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Una forma nueva (viejísima) de medir los ángulos: Radianes
El radián es una unidad de medición de ángulos planos (para nosotros simplemente ángulos). Su
potencia radica en la íntima relación que guardan los radianes con los círculos y arcos de circunferencia
(un arco de circunferencia es una porción de un círculo, por ejemplo, lo que nadie come de la pizza es un
arco de circunferencia).
Veamos un ejemplo:
El tramo verde es el arco de circunferencia, que claramente es una parte de una circunferencia. Puede
verse también, que de estar la circunferencia completa, cualquiera de las líneas azules representaría al
radio de la misma. En rojo está marcada la amplitud del ángulo que se eligió.
Si el radio es siempre el mismo, para cada ángulo corresponde un y solo un arco de circunferencia, es
decir, para el ángulo rojo, con el radio azul, el único arco posible es el verde. Por lo tanto, si está
definido el radio y el arco, también lo está el ángulo (o mejor dicho, si cualesquiera dos de las tres
variables están definidas, la tercera también lo está).
También se puede demostrar de la ecuación del perímetro de un círculo (si esta porción de círculo
verde, por ejemplo, es de 1/6 de circunferencia, entonces el arco verde será 1/6 del perímetro del
círculo de radio azul), que radios y arcos de la misma amplitud son proporcionales, y esta constante de
proporcionalidad es el ángulo medido en radianes.
Por lo tanto:
θ (rad ) =
Arco
Radio
Ecuación del ángulo medido en radianes
De aquí podemos sacar equivalencias con el sistema de medición sexagesimal (el de 360º).
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Ángulos en Radianes – Matemática – Escuela Técnica ORT – 2013 – Ezequiel Wajs
Un ángulo de 360º representaría a una circunferencia completa, por lo tanto, ese ángulo, medido en
radianes puede ser calculado. Veamos la circunferencia:
Es importante recordar que el ángulo medido no depende del radio que tenga el círculo (ni del arco) en
particular, sino de la proporción entre ambos. Claramente puede verse que el arco verde, para 360º,
mide todo el perímetro de la circunferencia, y el radio medirá R (no lo reemplazaremos por un número).
Calculando el ángulo en radianes:
Arco
Radio
Perim
θ (rad ) =
Radio
2π R
=
θ (rad
) = 2π rad
R
θ (rad ) =
(Nota: solo puede reemplazarse el arco por el perímetro en este
caso ya que el ángulo barre a toda la circunferencia)
Por lo tanto, podemos ver que un ángulo de 360º, medido en radianes, es equivalente a 2π rad.
Otra cosa que puede observarse es que la ecuación para medir el ángulo es un arco (medido en
unidades de longitud) dividido por un radio (también medido en unidades de longitud), por lo tanto, la
unidad radianes (indicada como rad) es ficticia, los ángulos medidos en radianes son aunitarios (no
tienen unidad). Se indica el rad simplemente para denotar de qué se está hablando de un ángulo, pero
es simplemente una formalidad.
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Ángulos en Radianes – Matemática – Escuela Técnica ORT – 2013 – Ezequiel Wajs
Si tuviésemos ángulo y radio y quisiésemos sacar la longitud del arco comprendido entre esos dos
radios, basta con despejar:
Arco
θ (rad ) ⋅ Radio =
Obviamente, el ángulo no puede estar medido en grados, debe estar en radianes.
Esta característica le confiere a los radianes grandes ventajas y aplicaciones por sobre los grados en la
matemática y muchas ramas de la física y por eso lo utilizaremos a menudo.
La escala sexagesimal y la escala de radianes son proporcionales y por lo tanto se puede convertir de
una a otra utilizando la regla de tres simple, sabiendo, por ejemplo, que 360º son 2π rad (o que 180º
son π rad). En radianes, todos los ángulos sencillos que utilizamos son múltiplos de π, como puede verse
en esta tabla:
Grados
0°
45°
90°
135° 180° 225° 270° 315° 360°
Radianes
0
π/4
π/2
3π/4
π
5π/4 3π/2 7π/4
2π
Tabla robada alevosamente de Wikipedia – La Enciclopedia Libre
Los ángulos que son argumento de las funciones trigonométricas (seno, coseno, tangente, etc.) van
medidos en radianes, el seno y el coseno son periódicos cada 360º, en radianes, lo serán cada 2π.
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Ángulos en Radianes – Matemática – Escuela Técnica ORT – 2013 – Ezequiel Wajs