Download 2do ESB (8vo)- Matematica- Marcelo Maiolo (documento 1)

A ustedes ya les deje el práctico para que vayan haciendo. Cuando tengan alguna duda pueden realizar preguntas a
mi mail [email protected]. Donde creo que se les puede presentar alguna duda es en el punto 10. Creo que
en clase, la última regla de divisibilidad que vimos es la del 9, correcto? Bueno, veamos la del 10:
Divisibilidad por, 10, 100, etc.: “Un número es divisible por 10, por 100, por 1000…. etc. cuando termina en un cero,
dos ceros, tres ceros,…etc.” Ejemplo:
3400 termina en 2 ceros→10|3400 y 100|3400
Verificación:
3400 10
040
340
000
00
(lo que está recuadrado lo tienen que agregar a la carpeta)
Divisibilidad por 11: “Un número es divisible por 11 cuando la diferencia entre la suma de las cifras que están en las
posiciones impares y la suma de la cifras que se encuentran en las posiciones pares del número, da 0, 11 o múltiplo
de 11” Ejemplos:
Analicemos el 2563
8
2563
8
Como 8 – 8=0 →11|2563 (lo que nos importa de la resta es el valor absoluto, no importa el signo)
Verificación:
2563 11
036
233
033
00
Otro ejemplo: Analicemos el 10912
1
10912
12
Como 12 – 1=11→11|10912
Verificación:
10912 11
101
992
022
00
El 13, lo mismo que el 7, también tiene criterio pero es tan complejo que es más fácil hacer la división y ver si se
obtiene un resto de 0. Vamos a dar una regla que después vamos a ampliar cuando veamos números primos: “un
numero es divisible por otro si lo es por los números que multiplicados lo forman mientras estos no tengan
divisores comunes” Esta regla la vamos a demostrar después pero la podemos ir usando. Supongamos que
queremos saber si un número es divisible por 12, (que no tiene regla o criterio) pero 12=4.3 que si tienen regla y
también cumplen la condición de que no tienen un divisor común, es decir no hay ningún número que divida al 4 y
al 3 a la vez (salvo el uno pero no cuenta). También me podrían decir que 12=2.6 pero aunque tengan regla no
cumplen la segunda condición, el 2 y el 6 tienen un divisor común y es el 2 así que esta separación para analizar no
sirve. Cuando dos números no tienen divisores comunes mayores que 1 se dicen que son “COPRIMOS”, el 3 y el 4
son coprimos, el 2 y el 6 no lo son. Volvamos entonces a la del 12=3.4, como 3 y 4 son coprimos, podemos decir
que un “número es divisible por 12 si lo es por 3 y por 4” ejemplo:
Analicemos el 35028
35028→3+5+0+2+8=18 como 3|18→3|35028
35028→4|28→4|35028
Entonces como 35028 es divisible por 3 y por 4 →12|35028
Verificación:
35028 12
110
2919
022
108
00
Espero que hayan entendido, vamos a hacer un ejercicio (que va a la carpeta):
Ej nº ….. (Pónganlo ustedes je)
Hallar los divisores de los siguientes números
a) 24
b) 56
c) 132
d) 100
e) 93
f) 91
Ejemplo: (esto no va en la carpeta)
Supongamos que quiero encontrar los divisores de 120: Vamos probando con las reglas que aprendimos
Para empezar el 1 ya que es el divisor de todos
120 es par entonces es divisible por 2
La suma de sus cifras da 3 entonces es divisible por 3
Sus últimas dos cifras es 20 entonces es divisible por 4
Termina en 0 entonces es divisible por 5
Como es divisible por 2 y por 3 es divisible por 6
Para 8, no tengo más remedio que hacer la división, que da 15 entonces es divisible por 8 (que de 15 quiere decir
que también es por 15 pero después lo encontramos)
Por 9 no es porque la suma da 3
Como termina en un cero es divisible por 10 pero no por 100
Como la diferencia de la suma alternada da 1 no es divisible por 11
Se me acabaron las reglas, escribo los que encontré hasta ahora:
120→1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10,…
Que se acaben las reglas no quiere decir que no hayan mas, y como hago para encontrar los otros? Y bueno, hay
varias formas, ustedes usen las que crean convenientes: Por ejemplo:
Usamos la regla del producto de coprimos (para ponerle un nombre) el 3 y el 4 son coprimos entonces es divisible
por 12. El 3 y el 5 son coprimos, entonces es divisible por 15. El 3 y el 8 son coprimos entonces es divisible por 24. El
3 y el 10 también, entonces es por 30. El 4 y el 5, entonces por 20. El 5 y el 8, entonces por 40. Se entendió?
Agreguemos a la lista (si es posible en orden):
120→1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40…
Otra forma es dividir al número por los que encontramos y el que obtenemos también es divisor de este:
120:1=120 → entonces 120|120 (esto ya lo sabían pero no lo tenían)
120:2=60→ entonces 60|120 (este no lo teníamos)
120:3=40 (ya lo teníamos)
120:4=30 (ya lo teníamos)
120:5=24 (ya lo teníamos)
120:6=20 (ya lo teníamos)
120:8=15 (ya lo teníamos)
120:10=12 (ya lo teníamos)…. Podemos seguir pero como vemos los tenemos todos. Completamos la lista:
120→1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60, 120
Como sabemos que son todos los que hay? Por ahora no están seguros, pero en este caso pueden estar seguros
que es así (Tengo un as en la manga…. Jeje). Un dato a tener en cuenta es la siguiente regla “No puede haber
divisores mayores que la mitad” por eso en este caso el mayor es el 60 (sin tener en cuenta, obviamente, al mismo
número) Hay una manera de saber exactamente cuántos y cuáles son? Siiii….. pero primero tienen que sufrir un
poquito…. Jeje. Traten de hacerlo y mándenme los resultados y preguntas. Saludos. MARCELO MAIOLO.
PD: NO HAGAN TODAVIA EL 10. ESPEREN QUE LES MUESTRE EL AS DE LA MANGA