Download 1) Descripción de los cuantos

1) Descripción de los cuantos.
Se concibe el universo como un conglomerado de cuantos, porciones de materia.
No existe el vacío como tal, es decir, espacio sin materia. El “vacío” seria entonces
el menor grado de densidad de la materia. A pesar de la uniformidad básica de
ese estado de mínima densidad, es posible identificar entes que llamaremos
cuantos, a los que atribuimos una simetría más o menos uniforme (figura1).
Al negar el vacío sin materia tenemos que aceptar una forma de estos cuantos no
esférica, para que llenen todos los intersticios entre ellos.
No existe reposo absoluto; los cuantos por su propia naturaleza están en continua
agitación,
cambiando
sus
fronteras,
expandiéndose
y
contrayéndose.
Precisamente la “energía” es esa propiedad que mantiene los cuantos en
agitación.
2) Reposo
Cuando no hay movimiento neto de un cuanto respecto a su entorno diremos, no
obstante su estado de agitación, que está en reposo.
Pero a veces las
expansiones y contracciones se dan coordinadas y producen un movimiento neto
del cuanto (figura 2). En un Δt, intervalo de tiempo, definido y medido con base en
procesos similares de cambio, un
Δm, porción de materia del cuanto, que
llamaremos masa, pasa una frontera imaginaria. Aceptemos como ley que se
cumple:
Energía que paso la frontera  masa que salta la frontera  velocidad 

x
t
Expansión
Compresión
Δx
Δx
Δt
Δt
Precisemos los términos.
Δm: porción, delta de materia, masa, kilogramos.
Δt: intervalo de tiempo, segundos, que dura el salto del delta de masa –Δm-- a
través de la frontera.
ΔEnergía: se acepta como el producto Δmc2, Joules, donde c es una constante.
V: velocidad, metros por segundo. Cociente del espacio ocupado – Δx-- y por el
tiempo del proceso –Δt--.
Obsérvese que para avanzar el cuanto debe abrirse paso entre los demás
cuantos. Pero no existe fricción, ni pérdidas de energía; el cuanto conserva integra
su energía inicial para poder seguir indefinidamente su movimiento, como lo
establece el principio de inercia.
La ecuación anterior se escribe:


 mc 2
mv

x
t


  mc 2  mv
x
 mvv
t
Asumimos como postulado que se pueden utilizar las matemáticas más
elementales:


d mc 2  d mvv
 c 2 dm  v 2 dm  mvdv
c
2

 v 2 dm  mvdv
dm
vdv
 2
m c  v2
Integrando entre la pareja de valores mo, vo y m, v:

m
mo
m
dm
vdv
 2
mo c  v 2
m
 ln m m
m
o

ln c 2  v 2

2

V
VO
 m
ln 
 mo


  ln 



c
c
2
 vo
2
2
 vo
2
 
 
Y definiendo mo como la masa en reposo, cuando vo=0; es decir, cuando solo hay
oscilaciones, no traslado neto:
m
mo
v2
1 2
c
Este resultado en cierta forma, pone de acuerdo a Aristóteles con Galileo. Se
acepta que se requiere energía para mantener el movimiento, aún en el “vacío”
(que en realidad no existe), de algo que atraviesa el entorno; pero como no hay
pérdidas de energía, se cumple la ley de la inercia.
Ahora, es un resultado ajeno a la Relatividad. Todos los observadores, no importa
su estado de movimiento, deben obtener idéntica relación si utilizan medidas
acordes con el entorno del cuanto. En cambio, si usan para medir los delta de t
relojes
enormemente
acelerados
o
aplastados
por
gigantescos
campos
gravitatorios, es lógico que tengan que transformar sus lecturas para acomodarlas
al entorno del cuanto en movimiento.
3) Dualidad onda partícula
El movimiento de expansión y contracción puede asimilarse a un movimiento
ondulatorio idéntico al predicho por DeBroglie, como se verá más adelante. Así
termina el misterio de la dualidad onda-partícula. Esos movimientos ondulatorios
de los cuantos se asemejan a los de una ameba cuando se desplaza en un cultivo,
pero tienen mas uniformidad. Sus semejanzas con las oscilaciones de las cuerdas
en las modernas teorías terminan cuando se precisa que las cuerdas oscilan en un
espacio tiempo que no es creado por ellas mismas.
4) Energía en reposo
En reposo los cuantos oscilan con expansiones y contracciones de diversa
frecuencia y forma de onda (ver figura), asemejándose así a las modernas
cuerdas y supercuerdas.
,
Estas oscilaciones cuando se dan circularmente dan lugar a las características de
las partículas conocidas como espines.
Como no existe el vacío, todos los movimientos de los cuantos se deben
sincronizar con los movimientos de los vecinos. Incluso podríamos hablar de un
continúo material con tendencia a condensarse en nódulos o gránulos, solo
limitados por la pertenencia a un centro de movimiento, pero reacuérdese que se
prohíbe el vacío entre los entes.
5) Principio de incertidumbre.
Hablando metafóricamente, este principio establece que es sumamente peligroso
dejar jaulas vacías o peceras sin
pececillos. Pueden aparecer animales
gigantescos en esos encierros sin que se viole ninguna de las leyes de la
naturaleza; si desea un dinosaurio consígase una jaula minúscula, si apetece una
ballena, consiga un dedal con agua. Este principio se ha entendido de muchas
maneras, las más completamente absurdas. Aquí proponemos la siguiente
interpretación.
Si el universo es cuantizado sus procesos son cuantizados y podríamos aceptar
un proceso mínimo de este tipo:
Δ(Energía mínima para cada proceso ).Δ (tiempo para que se efectúe el proceso)
=h
Donde h es la constante de Planck. En el mundo cuántico no toda energía
desencadena un proceso, se requiera una dada cantidad de energía para cada
proceso; y una vez alcanzado ese umbral de energía el fenómeno desencadenado
se desarrolla en un tiempo dado. El producto de la energía requerida y el tiempo
de duración del proceso es igual al valor de h.
6) Principio de mínima acción
El producto entre la energía y el tiempo suele llamarse “acción”. Desde hace
mucho se usa el principio de mínima acción para calcular las posibles historias o
trayectorias de muchos procesos, entre ellos la propagación de la luz. Nosotros
reinterpretamos el principio de incertidumbre para que incluya el de mínima acción
así: “En procesos cuánticos la acción siempre es mínima, siendo el valor mínimo
h.”
tb
En
Tn
Sea un proceso entre ta y tb (figura). Calculemos su acción:
b
Hab   E nt n   E n t n
b
a
a
Asumamos que el proceso es una sucesión de procesos cuánticos regidos por el
principio de incertidumbre. Como son procesos idénticos podemos asignar un Δt
promedio:
t  t n 
Y como
E n t n 
h
2
 E n 
b
 H ab   E n t n  
a
b
 H ab  
a
t a  tb
n
h
h.n

2t n 2 (t a  t b )
(t a  t b )
h.n
2 (t a  t b )
n
h
n.h

2 2
Pero n es arbitraria, se puede escoger tan grande como se desee. Por lo tanto, la
acción calculada ó medida será siempre más grande que cualquier número
escogido arbitrariamente. Es un absurdo. Nótese que no se trata de afirmar que a
menor Δt escogido sus medidas de energía tendrán más incertidumbre… lo que se
afirma es que tienen que ser mayores, precisamente para dar cabida a la mayor
incertidumbre.
En cambio, si se acepta que un proceso cuántico cumple sin incertidumbres:
E.t  h
Tomando como Δt un cuanto de tiempo dado por la naturaleza y no escogido
arbitrariamente, se tiene:
n
(t a  t b )
t Plank
 E por cuanto 
h
t Plank
b
b
b  ht  t  
 ht  t   n.ht b  t a  .ht b  t a 
H por cuanto    E.t     b a     b a  

a
a
nt
t
 t.n  a  t.n 
Con la acción por cuanto se puede calcular la acción total multiplicando por el
número de procesos cuánticos. El método científico establece que los resultados
son el último comprobante de una teoría.
Si se obtiene de esta forma
exactamente la acción de un proceso es bueno cuestionarse seriamente sobre la
validez del principio de incertidumbre.
4) Ecuación básica.
La ecuación básica de la presente teoría es una simple generalización de las
ecuaciones anteriores:
d E dt  d m.vdx  h.N
Donde:
d(E): diferencial de energía total, que entra al proceso.
d(t): diferencia de tiempo correspondiente al cambio de energía d(E).
d(m.v): diferencial de cantidad de movimiento total.
d(x): diferencial de espacio recorrido en el dt.
N: número de procesos cúanticos.
Cuando una partícula está en un potencial, es decir, esta rodeada de cuantos de
ese potencial, recibe energía de ese potencial y aumenta su cantidad de
movimiento. La ecuación ahora queda:


V .v 

d m.c 2  V potencial dt  d  m.v  2 
c 

Obsérvese que el mismo potencial puede adquirir o perder cantidad de
movimiento como se establece en el término de la derecha.
Para una carga eléctrica en un potencial eléctrico Ve
V .v 

d  m.v  2 
d m.c  V potencial
c 
 
dx
dt
2
 d Ve d  Ve.v  d m.v 
d m.c


  2  
dx
dt  c 
dt
 dx


2


El campo eléctrico viene a representar el término entre corchetes, pero
generalmente se escribe:
Ecampo eléctrico 
1 d Ve d  Ve.v 
1  1  A
  2 

q dx
dt  c 
q x q t
Con:
q: Carga eléctrica de la partícula
Φ: potencial eléctrico escalar
A : Potencial magnético vectorial.
Para describir la fuerza de Lorentz y, por tanto el comportamiento en el campo
magnético, se debe introducir una velocidad relativa entre el potencial y la
partícula.
Como el tratamiento matemático es más complejo se deja para
capítulos posteriores.
8) La relatividad.
Con la ecuación básica podemos acercarnos a la Relatividad. Basta especificar la
cantidad
que
transformación.
se
desee
invariante
y
obtendremos
las
ecuaciones
de
Por ejemplo, para la relatividad especial consideramos dos
sistemas en movimiento relativo (figura)
Se acepta que la velocidad de la luz es invariante y se obtienen las masas de una
partícula en ambos sistemas:
m´ mo (en reposo )
m´
Para la masa 1:
mo
v2
1 2
c
(en el sistema en movimiento)


d m.c 2 dt  d (mv)dx  d (m´c 2 )dt´d (m´v´)dx´








2
2
 mo c 
 mo v 
d
dt  d 
dx  d (mo c 2 )dt´d mo .o .dx´
2 
2 
 1 v 
 1 v 



2 
c 
c2 


Cancelando mo:
c 2 dt´
v
dx
c2
v2
1 2
c
dt 
dt c  v dx
2

v2
1 2
c
dt´
Ecuación que es la versión diferencial de la ecuación de Lorente para la
transformación
del
tiempo.
Para
obtener
las
demás
transformaciones
consideramos una masa igual pero estática en el otro sistema, obtendríamos:
v
dx´
c2
v2
1 2
c
dt´ 
dt 
Entonces despejamos dt´:
dt ,  dt 1 
v2
v
 2 dx´
2
c
c
Para igualarla con la ecuación de dt obtenida antes:
v2
dx
2
dt
v2
v
dt , 
 c
 dt 1  2  2 dx´
c
c
v2
v2
1 2
1 2
c
c
v
v
dx´ 2
2
c
c
 v2

1  2  1
dx

 dt  c
2
2 

v
v
 1 2 
1 2
c
c 

dx´
dx  v dt
1
v2
c2
Completamos así las llamadas transformaciones de Lorentz.
Para la Relatividad General se toman dos sistemas similares en un mismo punto
(figura).
Uno
Uno de los sistemas se considera en caída libre y el otro, por estar en reposo, si
experimenta el campo gravitatorio. La ecuación genérica queda para ambos
sistemas:




v´V

d m.c 2 dt  d m.v dx  d m´c 2  V dt´d  m´v´ 2
c


dx´

Aprovechamos para explicar el significado de igualar dos expresiones iguales a
cero entre si. Significa que si un proceso está bien descrito en un sistema y su
ecuación se anula con unos valores de unas variables, la transformación deducida
garantiza que en el otro sistema el resultado de los cálculos también es nulo, o
sea es el correcto.
Si consideramos que para velocidades pequeñas podemos despreciar los efectos
cruzados del espacio y el tiempo, estamos en condiciones de igualar por separado
la transformación del tiempo y del espacio:




v´V 

d m.c 2 dt  d m´c 2  V dt´ y d m v dx  d  m´v´ 2 dx´
c 

Para velocidades pequeñas las masas también pueden asumirse iguales,
dm=dm´; de donde:

dV 
dt
dt  1 
2 
dm
c



dV 
dx´
y dx  1 
2 
dm
c


El potencial Newtoniano sobre una masa m producido por una gran masa M es:
V 
De modo que
GMm
r
dV GM

dm
r
Si expresamos la masa productora del potencial como una masa distribuida con
densidad σ, tendremos:
 dVolumen
dV
 G
dm
r
y como Einstein define x
significado de la relatividad”)
8 G
, llegamos a las formulas Einstenianas (“El
c2
x  dVolumen 

dx  1 
dx´

r
 8

x  dVolumen 

dt  1 
dt´

r
 8

Fórmulas que relacionan los tiempos y las longitudes entre ambos sistemas.
No insistiremos mucho en la poca importancia que en adelante tendremos que
darle a las teorías relativistas para interpretar los fenómenos físicos, pues las
consideramos
meras
elucubraciones
matemáticas,
parecidas
a
los
que
desarrollamos arriba.
9) La radiación, el átomo de Bohr
Evidentemente la mecánica cúantica no puede explicar porque los electrones no
emiten radiación cuando orbitan los núcleos. Incluso Bohr solo pudo “postular” que
existían órbitas para las cuales no existía radiación; pero “postular” es lo mismo
que aceptar sin explicación. Algunos autores se atreven a decir que la explicación
reside en que esas órbitas de electrones se comportan como ondas estacionarias,
sin caer en cuenta que esto equivale a contradecir el principio de incertidumbre,
pues de una onda estacionaría se conoce exactamente la energía, posición,
momento, etc, sin incertidumbre ninguna.
En nuestro caso la explicación es obvia: las partículas son conglomerados de
fotones que mantiene su cohesión siempre y cuando no se sometan a
excitaciones que superen el límite impuesto por el principio de mínima acción:
Δ Energía suministrada a la partícula x Δ t que dura el suministro = h
Pero energía es fuerza por distancia:
F .dx  Energía
 Fdx  masa  aceleració n  dx  Energía
 m a x t  h
h
m x t
aceleració n 
Por ejemplo en el movimiento orbital (figura)
en un Δt (medio período) el electrón cambia su velocidad de +v a –v, siendo la
aceleración en este proceso
a
v 2v

t t
Si igualamos a la aceleración límite:
2v
h

t m x t
Y como el espacio recorrido Δx, es πR:
2v 
h
m R
 mR 
h
2 v
Combinamos este resultado con la ecuación de fuerzas
Obtenemos así la velocidad en la primera órbita de Bohr.
Para una órbita oscilatoria (figura) el cambio de la velocidad se da en cada
semiperiodo:
La ecuación de fuerzas es
Con
, para nosotros la constante de estructura fina,

hc
2 e 10 7 c 2
2
Por lo tanto no es que existan “orbitas estables” ni cosas por el estilo, lo que existe
es un límite en los cambios de movimiento ante el cual los fotones siguen unidos a
la partícula y no existe radiación.
Mucha atención con nuestra constante de estructura fina. Nosotros la definimos
como el inverso de la constante de estructura fina de Sommerfeld ; es decir, para
nosotros la constante de estructura fina es el famoso número 137.0359996799.
Número con propiedades extrañas, una de las más sencillas es su relación con las
constantes universales h, constantes de Planck, e carga elemental y G constante
de Newton:
heG
 254 / 210 
 2.72222222222222..... *10 50
10) Aplicación a la gravitación
Veamos que ocurre si en lugar de la fuerza eléctrica como en el caso anterior,
encaramos una fuerza gravitatoria que hace orbitar una masa m, respecto a otra
masa M. la aceleración límite sin radiación es
Pero
De donde
Resultados que combinados con la fuerza gravitacional
m R 
m R 

GM m
v2
GM m
h

2
2 v
v
GM m
v

h
2
Con estas fórmulas es difícil resolver, por ahora, el sistema solar, pues no se trata
de un caso límite: por eso veamos que ocurre en ejemplos extremos. Si hacemos
, la velocidad de la luz, y a las dos masas las igualamos llegamos a
O sea la famosa “masa de Planck”. Si con este valor de la masa calculamos el
radio de la órbita obtenemos
Es decir, la llamada “longitud de Planck”. No es tiempo aun de tratar estas
cantidades de Planck y solo diremos que están ligadas a procesos cuánticos
límites, como la emisión fotónica por masas orbitantes. Para nosotros un fotón es
solo un cuanto llevado a la velocidad límite, y, por lo tanto, no se diferencia
intrínsecamente de los demás cuantos.
11) Ecuación de Schrodinger
Como siempre partimos de la ecuación fundamental
V v

d (m c 2  V )  d  m v  2  v
c 

En la que
m: masa de la partícula
V: potencial
v: velocidad de la partícula
Pero como aceptamos que en los procesos cuánticos
Escribimos la ecuación así
V v

d (m c 2  V ) d t  d  m v  2  d x  h
c 

Que dividiremos en los términos
Cambiando el incremento por la diferencia como corresponde en procesos
cuánticos
Ahora, si
, en lugar de corresponder a una partícula, corresponde a un grupo de
partículas que experimentan el mismo proceso, tendremos:
Si asumimos que el número de partículas involucradas es función del tiempo,
podemos escribir
2  N    t 
t
 t
El signo

significa que “definimos”, creamos una función de tiempo

derivada en el tiempo nos suministra el número de partículas multiplicado por
cuya
y
dividido por el cambio cuántico del tiempo
Para la otra parte de la ecuación escribimos
 (m v 
Si se trata de las
Vv
) x   (cantidad de movimiento ) x  h
c2
partículas mencionadas tendremos
 (cantidad de movimiento )  h
N h N 2 

x
x 2 
Aceptando que el número de partículas también puede variar con la posición, por
ejemplo, por efectos de dispersión, escribimos o mejor definimos:
2  N     x 
x   x
El resultado de ambos términos será
 ( Energía ) 
h    t
2
t
 (cantidad de movimiento ) 
Por fin, construimos la función completa
h   x 
2  x
Siendo “a” un parámetro para determinar, e “i” el “versor” de la parte compleja de
los complejos. Obteniendo la derivada parcial respecto al tiempo de la nueva
función
=
De donde despejamos
Y llegamos a lo que llamamos el operador energía
 energía  E 
h   t 
h i 

2  t
2   t
Para la cantidad de movimiento transformada en el proceso escribimos
V v
h   x 

p   (cantidad de movimiento )    m v  2  
c  2  x

Aceptamos que la función
es “entrópica” o sea simplemente cumple una
relación del tipo de las ecuaciones de gradiente
Lo cual es regla común para los conglomerados.
Derivando parcialmente respecto al espacio
  x 
1  2  x 
 cons tan te
  x   x 2
 x
 x
Para abreviar llamaremos
a la constante que precede la expresión de la
izquierda
Ahora volvamos a la función compleja
y derivémosla respecto al espacio

 
 x 


e  t  e  i a   x    e  t  e  i a   x    i a
 x  x
 x

Derivemos de nuevo respecto al espacio
Pero como se cumple



   x    2 i a 
 2
  a 
 

2
A 
 x
  x  
2
Volviendo al momento involucrado en el proceso
h2
 p2 
Escogemos los parámetros
2  
y
2
 2
 x2
1


  a2 
de modo que cumplan
a2 
ia
1
A
ai 2
Por ejemplo
i a

A
y
A
2
3
Remplazando estos valores
a2  i

a
 i 2
A

2




i 2

i
 2  3 1

2 


 3 
Al fin y al cabo se trata de una simple cuadrática
a2 
ia
1 0
A
Con solución
a
i

2A
1
1
4 A2
Bastaría dar valores a A para obtener los apropiados de a.
Remplazamos los valores de A y a en la expresión de
 h
p  
2
2
2
 1  2 

2
   x
Ahora tomamos el “Hamiltoniano”, una función que expresa la energía
Y remplazamos las expresiones de
y
h i 
1

2   t
2m
2
 h

2
 1 2

V
2
   x
 h

2



Ecuación que llevamos a la forma
h 
1
i

2  t
2m
2
2
 V
 x2
En definitiva llegamos a la ecuación de Schrodinger.
El
que usamos se puede interpretar como el numero total de partículas de una
mayor partícula que sufre el proceso y en este caso
“función de onda” de la partícula mayor, o
se entiende como la
puede interpretarse como el número
de cuantos por diferencia de volumen de una masa mayor y en este supuesto
se
interpreta como una densidad de probabilidad de encontrar la partícula. En este
ultimo caso, la ecuación con que introdujimos el
quedaría
Por lo tanto, el máximo valor de la función de onda seria una medida de donde se
encuentra el mayor número de cuantos de la partícula “dueña” de esa función de
onda, y resulta que la función de onda se puede interpretar como medida de
probabilidad de encontrar una partícula en un punto dado del espacio en un
tiempo dado. Sin embargo, un análisis mas profundo nos permite concluir que no
se trata simplemente, de la medida de probabilidad de encontrar un electrón por
ejemplo en un punto dado, sino de una medida de la intensidad de la energía
transformada por el electrón en ese punto. Por lo tanto, un electrón libre tiene una
función de onda “monoperiódica” no porque se encuentre en cualquier punto con
igual probabilidad, sino porque su energía es constante en toda su trayectoria. El
valor de
nulo en las paredes de las cajas donde se estudian los electrones
confinados no es porque en esos puntos nunca se encuentra el electrón sino
porque ahí se detiene, y no recibe ni entrega energía.
12) Valores esperados
Cuando se desea rescatar de la función
la información de la energía y la del
momento se procede así:
Donde
es la conjugada de la función
Veamos como se procede con la energía
De la misma forma puede calcularse el momento.
13) Temperatura, definición
¿Es la temperatura un concepto solo aplicable a grandes conglomerado de
partículas en estado de equilibrio? Nos podemos preguntar si este concepto,
generalmente, empleado en grandes concentraciones de partículas se puede
extender al nivel de los cuanto? La respuesta categóricamente es si, como
mostraremos en las paginas siguientes
Para lograr que el concepto de temperatura se generalice para todo tipo de
procesos, aventuramos esta nueva definición:
“Temperatura es la cantidad total de acción transformada en un proceso, dividida
por el tiempo de duración de la transformación” los modos de transformación, se
suelen llamar “grados de libertad” Esta cantidad, la temperatura, se representa
por el producto
, donde
es la constante de Boltzman y
la temperatura
propiamente dicha.
Como el cambio o transformación de la acción consiste, en la transformación de la
energía, que, puesto que es una cantidad que se conserva, tiene siempre una
variación igual a dos veces la cantidad neta de energía transformada, la expresión
de la temperatura es:
Como el numero de modos de transformación es adimensional, resulta que las
unidades de
son las mismas de la energía.
Si en una caja imaginamos tres partículas sincronizadas para chocar con las
paredes en las tres dimensiones, veremos que la temperatura se puede definir
como:
Obsérvese que el numero de modos de transformación es tres ( en las direcciones
x, y, z) y el numero de partículas es tres también.
No teniendo en cuenta sino los modos de transformación correspondientes a los
movimientos de las tres dimensiones, la “temperatura” de N partículas encerradas
en una “caja” será:
Pero la transformación de una cantidad de energía esta regida por el principio de
mínima acción:
Así que:
Tomando como energía transformada la energía cinética promedia:
Por lo tanto para encontrar la cantidad
media o el intervalo
bastaría medir esa energía cinética
que dura su trasformación.
Pero la definición de
temperatura se asocio también con el concepto de estado en equilibrio para
asociarla se empleo la idea de que las partículas se comportan como ondas. Esta
idea concuerda perfectamente con nuestra teoría de que las partículas no se
mueven en el vacío, sino en un mar de otras partículas transformando su energía
en cantidad de movimiento como se vio en los primeros numerales (numeral)
Entonces, el equilibrio se pudo considera como un movimiento de partículas cuya
longitud dividida por 2, cabía un numero entero de veces entre las paredes
opuestas del recipiente (figura)
Esa longitud de onda depende del
, el tiempo que dura la transformación de la
energía, así:
Longitud de onda que puede relacionase con el radio clásico de la partícula,
y la
constante de estructura fina :
El radio clásico de una partícula se expresa como:
Y la “constante de estructura” fina se toma como el inverso de la constante usada
comúnmente:
El
de transformación queda
Y expresando
Obtenemos
Expresión que llevamos a la definición de temperatura:
La velocidad a la a la se define la constante de Boltzman se encuentra con los
valores conocido de esas mismas constante. En realidad se definieron
simultáneamente la constante y la temperatura correspondiente.
dividió la expresión anterior en factores:
Por definición
Y
De donde despejamos
Para ello se
Velocidad que tiene una importante interpretación física, como se vera mas
adelante. Por ahora, definimos la constante de Boltzmann como
La temperatura correspondiente es
En general la temperatura de un proceso cuántico se define así: se parte de:
Remplazamos la constante de Boltzman
Volviendo a le expresión
Comprobemos la ecuación anterior para la temperatura con el caso de limite de
planck, aunque sabemos que las unidades de planck se definen bajo otros
criterios:
Remplazando en la expresión mencionada
Temperatura que nos da exactamente
temperatura de Planck
Para no definir una nueva escala de temperatura simplemente aceptamos el factor
como parte de la “definición” del concepto de temperatura, y lo añadimos a la
expresión que obtuvimos. El resultado es solo un ajuste en la escala para medir
las temperaturas
Por lo tanto al incluir este factor se obtiene una “definición de la temperatura en
función de la energía promedia por partícula en un estado dado de la materia
14) El cero absoluto
El caso del “punto triple” del agua es importantísimo para nuestra definición de
temperatura. Cuando de calcula la energía promedia de una partícula que oscila
entre los tres estados, nos da casi exactamente
Remplazando la definición de temperatura
Obtenemos
Lo cual nos fija de inmediato el famoso “cero absoluto” de la escala de
temperatura.
15) La relación fundamental de una partícula
No existe el espacio vacío. El espacio es un atributo de la materia. Otro atributo
natural de esa materia es la tendencia a formar corpúsculos de mayor o menor
densidad, es decir, un corpúsculo puede absorber masa y disminuir el espacio que
ocupa (contraerse) o dejar escapar masa y aumentar el espacio ocupado
(expandirse). Resulta así una “ley de la naturaleza” que nos atrevemos a enunciar
de la forma siguiente
Como en condiciones isotrópicas el volumen debe ser mas o menos simétrico
escribimos:
Recordando la expresión que nos da el “radio clásico” de las partículas
Donde
es la carga unitaria y remplazando en la ultima ecuación
El parecido del numero
familiaridad entre ellos.
con el numero aureo hace sospechar una
En efecto siendo el numero aureo
vemos que
podemos expresar la constante A como
De modo que
Relación de la cual obtenemos
Sin embargo, resulta mas lógico que la naturaleza nos emplee el número aureo de
Fibonaci sino una versión “recortada” así el numero aureo natural que modela el
crecimiento de caracoles, pétalos y otros naturales seria
16) Fuerzas en la naturaleza
Las partículas pueden tender a contraerse o expandirse. Cuando se contraen
atraen otras partículas vecinas y tendremos una fuerza de atracción.
Cuando se expanden repelen las partículas vecinas y tenemos una fuerza de
repulsión.
Que ocurra una cosa o la otra, depende tanto del estado de las
partículas que interactúan como del medio donde se encuentran. Incluso puede
darse que una partícula “neutra” se convierta en partícula “cargada” o una cargada
“positivamente” intercambie su carga eléctrica con otra.
Todos esos casos
parecen deberse solo al mecanismo de concentración o de expansión de la masa.
Veamos como definimos las “fuerzas” en esta teoría
De la ecuación que relaciona el volumen con la masa llegamos a:
Diferenciando
Multiplicando por la velocidad de la luz al cuadrado
Precisamente, el cociente del diferencial de energía sobre el diferencial de
distancia seria la “fuerza” sobre ese diferencial de materia y, lógico la fuerza sobre
la partícula que lo transforma.
El signo menos se entiende, como es usual, como una indicación del sentido de la
fuerza; pero como este sentido depende también del signo de las diferenciales;
solo nos interesamos en las magnitudes de las fuerzas. La fuerza anterior es “ la
fuerza eléctrica “ y se cree debido a la presencia de la carga eléctrica e. Existen
partículas que no la experimentan, que llamamos neutras.
partículas con carga negativa.
También se dan
Poco a poco iremos intentando explicar estas
diversas formas de presentarse la “carga eléctrica y como se relaciona con la
estructura de las partículas. Afortunadamente tenemos una expresión que nos
libera de la carga relacionada con la temperatura:
Cuando remplazamos en la expresión de la fuerza llegamos a:
Ahora, si consideramos la temperatura de un electrón como:
Obtenemos:
En cambio, si remplazamos en la ecuación de la fuerza la temperatura de Planck
sobre
, siendo
nuestra “constante de estructura fina”
obtenemos
Veamos el valor de la cantidad entre llaves, teniendo en cuenta que:
Y para nosotros ahora es evidente que la fuerza eléctrica y la gravitacional no solo
se “unen” a temperaturas cercanas a la de Planck, sino que son manifestaciones
del mismo fenómeno. Podemos decir abiertamente
Temperatura exacta de unión de la fuerza eléctrica y gravitacional
17) Otras fuerzas
Las otras fuerzas fundamentales se denominan electro débil e interacción fuerte.
Como se aplican a muchos fenómenos distintos no bien estandarizados solo
veremos algunos casos, Por ejemplo
La interacción nuclear capaz de pasar energía de un neutrón a un protón de modo
que al final el neutrón queda como protón y el protón como neutrón
Las distancias a las cuales ocurre este intercambio son del orden del radio del
mismo protón. Con estos datos apliquemos le ecuación de la fuerza
Pero
y
Temperatura cercana a la que se atribuye a las interacciones no gravitatorias.
Con este método volvemos a la ecuación
De donde:
Como
Esta sencilla ecuación nos permitirá no solo explorar la relación de la temperatura
con las cuatro interacciones fundamentales sino redefinir el concepto de entropía.
En efecto, considere las masas como agregados del cuanto mínimo, cuya masa
designaremos por
Si la energía que fluye la llamamos
Que con
, tendremos
definido como Ln (probabilidad) nos conduce a
18) Las cuatro interacciones
Estamos en capacidad de unificar las cuatro interacciones bajo un mismo hilo
conductor.
Se trata de interacciones resultantes del intercambio de fotones a
diferentes temperaturas. Es decir, son intercambios fotonicos comunes pero con
frecuencias que forman espectros correspondientes a ciertas temperaturas.
Veamos el desarrollo de esta idea
18-1) Temperatura de Planck =
se asume que fue la imperante
al inicio del big bang.
Es posible que ya no existan fotones organizados como el espectro
correspondiente a esta temperatura, pero la tomaremos como base para hacer
nuestros cálculos.
Partimos de la ecuación de la fuerza entre dos entes separados la distancia R
Remplazamos los valores
Y obtenemos
Escogemos:
y
El resultado es
Que nos da para
, la que denominamos
newtons
Nos damos cuenta que para obtener la conocida fuerza gravitacional
correspondiente, debemos bajar la temperatura a:
El resultado es el conocido
Para la fuerza eléctrica la única temperatura que nos proporciona la fuerza
experimental el la temperatura:
Que nos da:
Remplazando en la expresión de la fuerza:
Para la fuerza electrodebil, la temperatura que cumple con el valor esperado es
muy extraña, pero en perfecto acorde con nuestra teoría
De donde:
Para la fuerza fuerte la temperatura resulta:
D modo que la fuerza fuerte queda:
Al determinar estas temperaturas avanzamos mucho en el conocimiento de su
fenomenología
19) Constantes de acoplamiento
Las fuerzas fundamentales se suelen expresar en función de parámetros
adimensionales
llamados “constantes de acoplamiento” para obtener esas
constantes se dividen las fuerzas que obtuvimos por una fuerza base que se
calcula como
Donde masa solar o estelar media
Entonces:
Pero, desafortunadamente, no hay consenso el cálculo de estas constantes de
acoplamiento. A veces se toma como fuerza base la fuerza fuerte y las constantes
quedan:
A propósito, esta falta de consenso ha logrado esconder hasta el momento la
relación entre las constantes de acoplamiento en todos los sistemas que se usen
en calculadoras:
Ahora cuando se mide la constante de interacciones entre quark se pasa a otro
nivel partículas y temperaturas multiplicadas por
estas masas corresponderían
a la de quark S, que generalmente no se creen que existan en neutrones y
protones. De modo que se puede pensar en una momentánea transformación de
otro quark. Calculando con una masa de
Obtenemos:
Valor muy cercano a las últimas estimaciones
20) Alcance de las fuerzas fundamentales
Las “fuerzas” son transmitidas por “chorros”, “corrientes” de fotones que tienen el
espectro correspondiente a una temperatura dada. Para los casos de la fuerza
gravitacional y la fuerza eléctrica, esas corrientes corresponden a temperaturas
bien definidas que producen espectros extremadamente coherentes. El resultado
es que esas corrientes pueden viajar grandes distancias sin perder esa
coherencia, y se dice que se trata de “fuerzas de largo alcance”. En cambio, para
la fuerza electro débil y la fuerza fuerte tenemos ases de fotones de dos
temperaturas distintas.
Estos rayos de fotones no viajan mucho sin que se
dispersen y pierdan su coherencia. A cierta distancia recorrida, muy corta, los
chorros electro débiles se desdoblan en chorros gravitacionales y chorros
electromagnéticos y chorros electromagnéticos; es decir, en chorros cuyos fotones
se acomodan a los espectros de las temperaturas básicas de la interacción
gravitacional y le interacción eléctrica. A su vez, los fotones de la fuerza fuerte se
desdoblan en dos grupos de fotones electromagnéticos, luego de un pequeño
recorrido. Por eso las interacciones débil y la fuerte se denominan “interacciones
de corto alcance”
21) Partículas características de las interacciones
Son partículas en cuyo interior los fotones tienen la temperatura característica de
la interacción
Para la interacción gravitacional la temperatura característica es
La masa de la partícula característica se calcula así:
Los únicos candidatos para representar estas partículas serian los micro agujeros
negros.
Obsérvese que una partícula característica, no es la partícula
responsable de una interacción; solo esta formada por fotones con la temperatura
correspondiente. Si el universo fuera homogéneo y sus fotones estuvieran a la
misma temperatura en todo ese universo solo existieran esas partículas. Para la
fuerza eléctrica tendremos:
Un buen candidato es el quark S con su masa casi igual a este valor.
En el caso de la fuerza electrobebil, la masa de la partícula característica es:
Obsérvese que esta masa es algo así como medio millón de protones.
En otra parte su relación con la interacción que lleva su nombre. Para la fuerza
fuerte la masa es:
Solamente como ejercicio, calculemos la longitud de onda y el radio clásico de
estas partículas
Masa Kgs
mts
R mts
Gravitacional
Débil
Eléctrica
Fuerte
Para las interaccione gravitacionales y las eléctricas, que corresponden a una sola
temperatura sus longitudes de onda son múltiplos de
Planck.
por la longitud de
En cierta forma están sincronizadas con la longitud de Planck y su
alcance es enorme. En cambio las interacciones débil y fuerte, que corresponden
a dos temperaturas no tiene longitudes de onda sincronizadles con la longitud de
Planck y, rápidamente, sus emisiones fotónicas se dividen en conjuntos
correspondientes a otras interacciones.
El alcance de esta dos últimas
interacciones es pequeño y esta dado, precisamente por la longitud de onda
correspondiente.
22) Partículas portadoras de “fuerza”
Las
interacciones
gravitacional
y eléctrica
corresponden
a
las
mismas
temperaturas, sus intercambios energéticos no cambian la estructura misma de las
partículas que intervienen. Solo cambian su “temperatura externa”, es decir, su
estado de movimiento respecto a otras partículas.
Entonces, sus partículas de intercambio, o “Portadoras de fuerza” tienen masa
extremadamente pequeñas. Se dice que no tiene “masa en reposo”, para indicar
que su masa se distribuye en el campo que rodea las partículas. Las interacciones
débil y fuerte, en cambio varían o pueden variar de temperatura interna de las
partículas que la experimentan, por ejemplo la débil puede pasar la temperatura
interna desde la temperatura eléctrica a la gravitacional. Es decir, pude disociar
parte de la partícula en el fondo cósmico.
Por lo tanto, antevienen en la
aniquilación de partículas y en la disociación de partículas en otras partículas y en
fotones. Procesos conocidos como desintegraciones. La interacción fuerte puede
transformar un neutrón en un protón, o a un quark, en otro quark, para lograr estas
transformaciones se requiere el intercambio de partículas de gran masa.
Llevando a una ecuación fenomenológica anteriores llegamos a una ecuación de
tipo
Veamos algunos cálculos con los datos calculados previamente en la tabla
siguiente:
Interacción
Temperaturas
Gravitacional
Tiene temperatura propia e igual a
Débil
Es dependiente de la gravitación y la eléctrica
Eléctrica
Fuerte
Dependiente igual a
Tiene dos versiones
Observando la tabla anterior se puede concluir que las interacciones en la
naturaleza, aunque se basan en el mimo mecanismo básico, se basan en muchas
escalas correspondientes a valores de temperatura con saltos de:
Nosotros nos circunscribimos a la descripción de solo las cuatro fuerzas conocidas
ampliamente .Para ello expresamos la temperatura de la interacción en la forma
Para las interacciones gravitacional, eléctrica y
la temperatura mayor es
igual a la temperatura menor y la temperatura de la portadora resultaría cero, así
como la mas de partícula portadora (se entiende que se trata de la mas en reposo)
Esas partículas portadoras serian el “gravitón”, el “fotón”, y el “gluón”.
Para la interacción “débil” tendríamos:
Masa que corresponde a las partículas
hoy la masa atribuida a la partícula
en promedio. Hasta el día de
es de 80.4 G eV, y a la partícula
91.26 eV, cuyo promedio da: 85.263 G eV.
es
Estas partículas se denomina
“virtuales” aunque paradójicamente, son completamente reales. Su enorme mas
proviene de las partículas que rodean a los que interactúan y forman el substrato
que conocemos como “vacio”
Para la interacción
tenemos:
Temperatura de una partícula de masa:
Masa en el promedio de la masa de los piones
la masa estimada para
estas partículas es:
Y
Cuyo promedio resulta 137.28 m eV. Las discrepancias no deben extrañar pues la
ecuación que ensayamos es fenomenológico como dijimos antes.
23) La partícula más estable
Hemos aceptado una relación entre la masa y el radio de todas las partículas
neutras o cargadas:
Donde m es masa de todos los cuantos de materia que forman la partícula y R es
radio de la región, mas o menos simétrica que ocupan esos cuantos. Esto no
quiere decir que tomemos las partículas como esferas salidas de radio R. Poco
sabemos de la organización de los cuantos que forman las partículas, pero, según
la evidencia experimental, solo presentan la coherencia propia de las esferas
macroscópicas en colisiones de muy baja energía.
A mayores energías los
cuantos de las partículas que colisionan forman una nueva entidad para separase
luego y seguir las trayectorias que implican conservación de energía y momento.
Muchas veces esas trayectorias dan la impresión que una partícula paso a través
de la otra, engañando sobre el verdadero tamaño de ambas entidades.
Luego es lógico que el radio clásico solo tenga una ligera influencia sobre la
“sección recta” que se encuentran en los experimentos de colisión.
Ahora si combinamos el postulado de la relación masa Radio con el postulado de
la cuantizacion que asegura que debe de existir una masa mínima no divisible en
otras menores, podemos escribir
Precisamente a esa partícula de masa mínima y radio máximo la denominamos
“cuanto” y le atribuimos un esquema como el mostrado en la figura.
La tendencia también postulada, es que estos cuantos tratan de asociarse de
modo que la masa crece y el radio disminuye.
Si representamos partículas
formadas por muchos cuantos; cuya coherencia a provocado una disminución del
tamaño; por un grafico m R como el grafico del cuanto anterior obtendremos los
mostrados en la figura. Observe que la acumulación de masa provoca una
disminución del espacio. El limite contrario al caso del cuanto, y que se deduce
del postulado de cuantización que impone una longitud mínima correspondería a
una partícula cuyo esquema m – R mostramos en la figura. Es evidente que las
tendencias en esta partícula es contraria a las partículas de menor masa. Ahora
debe tender a perder masa y gana radio.
Es de sentido común que si aceptamos la fenomenología anterior lleguemos a la
conclusión que la partícula mas estable es aquella en que las dos tendencias se
equilibren la partícula media con igual proporción de cuantos de masa y cuantos
de espacio
Esquema mR de la partícula mas estable del universo
Para esa partícula:
Pero
Aunque existen varas formas de explorar el significado de la ecuación anterior,
escogimos el mas directo para hacernos entender.
De acuerdo a muchas propuestas, el cuanto de longitud es la “longitud de Plack”
Y la partícula mas masiva tiene la masa Planck:
Su producto al cuadrado es
Observe como multiplicamos por
y dividimos por la misma cantidad.
Observamos entonces
De modo que:
Si escribimos
Podemos igualar:
Se puede comprobar que la escogencia para
conexión entre espacio y masa es:
que representa la intima
Con esta escogencia obtenemos
Ahora abordemos la cuestión de la partícula mas estable, evidentemente ya
tenemos herramientas para buscar en la forma “matemática”, pero aceptaremos
por ahora, la evidencia física contundente y la señalamos como el electrón. Con
esta escogencia y sabiendo que:
Podemos calcular el “entero”
Número cuyo carácter entero se discute después.
24) Valores limites y valores extremos
Para nosotros una partícula de masa cero simplemente no existe.
Entonces
llamamos al cero un valor “extremo” que nunca se alcanza en ninguna formación
natural ni en masa ni en radio. En cambio aceptamos que las partículas pueden
llegar a tener una masa mínima o un radio mínimo, cuyos valores llamaremos
valores limites. Dad la simetría del universo aceptamos que se presenta la misma
situación hacia los extremos superiores de la masa y el radio. En medio, como
ilustramos en el esquema m - R estará el electrón como partícula mas estable.
Nuestro razonamiento del numeral anterior se resume así:
Pero
De modo que obtuvimos
Con lo cual calculamos
Lo que nos permite hallar
Y obtener de la mima forma
No debe extrañar que existan partículas tan enormes. Téngase en cuanta que
solo son conglomerados de cuanto ligados por fuerzas pequeñísimas, como nubes
de algún gas.
Estas enormes partículas se conocen entre los físicos como
“resonancias” y generalmente tienen vidas efímeras. Evidentemente no esta a la
alcance de los laboratorios terrestres observar las partícula extremadamente
grandes; pero la astrofísica puede intentar su observación en los rincones “ vacios
del firmamento.
25) El tiempo
Si nos agrandan las perogrulladas podemos decir que el tiempo es la duración de
las transformaciones energéticas. Así la unida natural de tiempo seria la duración
de la transformación de la partícula d masa máxima y se definiría de la siguiente
forma:
Al otro extremo de este pequeñísimo intervalo de tiempo encontramos el tiempo
que dura la transformación de la masa mínima, transformación muy lenta a causa
del poco contenido energético de esa partícula
Cuyo valor se puede determinar con la expresión
Lo cual nos permite llegar al valor exacto de G la constante de gravitación
Y como
Entonces
Y
Llegando a
Examinando las unidades de
encontramos: unidades de
=
Por esta conexión de G con las unidades de tiempo es que trataremos esta
constante en el presente numeral dedicado al tiempo
26) Algo sobre cosmología
Ya que encontramos el valor de G supuestamente “correcto”, entremos a un tema
íntimamente ligado a esta constante la cosmología
La primera observación al respecto es que con la masa del universo comúnmente
aceptada el radio calculado por la expresión
Seria mucho menor que el cuanto de longitud.
Para no incurrir en la aceptación de “singularidades” no necesarias, abandonamos
la pretensión de simular el universo con una de nuestras partículas. En cambio, la
idea de que el universo primigenio era un conjunto de masas de Planck divididas
por
, de modo que la suma de todas sus
masa se igualaba a la masa del universo (figura) se acomoda bien al punto de
partida tipo Big Bang para el universo. Antes de este conglomerado nada
sabemos; literalmente solo Dios sabe que ocurriría antes.
Al no tener formas de transformación, la energía de las masas ni se haría un
desdoblamiento de partículas, disminuyendo la masa de las partículas originales.
Tanto las partículas creadas como las anteriores aumentarían el volumen del
universo y empezaría el proceso de expansión.
Veamos los cálculos para el universo inicial. Si M es la masa del universo, el
numero de partículas iníciales es:
Coocemos el radio de la masa de Planck:
Calculamos su volumen
Por lo tanto el universo inicial tendrá un volumen
Mas tarde abordaremos el caso de la entropía y estudiaremos desde ese aspecto
la escogencia de la masa del universo. Por ahora dejemos sorprender por el
hecho maravilloso de que si tomamos
, el radio inicial del universo como el radio
del electrón, la partícula mas estable, obtenemos para la masa del universo el
valor:
Valor muy cercano a las mejores estimaciones actuales. En realidad en el centro
de esas estimaciones
Sin aportar ninguna prueba nos quedaremos con este valor y continuaremos
nuestros cálculos. El valor del radio inicial del universo es:
El número de partículas individuales de ese universo primigenio es:
Este número de partículas resulta muy útil para determinar teóricamente el número
de Avogadro:
, el número de partículas en el universo primigenio resulto entonces del cubo de
cuantos en el electrón:
Por ultimo el número de cuantos en el universo resulto:
Lo que nos permite desarrollar la siguiente escala usando en número N básico
27) Evolución del número de partículas en el universo
Aceptamos como inherente a la naturaleza de las partículas la tendencia a ganar
mas y contraerse o a perder mas y expandirse, de acuerdo a condiciones diversa
aun no estudiadas. La velocidad de estos procesos siempre es proporcional a la
más instantánea de la partícula.
Luego es lógico que asumamos que el número de partículas crece como función
de la masa de la partícula mayoritaria en el universo. Ahora, como el número de
partículas existente también incide en el número de partículas producido unimos
los dos factores de crecimiento y aventuramos una relación del tiempo:
La función anterior se lee así:
El crecimiento de partícula en el tiempo es igual a una constante multiplicada por
el número de partículas actual y por la masa de la partícula mayoritaria elevada a
un exponente b.
Pero sabemos que:
Para evaluar el exponente b consideremos tiempos para los cuales el numero de
partículas haya superado ampliamente el numero de partículas inícial:
Tendremos
Entonces
Pero
Para lo cual consideramos
Con K la constante de Boltzman conseguimos
Suponemos una rápida expansión inicial de modo que en un instante
Ya se cumplía que numero de partículas era mucho mayor que el numero inicial
para ese tiempo estimamos la temperatura como la de Planck,
Para
aceptamos las consideraciones en boga y tomemos
, y para la temperatura la conocida de
anteriores:
remplazando en las expresiones
Ahora si escogemos los valore limites nuestros
Obtenemos
Estos resultados nos permiten escoger como más plausible el valor de 2 para b.
Máxime cuando se trata de procesos cuanticos.
Con
nos queda:
Y
Volvemos a utilizar las parejas de valores:
Y
Para estimar los últimos parámetros obtenidos:
Recuérdese que
Es un viejo conocido (desde el numeral 25 donde nos permito calcular el valor
“exacto” de G); y
28) Primeras formulas del universo
Vemos en forma tabulada las expresiones que podemos obtener hasta el
momento sobre el universo:
Cantidad
Expresión
Valor sobre
unidad
M masa del
universo
m masa
m inicial=
partícula
preponderant
M actual=
e
N numero de
particulas
volumen
del universo
, Radio del
universo
Velocidad de
expansión
Parámetro
de Hubble
Solo adelantaremos por ahora, algunas explicaciones sobre los valores anteriores.
En primer lugar hacemos caer en cuenta que el crecimiento del radio en el tiempo
no es equiparable a una velocidad pues el concepto de velocidad se refiere al
fenómeno de atravesar un espacio pre existente, y lleno de energía en un intervalo
de tiempo, y el crecimiento del espacio en si es otro fenómeno completamente
diferente. Entre los muchos ejemplos que se nos ocurre de espacio que ocurren a
velocidades mayores que la de la velocidad de la luz, el más, a nuestro entender,
fácil de asimilar es el crecimiento del espacio entre dos puntos de unión, o
encuentro de dos tijeras abriéndose simultáneamente, pues es bien conocido que
este punto de encuentro de las hojas puede “viajar” a velocidades superiores a la
de la luz.
En segundo lugar para calcular el parámetro de Hubble es incorrecto situarnos en
el “centro” del universo, aunque se puede hacer esa suposición para otros
cálculos. Pero en el caso presente la otra galaxia cuya distancia medimos no
puede asumirse en la periferia del universo. Lo más cuerdo es asumir nuestra
galaxia y la otra como puntos promedios homólogos del universo. Haciendo los
cálculos relativistas.
Pero como
Con
Y
Obtenemos:
Sin embargo, debemos aclarar que el método para calcular el parámetro de
Hubble depende mucho de la forma como se interprete la geometría del universo,
y por ende, de cómo se interpreten las medidas de tiempo, distancia y velocidad
entre galaxias. Por el momento, con imaginarnos un universo esférico,
expandiéndose en un “espacio” al que no prestamos atención metal, nos basta.
29) La densidad del universo
Siguiendo con la imagen mental sencillísima del numeral anterior podemos
calcular la densidad del universo:
M
mplanck 4 ( 2 7tplanck ) 2


  2 melectrón3electrón(7 3 / 2t  2 7tplanck ) 2
La densidad inicial del universo es:
i 
M
 1.6864248  10 98 Kg / mt 3
electrón
inicial ( 2 7 tplanck ) 2
inicial (2 14tplanck 2 )


(7 3 / 2 t  2 7 tplanck ) 2 (7 3 / 2 t  2 7 tplanck ) 2
Pero resulta que la constante de gravitación es:
G
Re lectrón 3  
3  4  Re lectrón 3  
  2


4 
3M
M  tp 2
 tp
G
3
 6.674238856  10 11 m 3 /( sg 2 Kgs)
2
4  tp   i
G
3
4  tp 2  G
Y reemplazando en la expresión de la densidad:
(2 14 tplanck 2 )
3


4  tp 2  G (7 3 / 2 t  2 7 tplanck ) 2

3 13

2 7 tplanck 

2  G  49  t 
3/ 2

7



3
2

8  G  

3
8   13

3  49  2t 1 

2
2
2 7 tplanck 


7 3 / 2 t

2

2 2 7 tplanck 
8  G  
4 14
1 




3
3  49 2  t 2 
7 3 / 2 t

8  G   13.218176  4.1014  10 44 


 1 
3
t
t2


Tomando el parámetro de Hubble simplemente como:
Ha 
Llegamos a:
1 dRu 2

Ru dt
3t
t 
2
,
3H
8  G  
 29.741H 2  4.1168  10  42 H 3
3
Esta ecuación tiene una contrapartida en las ecuaciones de Friedmann:
KuC 2
8  G  
2
M 
3
R2
Ecuación en la que Ku representa la curvatura gaussiana. Cuando el universo es
plano, Ku = 0, y la ecuación de Friedmann queda muy parecida a la nuestra, pues
el término en H3 es pequeñísimo comparado con el término en H2. En definitiva,
podemos resaltar que la densidad calculada por nosotros es unas treinta veces
mayor que la del correspondiente modelo relativista.
30) La constante gravitacional de Einstein
Einstein introdujo en sus ecuaciones de Campo una constante X que se vincula
con la constante newtoniana de gravitación G, por la relación:
G
XC 2
8
Como ahora sabemos que G está relacionada con la densidad inicial del universo
y con el cuanto de tiempo por la ecuación:
G
3

4  inicialuni verso  tcuanto 2
3

4   i  tp



3
XC 2
G

8
4   i  tp 2
Y podemos interpretar la constante Einsteniana asi:
X
6
tp   i  C
2
2

6
 DensidadIn icial
 Cuanto 



deEnergíad
elUniverso
deTiempo



2
Es tal la importancia de este parámetro, que vemos su significado como más
profundo y nos atrevemos a escribir:
6
X
1
8
 Densidad
 Edad



 deMasadelU niverso  C 2 Universo 



2

8G
C2
De donde despejamos
EdaddelUniverso 
6
64G  DensidadMa saUniverso
Que coincide plenamente con la expresión para la edad del universo deducida de
la Relatividad General en muchos textos de Astrofísica:
t
3
32  G  
Pero logramos esta coincidencia añadiendo el factor 1/8. En síntesis, para muchos
autores que siguen la Relatividad, tenemos:
 Densidadde Masa
 2
3
3

  t 

32G 4 XC 2
 delUniversoenelTiempo(t ) 
Para nosotros:
 Densidadde Masa
 2
3
6

  t 

4G XC 2
 delUniversoenelTiempo(t ) 
31) Distancia al Big – Bang
Según la Relatividad entre dos puntos del espacio – tiempo se cumple el
invariante:
x 2  (ct ) 2  0
(ct ) 2  x 2
Combinando este resultado con el numeral anterior tendremos:
x 2  (ct ) 2 
x
6
64   3

X  DensidadMa saUniverso X  M u  3
XM u 8  G  M u G  M u


 Ru
8
8  C 2
C2
De modo que para nosotros el universo sería un agujero negro, en términos
relativistas. El tiempo no transcurre para los observadores situados en la periferia
y el radio no cambia, permanece constante.
Para la cosmología relativista ocurre lo siguiente:
1
6C 2 6  4  x 3   x 3
x 2  (ct ) 2  

8 XC 2   8 XM  3
XM
x
  8GM 8GM

 Radio de agujero negro
C2 
C2
Es decir, el universo no es un agujero negro; en la periferia el tiempo transcurre;
pero el radio se mantiene constante y no existe el Big – Bang…
Este ligero problema tiene muchas soluciones satisfactorias para los relativistas.
Solo queremos hacer ver que este modelo que presentamos engloba una versión,
como se dedujo en los primeros numerales de la Relatividad que no presenta en
absoluto esas pequeñas inconsistencias.
Como hemos trabajado demasiado en cosas intangibles, como el radio del
universo y la edad del mismo, es bueno un regreso a terrenos más familiares. Por
eso iniciaremos un estudio de nuestro Sistema Solar.
32) Sistemas orbitantes
Partimos de un concepto: energía es tendencia a la contracción o a la expansión.
En cierta forma puede mirarse esta tendencia como una absorción o una emisión
de espacio. Por ejemplo, podemos colocar una rejilla coordenada fija, centrada en
la partícula que absorbe materia y considerar que el “espacio” es fijo y lo que se
mueve hacía la partícula es la materia que llena ese espacio. Incluso podemos
imaginar el espacio como curvo y relacionar esa curvatura con el movimiento de la
materia en el, y decir que el movimiento es producido por la curvatura misma. En
la otra concepción asumimos el sistema coordenado fijo a la materia y ahora
pensamos que la partícula engulle al mismo espacio que la rodea, pues el sistema
coordenado parece, y en efecto lo es, ser tragado por la partícula. Para que la
imagen sea más ilustrativa dibujamos la rejilla en forma de embudo centrado en la
partícula. En este trabajo se usa con preferencia los sistemas de coordenadas
fijos, sobre los cuales se “mueve” la materia.
Otro movimiento mas frecuente es una contracción seguida por una expansión,
que crea un traslado neto de una partícula alrededor de otra. Estos movimientos
los llamamos orbitantes.
Estos traslados tan frecuentes en la naturaleza se pueden describir como
movimientos ondulatorios, con un periodo, una longitud de onda, etc. Trataremos
de estudiar las leyes que rigen esos movimientos.
33) Fuerza centrífuga
Aunque sabemos que en nuestro sistema se aceptan las leyes de la física clásica
casi sin modificación, también asumimos que esas leyes pueden deducirse del
principio de cuantización y del principio de mínima acción. Nuestro primer paso,
entonces, es lograr una expresión cuántica para la fuerza centrífuga. Para ello nos
tenemos que separar algo de nuestro propósito de solo emplear las matemáticas
más sencillas, y empleamos la sofisticada figura siguiente.
Se hacen las consideraciones comunes: los ángulos son pequeños, la velocidad
tangencial cambia muy poco, etc. Entonces, argumentamos:
La energía transformada por la fuerza radial en el trayecto desde el punto a hasta
el punto b, multiplicada por el tiempo que dura la transformación, Δt, tiene que ser
igual a un número entero, NR de cuantos de acción, h.
  
En ecuación: FR S  sen
t  N R h
 2 
Este número de cuantos de acción debe corresponder al número de cuantos de
acción que cambia la energía cinética de la partícula en sentido radial:
1
1
2
2 
 2 mvR b  2 mvR a  t  N R h


Igualando los cuantos de acción:
1
  
2
N R h  FR S  sen
t  mv R bt
2
 2 
1
  
2
De donde: FR S  sen
t  mvR b
2
 2 
Pero resulta, y el diagrama lo pone de manifiesto, que:
Como los ángulos son pequeños:
   
sen

 2  2
Por lo cual:
v R b 2  (vsen ) 2  v 2 ( ) 2
S  R' 
En definitiva:
2
2
   mv ( )
FR R'  

2
 2 
 FR 
mv 2
R'
Esta es la famosa fueraza centrífuga. Obsérvese que no es una fuerza centrífuga
“ficticia”: es una fuerza completamente real, correspondiente a una transformación
efectiva y calculable de energía.
34) La fuerza tangencial
Cuando el movimiento orbital no es completamente circular la fuerza central tiene
componente radial y tiene componente tangencial (ver figura siguiente). El cambio
de energía en el sentido tangencial también debe cumplir el principio de mínima
acción.
Ft St  N t h
Esta ecuación la dejaremos así. Es decir, no procederemos como en el caso de la
fuerza centrífuga, a igualar los cambios en los cuantos de acción, para poder
mantener en evidencia los efectos cuanticos en el movimiento orbital.
Llamando  al ángulo entre la tangente y la fuerza central podemos escribir:
mv 2
FR  Fsen 
R'
Ft  F cos  
Nt h
St
Estudiaremos los casos donde la fuerza central se puede expresar así:
F
A(cons tan te)
A
 2
2
( Rdis tan ciaentremyM )
R
De donde obtenemos:
FR 
A
mv 2
sen


R'
R2
Ft 
Nh
A
cos   t
2
St
R
 sen 
R 2 mv 2
AR'
cos  
R2 Nt h
ASt
Entonces:
2
R4 Nt h2
R 4m2v 4
sen   cos   1  2

A ( R' ) 2 A 2 S 2 t 2
2
2
Ahora, la relación de la distancia entre los cuerpos y el radio de curvatura está
afectada tanto por la relación de las masas como por la velocidad finita de
propagación de los cambios energéticos. Solo consideraremos el efecto de masas.
Tomando en cuenta los dos cuerpos girando alrededor de un centro común:
GMm
 mw 2 R '  Mw 2 R ' '
2
R
 R' ' 
mR'
M
 R  R' R' '  R' R'
R 
R' (m  M )
M
Reemplazando en la ecuación de la fuerza:
m
M
R 4 m 2 v 4 (m  M ) 2  N t h 2
1

 S 2
A2 R 2 M 2

2
 R4

 A 2 t 2

Como el arco recorrido depende de la velocidad y el Δt, podemos escribir: ΔS =
vΔt, y llegamos a la expresión:
2
1
R 2 m 2 v 4 (m  M ) 2  N t h  v 2 R 4
 2 
2
A2 M 2
 S  A
Ahora, consideremos una órbita estable. En esa órbita los procesos cuánticos
deben ser repetitivos e idénticos. Tomamos, por lo tanto, el término
Nt h
S 2
como un
parámetro de la órbita y escribimos:
Nt h
S 2
b
R 2 m 2 v 4 (m  M ) 2 b 2 v 2 R 4
1 

A2 M 2
A2
Despejando:
R4 
R2  
R 2 m 2 v 2 (m  M ) 2
A2

0
b2M 2
b2v 2
m 2 v 2 (m  M ) 2

2b 2 M 2
m 4 v 4 (m  M ) 4
A2

4b 4 M 4
b2v 2
Pero una órbita estable se debe diferenciar de las demás en algún máximo o
mínimo. Derivando respecto a v2:
 2m 4 v 2 ( m  M ) 4
A2 

 2 4 
4b 4 M 4
b v 
d (R 2 )
m 2 (m  M ) 2 1 


0
2
2
2
2 m 4 v 4 (m  M ) 4
d (v )
2b M
A2
 2 2
4b 4 M 4
b v
m 4 (m  M ) 4
b4M 4
 m 4 v 4 (m  M ) 4
A2

 2 2
4b 4 M 4
b v

  m 4 v 2 (m  M ) 4
A2
  
 2 4
2b 4 M 4
b v
 



2
m 8 v 4 (m  M ) 8 m 4 A 2 (m  M ) 4 m 8 v 4 (m  M ) 8
A 2 m 4 v 2 (m  M ) 4
A4


 4 8 
4b 8 M 8
b 4 M 4b 2v 2
4b 8 M 8
b v
v 4b6 M 4
2 A 2 m 4 (m  M ) 4
A4

v 2b 6 M 4
b4v8
A2b 2 M 4
v 
2m 4 ( m  M ) 4
6
Reemplazando en la expresión de R2:
8
4
4

A 6b 6 M 6

8
 26 86
6
 2 m (m  M )
m 2 (m  M ) 2
R 
2b 2 M 2
2
8
8
m 4 (m  M ) 4 A 6 b 6 M
6
8
4
4b 4 M 4 2 6 (m  M ) 6 m
4
R2  
4
A 6 m 6 (m  M )
8
8
2 6b 6M
2
R  
2
4
4
4
2
3
2
3
8
2

A 2 2 6 (m  M ) 6 2
4
8


4
b2 A 6b 6 M
6
8
8
A 6 (m  M ) 6 m
2
2
4
6
6
A 3 m 3 (m  M )
2 3b 3M
6
6




16
6

16
b 6M
8
6
16
6
m
8
6
6
8
6
1  2186 


 mA(m  M ) 
1 8 1  2  

2 2
 2 b M 
2
3
En definitiva, tendremos para las órbitas estables:

AbM 2

v
2
2
 2 (m  M ) m
 Am(m  M ) 
R

2Mb 2 





1
1
3
3
35) Orbitas estables y la Ley de Kepler
Encontramos la relación entre v y R con el parámetro cuántico b para las órbitas
estables; tratemos de anular este parámetro haciendo el producto:

Am(m  M ) 
A2b 2 M 4

v  R  

2
4
4

2
Mb
 2 (m  M ) m

1
3
2

v 2 R  




3
3
3 
2 (m  M ) m 
 
v 2 R 
A3 M 3
1
3
AM
2 (m  M )m
Este resultado requiere una explicación pues el
2 del denominador no aparece
en la expresión conocida universalmente como la ley de Kepler. Es fácil caer en
cuenta que la presencia del
2 se debe a la forma de obtener la velocidad media y
la distancia media al centro de fuerza. Es decir, se entiende la expresión como una
relación entre valores medios ponderados. Veamos un ejemplo ilustrativo al
respecto. Para no enredarnos con integrales elípticas, nos imaginamos la elipse
dividida en n trozos.
Entonces proponemos dos formas de interpretar la ley de Kepler.
La forma usual:
vo 
v máxima  v mínima
2
Ro 
Rmáxima  Rmínima
2
GM  vo Ro
2
Y la forma ponderada:
GM

2

1
n  1RmáximaVmínima2  Rmínimav máxima 2
n
Llamando: vo   o v mínima 
v máxima
Bo
Ro   o Rmínima 
Rmáxima
Bo

2

vo
R
1
2
2
 n  1Bo Ro 2  o N o Bo 
o
o
2 n 

GM


GM
Ro v o
n

2
2

Bo
Bo 


n

1



 o 2  o 

2
Teniendo en cuenta que GM  vo Ro , se obtiene:
2
n  1
Bo
o
2

Bo
2

o
n
2
Lo que nos permite despejar n:
Bo
2
o
n
B
o
2

o2
 o 2   o BO

 1
B
 n
 o2
 2 
o

Bo

2 o
 o  o  2 Bo
3
2

2





2 Bo  o Bo  1

2
o
 2 Bo

Con esta expresión obtenemos dos límites:
 o Bo  1
y
 o 2  2Bo
Ahora, como  o  1 y Bo  1 , por definición, la primera desigualdad no tiene
interés; pero la segunda resulta muy diciente cuando hacemos Bo ≈ 1  o  2
2
 o  1.1892 .
36) Comprobación astronómica
Nuestra ley de Kepler dio sorprendentemente:
AM
m  M m
Encontramos como explicación al

GM
2
 Rv 2
2
2 , que no aparece en las leyes originales de
Kepler, la forma de promediar los valores de R y v.
Para explicar este promedio definimos:
Ro   o Rmínima 
Rmáxima
Bo
vo   o v mínima 
v máxima
Bo
Los productos de las distancias y las velocidades extremas dan:
Rmínimav máxima
Rmáximav mínima
A 
B
C
Rmínimav máxima
2
Rmáximav mínima
2
2
2
R
  o
o
B 2 

Bo v o 2   o  Ro v o 2
 

 o 
B
 Ro  Bo  o
o
  Bo
   2

 o
2
 Bo o  1.009  1.1892  1.199
Rmínimav máxima Ro vo Bo o

1
Rmáximav mínima  o Ro Bo vo
Rmáximav máxima Ro Bo v o Bo
2
2

 Bo o   2 Bo  1.45
Rmínimav mínima  Ro  v o 
  
  o   o 

 Ro v o 2


Rmáxima Ro Bo
V

  o Bo  1.199  E  max   o Bo  1.199
Rmínima  Ro 
v min
 
o 
D
Veamos que dicen los valores experimentales sobres esas cantidades:
Rmínima
Rmáxima
Vmínima
Vmáxima
x 1010mts
x 1010mts
x103m/s
x103m/s
Mercurio
4.6002
6.9818
38.860
Venus
10.7473
10.8938
Tierra
14.7102
Marte
Planeta
A
B
C
D
E
58.98
1.5181
1.0002
2.3030
1.5177
1.5174
34.790
35.26
1.0070
0.9967
1.0241
1.010
1.0136
15.2098
29.290
30.29
1.0343
1.0002
1.0693
1.034
1.0339
20.6657
24.9323
21.970
26.50
1.2063
1.0001
1.4547
1.206
1.2060
Júpiter
74.0565
81.6203
12.440
13.72
1.1038
1.0009
1.2153
1.103
1.1019
Saturno
135.0065
150.8761
9.090
10.18
1.1223
1.0021
1.2019
1.119
1.1175
Urano
274.1959
300.0820
6.490
7.11
1.0939
0.9986
1.0428
1.095
1.0971
Neptuno
446.4019
454.5012
5.370
5.50
1.0303
1.0059
2.7348
1.024
1.0181
Plutón
444.2536
738.9237
3.710
6.10
1.6253
0.9885
1.4963
1.644
1.6633
Valores Promedios Experimentales
1.193
0.9993
1.477
1.195
1.196
Valores Teóricos
1.199
1.000
1.45
1.199
1.199
El significado de los resultados anteriores es claro, desde el punto de vista
estadístico, las órbitas de los planetas se separan de sus valores “ideales” por
perturbaciones mutuas; pero esas perturbaciones, como en todo sistema
conservativo; producen efectos contrarios en la órbita perturbadora. Esos efectos,
en promedio, tienden a anularse, y al sacar los valores medios se obtienen límites
muy parecidos a los teóricos.
El sistema Solar resulta ser, entonces, un extraordinario mecanismo de relojería
que funciona en armonía completa… pero al costo de pequeñas perturbaciones
entre sus partes que se compensan entre sí. Esto nos da una pista de cómo tratar
esas perturbaciones, que deben de ser del orden de (2)(1/12), para corregir los
valores que obtengamos para nuestras órbitas “perfectas” y acercarlos a los
valores perturbados reales. El valor (2)(1/12) se deduce de una observación somera
de la tabla anterior.
37) Velocidades planetarias
Obtuvimos la expresión:

AbM 2
v  
2
2
 2 (m  M ) m




1
3
Donde b es el parámetro cuántico N t h / S 2 . Para el sistema Solar A = GMm y M,
la masa del sol, es mucho mayor que m, la masa de los planetas. Luego, sin
introducir errores apreciables, se puede escribir:
 GMN t h 

v  
2 
 2mS 
1
3
Cuando estudiamos la ley de Kepler nos resultó la expresión:
GM
 v 2 R , que
2
explicamos aduciendo que R y v eran valores promediados en forma diferente a
los usuales valores medios de la astronomía tradicional. Para seguir refiriéndonos
precisamente a los valores empleados comúnmente escribimos:
v o  v  2
1
6
 GMN t h 


2
 mS 
1
3
Para hallar los parámetros cuánticos debemos consultar tanto las leyes de la
mecánica cuántica como las leyes gravitacionales e interpretar, a la luz de estas
leyes, las ecuaciones encontradas. Es precisamente lo que hicimos. Pero para la
exposición procederemos al revés: primero mostraremos los resultados y luego
veremos como llegamos a las ecuaciones consideradas. Empezaremos con la
velocidad:
 GMN t h 
vo  

2
 mS 
1
3
 GM 2 2    22ng



 7 2   2 





1
3
Tomando para nuestro sol el archiconocido valor de 1.989 x 10 30 Kgs como su
masa, M, procedemos a llenar la tabla siguiente con los valores experimentales y
los calculados. Téngase en cuenta que el único dato requerido es M, la masa del
sol.
Orbita
ng
1
Planeta
Velocidad
Velocidad
Velocidad
Velocidad
Mínima
Máxima
Media
Calculada
m/s
m/s
m/s
m/s
Velocidad
Corrección
Corregida
m/s
Vulcano*
Vulcanoides
**
22
23
Mercurio
38860
58980
47873
47891
2(0/12)
47891
24
Venus
34790
35260
35021
36704
2(-1/12)
34644
25
Tierra
29290
30290
29786
28130
2(+1/12)
29803
26
Marte
21970
26500
24131
21558
2(+2/12)
24198
27
Ceres***
17900
16522
2(+3/12)
19648
28
Júpiter
12663
2(+1/12)
13416
2(0/12)
9705
29
Orbita
ng
30
Saturno
Planeta
Urano
31
Neptuno
32
Plutón
12440
13720
13070
9090
10180
9672
9705
Velocidad
Velocidad
Velocidad
Velocidad
Mínima
Máxima
Media
Calculada
m/s
m/s
m/s
m/s
6490
7110
6335
7438
2(-2/12)
6626
5700
2(-1/12)
5380
4749
4369
2(+1/12)
4629
4531
4369
2(0/12)
4369
5370
3740
5500
6100
5478
Velocidad
Corrección
Corregida
m/s
2005FY9, 2003EL61, ****
32
Quaoar, 2002TC302
Orcus, Varuna, Caos, Ixión….
33
Eris
3436
3348
2(0/12)
3348
37
Sedna
1040
1155
2(-1/12)
1090
Notas:
*Vulcano: Planeta inexistente propuesto por Leverrier para explicar el adelanto del
perihelio de Mercurio.
**Vulcanoides: Asteroides no detectados, situados en órbitas menores que la
órbita de Mercurio.
***Ceres: Asteroide representante del llamado “cinturón de asteroides”, restos de
un primitivo o abortado planetoide.
****Plutón: forma parte de los restos de un gigantesco planeta, fragmentado o
abortado, que corresponde a la órbita 32, junto con los planetoides
recién descubiertos.
38) Velocidades de los satélites
Como solo calculamos “órbitas perfectas” y los satélites, debido a su pequeña
masa, son más expuestos a sufrir perturbaciones apreciables, como las
producidas por el paso de un cometa en su vecindad, es mas seguro que
encontremos discordancias entre los datos calculados para sus órbitas y sus
valores experimentales. Aquí no consideraremos el caso de los anillos planetarios
que serán estudiados a su debido tiempo. Llenaremos una tabla empleando la
misma fórmula:
 GM 2 2    22 n g


v
 7 2   2 





1
3
La única diferencia será que en lugar de la masa del sol usaremos la masa del
planeta.
Planeta
Satélite
Velocidad
Velocidad
Masa
Masa
experimental
calculada
Kgs
Kgs
m/s
m/s
47873
47891
Mercurio
Corrección
2(0/12)
Velocidad
Número
corregida
Orbital
m/s
ng
47891
23
3.303x1023
Venus
4.869x1024
Tierra
5.976x1024
Luna
7.349x1022
Marte
6.421x1023
Fobos
1.08x1016
Deimos
1.8x1015
Jupiter
1.900x1027
Metis
9.56x1016
Adrastea
1.91x1016
35021
36704
2(-1/12)
34644
24
29786
28130
2(+1/12)
29803
25
1020
1176
2(-2/12)
1048
21
24131
21558
2(+2/12)
24198
26
2140
2112
2(0/12)
2112
16
1350
1240
2(1/12)
1314
18
13070
12663
2(1/12)
13416
27
31570
30324
2(0/12)
30324
16
31450
30324
2(0/12)
30324
Planeta
Satélite
Velocidad
Velocidad
Masa
Masa
experimental
calculada
Kgs
Kgs
m/s
m/s
26470
23241
23920
Amaltea
7.17x1018
Tebe
7.77x1017
Io
8.94x1022
Europa
4.80x1022
Ganimedes
1.48x1023
Calisto
1.08x1023
Leda
5.68x1015
Himalia
16
Velocidad
Número
corregida
Orbital
m/s
ng
2(2/12)
26087
17
23240
2(0/12)
23240
17
17330
17812
2(0/12)
17812
18
13740
13651
2(0/12)
13651
19
10880
10462
2(0/12)
10426
20
8210
8018
2(0/12)
8018
21
3380
3609
2(0/12)
3609
24
3330
3609
2(0/12)
3609
24
Corrección
9.56x1018
Lisitea
7.77x1016
Elara
7.77x1017
Ananke
3.82x1016
Carme
9.56x1016
Pasifae
1.91x1017
Sinope
7.77x1016
Saturno
5.6632x1026
3290
3609
2(-1/12)
3190
24
3290
3609
2(-1/12)
3190
24
2440
2120
2(+2/12)
2380
26
2380
2120
2(+2/12)
2380
26
2330
2120
2(+2/12)
2380
26
2270
2120
2(+1/12)
2246
26
9672
9705
2(0/12)
9705
29
Velocidad
Número
corregida
Orbital
m/s
ng
Planeta
Satélite
Velocidad
Velocidad
Masa
Masa
experimental
calculada
Kgs
Kgs
m/s
m/s
Pan
16890
15548
2(+1/12)
16472
17
Atlas
16630
15548
2(+1/12)
16472
17
16530
15519
2(+1/12)
16442
17
16400
15519
2(+1/12)
16442
17
15860
15519
2(0/12)
15519
17
15860
15519
2(0/12)
15519
17
14320
15519
2(-1/12)
14648
17
12680
11894
2(+1/12)
12601
18
11350
11894
2(-1/12)
11226
18
Telesto
11350
11894
2(-1/12)
11226
18
Calipso
11350
11894
2(-1/12)
11226
18
Saturno
5.6632x1026
Prometeo
2.7x1017
Pandora
2.2x1017
Epímeteo
5.6x1017
Jano
2.01x1018
Mimas
3.8x1019
Encelado
8.4x1019
Tetis
7.55x1020
Corrección
Dione
1.05x1021
Helene
Rea
2.49x1021
Titán
1.35x1023
Hiperion
1.77x1019
Japeto
1.88x1021
10030
9115
2(+2/12)
10231
19
10030
9115
2(+2/12)
10231
19
8480
9115
2(-2/12)
8120
19
5570
5354
2(+1/12)
5672
21
5060
5354
2(-1/12)
5053
21
3260
3145
2(+1/12)
3332
23
Velocidad
Número
corregida
Orbital
m/s
ng
Planeta
Satélite
Velocidad
Velocidad
Masa
Masa
experimental
calculada
Kgs
Kgs
m/s
m/s
Saturno
Febe
5.6632x1026
4.0x1018
1710
1847
2(-1/12)
1743
25
6835
7438
2(-2/12)
6626
30
Cordelia
10800
10845
Ofelia
10390
10845
2(-1/12)
10236
16
Bianca
9900
10845
2(-2/12)
9662
16
Crésida
9690
10845
2(-2/12)
9662
16
9662
16
Urano
8.6513x1025
Corrección
16
Desdémona
9620
10845
2(-2/12)
Julieta
9490
10845
2(-2/12)
9662
16
9662
16
Porcia
9370
10845
2(-2/12)
Rosalinda
9110
10845
2(-2/12)
9662
16
Belinda
8780
8311
2(+1/12)
8805
17
Puck
8210
8311
2(0/12)
8311
17
6680
6370
2(+1/12)
6749
18
5520
6370
2(-2/12)
5675
18
4670
4882
2(-1/12)
4608
19
3640
3741
2(0/12)
3741
20
Miranda
6.33x1019
Ariel
1.27x1021
Umbriel
1.27x1021
Titania
3.49x1021
Oberon
3150
2867
2(+1/12)
3037
21
5478
5700
2(-1/12)
5380
31
Nayade
11860
11454
2(0/12)
11454
16
Thalassa
11670
11454
2(0/12)
11454
16
11454
16
10811
16
Velocidad
Número
corregida
Orbital
m/s
ng
9300
17
3.03x1021
Neptuno
1.01925x1026
Despina
11410
11454
2(0/12)
Galatea
10520
11454
2(-1/12)
Planeta
Satélite
Velocidad
Velocidad
Masa
Masa
experimental
calculada
Kgs
Kgs
m/s
m/s
Larisa
9650
8778
Proteo
7620
6728
7552
18
4390
3952
4436
20
1100
1045
2(+1/12)
1107
25
4749
4369
2(+1/12)
4629
32
220
208
2(+1/12)
220
20
2002KX14
4770
4369
2(+1/12)
4629
32
2003VS2
4750
4369
2(+1/12)
4629
32
2003AZ84
4700
4369
2(+1/12)
4629
32
4629
32
Neptuno
1.01925x1026
Triton
2.14x1022
Nereida
Plutón
1.4875x1022
Coronte
1.77x1021
Corrección
2(+1/12)
Orcus
4680
4369
2(+1/12)
Ixión
4660
4369
2(+1/12)
4629
32
4629
32
1995SM55
4600
4369
2(+1/12)
2002MS4
4580
4369
2(+1/12)
4629
32
2002UX25
4540
4369
2(0/12)
4369
32
Varuna
4530
4369
2(0/12)
4369
32
Quaoar
4520
4369
2(0/12)
4369
32
4369
32
2002TX300
4520
4369
2(0/12)
1996TO66
4510
4369
2(0/12)
4369
32
4369
32
2003EL61
4484
4369
2(0/12)
2005FY9
4419
4369
2(0/12)
4369
32
4369
2(0/12)
4369
32
Caos
4393
2000AW 197
4310
4369
2(0/12)
4369
32
4124
32
2001UR163
4070
4369
2(-1/12)
2002TC302
3930
4369
2(-1/12)
4124
32
3547
33
2880
34
Velocidad
Número
corregida
Orbital
m/s
ng
1029
37
ERIS
3436
3348
2(+1/12)
1996TL66
2980
2566
2(+2/12)
Planeta
Satélite
Velocidad
Velocidad
Masa
Masa
experimental
calculada
Kgs
Kgs
m/s
m/s
1040
1155
Sedna
Corrección
2(-1/12)
Obsérvese que faltan por descubrir los planetas correspondientes a las órbitas 35
y 36. Ahora, se podría interpretar la corrección como una expresión del tipo 2(± n/12),
y considerar n como un segundo número cuántico, pero no encontramos
evidencias de reglas fijas para el cálculo de ese número. Preferimos entender esta
corrección como producto de un desvío accidental de la estabilidad.
39) Radios de las órbitas
Considerando los valores medios tradicionales para la velocidad y la distancia al
centro de fuerzas, vimos que se podían expresar aproximadamente:
v media

AbM 2
 2 6 vo  2 6 
2
2
 2 (m  M ) m
Rmedia
 Rmedia  v
1
1
2
 Am(m  M ) 

 2  6 Ro  2 
2 Mb 2 

1
media
1




1
1
3
3
6
 Am(m  M )
A2b 2 M 4
 

Mb 2
(m  M ) 4 m 4




1
3
 Rmedia  v 2 media 
AM
A
 ( M  m)
(m  M )m m
De las mismas relaciones dedujimos que las correcciones entre los valores
calculados y los experimentales están en el (2)(± 2/12). Veamos como resultan ahora
los
valores
de
R
calculados
comparados
con
los
valores
medidos
astronómicamente.
Rmedio  R 
Tenemos:
A
mv
2

medio
GMm GM
 2
mv 2
v
 GM 2 2    22 ng


v
 7 2   2 

Reemplazando:
R3 
Obtenemos:
1
 3
 ,


G 3 M 3 49 4
  

G M 4  2  
 2
2
22 ng 2
2
 GM 49 5
R  

8

  


 2

2 n g  22
  13



Empleando como único dato la masa del sol para calcular la distancia media del
mismo sol a cada planeta, y la masa del planeta para hallar la distancia media de
cada satélite a su planeta, llenaremos una tabla parecida a la precedente.
Planeta
Masa
Kgs
Sol
1.989x1030
Mercurio
3.303x1023
Venus
4.869x1024
Distancia al
Sol
mts x
1010
0
Satélite
Distancia al
Distancia
Número
Planeta
corregida
Orbital
mts x
Corrección
108
Mts x 10
0
ng
0
5.7910
2(0/12)
5.788
23
10.8200
2(1/12)
10.440
24
Planeta
Distancia al
Masa
Sol
Kgs
Tierra
5.976x1024
mts x
Distancia al
Satélite
1010
mts x
6.421x1023
Ceres
9.5x1020
Júpiter
1.90x1027
Saturno
5.688x1026
Corrección
108
14.9600
Luna
Marte
Planeta
3.844
22.794
Distancia
Número
corregida
Orbital
Mts x 10
ng
2(-2/12)
14.946
25
2(5/12)
3.846
21
2(-4/12)
22.670
26
Fobos
9.380
2(0/12)
10.096
16
Deimos
23.460
2(-3/12)
23.30
18
41.438
2(-3/12)
40.891
27
77.833
2(-1/12)
78.143
28
Metis
1.2797
2(-1/12)
1.2977
16
Adrastea
1.2897
2(-1/12)
1.2977
16
Amaltea
1.8130
2(-4/12)
1.8579
17
Tebe
2.2189
2(-1/12)
2.2094
17
Io
4.2160
2(0/12)
3.9852
18
Europa
6.7090
2(0/12)
6.7849
19
Ganimedes
10.70
2(-1/12)
10.9030
20
Calisto
18.83
2(-1/12)
18.5625
21
Leda
110.94
2(2/12)
108.934
24
Himalia
114.80
2(3/12)
115.411
24
Lisitea
117.20
2(3/12)
115.411
24
Elara
117.37
2(3/12)
115.411
24
Ananke
212.20
2(-4/12)
223.268
26
Carme
226.00
2(-4/12)
223.268
26
Pasifae
235.00
2(-3/12)
236.54
26
Sinope
237.00
2(-3/12)
236.54
26
2(0/12)
140.951
29
2(-2/12)
1.3950
17
Distancia
Número
corregida
Orbital
142.940
Pan
Planeta
Distancia al
Masa
Sol
Kgs
mts x 1010
1.3358
Distancia al
Satélite
Planeta
mts x 108
Corrección
Mts x 10
ng
Saturno
5.688x1026
Atlas
1.3764
2(-2/12)
1.3950
17
Prometeo
1.3935
2(-2/12)
1.3950
17
Pandora
1.4170
2(-1/12)
1.478
17
Epímeteo
1.5142
2(0/12)
1.5659
17
Jano
1.5147
2(0/12)
1.5659
17
Mimas
1.8552
2(3/12)
1.8622
17
Encelado
2.3802
2(-2/12)
2.3751
18
Tetis
2.9466
2(2/12)
2.9924
18
Telesto
2.9466
2(2/12)
2.9924
18
Calipso
2.9466
2(2/12)
2.9924
18
Dione
3.774
2(-3/12)
3.8167
19
Helena
3.774
2(-3/12)
3.8167
19
Rea
5.2704
2(3/12)
5.3976
19
Titán
2.2185
2(-1/12)
12.4176
21
Hiperión
4.810
2(2/12)
14.767
21
Japeto
35.613
2(-2/12)
33.973
23
129.52
2(3/12)
131.444
25
2(3/12)
285.375
30
Febe
Urano
8.686x1025
287.099
Cordelia
0.4975
2(0/12)
0.4916
16
Ofelia
0.5376
2(1/12)
0.5208
16
Bianca
0.5916
2(3/12)
0.5846
16
Cresida
0.6177
2(4/12)
0.6194
16
Desdémona
0.6266
2(4/12)
0.6194
16
Julieta
0.6436
2(5/12)
0.6562
16
Porcia
0.6610
2(5/12)
0.6562
16
Rosalinda
0.6993
2(6/12)
0.6995
16
Belinda
0.7526
2(-2/12)
0.7457
17
0.8601
2(1/12)
0.8867
17
Distancia
Número
corregida
Orbital
Puck
Planeta
Distancia al
Masa
Sol
Kgs
mts x 1010
Urano
8.686x1025
Distancia al
Satélite
Planeta
Corrección
mts x 108
Mts x 10
ng
Miranda
1.2978
2(-2/12)
1.2695
18
Ariel
1.9124
2(5/12)
1.9021
18
2.6597
2(2/12)
2.7231
19
Titania
4.3584
2(1/12)
4.3759
20
Oberón
5.8260
2(-3/12)
5.9132
21
2(2/12)
458.586
31
0.48
2(-1/12)
0.49019
16
Thalassa
0.50
2(-1/12)
0.49019
16
Despina
0.5250
2(0/12)
0.5193
16
Galatea
0.6200
2(3/12)
0.6176
16
Larisa
0.7360
2(-3/12)
0.7435
17
Proteo
1.1760
2(-4/12)
1.1948
018
Tritón
3.5480
2(-3/12)
3.6690
20
Nereida
55.1340
2(-2/12)
55.602
25
2(-2/12)
6196.78
32
2(-2/12)
0.1949
20
Distancia
Número
Umbriel
Neptuno
1.024x1026
450.43
Náyade
Plutón
1.29x1022
591.3520
Caronte
0.1964
PLANETOIDES MAS ALLÁ DE PLUTÓN
Planetoide
Distancia al
sol
Masa
Distancia
calculada
Corrección
Corregida
Orbital
2(-3/12)
584.89
32
2002KX14
5837864
2x1020
2003VS2
6298735
2.7x1020
2(-2/12)
619.68
32
2003AZ84
5898905
4.1
x1020
2(-3/12)
584.89
32
Orcus
5896946
6.5 x1020
2(-3/12)
584.89
32
Ixión
5935999
5.8 x1020
2(-3/12)
584.89
32
1995SM55
6867313
3.6 x1020
2(0/12)
695.56
32
2002MS4
6272155
0.78 x1020
2(-2/12)
619.68
32
Distancia
Número
Planetoide
Distancia al
Sol
Masa
Distancia
calculada
Corrección
Corregida
Orbital
x1020
2(-2/12)
619.68
32
2002UX25
6361548
7.9
Varuna
6451398
5.9 x1020
2(-1/12)
656.53
32
Quaoar
6493296
2 x1021
2(-1/12)
656.53
32
2002TX300
6453572
2 x1020
2(-1/12)
656.53
32
1996TO66
7251168
4 x1019
2(1/12)
736.93
32
2(-4/12)
552.08
32
2(0/12)
695.56
32
2003EL61
54846
2005FY9
68502
4.2
x1021
4 x1021
50269
2(-6/12)
491.84
32
2000AW 197
7073647
2(0/12)
695.56
32
2001UR163
7693969
2(1/12)
736.93
32
2(3/12)
827.17
32
Caos
2.7 x1020
1
x1020
2002TC302
8231011
ERIS
1012x1013
1.8 x1021
1.184x1013
2(-2/12)
1055.01
33
1996TL66
12401x1013
2.6 x1020
1.184x1013
2(1/12)
1254.42
33
Sedna
7.8668x1013
4 x1021
9.949x1013
2(-4/12)
7.897x1013
37
Se debe observar que ahora las correcciones tienen un vaira mas amplio que en
las velocidades debido a que el número cuántico aparece al cuadrado en la
expresión de la distancia respecto a como aparece en la expresión de la
velocidad.
40) Periodos orbitales de Planetas y Satélites
Veamos ahora el estudio de los tiempos que demoran los objetos del Sistema
Solar para dar una vuelta completa a su centro de fuerzas. Partimos de las
expresiones:
 GM 2 2    22ng
v


 7 2   2 

1
 3
 ,


 GM 49 5    2ng 22 

R




8
 2


1
3
Asumimos, las órbitas como circulares, lo que, evidentemente, introduce errores, y
calculamos el período:



2R
GM 49 5 7 2 
T
 2 
2 22 n g 
22 n g
v
  
  

8
GM
2
2





 2
 2

Que se simplifica en la extraordinaria expresión:







1
3
2 7 2    
T


2 2  2
ng  22
segs
Expresión aparentemente adimensional, pero que, en realidad, contiene el Δt
asociado a un cuánto, 7 2  /  6 :
 T  t cuanto
 7   
n g  22


2  2
segs
Para llevar el período a días hacemos:
T
7
5
  


2  2
2
n g  22
seg  1 min uto  1hora  dia
60segs  60 min utos  24horas
  
 T  39.5645155

 2
ng 22
dias
Como las perturbaciones provocadas por los cuerpos vecinos no se cancelan
cuando se dividen R y v, sino que se incrementan, también debemos corregir los
resultados obtenidos. Antes de empezar a llenar una tabla de comprobación con
los datos experimentales, debemos sorprendernos antes el hecho curiosísimo de
que estos períodos son completamente determinados por la mecánica cuántica.
Nos pareció tan extraordinario este resultado que escribimos la expresión del
periodo así:
  
T  2 2t cuanto 

 2
15
    112   n 

 2 

 2 
ng
Expresión que se interpreta simplemente como si el período fuera determinado por
ng, el número cuántico principal, y n el número cuántico secundario. Incluso,
menos números cuánticos que los requeridos para el átomo en la mecánica
cuántica.
Planeta / Satélite
ng
n
Tcalculado, días
Texperimental, días
Mercurio
23
0
87.890
87.969
Venus
24
2
219.153
224.701
Tierra
25
-3
364.714
365.256
Luna
21
7
26.685
27.3216
Marte
26
-6
681.287
686.98
Fobos
16
-1
0.3107
0.3191
Deimos
18
-4
1.2895
1.2624
Ceres
27
-4
1698.779
1679.82
Júpiter
28
-2
4235.88
4332.71
Metis
16
-2
0.2933
0.2948
Adrastea
16
-2
0.2933
0.2983
Amaltea
17
-7
0.4881
0.4982
Tebe
17
-1
0.6903
0.6745
Io
18
+1
1.7213
1.7691
Europa
19
-1
3.4065
3.5519
Ganimedes
20
-2
7.1427
7.1545
Calisto
21
-1
16.8106
16.6890
Leda
24
+3
231.18
238.72
Himalia
24
4
246.00
250.57
Lisitea
24
5
260.62
259.22
Elara
24
5
260.62
259.65
Ananke
26
-7
643.05
-631
Carme
26
-6
681.29
-692
Pasifae
26
-4
764.72
-735
Sinope
26
-4
764.72
-758
Saturno
29
0
10562.09
10759.50
Pan
17
-4
0.5805
0.5750
Atlas
17
-3
0.6150
0.6019
Prometeo
17
-3
0.6150
0.6130
Pandora
17
-3
0.6150
0.6285
Epímeteo
17
-1
0.6903
0.6942
Jano
17
-1
0.6903
0.6945
Mimas
17
4
0.9214
0.9424
Encelado
18
-3
1.3662
1.3702
Tetis
18
2
1.8236
1.8878
Telesto
18
2
1.8236
1.8878
Calipso
18
2
1.8236
1.8878
Dione
19
-5
2.7038
2.7369
Helena
19
-5
2.7038
2.7369
Rea
19
+4
4.5472
4.5175
Titán
21
-2
15.8672
15.9454
Hiperión
21
+3
21.1801
21.2766
Japeto
23
-2
78.3013
79.3302
Febe
25
3
546.4542
-550.48
Urano
30
4
29561.62
30685.00
Cordelia
16
0
0.3292
0.3350
Ofelia
16
2
0.3695
0.3764
Bianca
16
5
0.4395
0.4346
Cresida
16
6
0.4656
0.4636
Desdémona
16
6
0.4656
0.4736
Julieta
16
7
0.4933
0.4931
Porcia
17
-6
0.5171
0.5132
Rosalinda
17
-5
1.5479
0.5584
Belinda
17
-3
0.6150
0.6235
Puck
17
+1
0.7748
0.7618
Miranda
18
-2
1.4474
1.4135
Ariel
18
7
2.4343
2.5204
Umbriel
19
2
4.0511
4.1442
Titania
20
2
8.9992
8.7059
Oberón
21
-5
13.3426
13.4632
Neptuno
31
3
61983.66
60190.00
Náyade
16
-2
0.2933
0.2944
Thalassa
16
-1
0.3107
0.3115
Despina
16
0
0.3192
0.3346
Galatea
16
4
0.4148
0.4287
Larisa
17
-5
0.5479
0.5546
Proteo
18
-6
1.1488
1.1223
Tritón
20
-6
5.6692
-5.8768
Nereida
25
-3
364.71
360.1362
Plutón
32
-4
91899
90800
Caronte
20
-4
6.3634
6.3872
2002KX14
32
-4
91899
89041.26
2003VS2
32
-4
91899
89870.24
2003AZ84
32
-4
91899
90441.42
Orcus
32
-4
91899
90396.4
Ixión
32
-4
91899
91295.85
1995SM55
32
-3
97364
98189.24
2002MS4
32
-3
97364
99159.77
2002UX25
32
-2
103153
101287.19
Varuna
32
-2
103153
103440
Quaoar
32
-2
103153
104449.92
2002TX300
32
-2
103153
103492.89
1996TO66
32
-2
103153
103752.95
2003EL61
32
-2
103153
104234
2005FY9
32
0
115786
113179
Caos
32
2000AW 197
32
2001UR163
32
+2
129964
134721.21
2002TC302
32
+4
145881
149069.95
ERIS
33
-4
204148
203600
1996TL66
33
+1
272505
275701
Sedna
37
-6
4429085
4404480
Se debe atribuir la mayor n a los satélites mas perturbados por colisiones con
meteoritos. Tal es el caso de nuestra luna que recibió un tremendo impacto en el
1179, observado por cinco monjes de la Abadía de Canterbury. Ahora pasemos a
algo un poco más pequeño que el Sistema Solar.
41) Transición gravitacional a eléctrica
Para una masa m orbitando una gran masa M, bajo una fuerza central F = A/R 2,
hemos deducido como valores promedios:
vo 
3
AbM 2
Ro 
3
m m  M 
2
2
Amm  M 
Mb 2
Con b 
Nt h
S 2
Nt : número de transformaciones cuánticas en un ΔS de recorrido.
h : constante de Planck.
Tomando M >>> m caso que facilita los cálculos y no introduce problemas
interpretativos:
vo
3
AN t h
;

S 2 m 2
Ro 
3
AmS 4
2
Nt h2
El objetivo es interpretar estas expresiones, y la metodología será compararlas
con expresiones aceptadas para las mismas cantidades. Primero haremos el
simple trabajo algebraico y luego profundizaremos en la significación física de los
resultados y en el análisis dimensional. Para diferenciar los casos de la gravitación
y la electricidad llamaremos las masas orbitantes mog y moe, respectivamente.
Para abrir paso posteriormente al estudio de los Quarks, asumiremos las cargas
contenidas en las masas como, e, la carga unitaria multiplicada por un parámetro
a.
Empecemos con la velocidad en las órbitas de la gravitación, y comparamos la
expresión general con la que ya hemos puesto a prueba:
vo 
3
GMmog N t h
S 2 mog
AN t h
GM 2 2   




2
2
S m
7 2   2 
22 n g
Para las órbitas eléctricas:
vo 
3
ae 2 10 7 C 2 N t h
S 2 moe
2
AN t h
aheN t h
c3



S 2 m 2 2S 2 moe 2  3 ne 3
Utilizamos la comprobada expresión c/αne, deducida por Bohr para las órbitas
eléctricas. También hicimos el reemplazo: e210-7c2 = hc / 2πα.
Aceptando la igualdad de los parámetros básicos para Ng = 0 y Ne = 1
 Nt

 S 2 m
og

22

  2 2   
 h7 2   2 

 Nt

 S 2 m 2
oe

 c 2 2

 h 2 2 a

Dividiendo las expresiones anteriores:
Nt
S 2 moe
m
2 2   

 oe 


2
Nt
mog
S mog
h7 2   2 
2

mog
moe
2

7  c2
2
 2
ah   
21
21
Pasamos a las distancias orbitales por la ley de Kepler:
A 2 N t2 h 2 AmS 2 A3
v R 
 3
S 4 m 4 N t2 h 2
m
6
o
Para el caso gravitacional:
3
o
22
h 2 2 a
c 2 2
3
G 3 M 3 mog
7 2  4  2 
A3


R  3 6 
3
mog vo
mog
G 2 M 2 4  2   
44
3
o
GM 7 2  5
R 
23
3
o
 2


  


44
Esta relación no aporta nada al cálculo de los parámetros y debemos pasar al
caso eléctrico:

A3
ae 2 10 7 c 2
v R  3 
3
moe
moe
6
o
3
o
 Ro 

3

a 3 h 3c 3
3
moe
2 3  3 3
ahc
mo 2
Comparamos esta distancia con el radio de Bohr para n e = 1 y la misma carga:
ahc
ae 2 10 7  2
 Ro 

moe 2
meléctron
De donde:
moe = meléctron = me
42) Parámetros completos
Podemos calcular los diversos parámetros que son básicos en las órbitas estables
gravitacional y eléctrica.
moe  me
mog
7 c2

ah
21
 2
2


   me


Nt
2c 2 me2

S 2
ah 2 2
Ahora, veamos las dimensiones. Para moe = me, no hay problema; y en cuanto al
parámetro “a” es adimensional. Como sabemos la masa del cuánto:
me 
h 6
,
7c 2 2 
Tendremos:
mog
7 c2

ah
 mog
m2
 e
amc
21
 2  me2
h 6


   m 7c 2 2 
c


21
 2 6


    2


Y queda resuelto el problema de unidades de m og. En cuanto a las unidades de
Nt/ΔS2 un cuidadoso estudio nos lleva a la equivalencia:
Nt
2c 2 me2
mc2


2
S 2
ah 2 2
a 2 3 me2 l planck
Equivalencia que contiene el extraordinario descubrimiento:
2
l planck

G
mc2 h 2 2
hG
h 4 10


2c 3 4 2 c 2 me4 3 8c 6 me4 7 2  4
h 3 11
4c 3 me4 7 2  4
El parámetro “a” es libre y, su valor, por ahora, se puede tomar como la unidad.
43) Velocidad y distancia para diferentes orbitales
Escribimos los parámetros así:
moe  me
 7  c 2 me2  2 


mog 
2ah   
Nt
2c 2 me2

S 2
ah 2 2
 2


  


Ng

22
1
N e3
Las fórmulas generales son:
AN t h
;
v 
S 2 mo2
3
o
Para la gravitación tomamos:
Amo S 4
R 
N t2 h 2
3
o
A = GMmo, Ng ≠ 0, y Ne = 1, y reemplazamos los
parámetros:
GMN t h GMh 2ah   
v 



S 2 mo 7  c 2 me2  2 
22
3
o
GM 2 2   
v 


7  2  2 
3
o
2c 2 me   


ah 2 2  2 
22 n g
 ng
GMmo2 S 4 GM 2 7 2 c 4 me4
R 
 2 2 2 4 4
h 2 N t2
h 2a 4 c me
3
o
GM 7 2  5
R 
23
3
o
44
 2   


    2


 
 2


  



2 22 n g
2 ng
a h  
2
4
4

Por la electricidad: A = ae210-7c2; Ng = 0, Ne ≠ 0, y reemplazamos parámetros:
ae 2 10 7 c 2 h2c 2 me2
hc 2c 2
c3
v 


me2 ah 2 2 N e3
2h 2 N e3  3 N e3
3
o
ae 2 10 7 c 2 mo S 4 ahcme a 2 h 4 4 N e6 a 3 h 3 3 N e6
R 

 3 3 3
N t2 h 2
2h 2 4 2 c 4 me4
c me 8
3
o
 Ro 
ahN e2
 aRBorh N e2
cme 2
Así terminamos nuestro estudio que nos mostró que en la base de las
interacciones gravitacionales y eléctricas hay una parte común, cuántica, y que la
parte que las diferencia estriba en el número de transformaciones cuánticas por
cada intervalo cuántico de recorrido ΔS.
El parámetro “a” es lo mas curioso; nos dice que podemos cambiar la carga por
partícula, como en los quarks, sin modificar las velocidades orbitales, pero si las
distancias orbitales. Pero por ahora nos interesaremos solo en los extraños y
sugerente periodos orbitales, fundamento de los precisos relojes atómicos.
45) Periodos orbitales
Se dice que Galileo cayó en cuenta de los periodos estables observando el lento
balanceo de las lámparas de la Catedral… y es una observación que hay que
agradecerle. Estudiemos algo parecido. Partimos de los conocidos resultados para
órbitas estables:
vo 
3
AN t h
;
S 2 m 2
Ro 
3
y
AmS 4
2
Nt h2
El tiempo que dura, en promedio, una órbita, asumida casi circular es:
 R3 
2Ro
To 
 2  3o 
vo
 vo 
1
3
 Amo S 4 S 2 mo2 

 2 
2 2
N
h
AN
h
t
t


1
3
2mo S 2
 To 
Nt h
Lo que significa que en gravitación, electricidad, y en general, todas las
interacciones, el período de las órbitas estables es eminentemente cuántico.
Ahora reemplacemos los parámetros obtenidos.
Gravitación:
22
mog
7  c 2 me2  2 

 ,

a 2h   
Nt
2c 2 me2

S 2
ah 2 2
Ng
 2  1 

 

    N 3  ; Ne = 1

  e
2  7  c 2 me2 ah 2 2  2 


 Tog 
  
ha 2h2c 2 me2


7   2  2 


 Tog 
2   
22 N g
22 N g
Ya vimos como se maneja esta expresión, que también se puede llamar otra ley
de Kepler.
Electricidad:
moe  me
0
 2
1

  3
   N
e


Nt
2c 2 me

S 2
ah 2 2
 Toe 
2me ah 2 2 N e3 ah 2 N e3

h2c 2 me2
me c 2
Estos periodos se pueden expresar en función del tiempo de Planck corregido:
t planck 
corregido
 Tog
t planck


 t planck   me

  
    mc
 t planck   me
Toe  
  
    mc
mc2 7 
me2 7 2
segs
2
 211 2   



14
 2
 
ng

a 2 3 N e3

 
Estas expresiones nos deben familiarizar con la íntima relación entre gravitación y
electricidad.
Pero el hallazgo más importante respecto a estos periodos orbitales es el
siguiente. Expresémoslo en función del tiempo que demora la transformación de
un cuánto de masa:
Tog
 h
 
2
 mc c
 h
Toe  
2
 mc c
Ahora,
 210    
 15 

 
 2

Ng
  6h 
3

 7m c 2 2 N e
 e
t planck  me
h210 


2 15
mc c 
  mc
2
t
Entero

 4.216  planck
,
 Entero

Pues todo tiempo debe ser múltiplo, al menos racional, del tiempo de Planck
corregido o del tiempo que demora un cuánto al transformarse, que a su vez es
múltiplo del tiempo de Planck corregido. Para lograr que se mantenga esa
condición, al menos aproximadamente, cuando se multiplica por el factor 
deben introducir las correcciones (2)n/12 que vimos anteriormente. Entonces:
   112 

 2   99  233

 2 
   112  233
, múltiplo racional

 2  
 99
 2 
Lo que nos lleva a una interesante aproximación del número π:

233 2
992
1
12
 3.141592788
3.141592654…= π
46) Número de electrones por orbital
2
se
Cuando una masa mo orbita una masa M requiere un ΔS, para efectuar sus
transformaciones cuánticas. En el átomo la masa que orbita es un electrón y
sabemos que los electrones se repelen entre si. Luego, es lógico que si varios
electrones ocupan un mismo orbital se acomoden lo más separados posibles,
cada uno en su propio ΔS.
La situación, entonces, es más ó menos como se ilustra en la figura. Cada
electrón requiere un ΔS para que todo el sistema sea estable, pues es el recorrido
que requiere para transformar la energía que lo mantiene en órbita.
Partimos de las expresiones:
Rorbitaleléctrico  Roe 
ah
N e2
cme 2
S 2
ah 2 2   



2
Nt
2c 2 me  2 
N g 0
 N e3
El parámetro “a” se introdujo en la demostración general pensando en los Quarks
que tienen cargas fraccionarias. Pero como en este caso tenemos cargas
normales, tomamos a = 1 hasta que sea necesario introducirlo de nuevo.
Calcularemos el número de electrones en la primera órbita y consideraremos las
demás como múltiplos de esa primera órbita:
2πR para cualquier Ne = (2πR Ne = 1) Ne2
Entonces:




 2R Ne 1 
 N e2


2
# de electrones en orbital Ne =
 S 
 N t 
Se toma Nt, el número de transformaciones cuanticas por ΔS como la unidad y
obtenemos:
  h

 2 
2cm e  
  N e2

2 2
 h 


2m e2 c 2 
# de electrones en orbital Ne



2  N e2  entero
 2  N e2  entero
Podemos expresar ahora el número de electrones que se acomoda en cada órbita:
Nivel n orbital
1
2
3
4
5
6
7
# de electrones
2
8
18
32
50
72
98
En la figura se insinúa la colocación de los electrones de cada orbital, pero
dibujados en un plano. La realidad es que pueden ocupar un espacio
tridimensional.
47) Número de masas por orbital
Si en la gravitación las masas orbitantes se repelieran, como lo hacen los
electrones, tendríamos un resultado similar al obtenido para las cargas por orbital
y para las masas por orbital. Pero las masas se atraen entre sí y esto cambia
completamente el problema. Ahora varias masas orbitantes se amontonan en
cada ΔS y este intervalo no corresponde al ideal calculado. Pero la consecuencia
más relevante es que ahora Nt, el número de transformaciones cuánticas por ΔS y
por masa orbital debe ser función del número de masas orbitantes.
 Nt 
1
# demasasorbi tan tesn
Con esta apreciación calculamos:
(# de masas orbitantes) 
 (# de masas orbitantes) 
2R
S 2 N t
2R
(# de masas orbitantes)n/2
S
 (# de masas orbitantes) 1 n 2 
2
h
2me2 c 2
2
2
 GM 7 2  5

23


2  me c  GM 7 2  5
 (# de masas orbitantes) 2 n 2 
h
23


3
2
 2


  


 2


  


  
 1.05537  10 6 M 3 

 2
1
44

2 22 n g




  13



1
3
  


 2
2n g
3
2n g
3
Si aceptamos a Mercurio como un caso “ideal”, aunque no lo sea, y como
sabemos que la masa orbitante es:
22
mog
7  c 2 me2  2 



   , entonces:
2h


 mog = 4.847817964 x 10-16 Kgs
Podemos estimar el número de masas orbitantes en Mercurio, pues sabemos que
está en el orbital 23:
masaMercurio
3.303  10 23

 (# de masas orbitantes Ng = 23) 
mog
4.847817964  10 16
 6.8133746 1038
Reemplazando este número y la masa del Sol, M = 1.989x10 30 en la ecuación del
número de masas orbitantes:
2 n
38 2
6.8133746  10 



 1.05537  10 6 1.989  10 30

1
3  


 2
2 23
3

2  n ln 2.741686248  10 21

 0.552051
2
ln 6.8133746  10 38


n  0.895896 
2  n 11

2
20

 (# de masas orbitantes)  1.0553  10 6 M


 (# de masas orbitantes)  8.94633  1010 M
20
1
3
1
3
  


 2
2 ng
3
 11



2.631258n
g
Como este número de masas orbitantes no tiene contrastación experimental
directa, comprobaremos la fórmula con la masa de los planetas.
Masa planeta = (# de masas orbitantes) x (masa orbitante)
 8.9463315  1010 M
Reemplazando
20
33
2.63126n
g
 4.8478179  10 16
M  1.989  10 30 Kgs , tendremos:
M  1  1014 2.63126  g Kg
n
Planeta
Orbital
Masa Kgs
Masa Calculada Kgs
Mercurio
23
3.303 x 1023
4.6107 x 1023
Venus
24
4.869 x 1024
1.2132 x 1024
Tierra
25
5.976 x 1024
3.1923 x 1024
Marte
26
6.421 x 1023
8.3996 x 1024
Asteroides
27
1.5198 x 1021
2.2101 x 1025
Júpiter
28
1.90 x 1027
5.8155 x 1025
Saturno
29
5.688 x 1026
1.5302 x 1026
Urano
30
8.686 x 1025
4.0264 x 1026
Neptuno
31
1.024 x 1026
1.05944 x 1027
Plutón
32
1.290 x 1022
2.7876 x 1027
2.669 x 1027
4.4962 x 1027
Total
Era de esperar las enormes discrepancias en este cálculo. Pero debemos
considerar que a cada planeta le debemos sumar la masa de sus satélites y la
masa de los planetoides que tienen igual órbita. Para los asteroides, por ejemplo,
sumamos la masa de los mas representativos; y eso debemos hacer también en el
caso de Plutón, y considerar todos los planetoides en su orbital.
Pasemos ahora a calcular la masa de algunos satélites. Para calcularla
necesitamos el número de su orbital y la masa de su planeta.
Planeta
Satélite
Orbital
Masa Kgs
Masa calculada Kgs
Luna
21
7.349 x1022
2.997 x1019
Satélite
Orbital
Masa Kgs
Masa calculada Kgs
Marte
Fobos
16
1.08 x1016
6.147 x1016
6.421x1023
Deimos
18
1.80 x1015
4.256 x1017
Jupiter
Metis
16
9.56 x1016
1.90x1027
Adrastea
16
1.91 x1016
Masa Kgs
Tierra
5.976x1024
Planeta
Masa Kgs
1.15 x1017
Amaltea
17
7.17 x1018
Tebe
17
7.77 x1017
7.80 x1018
7.95 x1018
2.05 x1019
Io
18
8.94 x1022
5.40 x1019
Europa
19
4.80 x1022
1.42 x1020
Ganímedes
20
1.48 x1023
3.74 x1020
Calisto
21
1.08 x1023
9.84 x1020
Leda
24
5.68 x1015
1.79 x1022
Himalia
24
9.56 x1018
Lisitea
24
7.77 x1016
9.64 x1018
Saturno
Pan
17
4.90 x1015
5.6638x1026
Atlas
17
6.60 x1015
Prometeo
17
2.7 x1017
Pandora
17
2.2 x1017
Epimeteo
17
5.6 x1017
Jano
17
2.01 x1018
Mimas
17
3.80 x1019
4.11 x1019
Planeta
Masa Kgs
Encelado
18
8.40 x1019
Tetis
18
7.55 x1020
Telesto
18
Calipso
18
Satélite
Orbital
Masa Kgs
9.86 x1018
Masa calculada Kgs
2.59 x1019
Saturno
5.6638x1026
1.79 x1022
Dione
19
Helene
19
Rea
19
1.05 x1021
2.49 x1021
6.82 x1019
Titan
21
1.35 x1023
Hiperion
21
1.77 x1019
1.35 x1023
4.72 x1020
Japeto
23
1.88 x1021
3.27 x1021
Febe
25
4.00 x1018
2.27 x1022
5.00 x1016
Urano
Cordelia
8.6513x1025
Ofelia
16
5.00 x1016
Bianca
16
9.20 x1016
Cresida
16
3.40 x1017
Desdémona
16
2.30 x1017
Julieta
16
8.20 x1017
Porcia
16
1.70 x1018
Rosalinda
16
2.50 x1017
3.53 x1018
Belinda
17
4.90 x1017
Puck
17
2.90 x1018
2.39 x1018
Miranda
18
6.66 x1019
Ariel
18
1.27 x1021
1.20 x1018
3.15 x1018
1.33 x1021
8.31 x1018
Umbriel
19
1.27 x1021
2.19 x1019
Satélite
Orbital
Masa Kgs
Masa calculada Kgs
Titania
20
3.49 x1021
5.75 x1019
Oberón
21
3.03 x1021
1.51 x1020
Neptuno
Náyade
16
1.90 x1017
1.02x1026
Thalassa
16
3.50 x1017
Despina
16
2.10 x1018
Galatea
16
2.12 x1018
Planeta
Masa Kgs
Plutón
1.487x1022
4.76 x1018
1.33 x1018
Larisa
17
4.20 x1018
3.50 x1018
Proteo
18
4.40 x1019
9.18 x1018
Tritón
20
2.14 x1022
6.36 x1019
Nereida
25
2.20 x1019
8.01 x1021
Caronte
20
1.77 x1021
3.01 x1017
Ya vimos que para los sistemas gravitacionales lo común es que la situación
“ideal”, cuántica, no persista indefinidamente y se den perturbaciones de todo tipo.
Por eso no es de extrañar que los resultados teóricos se alejen de los
experimentales. Una de las causas primordiales de estas discrepancias es el
limitado número inicial de gránulos de masa que se conglomeran para formar el
sistema solar. Debido a esta limitación en el material es que los orbitales
superiores se van quedando sin masa, exactamente como en los átomos los
niveles externos se quedan si electrones a pesar de poder acomodar mas si los
tuvieran disponibles.
Las ecuaciones que usamos funcionan perfectamente para los anillos planetarios,
pero no los estudiaremos todavía.
49) Saltos cuánticos
En los sistemas gravitacionales, planetas y satélites son alejados de sus
posiciones estables por muchas perturbaciones, y permanecen en esas órbitas
anómalas por muchos siglos de los nuestros. Resulta que en el caso de los
sistemas eléctricos ocurre exactamente lo mismo. Un electrón perturbado regresa
a su órbita normal emitiendo un fotón en un proceso que dura muchos siglos de
Planck. Solo hay diferencias de escala. En nuestra escala el proceso de emisión
es tan corto que ha inducido a la peligrosa idea del “salto cuántico”, durante el cual
el electrón está y no está, es y no es, salta y no salta, emite y no emite. Como
Parménides, no aceptamos esas peregrinas y fantasiosas figuraciones y
respetamos el principio de identidad.
Comencemos estudiando la probable duración de un salto cuántico. Asumamos
que la única transformación de energía es la conversión de la energía cinética del
electrón, al pasar de un nivel al otro nivel, en la energía del fotón emitido:
E fotón 
1
1
me v 2f  me vi2  E f
2
2
Donde vf y vi son las velocidades en los niveles Nf y Ni respectivamente. Como
sabemos, las velocidades orbitales son:
vf 
c
N f
vi 
y
m c2
E f  e 2
2
c
N i
 N i2  N 2f

 N 2N 2
i
f





Como todo proceso, esta transformación de energía cumple el principio de mínima
acción, de modo que la duración del proceso es:
2 2 hN i2 N 2f
h
t 

E f me c 2 N i2  N 2f


Para Ni = 2 y Nf = 1
t 
2 2 h4
 4.05287961  10 16 seg
2
me c 3
Tiempo que, en la escala corregida de Planck, equivale a:
8 2 h 
t 
 8.800196602  10 28 Unidades de Planck
2
3me c t planck
Tiempo gigantesco en esta escala; millones de veces el tiempo de duración del
universo en segundos. Considerarlo instantáneo es una apreciación muy pobre.
50) Descripción del salto cuántico
Así como es de pobre la consideración de que su duración es nula, es de
paupérrima la descripción del mismo salto. El electrón salta de órbita y aparece en
la otra órbita acompañado del fotón. Eso es todo. En realidad lo que ocurre es más
rico y sugerente. El electrón pierde su estabilidad en la órbita inicial y es atraído
por el núcleo; el electrón acelerado provoca la producción del fotón, que, al salir
emitido, aplica una fuerza del frenado sobre el electrón deteniendo su caída hacía
el núcleo; la fuerza de reacción del fotón y la de atracción del núcleo se combinan
para llevar al electrón a su segunda órbita estable.
Para lograr la máxima sencillez y claridad y a la vez enfatizar los procesos claves,
haremos una descripción algo incompleta del salto. Asumimos un mar girando
exactamente a la velocidad del electrón en su orbita inicial. Así veremos estático al
electrón al comenzar su salto cuántico. Además, podemos olvidar la engorrosa
fuerza centrífuga en los balances de fuerza.
Claro que al no considerar la fuerza centrífuga tampoco hemos de considerar la
fuerza total de atracción del núcleo, pues no se trata de una transformación
relativista de coordenadas. Entonces la fuerza de atracción del núcleo la llamamos
Fc simplemente y la consideramos solo una porción de la fuerza total entre el
protón y el electrón.
En nuestra concepción, cuando una fuerza no se percibe en un marco de
referencia no significa que la geometría la hizo desaparecer sino, simplemente,
que otra fuerza igual y contraria la está anulando, o que una aceleración
conveniente del mareo la está enmascarando. En el presente caso la fuerza
centrífuga hace desaparecer la mayoría de la fuerza central y solo queda una
fuerza residual. Esta fuerza residual la asumimos haciendo un ángulo θ con el eje
central (ver figura), pues no solo tenemos presente que el protón esta ligeramente
desviado del centro de giro, como corresponde a los sistemas de masa central
finita, sino que, además, no existe razón para considerar que la resta de la fuerza
central entre el protón y el electrón y la fuerza centrífuga tenga exactamente la
dirección del centro de giro. En la figura, no obstante, la dibujamos como dirigida
hacia el protón aunque, estrictamente, puede tener cualquier dirección ( figura ).
Suponemos que el fotón, al salir emitido,
ejerce una fuerza de reacción sobre el
electrón, fuerza que tomamos haciendo
un ángulo B con el eje central.
Por ultimo, para la ecuación de equilibrio
se toma una fuerza contraria a la masa
del electrón por la aceleración. Fuerza
que
asumimos
con
un
ángulo
φ
respecto al eje central.
Con todo lo supuesto la ecuación de
fuerzas sobre el electrón queda:
A) FF CosB  me Aceleració nCos  Fc Cos
B) FF SenB  me Aceleració nSen  Fc Sen
Veamos ahora cada una de las fuerzas. Tomaremos para Fc el promedio de las
fuerzas de atracción entre el protón y el electrón en los dos niveles, multiplicado
por un parámetro a:
 Fi  F f
Fc  a
 2
 ae 2 10 7 c 2


2

1
1
 2  2
r f 
 ri
Pero como:
e 2 10 7 c 2 
hc e 2 10 7 c 2 me vi2
;

2
ri
ri 2
 ri 
hc
2me vi2
Y como:
vi 
c
n i
Tenemos:
ri 
hN i2
2me c
Por lo tanto:
2
2


ahc  2me c   2me c  


Fc 

4  hN i2   hN 2f  


Fc 
ame2 c 3
h 3
 N i4 N 4f 
 4 4
 N i N f 
Para hallar la fuerza de reacción del fotón escribimos:
FF  masa  Aceleracio nFotón 
Energía c

t
c2
Como se cumple el principio de mínima acción
t 
Nt h
Energía
Donde Nt es el número de veces que se transforma la energía del fotón en el
proceso total de emisión del fotón y cambio de órbita del electrón.
FF
2

Energía 

N t hc


me2 v 2f  vi2
4 N t hc

2


me3 c 3 N 2f  N i2

4 N t  4 hN 4f N i4
Terminamos con el, producto de la masa del electrón por su aceleración:
me Aceleració n 
me v f  vi 
 me Aceleració n 
t

CosB  
B)
SenB  
N t h2

N f  N i  N 2f  N i2
me2 c 3

2 N t h 3
N 3f N i3
Volvamos a las ecuaciones de fuerza escritas así:
A)

me v f  vi me v 2f  vi2
me Aceleració n
F
Cos  c Cos
FF
FF
me Aceleració n
F
Sen  c Sen
FF
FF
Hagamos los cocientes de las fuerzas:




2 3
2
2
4
4
4
me Aceleració n me c N f  N i  N f  N i 4 N t  hN f N i

2
FF
2 N t h 3 N 3f N i3 me2 c 3 N 2f  N i2

2N f N i

B
N f  Ni



2 3
4
4
4
4
4
Fc ame c N i  N f 4 N t  hN f N i

2
FF
h 3 N i4 N 4f me2 c 3 N 2f  N i2




a 4N t  N i4  N 4f
N
2
f
N



2 2
i

A
Con estas definiciones las ecuaciones quedan:
A) CosB  ACos  BCos
B) SenB  ASen  BSen 
Elevando al cuadrado y sumando:
Cos 2 B  Sen 2 B  1  A 2  B 2  2 ABCosCos  SenSen 
1  A 2  B 2  2 ABCos   
Ecuación cuadrática en A y B que puede resolverse en:
A1, 2  BCos      B 2 Cos 2      B 2  1
B1, 2  ACos     A 2 Cos 2      A 2  1
De donde:
A1, 2  BCos      1  B 2 Sen 2    
B1, 2  ACos     1  A 2 Sen 2    
Tomando uno de los casos extremos:
B
1
    Sen 1  
B
1
Sen   
B B2 1
 A1  A2  BCos     
 B2 1
B
 aN t 

A N i2  N 2f


2
4 N i4  N 4f

Lo que nos permite llenar la siguiente tabla para Nf = 1 y Ni de 2 a 9 (Serie de
Lyman).
Nf = 1
B
2N f N i
1
    Sen  
B
A  B2 1
1
aN t 

A N i2  N 2f

Ni
N f  Ni
2
182.7147
0.3136
182.7119
0.05619
3
205.5540
0.2787
205.5515
0.09316
4
219.2576
0.2613
219.2553
0.11147
5
228.3933
0.2509
228.3911
0.12203
6
234.9188
0.2439
234.9167
0.12884
7
239.8130
0.2389
239.8109
0.13358
8
243.6195
0.2352
243.6174
0.13705
9
246.6648
0.2323
246.6628
0.13970

2
4 N i4  N 4f

Interpretamos estos resultados como si bastara un pequeño desequilibrio entre la
fuerza central y la fuerza centrífuga, Fc, para llevar el electrón de la órbita inicial a
la final mientras emite el fotón. En conclusión, el “salto cuántico” no es ningún
proceso extremo sino, más bien, un proceso normal de enorme duración en la
escala de Planck.
51) Número de orbitales electrónicos
Podemos calcular aproximadamente el ángulo φ que sigue, en promedio, el
electrón, al cambiar de órbita. En efecto, en la figura podemos apreciar que:
 S
 ri  r f
  Tan 1 




La diferencia entre los radios orbitales es:
ri  r f 
h
N i2  N 2f ,
2me c


Y el arco recorrido ΔS, es:
ΔS = Velocidad media x Δt 
ΔS 
v
i
 v f 2hN t

2me vi2  v 2f
hN t N i N f
hN t

me v f  v i  me cN i  N f

  Tan 1 

hN t N i N f 2me c

 me cN i  N f h N  N
2
i
2
f






N t 2N f
  Tan 1 
2
2
 N i  N f  N i  N f





Tomando Nt, el número de transformaciones de la energía del fotón por salto,
como 2 y considerando el nivel final como el nivel uno, es decir, tomando Nf = 1; la
expresión para φ es:

4N i

2
 N i  1 N i  1 

  Tan 1 


De la que obtenemos los valores siguientes dando valores a Ni:
Ni
φ
2
3
4
5
6
7
8
9
83.193º 67.00º 48.16º 38.20º 23.31º 16.98º 12.84º 10.02º
Observamos que el salto cuántico es más abrupto a medida que se distancian los
niveles entre los que se presenta. Aunque esta observación no se puede plasmar
en un límite matemático estricto para el máximo número de niveles, o al menos
para el máximo distanciamiento entre los niveles para el cual se puede dar un
salto cuántico, si nos permite conjeturar que la posibilidad de que se den saltos
cuánticos entre niveles muy distanciados es muy remota. Cualquier mínima
alteración del entorno hará que el electrón se desvíe del nivel final.
Abandonemos por ahora este fascinante mundo de los saltos cuánticos, que tanta
información nos podrá dar en adelante cuando se utilice a fondo el poderoso
arsenal
de
la
tecnología
moderna,
y
regresamos
a
las
relaciones
y
transformaciones fundamentales.
52) Cuantización del momento angular
En nuestra concepción, un poco aristotélica, una partícula requiere de su energía
cinética para moverse a través de las demás partículas que conforman el espacio.
Las atraviesa por medio de procesos que llamamos transformaciones de energía
que cumplen el principio galileano de inercia, es decir, sin perder un ápice de la
energía inicial, y el principio de mínima acción:
mv 2
 t  h
2
Donde
mv 2
2
es la energía que se transforma, Δt el tiempo que demora la
transformación y h la constante de Planck. Precisamente, esta transformación
cíclica de la energía es la que da el carácter ondulatorio a las partículas.
Cuando pensamos en una órbita estable, imaginamos un número entero de
transformaciones por órbita. Si llamamos n ese entero, Δt el tiempo de una
transformación y T el período orbital, tendremos:
T = n Δt
Como la energía transformada en cada Δt es la energía cinética:
1
mv 2 t  h
2
1
T
 mv 2  h
2
n
Y como
 mv 2 T  2nh
vT = 2πR
mvR 
2nh
2
Siendo este el famoso principio del cuantización de Bohr, extendido luego por
Wilson y Sommerfeld a cualquier ciclo en cualquier coordenada, presentación que
coincide exactamente con nuestra interpretación del principio de mínima acción.
Veamos este principio partiendo de las expresiones nuestras para las órbitas
estables:
vo 
3
Tendremos:
AN t h
;
S 2 m 2
y
Ro 
3
AmS 4
2
Nt h2
v o Ro 
3
3
m 3 v o Ro 
3
3
A 2 S 2
N t hm
A 2 S 2
 m2
Nt h
Si deseamos esta expresión sin contenido cuántico reemplazamos:
S 2
A2

3
N t h m 2 vo
 m 3 v o Ro 
3
3
A2 m 2 A
vo
 mvo Ro 
3

A3
vo
3
A
vo
En cambio, si queremos su expresión dual, enfatizando su contenido cuántico,
reemplazamos:
3
2
R N h2
Am  o t4
S
S 2 Ro N t4 h 4
N t hS 8
6
 m 3 v o Ro 
3
3
6
 m v o Ro
3
3
3
Ro N t3 h 3

S 6
2
R Nh
 mvo Ro  o 2t
S
Para la interacción eléctrica tenemos:
A  e 2 10 7 c 2
y
vo 
c
N e
 mvo Ro 
e 2 10 7 c 2N e hcN e N e h


c
2c
2
Y obtenemos la formulación explícita del postulado de Bohr para el momento
angular.
Ahora, comparando con la forma cuántica de la expresión:
N e h Ro2 N e h
,
Ro v o m 

2
S 2
Nos permite calcular:
S  2Ro
Nt
N e 2
De donde:
2Ro
2N e

S
Nt
Y concluimos que la órbita real no es un circulo perfecto, y que R o y vo no son sino
valores promedios de los verdaderos R y v de la órbita. De otra forma ΔS sería la
circunferencia, 2πRo, dividida por un número entero, como corresponde a la
cuantización del espacio recorrido.
53) Masa orbitante en la interacción eléctrica
Veamos que masa cumpliría el postulado de cuantización del momento angular en
la interacción eléctrica. Tenemos:
v
c
N e
Ro  Rborh  N e2  Re 2 N e2
Reemplazamos en:
Ro vo m 
N e h mcRe 2 N e2

2
N e
m 
h
 me
2cRe
Como ya sabíamos. Por lo que resulta más interesante indagar sobre el valor de
ΔS:
Ro2 N t h N e h
Ro v o m 

2
S 2
 S  2Ro
Nt
N e 2
 S  2Re 2 N e2
Nt
N e 2
 S  Re 2 2N e3 N t
Expresión que esconde una información muy valiosa, pero que no usaremos por el
momento.
54) Cuantización del momento angular en gravitación
Merced al genio Galileo sabemos que la trayectoria seguida por una piedra
arrojada con cierta velocidad inicial es la misma que la seguida por dos piedras
unidas de alguna forma y lanzadas en forma similar a la primera. Ahora a ese
conocimiento podemos añadir la cuantización y sabemos que toda masa que
orbite en órbitas estables debe ser múltiplo de una pequeña masa orbitante. Esa
pequeña masa orbitante debe cumplir el principio de cuantización del momento
angular:
m x v o Ro 
Nh
2
Es decir, nos preguntaremos cual es la masa que siguiendo las órbitas planetarias,
que vamos a considerar estables, ó muy cercanas a las estables, tal como lo
comprobamos antes, cumple el postulado de Bohr de la cuantización del momento
angular. Para encontrarla, calcularemos:
mx
h

N 2vo Ro
Con los mejores valores para los parámetros orbitales de los planetas que
listamos enseguida.
Planeta
Ro x 1010mts
vo m/s
mx
Kgs x 10-50
N
mx
Nmc
mx
teorice
Nmc
Mercurio
5.79091
47870.0
3.80422189
85.234831
86.77788
Venus
10.8209
35021.4
2.78278269
62.349139
66.506427
Tierra
14.9598
30287.0
2.32752330
52.148918
50.970473
Marte
22.7937
24130.9
1.917289682
42.957500
39.063729
Ceres
41.4704
17882.0
1.422072598
31.862000
29.938411
Júpiter
77.8412
13069.7
1.036575504
23.224812
22.944774
Saturno
142.6700
9672.4
0.7642037658
17.122234
17.584856
Urano
287.0970
6835.2
0.5373981933
12.040582
13.477020
Neptuno
449.8250
5477.8
0.427982807
9.589078
10.328777
Plutón
591.3520
4749.0
0.3755154789
8.413547
7.9159663
Al observar el resultado vemos que estas masas tienen un valor muy cercano al
de la masa cuántica; procedemos a dividir por ese cuánto de mas, m c. Luego, con
la convicción de que tiene que existir la regularidad cuántica, buscamos la función
que representa ese comportamiento, logrando la siguiente:
 N  280 


3 
mx
1Kg  2  



Nmc M central   
4M universoM cuanto  2 



M electrón M sol   
N
3
Listamos los valores teóricos generados por esta función en la última columna de
la tabla anterior, y con ellos procedemos a calcular la constante de estructura fina:
mx
1

Nmc M sol
 2


  


 N  280 


 3 

h
2vo Ro mc
Con el valor conocido:
mc 
1

M sol
  
h 6
c 2 7 2 
 N  280 


3 
 2 


  


3

 N  280 


3 
2 vo Ro  2  



7c 2 M sol   
7
2
hc 2 7 2 
2vo Ro h 6
Los valores de α calculado con esta función se dan en la tabla siguiente:
Planeta
α calculada
N
vreal m/s
Vcalculada m/s
Mercurio
138.6849
1
47870.0
48754.96
Venus
143.0606
2
35021.4
37365.76
Tierra
134.1269
3
30287.0
28637.09
Marte
128.6250
4
24130.9
21947.44
Ceres
131.4635
5
17882.0
16820.50
Júpiter
135.9273
6
13069.7
12891.22
Saturno
139.1157
7
9672.4
9879.82
Urano
147.7261
8
6835.2
7571.89
Neptuno
143.0480
9
5477.8
5803.09
Plutón
143.7825
10
4749.0
4447.48
Valor medio = 138.55605
Este valor medio “calculado” para α es bastante aceptable; incluso, es mejor que
el obtenido es algunos experimentos cuánticos. Por lo tanto reiteramos nuestra
observación sobre la factible detección de efectos cuánticos en fenómenos
macroscópicos.
55) Velocidad de Planetas y satélites
Solo por curiosidad extenderemos nuestros cálculos a otros cuerpos del sistema
solar.
Del “postulado” de cuantización del momento angular comprobamos que:
m x v o Ro 
A Nh

v o 2
Llamaremos m1 la masa para la cual N = 1
m1 v o Ro 
A
h

v o 2
Para el caso gravitacional:
A  GMm1

GMm1
h

vo
2
Pero sabemos que:
mx
Nhvo
1  2


 
mc 2GMmc M   
 N  280 


 3 
 N  280 


3 
2Gmc  2  


 vo 
h   
Sabemos:
mc 
 vo 
h 6
c 2 7 2 
2 G  2 


3 

2

c 7  

7
 N  280 


 3 
 
Es decir, podemos hallar la velocidad aproximada de un cuerpo orbitante en la
interacción gravitacional con solo conocer el entero asignado a su orbital. A
propósito, se notará, que, aprovechando la uniformidad de la repartición de los
orbitales, modificamos el número de orden de los planetas para que a Mercurio le
correspondiera el número 1. Esto se logra simplemente restando o sumando
1
 2 3
 .
enteros al exponente de 

  
En la tabla del numeral 54 listamos los orbitales y las velocidades reales y
calculadas con esta nueva formulación. En la tabal siguiente mostramos los
mismos valores para algunos satélites del sistema solar. También incluimos el
cálculo de la constante de estructura fina.
Satélite
Ro x 106mts
vo m/s
N
αcalculada
vo calculada m/s
Luna
384.4
1020
16
126.63
901.25
Fobos
9.380
2140
13
131.29
2002.07
Deimos
23.460
1350
14
149.01
1534.38
Metis
127.969
31570
3
128.90
28637.09
Adrastea
128.971
31450
3
129.25
28637.09
Amaltea
181.300
26470
3
144.58
28637.09
Tebe
221.895
23920
4
129.50
21947.44
Io
421.600
17330
5
134.20
16820.50
Europa
670.900
13740
6
131.23
12890.00
Ganímedes
1070
10880
7
128.40
9879.82
Calisto
1883
8210
8
129.91
7571.89
Leda
11094
3380
11
137.76
3408.55
Himalia
11480
3330
11
139.54
3408.55
Lisitea
11720
3290
11
140.18
3408.55
Elara
11737
3290
11
140.48
3408.55
Ananke
21200
2440
12
142.96
2612.31
Carme
22600
2380
12
146.74
2612.31
Parsifae
23500
2330
12
148.49
2612.31
Sinope
23700
2270
12
146.76
2612.31
Pan
133.583
16890
5
137.01
16820.5
Atlas
137.640
16630
5
138.33
16820.5
Prometeo
139.350
16530
5
138.91
16820.5
Pandora
141.700
16400
5
139.73
16820.50
Epimeteo
151.422
15860
5
142.83
16820.50
Satélite
Ro x 106mts
vo m/s
N
αcalculada
vo calculada m/s
Jano
151.472
15860
5
142.86
16820.50
Mimas
185.520
14320
6
127.94
12891.22
Encelado
238.020
12630
6
138.93
12891.22
Tetis
294.660
11350
7
124.92
9879.82
Telesto
294.660
11350
7
149.16
9879.82
Calipso
294.660
11350
7
149.16
9879.82
Dione
377.400
10030
7
135.67
9879.82
Helena
377.400
10030
7
135.67
9879.82
Valor medio = 136.96
El valor medio obtenido es todavía mas cercano al valor aceptado de α. Confiamos
en que medidas astronómicas mas precisas ajusten aún mas el resultado al valor
verdadero.
56) La deflexión o flexión de la luz cerca de cuerpos masivos
La famosa flexión de la luz por los campos gravitacionales tiene un origen cuántico
y los experimentos que se han realizado para medirla ponen de manifiesto su
naturaleza cuántica por una evidente “dispersión” cuántica.
En el numeral anterior llegamos a la expresión:
m x vo Ro 
GMmx N 2 h

vo
2
Como resultado de la cuantización del momento angular. Pero este resultado se
refiere a órbitas completas con valores medios Ro y vo. Para el rayo de luz que no
orbita completamente la masa M, y solo sufre la acción gravitacional cuando la
energía supera el mínimo de Planck, no podemos usar lo valores medios orbitales
sino los valores instantáneos deducidos originalmente. Entonces:
v 
3
vo3
2

Ro3
R3 
2
AN t h
2m 2 S 2
AmS 4

2 N t2 h 2
m x GM N 2 h

vo
2
 vo 
m x GM 2
N2h
Multiplicando por c2 y dividiendo por la misma cantidad:
vo 
m x GM 2  c 2
N2h  c2
Pero mxc2 es la energía del fotón que se transforma en el proceso:
 mx c 2 
 vo 
N1 h
t
GM 2N1 h GM 2N1

N 2 hc 2 t
N 2 c 2 t
 S o  vo t 
GM 2N1

N 2c 2
 vt  S 

2v 3
GM 2N 1
1
2 6 N 2c 2

1
3
t
Dividimos ambos términos por R y sabiendo que el ángulo de flexión es:
 
S
,
R
Tenemos:
 
S GM 2N 1


R c 2 R 2 16 N
2
Los valores de N1 y N2 que corresponden al ángulo predicho por la Relatividad
General son 10 y 14 respectivamente. Pero numerosos y cuidadosos
experimentos han puesto de manifiesto las variaciones de N 1 y N2 por la presencia
de una “dispersión cuantizada” en los resultados de las medidas. Examinemos
algunos de esos experimentos.
57) Flexión de la luz en eclipses
Se tomas fotos de una porción del firmamento oscurecido por el eclipse, y fotos de
la misma porción del cielo sin la presencia del sol y la luna. Evidentemente con
todas las precauciones para que exista correspondencia lo mas exacta posible
entre las fotos. Al superponer las dos fotos se percibe el corrimiento de la posición
de la estrella. Se aplica estadística y se llevan los valores, por regla de tres, a que
correspondan a una distancia igual al radio del sol.
El cálculo del ángulo desviado se hace con los valores

G  6.67427  10 11 metros 3 / KgSeg 2

M sol  1.989  10 30 Kgs
R  6.96  10 8 mts
C  299792458m / s
  
GM 2N 1
1
c 2 R2 6 N 2

180  60  60  2.450427 N1

N2
En la Relatividad General no hay lugar para la dispersión y el ángulo es:
 RG 
GM 4 180  60  60

 1.7510299"

c2R
Entonces tabulemos los resultados de algunos eclipses y los comparamos con los
teóricos.
Observatorio
Año Lugar
Resultado
Relatividad
General
N1/N2
Resultado
Nuestro
Greenwich
1.98
1.7510
13/16
1.99097
1919 Brasil
0.93
1.7510
6/16
0.91891
1.61
1.7510
10/15
1.63362
1.77
1.7510
10/14
1.7503
Victoria
1.75
1.7510
10/14
1.7503
1922 Australia
1.42
1.7510
8/14
1.4002
Greenwich
1919 Príncipe
Adelaide
1922 Australia
Lick I
1922 Australia
Lick II
1922 Australia
Potsdam I
1929 Sumatra
Observatorio
Año Lugar
Stemberg
2.16
1.7510
14/16
2.1441
1.72
1.7510
10/14
1.7503
1.82
1.7510
12/16
1.83782
2.24
1.7510
13/14
2.2753
Resultado
Relatividad
N1/N2
General
Resultado
Nuestro
2.73
1.7510
18/16
2.756
Sendai
2.13
1.7510
14/16
2.14412
1936 Japón
1.28
1.7510
8/16
1.225
2.01
1.7510
10/12
2.0420
1.70
1.7510
9/13
1.69645
1.66
1.7510
11/16
1.68467
1936 URSS
Yerkes I
1947 Brasil
Yerkes II
1952 Sudan
1973
Mauritania
Promedio = 1.80687
Evidentemente la estadística es enemiga de las dispersiones en muchos caso;
pero en otros casos ayuda a discernir entre las dispersiones al azar, debidas a
efectos erráticos, y dispersiones sistemáticas, que siguen algún patrón. Veamos sí
el valor promedio de las lecturas nos da alguna luz sobre nuestra propuesta. Para
nosotros la desviación de la luz obedece a la ley:
  
GM 2 180  60  60
1
c 2 R2 6 

N1
N
 2.450427 1
N2
N2
Con N1 y N2 enteros cercanos a 10 y 14 respectivamente.
Si hacemos el promedio aritmético de n valores de Δφ:
 
1 n
2.450427  N1
i 

  N
n 1
n
 2

i ;

Obtenemos:
1 n  N1

n i 1  N 2


i 
 númeroRacional
 2.450427
Haciendo el promedio de las 16 lecturas que se dieron en la tabla: Δφ = 1.806875
1 16
2.450427 n  N1




1
.
806875

 i

16 i 1
16
i 1  N 2

1 n  N1

16 i 1  N 2

i


72.999777
i  0.737371486 
99

Como se aprecia, el resultado es sorprendente. Lamentamos no contar con mas
datos sobre eclipses pero parece que la dispersión cuántica, al no ser entendida,
ha desalentado a los investigadores que no tratan de medir la deflexión de la luz
estelar durante los eclipses, o, peor aún, “esconden” los resultados cuando no
coinciden con los valores predichos por la Relatividad,
Podemos de nuevo, poner a trabajar la estadística a favor de nuestra propuesta
examinando la media geométrica de las 16 lecturas de la tabla.
16
 geometrica  16  i  1.758197003
i 1
Este promedio está mucho más cercano al valor de la Relatividad que el valor de
la media aritmética. Pero nos interesa su aporte respecto a la dispersión cuántica.
El promedio en nuestra teoría sería:
16

N
 geometrico  16   2.450427 1
N2
i 1 
N
   1
i 1  N 2
16

   geometrico 
 
 i  2.450427 


i
16
 0.717506378 
16
1
202.6691968
3
 Número racional como predica nuestra teoría
38  16
Por último, si la estadística es confiable, el valor más probable de la deflexión es
segundos de arco que sufre la luz al pasar tangente al sol es:
 3 
 probable  2.450427

 38  16 
1
16
 1.758198373
Que corresponde a un valor 1.004111 veces la predicción de Einstein.
58) Análisis estrella por estrella
Afortunadamente, antes de que cundiera el desaliento entre los que medían la
deflexión gravitacional durante los eclipses, se publicó excelente material
fotográfico de los resultados de bastantes eclipses. Con ese material hemos
logrado un estudio de la dispersión cuántica estrella por estrella.
Lo que hicimos fue utilizar las fotos publicadas, del tipo que ilustramos a
continuación, y, con ayuda de diversos artículos, desarrollar gráficas del ángulo de
deflexión de cada estrella contra su distancia al sol medida en radios solares
(distancia al sol / radio del sol).
La Relatividad General establece que el espacio alrededor del sol se curva,
curvando la trayectoria de la luz. Si ocurren explosiones solares y movimientos de
grandes masas, esas curvaturas se verán afectadas por ondas gravitacionales y la
deflexión sufrirá una dispersión errática.
Nuestra teoría alega que se producen intercambios energéticos entre los cuantos
del campo solar y los cuantos de los fotones que desvían la trayectoria de estos
últimos. Se demostró en los primeros numerales que existía correspondencia
matemática entre la Relatividad General, la Especial, las ecuaciones de Maxwell y
la ecuación de Serondinger, con nuestra teoría. Por eso es de esperar que los
resultados de la General, y de cualquiera de esas formulaciones, aparezcan como
casos particulares de esta formulación. Pero como la Relatividad no es cuantizada
y la teoría nuestra si, mientras el patrón esperado para la dispersión Relativista es
errático, y continuo, el patrón esperado en nuestra teoría es cuantizado y
predecible. Esa diferencia es lo que vamos a estudiar, aunque el análisis
estadístico del numeral anterior es contundente a favor de nuestra opinión.
Procedemos, pues, a graficas la deflexión Einsteniana:
 Einstein 
4GM 180  60  60 1.75103"


,
R Rsol 

c2R
Y nuestra deflexión:
 
2GM  180  60  60  N1 2.450427" N1

´


1
R Rsol  N 2

 N2
2 6 c2R 
que coincide con la Einsteniana para
N1 10

N 2 14
1919 Greenwich. El famoso eclipse de Eddington. Mucho se ha dicho sobre
supuesta manipulación de datos, pero nuestro análisis muestra otra cosa. Es tan
sorprendente la coincidencia de los datos de Eddington con nuestra teoría que
hace prácticamente imposible que se hayan tergiversado para apoyar la
Relatividad.
1922 Lick I. Mejor preparados, los astrónomos tomaron datos de muchas estrellas.
Pero la dispersión de los datos fué enorme. Empezaron las desviaciones
negativas solo explicables, por fluctuaciones del campo debidas a ondas
gravitacionales.
1922 Lick II. Se trata de otra fotografía del mismo eclipse anterior. Por la escala
que tuvimos que usar para acomodar tantas estrellas y tantas deflexiones se
pierde algo de la espectacularidad del resultado; sin embargo, se puede observar
que la inmensa mayoría de las mediciones se acomodan con las deflexiones
cuánticas.
1922 Victoria. En esta observación se obtiene una muy buena confirmación de
nuestra teoría.
1929 Potsdam. La escala tan buena que permite este gráfico deja ver pequeñas
desviaciones de la teoría nuestra, muy explicables por razones de metrología.
1936 Sternberg. También vemos una muy buena coincidencia con la propuesta,
aunque la escala no se presta mucho.
1936 Sendai. Fue muy difícil descifrar la escala en que se presentaron los
resultados, pues los gráficos que consultamos parece que eran meramente
ilustrativos; pero de todas formas comprueba nuestra teoría.
1947 Yerkes. Obtuvimos muy buena coincidencia con este eclipse observado en
Brasil.
1952 Yerkes. Los datos originales presentaban dificultades de escala. Pero
observamos una excelente concordancia después de corregir algunas anomalías.
59) Deflexión gravitatoria de microondas
Sin tener que depender de los escasos eclipses, la medición de la deflexión
gravitatoria de las trayectorias de las radiaciones de microondas se convirtió
rápidamente en uno de los chequeos más espectaculares de la Relatividad.
la cantidad observada en estos experimentos es el desfase entre la onda desviada
y su posición, simulada o calculada, si no existiera desviación. Las fuentes de
microondas iniciales eran objetos astronómicos, pero, incluso, se emplean ahora
satélites artificiales que orbitan al sol de modo que queden “detrás” de este en
algunas ocasiones.
Para el experimento pionero de 1974, que usó una fuente astronómica,
encontramos que la desviación de las ondas, según la Relatividad, se podía
expresar con mucha exactitud con la función.
LO QUE ESTA ENTE LAS GRAFICAS
PAGINA 115-116
Desfase = ConstanteΔRelativistaCos (wt)
Con w una constante que depende de la velocidad de la fuente respecto al sol, y t,
el tiempo medido desde la máxima deflexión en períodos de seis minutos.
Reemplazamos en la expresión anterior la desviación relativista por nuestra propia
expresión:
 
Cons tan teGM 2N 1 coswt 
1
c 2 R2 6 N 2
Donde las variables tienen la misma significación que en el estudio de la deflexión
de la luz de las estrellas.
Entonces ya podemos comprobar si, como nosotros sostenemos, la desviación de
las medidas no depende tanto de los errores de experimentadores y de equipo,
pues siempre confiamos en la extraordinaria pericia de los científicos modernos,
sino del fenómeno cuántico consistente en una variación del número de cuantos
intercambiados entre el campo del sol y los fotones de la radiación. Por lo tanto,
las deflexiones dispersas deben coincidir con incrementos o decrementos enteros
del entero N1. N1 es el número que corresponde al caso Relativista, para el que:
N1 5 10 20
 

N 2 7 14 28
Ahora, N2 depende de la energía de los fotones y decrece cuando aumenta dicha
energía. Para N2 pequeño, un cambio en N1 significa mas cambio en la energía;
para N2 grande, en cambio, el mismo incremento o decremento en N 1 implica un
menor cambio energético. Si en los eclipses, para la luz visible, el N2 coincidió con
14, para variaciones de N1 respecto a 10, para las microondas, con fotones
100000 veces menos energéticos, creemos que N2 debe corresponde a 28 con
variaciones de N1 alrededor de 20. Como los autores de este extraordinario
experimento publicaron sus resultados puntuales, es decir, los resultados medición
por medición, podemos confrontar nuestra teoría.
Abril 7 1974. Este experimento se deja expresar bastante bien por la expresión:
 20 
 90º 
  22.68 Cos
t
 28 
 25

Como solo nos interesa comparar resultados, no pondremos cuidado en detallar
como se encuentra la ecuación anterior y que unidades usamos. Para obtener la
familia de curvas que reflejen la variación cuántica escribimos:
 
22.68  N 1 
 90º 
t

Cos
28  20 
 25

En las gráficas siguientes procedemos a confrontar estas curvas con los
resultados experimentales. La idea es que la mayoría de los datos debe quedar
sobre o muy cerca de las curvas. Como N1 es el parámetro variable y el caso
promedio corresponde a N1 = 20, la versión final de la función es:
N 
 90º 
  16.2 1 Cos
t
 25

 20 
El resultado global parece contundente y solo algunas mediciones se apartan de la
teoría. En conclusión podemos asegurar que este tipo de experimentos sirven,
entre otras cosas, para detectar ondas gravitacionales emitidas por el sol. En
efecto, esas fluctuaciones en las medidas son en realidad saltos de niveles
cuánticos producidos por fluctuaciones gravitacionales.
En los siguientes días los experimentos repitieron sus mediciones y nosotros las
sometimos a chequeos idénticos.
PAGINA 123
Abril 8, 1974. Los experimentadores que efectuaron las mediciones, Fomalot y
Sramek, detectaron, sin caer en cuenta, una serie de perturbaciones
gravitacionales, tipo amortiguado, claramente discernibles por nuestra teoría. La
función que nos permitió modelar el comportamiento de los resultados y sus
fluctuaciones fue:
N 
 90º 
  23.4 1 Cos
t
 25 
 20 
Con N1 = 20 para el caso Einsteniano, y variaciones cuánticas dadas por
variaciones enteras de N1 alrededor de este valor.
Abril 9, 1974. Un análisis a vuelo de pájaro nos muestra un día de poca actividad
solar con generación de pequeñas ondas gravitacionales, lo que hace, que las
variaciones en las medidas se centren más en el comportamiento promedio que
corresponde a:
N 1 20

N 2 28
Las variaciones, incluso, se acomodan a las mismas franjas señaladas por la
teoría nuestra, mostrándose mas grandes en donde mas separadas están las
curvas teóricas. Nótese como se van “estrechando” a medida que se juntan esas
curvas teóricas.
Abril 12, 1974. Invertimos la presentación de los datos originales, tal como fueron
presentados por los autores, para acomodarlos al patrón de los anteriores. De
modo que quienes consulten el trabajo de Fomalot y Sramek encontrarán estas
gráficas invertidas. Utilizamos la función:
N 
 90º

  27.2 1 Cos
t
 26.5 
 20 
60) Adelanto del perihelio de mercurio.
Hagamos una recapitulación. Para nosotros, el espacio es un conjunto de cuantos.
Los cuerpos masivos alcanzan a ordenar los cuantos que los rodean hasta una
distancia dada por el principio de mínima acción. Más allá de esa distancia la
influencia del cuerpo masivo no alcanza el nivel energético para actuar sobre los
cuantos. Cuando otro cuerpo se acerca al primero, atravesando el “mar de
cuantos” experimenta la fuerza de ese primer cuerpo cuando alcanza el límite de
influencia y sufre desviaciones cuánticas de su trayectoria. Estas desviaciones se
miden por el ángulo:
Donde:
G: constante de gravitación universal.
C: velocidad de la luz en el vacío.
M: masa del cuerpo que produce el desvío.
R: distancia del cuerpo que produce el desvío.
N1/N2: número racional que depende de la cantidad de cuantos que
interactúan.
Cuantos no ordenados
V
v
Trayectoria no
desviada
N∆φ
Límite de
influencia
M
m sale de la zona de
influencia
m queda en órbita
N2, depende del número de cuantos de la partícula que se deflecta y N 1, del
número de cuantos de la partícula que produce el campo.
Ahora estudiemos que ocurre cuando del cuerpo m queda orbitando al cuerpo M.
El ángulo de deflexión total en una vuelta debe ser aproximadamente 2πradianes.
Reemplazando
:
Debemos tomar un valor promedio para 1/R:
Excentricidad =
a
b
θ
a
Rmin
a
Ahora,
Rmax
aceptando
órbitas
casi
elípticas tenemos:
Y como:
Despejamos:
Para Mercurio, y tomando N1 y N2 con valores que coinciden con la deflexión de la
luz ya estudiada:
Con este número tenemos una aproximación al valor de desfase:
Convertidos estos radianes/ órbita a segundos de arco en cien años:
Utilizando el dato experimental para el avance del perihelio de mercurio por
centuria 43.5’’
En lugar de un entero encontramos un número racional. Tenemos, entonces, que
abandonar la idea de un número entero de desviaciones cuánticas por órbita para
completar por adelanto del perihelio, y aceptar un número entero de desviaciones
en varias órbitas. O sea, decimos que se presentan 33 desviaciones cuánticas en
7 vueltas completas de la órbita. Luego, el adelanto promedio por revolución
queda:
Es interesante caer en cuenta que 7x7 revoluciones de mercurio corresponden a:
Los que nos permite sospechar una relación entre el adelanto del perihelio de
mercurio y el periodo famoso de la actividad solar.
Ahora
convirtamos
el
adelanto
de
radianes/revolución
a
segundos
de
arco/centuria:
Como no existe diferencia con la expresión relativista no tenemos necesidad de
comparar resultados con los de esa teoría, y solo comprobaremos los nuestros
con los valores experimentales.
Planeta
Mercurio Venus Tierra
Marte
Asteroides Júpiter Saturno Urano
57.91
108.2
149.6
227.9
413.7
T (dias)
87.97
224.7
365.26 686.98 1681.3
Excentricidad
0.206
0.007
0.017
0.093
∆φ exp.
42.98
8.54
3.80
1.34
42.99
8.63
3.84
1.35
Neptuno Plutón
a, semieje
mayor x 109
778.3
1427.0
2871.0 4497.1
5913.5
4332.7 10760
30685
60082
90767
0.097
0.048
0.046
0.010
0.248
0.3044
0.0623 0.0137
(m)
∆φ calc.
(arcosegundo/siglo)
0.056
0.0024 0.0008
0.0004
La coincidencia tan perfecta entre teorías y datos experimentales ahora no nos
causa extrañeza, dada la enorme difusión de la exactitud de las predicciones
relativistas en este campo, predicciones que numéricamente son iguales a las
nuestras. Volveremos a tratar este adelanto de las órbitas cuando someramente
nos refiramos a los pulsares y las estrellas binarias. Por el momento, saltemos a
las órbitas que los electrones realizan alrededor de los núcleos atómicos.
61) Adelanto de la órbita en los átomos.
Fue Sommerfeld quien encontró esta precisión. En su intercambio epistolar
Einstein y el mismo Sommerfeld comentaron los dos adelantos orbitales per,
aparentemente, no vieron nunguna evidencia del origen similar de ambos.
La expresión de Sommerfeld para el adelanto órbital es:
Donde:
Resulta que, a pesar de la aparente discrepancia, esta expresión y la Einsteniana
son casi idénticas y solo se diferencian por un factor de G. Veamos como se aplica
al caso de los planetas.
Velocidad
Planeta
máxima
(m/s)
rad/rev
arcosegundo/centuria
Mercurio
Venus
48920
35025
1-1.2748
x10-9
1-6.823
x10-9
x10-9
Tierra
29790
1-5.103
Marte
24235
1-3.239 x10-9
Asteroides 17900
x10-9
Júpiter
Saturno
13080
9672
1-1.779
1-9.5
x10-10
1-5.2
x10-10
x10-10
Urano
6835
1-2.6
Neptuno
5478
1-1.67 x10-10
Plutón
4749
1-1.25 x10-10
5.020209 x107
2.572964 x107
1.861205 x107
1.23163 x10-7
6.721752 x108
3.588955 x108
1.960354 x108
9.801769 x109
6.2957516
x10-9
4.7123889
x10-9
42.98
8.6269
3.8390
1.3507
0.3012
0.0624
0.0137
0.0024
0.00079
0.00039
Comparando estos resultados con los relativistas llegamos a concluir que son los
mismos, y, por tanto, basta multiplicar por G la expresión de Sommerfeld, para
obtener la de Einstein. Este factor entero es otro argumento a favor de la
naturaleza cuántica por adelanto. Si en el caso gravitacional se presentaban 33
desviaciones en 7 órbitas completas, en el eléctrico se presentan 11 desviaciones
en 14 órbitas completas.
Posteriormente indagaremos si en los famosos cuásares binarios la precesión
también se puede enfocar como un proceso cuántico.
62) Curvatura del espacio y adelanto del perihelio.
Considerar el factor de G como indicio de una naturaleza diferente del origen de
los dos adelantos del perihelio es problemático, teniendo en cuenta que, las
expresiones para estos adelantos pueden quedar iguales cambiando el número de
cargas eléctricas interactuantes. En efecto, consideraremos el caso de dos órbitas,
una gravitacional y otra eléctrica, ambas con excentricidad despreciable, y
calculemos el arco correspondiente al adelanto del perihelio por revolución.
m
Vg
∆φg
m
∆S
g
Rg
Ahora si se cumple:
e
m
Ve
ze
∆φe
Re
∆Se
Con z=6 tendríamos exactamente el
mismo arco de avance por revolución.
Es decir, con una carga central de 6 coulombios tendremos exactamente
la
misma expresión para el avance del perihelio en el caso eléctrico y en el caso
gravitacional. Como curiosidad calculemos ese ΔS, el arco de avance por
revolución, en ambos casos:
Es curioso constatar que el arco de avance por revolución es un invariante para un
sistema y solo depende de la masa central. Por ejemplo, para el sistema solar:
Para cualquier cuerpo orbitante del
sistema
solar
en
m/s.
Incluso podemos escribir ese avance de una forma bastante singular:
Como los 43’’ de mercurio están tan arraigados, desafortunadamente, en la
imaginería popular, calculemos por este lado:
Teniendo en cuenta la excentricidad de la órbita de mercurio que no es
despreciable:
Teniendo en cuenta la excentricidad de la órbita de mercurio que no es
despreciable:
Abandonemos este tema seguros que aún falta mucho por decir sobre estos
adelantos del perihelio, tanto eléctricos como relativistas. Sin embargo, no
podemos esperar para informar sobre una curiosidad muy interesante acerca del
posible origen común, y; por consiguiente acerca de la identidad de la explicación
física de ambos adelantos del perihelio.
63) Posibles paralelismos formales en las expresiones del adelanto del perihelio
relativista y del adelanto del perihelio eléctrico.
En el numeral anterior logramos expresar el adelanto del perihelio relativista de
una trayectoria con poca excentricidad, medido como el arco adelantado y no
como el correspondiente ángulo (Figura), con la expresión:
Final
órbita
∆Sg
Inicio
órbita
∆φ
Para el adelanto, en el caso de la órbita
tipo Sommerfeld, encontramos:
La diferencia de expresiones aún puede dar cabida a la consabida frase: “Se trata
de fenómenos sustancialmente distintos”, que se lee en tantos textos relativistas.
Pero, multiplicando por ℮, la carga elemental, numerador y denominador dela
ecuación anterior, obtenemos:
Aunque el paralelismo ahora es contundente, falta explicar el inocente G de la
expresión relativista. Para ello llevemos las expresiones a una forma conceptual
equivalente. Dividamos en el caso gravitacional por el volumen imaginando unas
masas “diluidas” para hallar el cociente de las densidades.
Como volumen escojamos el volumen de Plank:
Y tenemos:
En el casi eléctrico, para obtener una densidad de masa, debemos recurrir a la
densidad de energía almacenada en el campo eléctrico:
Por lo tanto:
De modo que podemos escribir en definitiva:
En definitiva, para nosotros no hay ninguna diferencia entre los fenómenos
gravitatorios y eléctricos, a no se de las diferencias que se infieren naturalmente
de los mecanismos conocidos de estas interacciones. En el caso gravitatorio, un
cuerpo que recibe energía de un campo gravitacional se ve impulsado por esa
energía a través de un entorno que a su vez está sujeto al mismo campo
gravitatorio, y recibe energía de éste en la misma proporción que el cuerpo.
En el casi eléctrico, si el entorno no tiene carga eléctrica, el cuerpo electrizado
recibe energía del campo y se mueve por un entorno que no recibe energía de ese
campo.
Esa característica den entorno: corresponde a la misma fuerza que la partícula,
hace posible la aproximación geométrica; pero esta aproximación geométrica
queda
desvirtuada
por
muchos
hechos
y
consideraciones.
Hechos
y
consideraciones que despiertan mucha suspicacia y que omitiremos en
consecuencia.
64) Energía de enlace por nucleón.
El objeto de nuestras últimas pesquisas ha sido el comportamiento orbital. Por eso
no es extraño que miremos ahora el núcleo atómico que algunos modelos
suponen conjuntos de nucleones moviéndose en órbitas regulares alrededor de un
centro en común.
Partícula
Para que las partículas se muevan en
cualquier medio requieren energía.
Esa
energía
se
refleja
en
la
expresión:
Órbita
Núcleo
Es decir, para que un partícula de masa en reposo m 0, no se mueva a la velocidad
v, necesita una energía mc2-m0c2. Esa energía le permite “reptar” entre sus
compañeros de núcleo.
Como desconocemos el mecanismo verdadero que rige este comportamiento, y
solo sospechamos que debe asemejarse al movimiento en superconductores o en
superfluidos,
asumimos
que
es
del
tipo
de
los
movimientos
orbitales
gravitacionales y eléctricos que ya estudiamos. Estos movimientos se modelan por
ecuaciones como las siguientes:
Para el caso gravitacional y
para el caso eléctrico.
Aceptando el modelo de Bohr
podemos escribir la energía de enlace de un
nucleón con una expresión similar a la que expresa la energía de enlace de un
electrón al núcleo:
Donde faltaría discernir tanto la masa como la velocidad. Para esta última
asumimos que es una combinación de las tipos gravitacional y eléctrico.
Escogemos:
La energía de enlace quedaría:
De modo que obtenemos reemplazando las expresiones de las velocidades:
Lo ideal para lograr representar el efecto diferencial de protones y neutrones;
pero, por el momento, solo llegamos a una relación de la energía con el número
total de partículas en el núcleo:
Para simplificar la expresión ensayamos para varios valores de las masas m y M y
para el parámetro a, llegando a la conclusión que una forma plausible de la
ecuación era:
Con cuatro valores experimentales calculamos tanto el valor constante como las
incógnitas x, y, y z, obteniendo:
Para números másicos, A, pequeños, se obtienen discrepancias significativas con
las energías de enlace verdaderas. Esto se debe a que no tomamos en cuenta el
efecto diferencial de protones y neutrones. Sin embargo, nuestro propósito por el
momento es obtener un comportamiento global de esta energía de enlace. En
numerales posteriores desarrollaremos nuestra usual contrastación con los
resultados experimentales.
65) Radio nuclear y densidad nuclear.
V
Nucleó
n
Fuerza central
Centro
De acuerdo al modelo tipo Bohr que
estamos siguiendo, la energía de
enlace corresponde
a un nucleón
moviéndose bajo una fuerza central.
La constante de fuerza debe estar relacionada con el número de nucleones totales
A:
Expresión donde K y N se deben evaluar con la energía de enlace:
Tendríamos:
Sin embargo, una contrastación con los radios nucleares experimentales favorece
enormemente a una expresión como la siguiente:
Lo que nos dice que la fuerza central en de naturaleza más complicada que la
asumida hasta el momento. Precisamente, aceptando que la expresión para la
radio, abalada por la experimentación, tenemos:
Por último, calculemos la densidad de materia nuclear:
De esta última expresión vemos que la densidad de la materia nuclear no es
precisamente una constante, como asumen muchos modelos nucleares.
66) Valores numéricos, tablas y gráficos.
Recordando que A representa el número de nucleones veamos como quedan las
expresiones de las cantidades nucleares que vimos en el numeral anterior:
Con estos valores procedimos a la comparación con los resultados experimentales
obtenidos de tantas fuentes que las omitimos como es nuestra costumbre. Pero
todos esos valores corresponden a valores publicados en internet fácilmente
localizables por los interesados. De algunos isótopos encontramos las energías de
ligadura mas no encontramos los radios nucleares. Optamos por no omitir ninguno
llenando los espacios vacios ya sea con informaciones de medidas dispersas o
referencias de terceras, o interpolando libremente, y, en el caso de los radios,
utilizando la conocidísima fórmula R= R0A1/3. En este último caso lo que
deseábamos era comparar nuestros resultados con este modelo tan socorrido.
Para quienes creen que incluimos un inmensa cantidad de datos “innecesarios” les
hacemos caer en cuenta que estamos recibiendo constantemente información
sobre novedosos experimentos con multitud de isótopos nuevos y las tablas nos
sirven para una consulta rápida y ágil sobre la validez de nuestros cálculos.
67) Más información sobre la cuantización.
Si la estructura del universo es granular y los procesos se dan a saltos, es natural
que los números enteros estén presentes en toda cuantificación exacta, tanto de
sustancias como delos mismos procesos que las transforman. Toda cantidad de
sustancia, sea cual sea, es un número entero de “cuantos” de esa sustancia y todo
macroproceso es un número entero de microprocesos de transformación de
cuantos.
En el numeral 23 culminamos un desarrollo que nos condujo a señalar como
posibles cuantos de longitud y tiempo a las cantidades.
En realidad, obtuvimos un tiempo mínimo algo mayor:
Pero a falta de comprobaciones contundentes, preferimos buscar la simetría y lo
reducimos al valor anterior. Con esta escogencia respetamos la relación sencilla:
Precisamente, terminamos el numeral 23 dejando en veremos el carácter del
número entero de:
Para estos análisis nos tropezamos con la necesidad de incertidumbre en las
medidas físicas y en los cambios de definición de algunas unidades y patrones
como el reciente remezón en los patrones del metro y el segundo. Sin embargo,
después de algunos cálculos con varias posibilidades nos inclinamos por:
Reconocemos que esta interpretación es meramente transitoria, pues las
mediciones actuales no cubren todavía el número suficiente de dígitos, de modo
que el número anterior puede diferir del verdadero en unas cuantas unidades.
Pero sabemos que una pequeña variación de unas escasas unidades se traduce
en una descomposición en factores primos muy distinta a la del número inicial.
Ahora, en la naturaleza la descomposición en factores primos tiene una
importancia primordial. Precisamente, en los numerales siguientes exploraremos
algo de ese aspecto fascinante de la realidad física.
68) Elementos cuánticos de las órbitas.
∆S
V0
m
M
Varias vueltas sin cerrarse la
trayectoria
Así como hicimos en el numeral 52,
partimos de las expresiones que
determinan el comportamiento de las
órbitas estables en cualquier tipo de
fuerza central.
Donde:
m: masa orbitante
h:constante de Planck
A: expresión para la fuerza central. Solo hemos trabajado con:
G es una constante de Newton y ℮ la carga elemental.
ΔS: es un elemento de órbita en el que ocurren Nt transformaciones de energía y
abarca un miniciclo repetitivo de estos procesos.
Nt: número de transformaciones de energía en ΔS y se repite en forma repetitiva
en los demás ΔS de la órbita.
Entendemos por transformaciones de energía simplemente la absorción o emisión
de fotones del medio por el cuerpo orbitante, intercambio fotónico que se traduce
en la fuerza que mantiene el movimiento orbital.
Dividamos las expresiones de velocidad y radio:
185
Multiplicamos por mR02 para obtener el momento angular:
Ahora, la trayectoria del móvil no tiene por que cerrarse después de una sola
vuelta. Si llamamos N0 el número de las órbitas o vueltas que requiere una
trayectoria cerrada con Ns recorridas iguales a ΔS:
De modo que el “momento angular” nos queda:
Expresión que explica el principio de cuantificación de Sommerfeld – Wilson, que
se escribe:
La expresión de ese principio para valores orbitales medios es:
186
Nuestros V0 y R0 son simplemente los mismos valores medios, pero promediados
en forma diferente a los valores medios para órbitas atómicas y solares. Si
dividimos las dos expresiones del principio obtenemos:
Invocando la simetría aceptamos:
Podemos, entonces, esperar resultados numéricos que sigan el tipo:
Pasemos a las comprobaciones utilizando el conocido átomo de Bohr.
El radio de la órbita más cercana al núcleo es el “Radio de Bohr”:
Con este valor medio obtenemos:
187
Donde D es el entero mencionado en el numeral anterior.
Para el mismo átomo la Vmedia es C/α:
Y por lo tanto:
Resultado aparentemente desconsolador para nuestra teoría. Pero basta elevarlo
al cuadrado para que emerja la hermosura del diseño del mundo:
A partir de estos valores cuánticos podemos volver a los valores usuales:
188
Y de la cuantización del momento angular tendremos:
En estos valores numéricos solo existe duda sobre los últimos dígitos; pero, como
ya lo advertimos, estos pocos dígitos pueden afectar mucho las expresiones
fraccionales. Mientras se alcanzan mediciones más precisas, obtengamos la
información que podamos de estas relaciones.
69) Constante de Rydberg y distancia de Rydberg.
Esta constante nos proporciona información sobre la longitud de onda, y, por lo
tanto, de la energía, emitida por los electrones atómicos al saltar entre órbitas
estables en forma de fotones. Al inverso de la constante de Rydberg lo
llamaremos “distancia de Rydberg” y lo designaremos con las letras Ry.
189
Utilizando la expresión obtenida para Rbohr en el numeral anterior, tendremos:
Valor supremamente cercano al aceptado hasta el momento para esta valiosa
constante.
Es importante caer en cuenta que las expresiones que estamos trabajando no
cumplen “aparentemente” las condiciones de dimensionalidad; pero ya sabemos
que energía, tiempo y espacio son categorías íntimamente ligadas y se relacionan
por transformaciones tan simples que se traducen en constantes puramente
numéricas o geométricas. Estudiemos el caso gravitacional para ver si ocurren
estos mismos entrelazamientos espacios temporales.
70) Elementos de órbitas gravitacionales.
Se trata del mismo análisis del numeral 68, pero enfocado a la gravitación.
Todas las órbitas estables están regidas por:
190
Donde
Pero esta cantidad no viene a interesar mucho como se verá:
Multiplicamos por
para obtener el “momento angular” que es lo mismo que el
cambio de cuantos de acción en una órbita:
Como la trayectoria puede comprender varias órbitas antes de cerrarse, llamamos
No el número de órbitas que contiene en recorrido cerrado L y cíclico, claro está
que contiene un número Ns de recorridos iguales a Ns.
El momento angular queda entonces:
191
Pero ésta cantidad es un número entero de cuantos de acción:
Como en el caso del electrón, resolvemos la discrepancia escribiendo:
Como se puede observar no existe diferencia “formal” entre el caso gravitacional y
el eléctrico. Incluso, si imaginamos que m, la masa que recorre la órbita, es igual a
la del electrón, tendríamos que admitir que R0 y v0 deben también ser equivalentes
a la R0 y v0 del átomo. Entonces, admitimos que:
Y tendremos:
No resulta difícil comprobar que para el sistema solar, N0 = D, quedando en
definitiva:
Comprobamos la ecuación última con la tabla de radios orbitales medidos.
192
Planeta
Radio orbital x1010 m
Medida
Calculada
Rbohr*D*
Mercurio 5,7910
5,791089
10,80043673x1010
Venus
10,820
10,82067
10,80043673x1010
Tierra
14,960
14,96065
10,80043673x1010
Marte
22,794
22,79410
10,80043673x1010
Ceres
41,438
41,43801
10,80043673x1010
Júpiter
77,833
77,78330
10,80043673x1010
Saturno
142,940
142,9401
10,80043673x1010
Urano
287,099
287,09901
10,80043673x1010
Neptuno
450,430
450,43000
10,80043673x1010
Plutón
591,352
591,35200
10,80043673x1010
Poca cosa hemos obtenido de estas pesquisas, excepto la extraordinaria
coincidencia numérica en el caso de la órbita del planeta Venus. Encontramos de
nuevo la tendencia a estructuras estables, que obedecen al intercambio cuántico
de energías y siguen leyes simples y estrictas, pero que son muy susceptibles a
perturbaciones externas y fácilmente pierden la situación de equilibrio.
193
71) Más comparaciones entre elementos gravitacionales y elementos atómicos.
De la discusión anterior, se desprende que la cuantización del momento angular
nos lleva no solo a:
Sino además a aceptar que necesariamente:
En la tabla siguiente exploramos esta relación.
Planeta
Velocidad media en m/s
(c/α)
Mercurio 47873
47872,963 2187691,254
Venus
35021
35020,83
Tierra
29786
29785,5
Marte
24131
24131,1
Ceres
17900
17900,3
Júpiter
13070
13069,5
Saturno
9672
9672,9
Urano
6835
6834,6
194
Neptuno
5478
5477,9
Plutón
4749
4747,8
Y como el radio medio y la velocidad media, están relacionados en forma similar el
periodo orbital gravitatorio tendrá esta misma relación con el periodo orbital del
átomo de Bohr.
Salta a la vista que podemos incluir el número entero D en la expresión, tal como
se incluía en la expresión del radio:
Comparemos resultados en la tabla siguiente.
Planeta
Periodo orbital en días
3,5902229
Mercurio 87,968877
87,96819
3,5902229
Venus
224,68026
3,5902229
224,68022
195
Tierra
365,24605
365,24605
3,5902229
Marte
686,92821
686,92827
3,5902229
Ceres
1683,4952
1683,49521 3,5902229
Júpiter
4330,6622
4330,6622
Saturno
10747,405
10747,4050 3,5902229
Urano
30546,347
30546,347
Neptuno
59795,899
59795,8990 3,5902229
Plutón
90554,498
90554,498
3,5902229
3,5902229
3,5902229
Nuestro propósito está claro, es hallar una ley de formación para éstos números
racionales. Desafortunadamente nuestro éxito es muy limitado hasta ahora y nos
contentamos con utilizar la ley de Kepler para relacionar los racionales entre sí,
tomando como base los racionales más sencillos.
Planeta
días
Mercuri
4788
o
6
Venus
Tierra
2562
6
1853
47872,96
5,791008493x1010
87,9691
35020,83
1,082136239x1011
224,7096
29785,56
1,495971471x1011
365,2445
196
7
Marte
1216
7
24131,14
2,279183305x1011
686,8590
Ceres
6695
17900,34
4,142019906x1011
1682,7378
Júpiter
3569
13069,51
7,769914057x1011
4323,3763
Saturno 1955
9672,96
1,418456433x1012
10664,0633
Urano
976
6834,56
2,841272876x1012
30232,087
627
5477,97
4,50430000x1012
58713,98
471
4742,80
5,887648253x1012
90180,263
Neptun
o
Plutón
72) Forma definitiva de las relaciones entre los elementos orbitales gravitacionales
y los elementos atómicos.
La relación entre la velocidad orbital y la velocidad del electrón mas interno del
átomo de Bohr es bastante sugerente:
Veamos si la relación entre los radios también adopta una forma especial. Hemos
obtenido:
Consultando la forma usual de la ley de Kepler, concluimos que la constante
anterior debe depender de la masa del sol, es decir:
197
Un rápido y sencillo cálculo nos permite hallar la constante y la masa desconocida.
La relación final nos queda bastante sorprendente:
De modo que volviendo a la ley usual de Kepler:
El mismo camino nos conduce al periodo orbital:
Resumiendo los últimos avances tendremos para la gravitación:
198
= Parámetro que depende de la órbita.
Reemplazando los conocidos valores del átomo de Bohr obtenemos:
Si denominamos
y
, tendremos:
De nuestra amiga, la luna, averiguaremos que se traslada alrededor de la Tierra a
1023,055 m/s. Podemos hallar el parámetro
199
Como se demora 27 días y unos 20 minutos en una órbita, calculamos:
Tenemos así un ejemplo de cómo abordaremos otros sistemas gravitacionales,
tales como las estrellas binarias. Para averiguar como en el caso de la luna, la
separación y la masa de las componentes del par estelar.
73) La extraña masa X: mx
En las órbitas estables gravitacionales hemos encontrado que existe una relación
directa entre el radio promedio y la velocidad promedia del cuerpo orbitante y el
radio y la velocidad del electrón que ocupa el primer orbital del átomo de Bohr.
Esta relación incluye una masa, mx, cuyo valor, 37946.28834 Kgs, no corresponde
a ningún ente físico conocido. Sin embargo su expresión como:
Nos trae inmediatamente a consideración la famosa teoría de Mach acerca del
origen de la inercia como atracción de la masa del universo entero. Incluso, si
usamos la densidad fotónica y la multiplicamos por el volumen del universo
200
obtenemos una masa cercana a m x, lo que parece indicar una posible conexión
entre la gravedad y los gradientes de densidad… pero hemos fallado en encontrar
la expresión matemática correspondiente. Nos inclinamos, entonces, a considerar
esta masa como un indicativo de alguna escala en el nivel de organización de los
cuantos para manejar la fuerza que los hace reaccionar. Es decir, de la
organización que convierte la fuerza de gravedad en la fuerza eléctrica.
En busca de esta escala comparamos esa masa inquietante con otras masas
conocidas y encontramos muy sugerente como se relaciona con la masa del
protón. Veamos algunas de esas relaciones:
La cantidad (3002/3000)1/25 se puede tomar como una corrección debida
simplemente a problemas de medición que afectan las últimas cifras obtenidas en
los diversos experimentos, o una corrección pequeñísima que hace la naturaleza
en sus redondeos cuánticos. Escribámosla para tener idea de su significancia:
Para determinar cual corrección usar debemos esperar que los científicos
aumenten la precisión y exactitud de las medidas de las constantes universales.
La relación numérica entre mp y mx se ven con más contundencia en las
expresiones:
201
Pero la relación que posiblemente nos permita dilucidar cómo se forman las
partículas estables de la naturaleza es:
Como es de inmediata percepción, tan pequeña discrepancia se puede deber
únicamente a errores de medida… Sin embargo, la cuestión más importante es
saber por qué una fuerza es un número tan sencillo, como si las unidades con que
se mide esa fuerza hubieran sido escogidas con ese propósito.
74) Fin de la primera parte
Poco a poco empezamos a comprender el extraordinario orden implicado en el
Universo. La cuantización o granulación impone su valor a muchas de las
constantes que se consideran meramente “numéricas”. Por ejemplo, el valor π
esta asociado con el hecho de que no existen círculos perfectos sino trayectorias
poligonales, cuyo lado es la longitud de Planck. Y como esas trayectorias son
recorridas en saltos cuya duración es el tiempo de Planck, las velocidades y otros
parámetros orbitales quedan impregnados del valor numérico π.
Cuando el hombre comienza a medir cantidades que limitan con lo cuántico, poco
a poco redefine sus unidades acomodándolas a ese mundo minúsculo; entonces
aparecen manifiestos los cocientes de números enteros que representan las
pequeñas transformaciones cuánticas. Por lo tanto, una cuidadosa manipulación
numérica y unas medidas escrupulosas y rigurosas nos conducen a formulas
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extraordinarias donde todo aparece corresponder de tal manera que hasta se
pierde la identidad dimensional.
También juega un papel importante en este panorama racional y exacto el que el
“principio de incertidumbre” sea, al fin y al cabo, una falacia sin ningún trasfondo
físico ni filosófico.
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