Download GEOMETRIA ANALÍTICA PRIMER AÑO 1K2

República de Panamá
Ministerio de Educación
DIRECCIÓN NACIONAL DE EDUCACIÓN MEDIA PROFESIONAL Y TÉCNICA
Instituto Profesional y Técnico de Veraguas
Tel.: 958-5804
Nombre del Alumno: _________________________________________________ Grupo: 10º ______
Sección:  Bachiller Industrial
Especialidad: __________________________________________
UNIDAD DE APRENDIZAJE Nº 3
Operaciones con Radicales
3.1 OBJETIVO
 Resolver problemas de radicación, aplicando las leyes de los exponentes y las
propiedades de las raíces.
3.2 RADICACIÓN
Raíz de una expresión algebraica es toda expresión algebraica que elevada a una potencia
reproduce la expresión dada. Así “ 2a " es raíz cuadrada de 4a 2 porqué 2a   4a 2 y “  2a ” también
2
es raíz cuadrada de 4a 2 porqué  2a   4a 2 .
2
El signo de raíz es
, llamada signo radical. Debajo de este signo se coloca la cantidad a la cual
se extrae la raíz llamada cantidad sub-radical o radicando.
lleva un índice que indica la potencia a que hay que elevar la raíz para que reproduzca
El signo
la cantidad sub-radical. Por convención el índice “ 2 ” se suprime y cuando el signo
no lleve
índice se entiende que el índice es 2 .
Radical o expresión radical es toda raíz indicada de un número o de una expresión algebraica.
Así:
4,
3
16a 2 ,
5
6 x 3 son expresiones radicales.
Si la raíz indicada es exacta, la expresión es racional, si no es exacta, es irracional.
Las expresiones irracionales como
2,
3
3a 2 son las que comúnmente se llaman radicales.
Material de Álgebra. Elaborado por la Profa.: Xenia Batista ([email protected]) xeniabatista.jimdo.com I P T V 2014
1
El grado de un radical lo indica su índice. Así,
radical de tercer grado;
4
2a es un radical de segundo grado;
3
5a 2 es un
3x es un radical de cuarto grado.
3.3 ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE RADICALES (O LA SUMA Y RESTA DE RADICALES)
Para adicionar o sustraer radicales, se debe tener presente que estas sean del mismo índice e igual
radicando: es decir, que sean radicales semejantes. Al efectuar estas operaciones se toma como
factor común al radical de la suma algebraica de los coeficientes. Los radicales no semejantes, en
principio, se pueden sumar o restar siempre que sean reducibles a radicales semejantes mediante
simplificaciones adecuadas.
En conclusión, para sumar o restar radicales, se simplifican los radicales dados; se reducen los
radicales semejantes y a continuación se escriben los radicales no semejantes con su propio signo.
Por ejemplos: Reducir (o simplificar) los siguientes radicales semejantes:
1) 2 3  3 3
2) 4 2  2
Solución: 2 3  3 3  2  3 3  5 3
3)
45  27  20
Luego:
4)
45  32  5  3 5
Solución:
5)
Solución: 4 2  2  4  1 2  3 2
25ax 2  49b  9ax 2
Solución:
25ax 2  52 ax 2  5 x a
 27   32  3   3 3
49b  7 2  b  7 b
 20   2 2  5   2 5
 9ax 2   32 ax 2   3x a
45  27  20  3 5  3 3  2 5
Luego:
25ax 2  49b  9ax 2  5 x a  7 b  3x a
45  27  20  3  2 5  3 3
25ax 2  49b  9ax 2  5  3 x a  7 b
45  27  20  5  3 3
25ax 2  49b  9ax 2  2 x a  7 b
3
2
1
1
176 
45 
320 
275
4
3
8
5
3
3 4
3
176 
2  11  2 2 11  3 11
4
4
4
Solución:

2
2 2
2
45  
3  5   3 5  2 5
3
3
3
1
1 6
1
320 
2  5  23 5  5
8
8
8
1
1 2
1
275 
5 11  5 11  11
5
5
5
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2
Luego:
3
2
1
1
176 
45 
320 
275  3 11  2 5  5  11
4
3
8
5
3
2
1
1
176 
45 
320 
275  3  1 11  1  2  5
4
3
8
5
3
2
1
1
176 
45 
320 
275  4 11  5
4
3
8
5
6) 2 m2 n  9m2 n  16mn2  4mn2
Solución: 2 m2 n  2m n
 9m 2 n   32 m 2 n   3m n
16mn 2  2 4 mn 2  2 2 n m  4n m
 4mn 2   2 2 mn 2   2n m
Luego: 2 m2 n  9m2 n  16mn2  4mn2  2m n  3m n  4n m  2n m
2 m 2 n  9m 2 n  16mn 2  4mn2  2  3m n  4  2n m
2 m 2 n  9m 2 n  16mn 2  4mn2  m n  2n m
9x  9  4x  4  5 x 1
7)
Solución:
9 x  9  32 x  1  3 x  1
4 x  4  2 2 x  1  2 x  1
 5 x 1
Entonces:
9x  9  4x  4  5 x  1  3 x  1  2 x  1  5 x  1
9 x  9  4 x  4  5 x  1  3  2  5 x  1
9x  9  4x  4  5 x  1  0
PRÁCTICA Nº1
I. Reduce los radicales, resolviendo las operaciones indicadas. Simplifique los resultados:
1) 3 7  5 7  8 7
2) 4 2 
m n5
3xy m 5 n
 2
a 2b 4 n 4
n
24 m4
5)
6)
16 x  16  9 x  9  3 x  1
7)
8)
50 x 2 y 3 
2
4) 2
n
18 
4
3) 8 y 2 x 6 y 2  7 x 6 y 2
8  2 18
50  25  3 8  4 16
16a 4b8  7 4 625a8b 4  9a 4 81a12b16  a 2b 4 6561a 4b 4
98a 3b 5  2 8x 2 y 3  ab 2 18ab
9)
ab 
a  b 2

 2 a2  b2
 a  b
a  b 2
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3
II. Reducir los siguientes radicales, a índice común:
5a 2 y
1)
3
2x 2 y 2 y
2a 3
3x 3 y 3
3)
4
5)
4 4
3
1
a 2 ab , a 6 2 ab y a
3
2
3
3
2)
x4 y3z2 y
5
3x 5 y 7
4) 3 3 6m , 2 4 3m 3 y 5 12 4 m10
3
6)
2 ab
5xy ,
4
3x 2 y 3 y
3
4x y 2
3.4 MULTIPLICACIÓN DE RADICALES
3.4.1 MULTIPLICACIÓN DE RADICALES DEL MISMO ÍNDICE
Se multiplican los coeficientes numéricos entre sí y las cantidades sub-radicales o radicandos entre
sí, colocando este último producto bajo el signo radical común y se simplifica el resultado.
Sean
a, b, x, y  R, n  Z  a n x por b n y  a  b n x  y
Por ejemplos:
1.
5 5 x por 7 8 x 3
 
Solución: 5 5 x por 7 8 x 3  57  5 x  8 x 3 Se multiplican los coeficientes y los radicandos
2.
5 5x por 7 8x 3  35 40 x 4
Se expresa el producto
5 5x por 7 8x 3  35 23  5x 4
Se procede a simplificar la radicando
5 5x por 7 8x 3  35 22  2  5x 4
Se descompone según el índice de la raíz
5 5x por 7 8x 3  35 2  x 2 2  5
Se simplifica la cantidad sub-radical
5 5x por 7 8x 3  70 x 2 10
Se multiplican los factores
3  6  18  32  2  3 2
3.
5 21  2 3  5  2 21 3  10 63  10 32  7  30 7
4.
x 2a 
5.
1
2
3
1
1 2 2 2
1 2 3
21 
42 
22      21  42  22 
3  7  2  3  7  2 11 
2 3 7 11  6 11
2
3
7
7
7
2 3 7
6.
5 7 3 4  5 3 7 4 1 1

    
6 8 5 7  6 5 8 7 2 2
7.
3 6  14  2 35  3 1 2 6 14  35  6 2  3  2  7  5  7  6 2 2  3 5  7 2  6  2  7 15  84 15
1
x
x
 1
5a   x   2a  5a 
10a 2  a 10  x 10
a
a
a
 a
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4
3.4.2 MULTIPLICACIÓN DE RADICALES COMPUESTOS
El producto de un radical compuesto por uno simple se halla como el producto de un polinomio por
un monomio, y el producto de dos radicales compuestos se halla como el producto de dos
polinomios.
Por ejemplos:
1.
3x por
Solución:
3x 3  4
 3x  4  3x  3x   3x 4
3x  3x  4  9 x  4 3x
3x  3x  4  3x  4 3x
3x
3
3
3
4
3
2
2. Multiplicar 4  5 por 2  3



4  5 2  3   8  4

 
Solución: 4  5 2  3  42  4 3  2  5   5
3. Multiplicar
Solución:
4.
2 por
3  2 5  15
5 7
 5  7  5  7    5    7 
 5  7  5  7   5  7
 5  7  5  7    2
2
2
Suma por la diferencia de dos cantidades
Se aplica la regla del producto notable
El cuadrado del 1ero menos el cuadrado del 2do
2 3
 2  3    2  2   2  3 
2  2  3    4   6 
2  2  3 2  6
Multiplicar  m  n  m  n 
Solución:  m  n  m  n    m  n 
El cuadrado de la suma de 2 cantidades
 m  n  m  n    m   2 m  n    n  Desarrollándolo
 m  n  m  n   m  2 mn  n
Multiplicar  5  5 3 2 5  3 3 
Solución:  5  5 3 2 5  3 3   2 25  3 15  10 15  15 9
Solución:
5.
5  7 por
 3 
2
2
2
6.
2
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5
 5  5 3 2 5  3 3   2 5  3 15  10 15  15 3
 5  5 3 2 5  3 3   2  5  3  10 15  15  3
 5  5 3 2 5  3 3   10  13 15  45
 5  5 3 2 5  3 3   55  13 15
Multiplicar 7 5  11 7 5 5  8 7 
Solución: 7 5  11 7 5 5  8 7   7 5 25  7 8 35  115 35  118
7 5  11 7 5 5  8 7   35 5  56 35  55 35  88 7
7 5  11 7 5 5  8 7   35  5   56  55 35  88  7
7 5  11 7 5 5  8 7   175  111 35  616
7 5  11 7 5 5  8 7   791  111 35
2
7.
2
2
49
2
3.4.3 MULTIPLICACIÓN DE RADICALES DE DISTINTOS ÍNDICES
Se reducen los radicales al mínimo común índice y se multiplican como radicales del mismo índice.
Por ejemplos:
1. Multiplicar
x por
3
2x 2
Solución: Primero debemos reducir los radicales a un índice común:
Tenemos que el mínimo común índice (m. c. i.) de las raíces es 6; ya que sus índices son: 2 y 3 ;
luego 6  2  3 y 6  3  2 , por lo tanto los radicales dados se transforman en:
3
 
2x 2  6 2x 2
2
x  6 x3 ;
 6 4 x 4 los cuales tienen el mismo índice.
Como ahora los dos radicales tienen el mismo índice (“6” en este caso), se multiplican, como en el
caso anterior, es decir, como radicales del mismo índice, así:
6
x3  6 4x 4  6 4x7  6 4x6 x  x 6 4x
2. Multiplicar 3 2ab por 44 8a 3
Solución: el mínimo común índice (m. c. i.) de las raíces es 4
3 2ab  3 4 2ab   3 4 4a 2 b 2
2

 
Luego: 3 4 4a 2b 2  4 4 8a 3  344 4a 2b 2 8a 3
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6
3 4 4a 2 b 2  4 4 8a 3  124 32a 5b 2
3 4 4a 2 b 2  4 4 8a 3  124 2 4 2a 4 ab 2
3 4 4a 2 b 2  4 4 8a 3  12  2  a 4 2ab 2
++
3 4 4a 2 b 2  4 4 8a 3  24a 4 2ab 2
3. Multiplicar
3
a 2b 2 por 24 3a 3b
Solución: el mínimo común índice (m. c. i.) de las raíces es 12
3
a 2 b 2  12 a 2 b 2  
4
12
a 8b 8
24 3a 3b  212 3a 3b   212 27 a 9 b 3
3
Luego:
4. Multiplicar


12
a 8 b 8  2 12 27a 9 b 3  1212 a 8 b 8 27a 9 b 3
12
a 8b 8  2 12 27 a 9 b 3  212 27 a17b11
12
a 8b 8  2 12 27 a 9 b 3  212 27 a12 a 5b11
12
a 8b 8  2 12 27 a 9 b 3  2a12 27 a 5b11

2 2b
3 a2
por 3
3 a
8 4b 2
Solución: el mínimo común índice (m. c. i.) de las raíces es 6
3
2 2b 2 6  2b 
2 8b 3 2 2 3 b 3

   6 3  6
3 a
3  a 
3 a
3 a3
2
3 3 a2
3  a2 
3 6 a4
6




8 4b 2 8  2 2 b 2 
8 24 b4
3 3
2 6 23 b 3 3 6 a 4
a4
 2  3 6 2 b

   

3 a3
8 2 4 b 4  3  8  a 3 2 4 b 4
2 6 8b 3 3 6 a 4
1 a

 6
3
4 4
3 a
8 2 b
4 2b
PRÁCTICA Nº2
I. Encuentra los productos de las siguientes operaciones:
1)
4)

8
3
xy3 
18 
3
x2 y
50

2

2) 2 ab 2 ab  4 a 3b3
5)

11 
13

11 

13
3)

5
 10 
15  20

 25 12   24 5 


6) 


 4 15   5 4 
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7
3
7)  x 2 y 3 z
4
9)

11)
13)
5


3
a
a
 8
 3

x 4 y 3 z 5   x 3 y 4 6 x 9 y 2   6 x12 y18 z 6 
 9
 2

6

3 2 3 5 2
3
b

a2 
3
b c


3

8)


12) 

2 y 3 2x  4 3 y
m
10)
ab  3 b 2

3x 
3
2
 m  a 
3  4  6  9 
a
3
3
 3 9x 4 y 3
14) 
 2 2z 2

abc

15) 6 3  4 3 3
16)


7 2

3
3
  5 3x 2 y 6

  6 4z 7

72





3.5 DIVISIÓN DE RADICALES
3.5.1 DIVISIÓN DE RADICALES DEL MISMO ÍNDICE
Para dividir radicales del mismo índice, se dividen los coeficientes numéricos entre sí y las
cantidades sub-radicales o radicandos entre sí, colocando este último cociente bajo el signo radical
común y se simplifica el resultado.
Sean a, b, x, y  R, n  Z 
an x
a x
 n
n
b y
b y
Además, la raíz de una fracción equivale a la fracción de las raíces con el mismo índice:
n
x

y
n
n
x
y
Por ejemplos:
1. Dividir 9a 7 27a 6 b 5 entre 3a 3 3a 2 b 3
Solución:
9a 7 27a 6b 5
3a 3 3a 2b 3
9a 7 27a 6b 5
3a
3
2
3a b
3
9a 7 27a 6b 5
3a
3
2
3a b
3
9a 7 27a 6b 5
3a
2. Dividir
3
2
3a b
3

9a 7
3a 3
27a 6b 5
3a 2b 3
Se expresa como fracción
 3a 4 9a 4b 2
Se simplifica
 3a 4  3a 2b
Se multiplican los términos
 9a 6 b
75 x 2 y 3 entre 5 3xy
Solución:
75 x 2 y 3
5 3xy

1 75 x 2 y 3 1
1 2 2

25 xy2 
5 xy  y x
5
3xy
5
5
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8
3. Dividir
3
1
3 xy entre
x
2
4
1
3xy
1 4 3xy 2
2
Solución:
 

3y
3
2 3 x
3
x
4
4. Dividir 3 3 16a 5 entre 4 3 2a 2
Solución:
3 3 16a 5
4 3 2a 2

3 3 16a 5
3
3
3
3
 3 8a 3  3 2 3 a 3   2  a  a
2
4 2a
4
4
4
2
5. Dividir 4 x a 3 x 2 entre 2 a 2 x 3
Solución:
6. Dividir
4x a3 x 2

2 a 2 x3
4x a3 x 2
a
 2x
2 3
2 a x
x
1 1
13 1
entre 3
3 2
6 3
13
Solución: 3
13
6
1
2  16
1 3 1
3
1
2  6 1  3  23 3
1
3 2 1
2
3
3.5.2 DIVISIÓN DE RADICALES DE DISTINTOS ÍNDICES
Se reducen los radicales al mínimo común índice y se dividen como radicales del mismo índice.
Por ejemplo:
9 x entre
1. Dividir
3
3x 2
2. Dividir
16a entre
4
2a 2
Solución: Se reducen los radicales al mínimo común índice
9 x  6 9 x   6 3 2 x  
3
3
3
3x 2  6 3x 2  
2
9x
3
3x 2

36 x3
6
9x 4
6
 36
6
32 x 4 
16a  4 16a   4 4 2 a  
36 x 3  36 x 3
6
2
2
4
9x 4
x3
1
 36
4
9x
9x
2a 2 
16a
4
2a 2

4
4
4 4 a 2  44 a 2
2a 2
44 a 2
4
2a 2
 44
a2
1
 44
2
2
2a
PRÁCTICA Nº3
I. Encuentra los cocientes en las siguientes operaciones:
1) 27 18  3 2
2)


75  108  147  48  3
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9
3) 25 75  5 3
5)

2  3  5  7  210

7)

9  27  81 

 

9) 2  2 6  3 
11)
3
3
2 3

8)

10)
93
3
2187 m 4 n 6  3 30mn 2
5
25
12)

7
21
250 
4
8 10
 a  b   a  b   a  b
2
 
14) a 2 b 3 12ab  a 3b 2 3
4 2 4 3 4 7 16 3 1 4 5
a b
a b 
ab
a b
3
5
9
15

405  2 20
28  2 1792  3 343  5 175  2 7

1
1 2
1 4 
13) 
m3 
n m
q m  m
n
q
m

15)
6)
 4  6  10   2 2
 125  180  245 
4)

16) m2 x n6 y 15xy  m 2 x n  6 y 3xy
3.6 POTENCIACIÓN DE RADICALES (O POTENCIA DE UNA RAÍZ)
Para elevar un radical a una potencia se eleva a dicha potencia, el coeficiente y la cantidad subradical o radicando, y se simplifica el resultado.

Sean a, b  R, n, m  Z  a b
n

m
 a
m n
b a b
m
m
m
n
Un radical elevado a un exponente igual al índice de la raíz equivale a la cantidad sub-radical o
radicando:

n

bm
n
 bm
Por ejemplos:

1. Resolver 2x 3 3

4

Solución: 2 x 3 3
2x
2x
2x
2. Resolver

3
3
3
3
3 3


3
3
2
3
 4
 2 4 x 12  3 2 
 
Se resuelve la potencia
4
 16 x12  32
Se simplifica la raíz
4
 16 x12  9
Se resuelve la potencia
4
 144 x12
Se multiplican los términos
4
3
Solución:


   3   3  3   2  3  3  2    2 
2   3  3  18   3 12   2
3
3 3 2
3
3
3 3
3
3
3
3
2
3
3
3
3
3
2
3
3
Cubo de la suma de 2 cantidades
Se resuelven los productos notables
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10

3
3 3 2

3
   
 5  3 3 18  3 3 12

3. Resolver 2 x 2  3x 3

Se reducen los términos semejantes
2
Solución:
2x
 2x
 2x
 2x
2x
 2x
4.
  2x 2   2 2x 2 3x 3  3x 3 
2  3x 3   4 x 2  2  6 x 6   9 x 3
2  3x 3   8x  12 x 6  27 x
2  3x 3   8x  27 x  12 x 6
2  3x 3   35 x  12 x 6
2  3x 3   x  35  12 6 
Resolver 2 4 
Solución: 2 4   2 4  4 2  4 2  2  4  2
2
2  3x 3
2
2
2
2
2
2
2
2
2
Se resuelven las potencias
2
2
Se resuelven los productos notables
2
Se resuelven las sumas
Se reducen los términos semejantes
2
Se factoriza
2
3
2
23
 81ab 
Solución:  81ab 
Resolver 3 2a b 
3
3
5

Solución: 3 3 2a 2 b

4

5
3 ab 
3 3
4

 34 3 2a 2 b

9a b 
7. Resolver 4 6 9a 3b 4
6
4
3
3
3
3
2  83 2
 5 312 a 3b 9  5 35  35  32 a 3b 5b 4  3 3 b 5 32 a 3b 4  9b 5 9a 3b 4
4
2
3
2
3
3
5

Solución: 4
Cuadrado de la suma de 2 cantidades
2
2
3
6.
2
2
2
5. Resolver
2
3 4

4
 34 3 2 4 a 8b 4  813 23  2  a 3 a 3 a 2 b 3b  81 2  a 2 b 3 2a 2 b  162a 2 b 3 2a 2 b
3
3

 4 3 6 3 2 a 3b 4

3
 43 6 36 a 9b12  64 6 36 a 6 a 3b 6b 6  64  3 ab 2 6 a 3  192ab 2 a
PRÁCTICA Nº4
I. Resuelve las potencias indicadas y simplifica el resultado:
1)
 3
5)
 ab c 
9)

4
5 2
3 5

2)
3

3


xy 2
3

6) a mn
3) 2 3 x 4 y 3

1

7)  13 
9

3

2
13) ab  2 2

2
10) 3x y  5 y x

3
14)

27  8

2

2
11)

3
2 7

4




4) x 7 y
2
8) 9  5

3

3
 3
2
15) 


3 
 2
3
12) m 2 x  n 3 y
2
16)

3 2

2

3
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11
3.7 RADICACIÓN DE RADICALES (O RAÍZ DE UNA RAÍZ)
Para extraer una raíz a un radical se multiplica el índice del radical por el índice de la raíz, se
conserva la cantidad sub-radical y se simplifica el resultado, así:
m n
b  mn b ,
donde
b  R, n, m  Z
Por ejemplos:
1.
3 5
x3
3 5
x 3  35 x 3
Se aplica la regla
3 5
x 3  15 x 3
Se multiplican los índices
3 5
x3  5 x
Se simplifica la potencia con el índice
3
5  32 5  6 5
Solución:
2.
3
5
Solución:
3
3.
a2
3
Solución:
4.
4
a 
2
23
2
6
1
3
a  a a a 3 a
2
6
2
81
81  42 34  8 34  38  32  3
4
Solución:
5.
4
4
1
25a 2
25a 2  24 52 a 2  8 52 a 2  5a 8  5a 4  4 5a
2
4
Solución:
6.
5 3
x10
x10  53 x10  15 x10  x 15  x 3  3 x 2
10
5 3
Solución:
7.
3
1
2
a  b
Solución:
2
3
a  b2
 23 a  b  6 a  b  a  b6  a  b3  3 a  b
2
2
2
1
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12
PRÁCTICA Nº5
I. Resuelve las siguientes operaciones aplicando la propiedad de la raíz de un radical:
1)
3
2 2
2)
35 2
3)
5)
5
7 49
6)
2
3
7)
9)
3
2 3
12)
4
4a 2 3 16 a 2
3
9
4
10)
4 3
13)
4 3
m m3
3
4)
4096 r 6 s12t 18
4 3
3
256 x 8 y16
11) 
16a 4
8)
3
a  b3 a  b
4
27
 9
256 p 4 q 5 r 3   3
 8

2 8 x 2  16 x  8
14)
3

2 p5q 4r 6 


Dos expresiones que contienen radicales de segundo grado (raíz cuadrada) como
a b y
a  b ó a  b y a  b , que difieren solamente en el signo que une sus términos, se dice que
son conjugadas.
Así, la conjugada de 3 2  5 es 3 2  5 ; la conjugada de 5  3 es 5  3 .
El producto de dos expresiones conjugadas es racional, así:
3

 
  5
2
2 5 3 2 5  3 2 
2
 92  5  18  5  13
3.8 RACIONALIZACIÓN DE DENOMINADORES
En muchos cálculos matemáticos resulta inconveniente realizar operaciones con raíces en el
denominador.
El procedimiento algebraico para eliminar la raíz del denominador se llama
racionalización.
Racionalizar el denominador de una fracción, es convertir una fracción cuyo denominador sea
irracional en una fracción equivalente cuyo denominador sea racional.
Cuando se racionaliza el denominador irracional de una fracción, desaparece todo signo radical del
denominador. Se consideran dos casos:
Caso 1: Racionalizar el denominador de una fracción cuando el denominador es monomio:
Se multiplican los dos términos de la fracción por el radical del mismo índice del
denominador y que multiplicado por éste dé como producto una cantidad racional.
Ejemplo 1: Racionalizar el denominador de
3
2x
Solución: multiplicamos ambos términos de la fracción por
3

2x
3

2x
2 x y tenemos:
2x 3  2x 3 2x
3



2x
2x
2x
2x
22 x 2
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13
2a
2ax
Ejemplo 2: Racionalizar el denominador de
Solución: multiplicamos ambos términos de la fracción por
2a

2ax
2ax 2a  2ax 2a 2ax



2ax
2ax
22 a 2 x 2
5
2a

2ax
Ejemplo 3: Racionalizar el denominador de
3
3
4a 2
5

3
4a 2
Ejemplo 4: Racionalizar el denominador de
3

3
3
3
3
1

9x
3
2a y tenemos:
2a 5  3 2a 5 3 2a


2a
2a 3 2 3 a 3
1
9x
Solución: multiplicamos ambos términos de la fracción por
1

9x
2ax
x
4a 2
Solución: multiplicamos ambos términos de la fracción por
5
2ax y tenemos:
3
3x 2
3
3x 2

3
3
3
3x 2
33 x 3
3x 2 y tenemos:

3
3x 2
3x
Caso 2: Racionalizar el denominador de una fracción cuando el denominador es un
binomio que contiene radicales de segundo grado: Se multiplican ambos términos de
la fracción por el conjugado del denominador y se simplifica el resultado.
Ejemplo 1: Racionalizar el denominador de
3 2
1 2
Solución: multiplicamos ambos términos de la fracción por el conjugado, que es 1  2 y tenemos:
3 2
3  2 1  2 3  3 2  2  22
3 4 2  2
54 2





 4 2 5
2
1 2
1
1 2
1 2 1 2
12  2
 
Ejemplo 2: Racionalizar el denominador de
52 3
4 3
Solución: multiplicamos ambos términos de la fracción por el conjugado, que es 4  3 y tenemos:
52 3
5  2 3 4  3 54  5 3  24 3  2 32



2
4 3
4 3 4 3
42  3
 
20  5 3  8 3  23 20  5 3  8 3  6 26  13 3


16  3
13
13
13 2  3

 2 3
13



Ejemplo 3: Racionalizar el denominador de
a x
2 a x
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14
Solución: multiplicamos ambos términos de la fracción por el conjugado, que es 2 a  x y
tenemos:
a x
a  x 2 a  x 2 a2  a x  2 a x  x2



2
2
2 a x
2 a x 2 a x
2 a  x
  


Ejemplo 4: Racionalizar el denominador de
2a  ax  2 ax  x
22 a 2  x 2

2a  ax  x
4a  x
x  x 1
x  x 1
x  x 1 y
Solución: multiplicamos ambos términos de la fracción por el conjugado, que es
tenemos:
x  x 1

x  x 1
x  x 1

x  x 1
x  x 1

x  x 1


Ejemplo 5: Racionalizar el denominador de
x2  x x 1  x 1 x 
 x 
2
x 1
x  2 x x  1   x  1
x2 
x  1
2


x  12
2
x  2 x x  1  x  1
x   x  1
2x 1  2 x 2  x
 2x 1  2 x 2  x
x  x 1
x2  2
x2  2
Solución: multiplicamos ambos términos de la fracción por el conjugado, que es
tenemos:
x2 2

x2 2
x2 2

x2 2
x2 2

x2 2
Ejemplo 6: Racionalizar el denominador de
x  22
 x2 2 2 x2

x2
   2
2

x  2  2 x  2 2  2 
x  22  22

x  4  2 2x  4
x22
x2  2 y
22
2
x  2  2 2 x  2  2
x  2  2
a4  a
a4  a
Solución: multiplicamos ambos términos de la fracción por el conjugado, que es
tenemos:
a4 a y
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15
a4 a

a4 a
a4 a

a4 a
a4 a

a4 a

a  42 

a4 a  a a4
a4
  a
2
a  4  2 a  4 a  a 
a  42  a 2
a 2
2
a  4  2 aa  4  a
a  4  a 
2a  4  2 a 2  4a
2a  4  2 a 2  4a


a4a
4



2 a  2  a 2  4a
a  2  a 2  4a

4
2
PRÁCTICA Nº6
I. Resuelve las siguientes radicaciones, racionalizando el denominador:
1)
5)
2y
3xy
2 5
3 2 5
2)
6)
3
4
9a
x a
2 x a
3)
7)
32 2
2 2
x3 x
x  3  ax
4)
8)
3 5
7  25
x 1  x
x 1  x
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16