángulo
 Tipos de ángulo
 Medida de ángulos
 Clases de triángulos
 Quien utilizó por primera vez las razones trigonométricas.
RAZONES TRIGONOMETRICAS
La trigonometría es una rama de las matemáticas de antiguo origen, cuyo significado
etimológico es "la medición de los triángulos". Se deriva del vocablo ← griego τριγωνο
<trigōno> "triángulo" + μετρον <metron> "medida".1
La trigonometría en principio es la rama de las matemáticas que estudia las relaciones
entre los ángulos y los lados de los triángulos. Para esto se vale de las razones
trigonométricas, las cuales son utilizadas frecuentemente en cálculos técnicos. En
términos generales, la trigonometría es el estudio de las funciones seno, coseno,
tangente, cotangente, secante y cosecante. Interviene directa o indirectamente en las
demás ramas de la matemática y se aplica en todos aquellos ámbitos donde se
requieren medidas de precisión. La trigonometría se aplica a otras ramas de la
geometría, como es el caso del estudio de las esferas en la geometría del espacio.
Posee numerosas aplicaciones: las técnicas de triangulación, por ejemplo, son usadas
en astronomía para medir distancias a estrellas próximas, en la medición de distancias
entre puntos geográficos, y en sistemas de navegación por satélites.
UNIIDADES ANGULARES
En la medida de ángulos, y por tanto en trigonometría, se emplean tres unidades, si
bien la más utilizada en la vida cotidiana es el Grado sexagesimal, en matemáticas es
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el Radián la más utilizada, y se define como la unidad natural para medir ángulos, el
Grado centesimal se desarrolló como la unidad más próxima al sistema decimal, se
usa en topografía, arquitectura o en construcción.
Radián: unidad angular natural en trigonometría, será la que aquí utilicemos, en una
circunferencia completa hay 2π radianes.
Grado sexagesimal: unidad angular que divide una circunferencia en 360º.
Grado centesimal: unidad angular que divide la circunferencia en 400 grados
centesimales.
El triángulo ABC es un triángulo rectángulo en C; lo usaremos para definir las razones
seno, coseno y tangente, del ángulo , correspondiente al vértice A, situado en el
centro de la circunferencia.
 El seno (abreviado como sen, o sin por llamarse "sinus" en latín) es la razón
entre el cateto opuesto sobre la hipotenusa,

El coseno (abreviado como cos) es la razón entre el cateto adyacente sobre la
hipotenusa,

La tangente (abreviado como tan o tg) es la razón entre el cateto opuesto sobre
el cateto adyacente,
Guía de trabajo No. 1
ACTIVIDADES DE CARÁCTER INDIVIDUAL
Trigonometría. Ejercicios; escriba los procedimientos desarrollados.
1 Expresa en grados sexagesimales los siguientes ángulos:

3 rad

2π/5rad.

3π/10 rad.
2 Expresa en radianes los siguientes ángulos:
 316°
 10°
 127º
3. Sabiendo que cos α = ¼ , y que 270º <α <360°. Calcular las restantes razones
trigonométricas del ángulo α.
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4. Sabiendo que tg α = 2, y que 180º < α <270°. Calcular las restantes razones
trigonométricas del ángulo α.
5. Sabiendo que sec α = 2, 0< α < /2, calcular las restantes razones trigonométricas.
6. Calcula las razones de los siguientes ángulos:




330°
2675°
40º
225°
GUIA Nº 2
GUIA DE TRIGONOMETRÍA
Los ángulos se pueden medir en grados sexagesimales y radianes. Un ángulo de 1
radián es aquel cuyo arco tiene longitud igual al radio.
- 360º = 2  radianes (una vuelta completa)
(un cuarto de vuelta)
- 180º =  radianes (media vuelta)

- Un ángulo recto mide

radianes
2
- Como 180º =  rad, resulta que 1º =
rad
180
- Un ángulo de 1 radian tiene
180

= 57,29578 grados = 57º 17’ 45”
Para transformar de una unidad a otra, usamos la regla de tres:
180º  rad


xº
y
ejemplo:
40º a rad
180º  rad


40º
y
40º  rad 4 rad 2 rad


180º
18
9
Ejercicios:
Transformar el ángulo de grados a rad:
1) 15º
5) 90º
2) 35º
6) 60º
3) 80º
7) 45º
4) 150º
8) 30º
3) 3 rad
4)
Transformar el ángulo de rad a grados:
1)

5
rad
2)

10
rad
17
rad
4
y =
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GUIA 3 (EVIDENCIA 1)
Aplicaciones de la medida en radianes
De la definición de la medida en radianes se deduce que la longitud de un arco circular
de radio r y ángulo igual a  radianes es:
,
S: arco circunferencia, r: radio y  : ángulo en rad
Ya que conocemos el perímetro de una circunferencia de radio unitario ( 2r  2 ),
entonces el ángulo de una circunferencia completa, medido en radianes es 2 .
Ejemplo aplicación
GUIA Nº 4
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1) ¿Qué ángulo forman las agujas de un reloj a las cuatro y media en punto? Y a
las 10:20 horas?
2) Halla el radio r de una rueda que gira 300 vueltas por minuto impulsada por
una correa que se mueve a 45 m/s.
3) La rueda de un vehículo tiene un diámetro de 90 cm. ¿Cuántas vueltas da
aproximadamente por minuto cuando viaja a 120 km/h?
Circunferencia
Una circunferencia es el lugar geométrico de los puntos del plano equidistantes de
otro fijo, llamado centro; esta distancia se denomina radio. Sólo posee longitud. Se
distingue del círculo en que este es el lugar geométrico de los puntos contenidos en
una circunferencia determinada, es decir, la circunferencia es el perímetro del círculo
cuya superficie contiene.
Puede ser considerada como una elipse de excentricidad nula, o una elipse cuyos
semiejes son iguales. También se puede describir como la sección, perpendicular al
eje, de una superficie cónica o cilíndrica, o como un polígono de infinitos lados, cuya
apotema coincide con su radio. La circunferencia de centro en el origen de
coordenadas y radio 1 se denomina circunferencia unidad. Es una curva
bidimensional con infinitos ejes de simetría y sus aplicaciones son muy numerosas.
Etimología
La palabra circunferencia proviene del latín circumferentĭa que a su
vez deriva de circumferre, que significa llevar alrededor.
Otros términos similares
Durante mucho tiempo, se empleó el término círculo para designar tanto la superficie,
como a la curva que lo delimita: la circunferencia. Actualmente, en idioma castellano,
el círculo6 define la superficie, y a la curva se le llama circunferencia. 7 No ocurre lo
mismo en otros idiomas, donde se sigue utilizando indistintamente, junto con disco. En
castellano, sólo se suele utilizar el término geométrico disco, asociado al concepto
círculo, en textos de topología, una rama de las matemáticas.
En términos coloquiales (no estrictamente matemáticos) el uso de círculo y
circunferencia es indistinto en algunas zonas geográficas por lo arraigado que está en
la tradición, no obstante se encuentra que circunferencia se asocia más
frecuentemente con los conceptos de aro o anillo en tanto que círculo se asocia más
frecuentemente con los conceptos de disco o plato.
Elementos de la circunferencia
Secantes, cuerdas y tangentes.
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Existen varios puntos, rectas y segmentos, singulares en la circunferencia:
 centro, punto interior equidistante de todos los puntos de la circunferencia;
 radio, el segmento que une el centro con un punto de la circunferencia;
 diámetro, el mayor segmento que une dos puntos de la circunferencia y,
lógicamente, pasa por el centro;
 cuerda, el segmento que une dos puntos de la circunferencia; las cuerdas de
longitud máxima son los diámetros;
 recta secante, la que corta a la circunferencia en dos puntos;
 recta tangente, la que toca a la circunferencia en un sólo punto;
 punto de tangencia, el de contacto de la tangente con la circunferencia;
 arco, segmento curvilíneo de puntos pertenecientes a la circunferencia;
 semicircunferencia, cada uno de los dos arcos delimitados por los extremos
de un diámetro.
La circunferencia y la recta: posiciones relativas Una recta, respecto de una
circunferencia, puede ser:



exterior, si no, no tienen ningún punto en común con ella;
tangente, la toca en un punto (el punto de tangencia);
secante, si tiene dos puntos comunes, es decir, si la corta.
Una recta tangente a una circunferencia es perpendicular al radio que une el punto de
tangencia con el centro.
Relación entre dos circunferencias: posiciones relativas
Dos circunferencias, en
función de sus posiciones relativas, se denominan:
 exteriores, si no tienen puntos comunes y la distancia que hay entre sus
centros es mayor que la suma de sus radios;
 tangentes exteriores, si tienen un punto común y la distancia que hay entre
sus centros es igual a la suma de sus radios;
 tangentes interiores, si tienen un punto común y la distancia que hay entre
sus centros es igual a la diferencia de sus radios;
 secantes, si tienen dos puntos comunes, es decir, si se cortan;
 interior respecto a otra dada, si no tienen ningún punto común y la distancia
entre sus centros es menor que la diferencia de sus radios y mayor que 0;
 concéntricas, si tienen el mismo centro (la distancia entre sus centros es 0).
Ángulos respecto de una circunferencia
Ángulos en la circunferencia.
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Arco capaz: los cuatro ángulos inscritos determinan el mismo arco y por tanto son
iguales.
Un ángulo, respecto de una circunferencia, puede ser:
Ángulo central, si tiene su vértice en el centro de ésta. Sus lados contienen a dos
radios.
La amplitud de un ángulo central es igual a la del arco que abarca.
Ángulo inscrito, si su vértice es un punto de la circunferencia y sus lados contienen
dos cuerdas.
La amplitud de un ángulo inscrito es la mitad de la del arco que abarca
Ángulo semi-inscrito, si su vértice es un punto de la circunferencia y sus lados
contienen una cuerda y una recta tangente a la circunferencia. El vértice es el punto de
tangencia.
La amplitud de un ángulo semi-inscrito es la mitad de la del arco que abarca.
Ángulo interior, si su vértice está en el interior de la circunferencia.
La amplitud de un ángulo interior es la mitad de la suma de dos medidas: la del
arco que abarcan sus lados más la del arco que abarcan sus prolongaciones.
Ángulo exterior, si tiene su vértice en el exterior de ésta.
La amplitud de un ángulo exterior es la mitad de la diferencia de los dos arcos
que abarcan sus lados sobre dicha circunferencia.
Longitud de la circunferencia
La longitud de una circunferencia es:
,donde es la longitud del radio y (número pi) es el cociente entre la longitud de la
circunferencia y el diámetro.
Un despeje de esta formula para calcular el diámetro sería: / = diámetro
Ecuaciones de la circunferencia
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Ecuación en coordenadas cartesianas
En un sistema de coordenadas cartesianas x-y, la circunferencia con centro en el
punto (a, b) y radio r consta de todos los puntos (x, y) que satisfacen la ecuación
.
Cuando el centro está en el origen (0, 0), la ecuación anterior se simplifica al
.
La circunferencia con centro en el origen y de radio la unidad, es llamada
circunferencia goniométrica, circunferencia unidad o circunferencia unitaria.
De la ecuación general de una circunferencia,
Se deduce:
Resultando:
Si conocemos los puntos extremos de un diámetro:
la ecuación de la circunferencia es:
GUIA Nº 5
EJERCICIOS DE CIRCUNFERENCIAS
1. Determina el radio de las siguientes circunferencias:
a) x2 + y2 = 16
b) x2 + y2 = 12
c) 9x2 + 9y2 = 4
d) 5x2 + 5y2 = 8
,
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2. Escribe la ecuación de la circunferencia que tiene su centro en el origen y cuyo
radio mide:
a) 6 cm.
b) 2 2 m.
c)
2
3 cm.
3
d) 0 m.
3. Escribe la ecuación de la circunferencia:
a) de centro C (6,-4) y radio 5 unidades
b) De centro C(-1, -5) y radio - 2/3
4. Determina el centro y el radio de las siguientes circunferencias:
a) (x - 5)2 + (y - 1)2 = 4
b) (x + 2/5)2 + (y - 3/4)2 = 3
c) x2 + y2 - 2x + 16y -14 = 0
d) 2x2 + 8x + 2y2 - 6y = 18.
e) [5(x + 4)]2 + 25(y - 2)2 = 625
5. Escribe en forma canónica la ecuación de la circunferencia x2 + y2 + 4x -10y + 11 =
0
6. Grafica la circunferencia de ecuación:
a) x2 + y2 = 4.
b) (x - 5)2 + (y - 1)2 = 4
7. Encuentra la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos
a) (3,0); (-1,6); (-2,-4).
b) (1,-4); (4,5); (3,-2).
8. Determina la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos (-2,4) y (3,6), y
cuyo centro está sobre la recta de ecuación 2x + y = 3.
9. Determina los puntos de intersección de las circunferencias
x2 + y2 = 25 y x2 + y2 +x + y - 20 = 0.
10. Determina en qué puntos son secantes las circunferencias
(x - 3)2 + (y - 2)2 = 16
y
(x - 7)2 + (y - 2)2 = 16
11. Encuentra la ecuación de la recta que pasa por los puntos de intersección de las
circunferencias
x2 + y2 - 4x + 2y - 4 = 0 y x2 + y2 + 4x = 0
12. Calcula la distancia entre los centros de las circunferencias
x2 + y2 - 6x -2y - 6 = 0 y x2 + y2 - 12x + 4y + 31 = 0
13. La ecuación de una circunferencia es x2 + y2 = 50. El punto medio de una cuerda
de esta circunferencia es el punto (-2, 4). Hallar la ecuación de la cuerda.
14. Las ecuaciones de los lados de un triángulo son 9x + 2y + 13 = 0; 3x + 8y – 47 = 0
Y x – y – 1 = 0. Hallar la ecuación de la circunferencia circunscrita.
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FUNCIONES TRIGONOMETRICAS INVERSAS
En la vida cotidiana todas las funciones trigonometricas son
igualmente importantes en los problemas aplicados, desde la
ingeniería de la construcción de materiales, equipos y bienes de
consumo hasta la exploración espacial y el estudio del medio
ambiente. La mayoría de los problemas reales son tratados con
simulaciones computacionales y muy frecuentemente utilizan las
funciones trigonometricas. La trigonometría se aplica a
otras ramas de la geometría, como es el caso del estudio
de las esferas, de la geometría del espacio.
También son usadas en astronomía para medir distancias
a
estrellas
próximas.
En la medición de distancias entre puntos geográficos, y
en sistemas de navegación por satélites.
Si construimos diferentes triángulos rectángulos cuyos ángulos sean iguales pero con
lados de tamaños diferentes y calculamos las relaciones entre sus lados, veremos que
las relacione son independiente del tamaño del
triángulo.
A la relación BC/AC se le llama seno
La gráfica de la función seno es
A la relación AB/AC se le llama coseno.
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La gráfica de la función coseno es
A la relación BC/AB se le llama tangente.
La gráfica de la función tangente es
A la relación AC/BC se le llama cosecante (es la reciproca del seno).
La gráfica de la función cosecante es
A la relación AC/AB se le llama secante (es la reciproca del coseno).
La gráfica de la función secante es
A la relación AB/BC se le llama cotangente (es la reciproca de la tangente).
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La gráfica de la función cotangente es
La propiedad más importante de estas funciones es la periodicidad (sus valores se
repiten cada cierto intervalo). Como en la Naturaleza hay muchos fenómenos
periódicos (el movimiento de los planetas, el movimiento circular, las vibraciones, etc.)
estas funciones aparecen muy frecuentemente.
Funciones inversas de las funciones trigonométricas
La funciones inversas de las funciones
trigonométricas son: arcoseno,
arcocoseno, arcotangente,
arcocosecante, arcosecante y
arcocotangente.
La gráfica de la función arcoseno es:
La gráfica de la función arcocoseno es:
La gráfica de la función
arcotangente es:
La gráfica de la función
arcocosecante es:
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La gráfica de la función arcosecante es:
La gráfica de la función arcocotangente
es:
La funciones inversas de las funciones trigonométricas son: arco seno, arco coseno,
arco tangente, arco cosecante, arco secante y arco cotangente.
GUIA Nº 1
1. Determinar  en cada uno de los siguientes casos:
a) sen  = 0,63465
y
 en el segundo cuadrante,
b) tg  = - 1,42814
y
 en el segundo cuadrante.
2. Determinar  sabiendo que:
a) cos  = - 0,656
y
 está en el segundo cuadrante,
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b) tg  = - 2
c) sen  = -
1
3
d) cos  = - 0,659
y
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 está en el cuarto cuadrante,
y
 está en el tercer cuadrante,
y
 está en el segundo cuadrante
3. Escribir todos los ángulos  (comprendidos entre 0º y 360º) cuyo coseno valga -0.5.
ESTADISTICA: CONCEPTOS BÁSICOS Y MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
LA IMPORTANCIA DE LA ESTADÍSTICA PARA EL HOMBRE
El ser humano es curioso y controlador por naturaleza; ejercer ese control sobre su
entorno le presenta un problema serio; por ello la Estadística le es tan útil en su vida
diaria. El hombre acumula información, luego la clasifica y la analiza para poder
entenderla, de ese modo podrá controlarla; después la traduce a cifras, cálculos y
datos que le ayudan a tomar decisiones sobre cosas tan cotidianas como la compra de
un vehículo, el lugar más seguro para vivir, la variación del clima en una zona o cosas
tan indispensables como la compra y venta de un producto en una empresa o la
matrícula de una institución educativa. Pero para que el hombre pueda hacer todo
esto, debe tener un método, una forma de recolectar e interpretar esos datos; este
método es a lo que llamamos estadística.
Así mismo, la importancia de las medidas de tendencia central es valorada en
pocas ocasiones como antecedente para pronosticar o tomar decisiones en el
campo de conteo y probabilidad. El complejo de conceptos matemáticos plantea
dificultades de comprensión de unos a falta de dar sentido a otros; tal es el
caso de las frecuencias implicadas en la media aritmética y ésta, a su vez, en
algunas medidas de dispersión (desviación media, desviación estándar, entre
otras).
Las medidas de tendencia central son valores
numéricos, que localizan de alguna manera, el centro de un conjunto de datos. El
término promedio a menudo es asociado con todas las medidas de tendencia central.
MEDIA ARITMÉTICA
Promedio que quizá sea el más conocido. Se representa por x (que se lee como "x
barra" o "media de la muestra"). La media se encuentra sumando todos los valores de
la variable x (la suma de valores x se simboliza como ∑X) y dividiendo entre el número
de estos valores, n.
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MEDIANA
Valor de los datos que ocupa la posición central cuando los datos se ordenan según
su tamaño.
MODA
El valor de x que ocurre más frecuentemente.
RANGO MEDIO
Número que esta exactamente a la mitad del camino entre un dato con menor valor
Min y un dato con mayor valor Max, se encuentra promediando los valores máximo y
mínimo.
MEDIDAS DE DISPERSIÓN
Una vez que se ha localizado el "centro" con las medidas de tendencia central, la
investigación en busca de información a partir de los conjuntos de datos se dirige
ahora a las medidas de dispersión. Las medidas de dispersión incluyen el rango, la
varianza y la desviación estándar. Estos valores numéricos describen la cantidad de
dispersión, o variabilidad, que se encuentra entre los datos: datos bastante agrupados
poseen valores relativamente pequeños, y datos más dispersos tienen valores más
grandes. El agrupamiento más estrecho ocurre cuando los datos carecen de
dispersión (todos los datos tienen el mismo valor), para los cuales la medida de
dispersión es cero. No hay límite respecto a cuán dispersos pueden ser los datos; en
consecuencia, las medidas de dispersión pueden ser muy grandes.
RANGO:
Es la diferencia en valor entre las proporciones de datos de mayor valor (Max) y de
menor valor (Min)
Rango= máximo-mínimo
VARIANZA DE LA MUESTRA
La varianza de la muestra s2 , es la media de las desviaci9ones al cuadrado, calculada
usando como divisor a n-1
Varianza de la muestra
s2 =( suma de desviaciones)2 / número -1
DESVIACIÓN ESTANDAR
La desviación estándar de una muestra s, es la raíz cuadrada positiva de la varianza:
GUIA Nº 1 MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
1) El siguiente cuadro muestra la distribución de la renta anual (en miles de soles) en
que incurren 50 viviendas:
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Marca de Clase
N° de Viviendas
18.85
3
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21.55
24.25
26.95
29.65
2
7
7
11
32.35
11
35.05
9
a) Halle e interprete según el enunciado
i)
Media, mediana y moda.
ii)
Desviación estándar y coeficiente de variabilidad.
b) Estime el porcentaje de viviendas con rentas superiores o iguales a 26 000 soles
pero menores que 32 000 soles.
c) Si las rentas menores que 28 300 soles se incrementaron en 2 500 soles y las
rentas mayores o iguales que 28 300 soles se redujeron en un 30%. Calcule la
nueva renta promedio.
2) Una compañía requiere los servicios de un técnico especializado. De los
expedientes presentados, se han seleccionado 2 candidatos: A y B, los cuales
reúnen los requisitos mínimos requeridos. Para decidir cual de los 2 se va a
contratar, los miembros del Jurado deciden tomar 7 pruebas a cada uno de ellos.
Los resultados se dan a continuación:
Prueba
1
2
57
55
80
40
Puntaje obtenido por A
Puntaje obtenido por B
3
54
62
4
52
72
5
62
46
6
55
80
7
59
40
a) Halle e interprete la media, mediana y moda de los dos candidatos.
b) Estadísticamente ¿Cuál de los candidatos debe ser contratado? Fundamente
su respuesta.
3) Se toman las medidas de 80 personas las que tienen estatura media de 1.70 m y
desviación estándar de 3.4 cm. Posteriormente se verificó que la media usada
tenia 4 cm de menos. Establezca si la información es correcta o no.
4) Una asistencia social desea saber cual es el índice de natalidad en 2 distritos de
Lima para lo que encuestó a 10 familias de cada distrito con los siguientes
resultados
A
B
0
3
6
4
1
1
2
4
3
2
1
3
4
1
3
5
6
4
4
3
a) Calcule la media, mediana y moda para cada distrito e interprételos.
b) Considera Ud. que en el distrito B, el número de hijos por familia es más
homogéneo que en el distrito A.
5) En un examen 20 alumnos del curso A obtienen una media de 60 puntos. y
desviación estándar de 20 puntos
En el curso B los alumnos obtienen una media de 80 y desviación estándar de 16.
Ante un reclamo se decide subir en 5% mas 5 puntos adicionales a todos los
alumnos del curso A, en cambio como hubo muchas copias en el curso B se
decidió disminuir la quinta parte de la calificación.
Después de los mencionados ajustes ¿Cual es el puntaje medio de los 50
alumnos?
EVALUACIÓN ICFES
1. Las soluciones de la ecuación 4sen2xtanx–tanx=0, para 0≤x<2π son
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A.
B.
C.
D.
π/6,5π/6,7π/6,11π/6
o, π, π/6,5π/6,7π/6,11π/6
π/3,2π/3,4π/3,5π/3
0,π,π/3,2π/3,4π/,5π/3
2. la expresión sen2α+sen2β=1
A. es incorrecta por que la identidad correcta es la expresión sen2α+sen2 α =1.
B. es valida si α+ β =90o.
C. es valida si α+ β =180o.
D. es valida si =0y β=π/2
3. la curva de la figura (escaneo pag258)es una semicircunferencia con centro en O y
radio igual a 2, al ecuación correspondiente es
A. x2+y2=4, por que tiene centro en (0,0) y radio igual a 2.
B. x2–y2=4, por que corresponde a la parte de una circunferencia con centro en 0 y
radio 2.
C.
D.
por que es la grafica de una función.
, porque corresponde a la parte de de la circunferencia con centro
en 0 y radio 2 cuyas ordenadas son positivas o toman el valor cero.
4. la ecuación de una cónica es Ax2+2y2=4, para determinar el valor de A es
suficiente si
A. Saber si es una circunferencia, una elipse o una hipérbola.
B. Conocer las coordenadas del centro de la cónica.
C. Conocer las coordenadas de dos puntos de la curva.
D. Conocer la ecuaciones de de las ecuaciones de los ejes de las curva.
5. al determinar el valor de A, la ecuación Ax2+2y2=4, que corresponde a una cónica,
puede tomar la forma correspondiente a la grafica de
A. Una parábola cuando A toma el valor de cero
B. Una elipse para cualquier valor de A
C. Una circunferencia cuando A es positivo
D. Una elipse, una circunferencia o una hipérbola, con centro en el origen.
EVIDENCIAS DE
APRENDIZAJE
CRITERIOS DE
EVALUACIÓN
Evidencias
de
conocimiento
 Resolver problemas
aplicando el concepto
Resuelve
problemas
de función.
aplicando el concepto
 Hallar funciones y
de función.
relaciones
Halla
funciones
y
matemáticas a través
relaciones matemáticas
de funciones.
a través de funciones.
criterios
Establece criterios para  Establecer
para la utilización de
la utilización de las
las
relaciones
relaciones
trigonométricas
en la
trigonométricas en la
TÉCNICAS E
INSTRUMENTOS DE
EVALUACIÓN
ACTIVADOR
COGNITIVO
QUIZ
INFORMACIÓN
QUIZ
TRABAJO INDIVIDUAL
EVALUACIONES
TRABAJO GRUPAL
PORTAFOLIO
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CONSULTAS.
solución de problemas
solución de problemas
relacionados con este
relacionados con este
PREGUNTAS ICFES
tema.
tema.
Calcula medidas de  Usar
argumentos
SOCIALIZACIÓN
tendencia central para
geométricos
para
resolver situaciones de
resolver
y formular
EVALUACIÓN
a vida cotidiana.
problemas
en
contextos
RETROALIMENTACIÓN
matemáticos y de
Y REFINAMIENTO DE
otras ciencias.
Evidencias
de
LO APRENDIDO.

Resolver
problemas
desempeño
aplicando
razones
Resultado
de
la
trigonométricas.
observación
en
el
 Calcular medidas de
proceso.
tendencia central
Aplica
conocimientos
para realizar inventarios
locales.
Registro y codificación de
documentos para gestión
ambiental.
Distribución de trabajo
grupal.
GLOSARIO
*Circulo: Región interior de una circunferencia.
*Circunferencia: 1. Lugar geométrico de todos los puntos que están en un mismo
plano y que equidistan de un punto llamado centro. 2. Línea curva, plana, cerrada
cuyos puntos equidistan de otro punto dado, llamado centro.
*Ecuación Trigonométrica: La ecuación trigonométrica es aquella cuyas incógnitas
son el asunto principal de las funciones trigonométricas.
*Función Continúa: Una función f(x) es continua en x = x 0 si y sólo si:
1º) Existe lim f(x) = L cuando x tiende a x 0.
2º) Existe f(x 0) tal que f(x 0) = L
*Función Lineal: Se define una función lineal con dos variables como una expresión
de la forma f(x, y) = ax + by. Su representación gráfica es una recta.
*Función Primitiva: Dada una función cualquiera f(x), definida en un intervalo cerrado
[a,b], se llama función primitiva de f(x) a otra función F(x) cuya derivada sea f(x) en
dicho intervalo. Es decir, F'(x) = f(x) para todo x de [a,b].
*Geometría: Rama de las matemáticas que estudia las propiedades de las figuras y
las relaciones entre los puntos, líneas, ángulos, superficies y cuerpos.
*Inscrito (Ángulo): Ángulo cuyo vértice está sobre una circunferencia y vale la mitad del
arco que subtiende.
*Media Aritmética: cociente entre la suma de los términos de una sucesión y el
número de ellos.
*Origen: Punto de intersección de los ejes de un sistema de coordenadas cartesianas.
*Pi : número irracional que corresponde a la razón entre la longitud de la
circunferencia y su diámetro.
*Radio: (De una circunferencia): Segmento que une el centro con un punto
cualquiera de la circunferencia.
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*Rectángulo (Triángulo): Triángulo que tiene un ángulo recto.
6. BIBLIOGRAFIA Y CIBERGRAFIA

http://ciencia.astroseti.org/matematicas/articulo_4379_historia_del_conce
pto_funcion.htm.

http://www.eleducador.com/col/contenido/contenido.aspx?catID=110&con
ID=307.

http://www.cucea.udg.mx/paginas/economias/metodos/gloss.htm.

Microsoft ® Encarta ® 2007. © 1993-2006 Microsoft Corporation.
Reservados todos los derechos.

http//dialnet.unirioja.es /servlet / articulo? Código 95711.

http//www.unesco.org.uy/ educación /estadística.html.

http//siri.unesco.cl/medios/pdf/documentos técnicos.

Corrales, M./Obando, A.(2001). Matemática Estadística. Tomo II.8va
Reimpresión de la 1ra.Edición. San José, Costa Rica. Talleres Gráficos de la
Editorial EUNED.

Gómez Barrantes, M.(1999). Elementos de Estadística Descriptiva.2da.
Reimpresión de la 3ra. Edición. San José, Costa Rica. Talleres Gráficos de la
Editorial EUNED.

Matematicascafam.jimdo.com el portal de matemáticas CED CAFAM
SANTA LUCIA.