Download GEOMETRIA ANALÍTICA PRIMER AÑO 1K2

República de Panamá
Ministerio de Educación
DIRECCIÓN NACIONAL DE EDUCACIÓN MEDIA PROFESIONAL Y TÉCNICA
Tel.: 958-5804
Instituto Profesional y Técnico de Veraguas
Nombre del Alumno: _________________________________________________ Grupo: 10º ______
Sección:  Bachiller Industrial
Especialidad: __________________________________________
UNIDAD DE APRENDIZAJE Nº 2
La Radicación
2.1 OBJETIVOS
 Utilizar el lenguaje algebraico como una herramienta generalizada de la aritmética en la
solución de problemas.
 Resolver problemas de radicación, aplicando las leyes de los exponentes y las
propiedades de las raíces.
2.2 INTRODUCCIÓN
La radicación es la sexta operación Matemática, y se ha tratado en varios niveles educativos, pero
siempre considerándose en los distintos conjuntos numéricos, de hecho son partes que integran los
cursos anteriores de Matemática, y simplemente este tema se ha conocido como raíces o radicales.
Pero y ¿por qué se llama raíz cuadrada o cúbica o como sea?, pues bien, hemos descubierto que el
signo
conocido como radical es una variante de la letra latina r (escrita en cursiva), y que es la
primera letra de la palabra latina radix, que significa "raíz". Sin embargo, por allá por el siglo XVI, el
signo de raíz, no era la r minúscula cursiva, sino la mayúscula, la R, y junto a ella se escribía la
primera letra de las palabras latinas quedratus, la q, o la primera de letras de la palabra cubus, la c,
señalando con ello que la raíz a extraer era cuadrada o cúbica. Los matemáticos, escribían, por
ejemplos: R.q. 4352 en lugar de la moderna expresión
4352 ó R.c. 1000 en vez de
3
1000 .
2.3 CONCEPTOS
La radicación es la operación matemática inverso a la potencia, que consiste en buscar un número
(raíz) que multiplicado, por sí mismo una cantidad de veces, resulte otro número determinado.
Entonces, en estricto rigor matemático, la raíz es una cantidad que se multiplica por sí misma una o
más veces para presentarse como un número determinado. Y para encontrar esa cantidad que se
Material de Álgebra. Elaborado por la Profesora: Xenia Batista ([email protected]) I. P. T. Veraguas, 2014
1
multiplica se recurre a la operación de “extraer la raíz“, a partir del número determinado y se ejecuta
utilizando el símbolo
, que se denomina radical. Es por eso que se habla de operaciones con
radicales al referirse a operaciones para trabajar con raíces. Debajo del signo radical se coloca la
cantidad de la cual se desea extraer la raíz, y esta se denomina radicando o cantidad sub-radical.
Supongamos que tenemos un número b y deseamos hallar su raíz n , entonces consistiría en
buscar un número a , que cumpliera la condición de que a  a  a   n veces es igual a “ b ”; que
puesto de otra forma sería a n  b . De ahí que observamos que encontrar o extraer la raíz es
realizar la operación contraria o inversa de la potenciación.
Entonces, podemos decir que la
radicación es una operación inversa de la potenciación, donde se da el total y el exponente, y se
quiere hallar la base. Para representarlo de algún modo, sería de la siguiente manera:
POTENCIA
an  b
RAÍZ

n
b a
Los nombres de las partes que constituyen cada operación matemática:
a Base de la potencia
a Valor de la raíz (o raíz)
n Exponente de la potencia
n Índice de la raíz
b Cantidad subradical (o
b Valor de la potencia
radicando)
Observación: cuando el índice de la raíz es 2 (o sea cuando es raíz cuadrada o de segundo
grado), no se acostumbra por convención a colocarlo en el símbolo de raíz, por ejemplo: en
2
9 se deja así: 9 porque se entiende que el índice es 2.
Entonces, resumiendo, la raíz consiste en encontrar la base de la potencia conociendo el exponente
(en la raíz, es el índice) y la cantidad sub-radical. Por ejemplo: 8 2  64 
64  8 pero para
encontrar el valor de una raíz cuadrada debemos hacernos la siguiente pregunta: ¿Qué número
elevado a 2 (al cuadrado) da como resultado 64? y la respuesta es 8, porque 8 2  64 .
De manera general, para encontrar el valor de una raíz se debe hacer la siguiente pregunta: ¿Qué
número elevado al índice de la raíz da como resultado la cantidad sub-radical (o radicando)?
2.4 LOS TÉRMINOS DE LA RADICACIÓN
Los términos de la radicación son: el radicando, el índice del radical y la raíz.
 El radicando o sub-radical es cualquier número dado del que deseamos hallar la raíz.
 El índice del radical indica la potencia a la que hay que elevar la raíz, para obtener el
radicando.
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2
 La raíz es el número que multiplicado por si mismo las veces que indica el índice radical da el
radicando.
Por ejemplos:
25  5  5 2  55  25
1.
2.
3
27  3  33  333  27
3.
3
 125   5 
4.
4
 16 No tiene solución en el conjunto de los números reales, puesto que:
 53   5 5 5   125
 2 2 2 2  16
y no es  16
LEYES DE LOS SIGNOS EN LA RADICACIÓN
1. En el Ejemplo 1. Si n es un número par y b es positivo, entonces a  0 ; es decir, es positivo.
2. En el Ejemplo 2. Si n es un número impar y b es positivo, entonces a  0 .
3. En el Ejemplo 3. Si n es un número impar y b es negativo, entonces a  0 .
4. En el Ejemplo 4. Si n es un número par y b es negativo, entonces a  R ; es decir, a no
existe en el conjunto de los números reales.
Observación: cuando los radicales tienen raíces exactas se denominan racionales (ya que se
pueden expresar como cocientes de dos enteros) y cuando los radicales tienen raíces
inexactas, se denominan irracionales (ya que no pueden ser expresados como cociente de
dos enteros).
EJEMPLOS DE CANTIDADES RACIONALES Y CANTIDADES IRRACIONALES:
4
9x 4 y 6
Cantidad racional
3
 27a 6 b12
Cantidad racional
x  38
Cantidad racional
3
40
Cantidad irracional
5
Cantidad irracional
5
3
Cantidad irracional
2.5 SIGNOS DE LAS RAÍCES
1. Las raíces impares de una cantidad tienen el mismo signo que la cantidad sub-radical o
radicando. Por ejemplos:
3
27 x 3  3x
5
porque
 32a10   2a 2
3x 
porque
3
 27 x 3
 2a 
2 5
  32a10
2. Las raíces pares de una cantidad positiva tienen doble signo. Por ejemplos:
25 x 2  5 x ó  5 x
porque
5 x 
2
 25 x 2 y  5 x   25 x 2
2
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3
Esto se indica de este modo:
4
81x 4  3x ó  3x
4
Esto se indica:
25 x 2   5 x
porque
3x 
4
 81x 4 y  3x   81x 4
4
81x 4   3 x
3. Las raíces pares de una cantidad negativa no se pueden extraer.
Estas raíces se llaman
cantidades imaginarias. Así,
 36 , no se puede extraer. La raíz de  36 no es 6 porque “ 6 2  36 ” y no  36 , y
tampoco es  6 porque  6  36 y no  36 . “  36 ” es una cantidad imaginaria.
2
Son ejemplos de cantidades imaginarias
 9a 2 y
 49 ,
4
 256x 8
2.6 EXPONENTE FRACCIONARIO
Toda cantidad radical se puede escribir en forma de potencia con exponentes fraccionarios. Ya que,
la cantidad sub-radical constituirá la base de la potencia y el exponente fraccionario estará formado
por el exponente de la base que será el numerador, mientras que el índice del radical será el
denominador de la fracción. Toda raíz es una potencia de exponente fraccionario cuyo numerador y
denominador representan, respectivamente, el exponente del radicando y el índice de la raíz:
x
a
b
equivale a
b
x a . Así, como se observa en los siguientes ejemplos:
1
1
4 5
 4 5 2
 m    m 
3

3

Por ejemplos: 1.
3
3.
5x y   5x y 
2
3 2
2
2
3 3
2.
5
4.
5
1
4 3 4  4 3 4 2
m n  m n 
3
3

5.
10 15
a b
10 15
a b
10
5
15
5
10
5
15
5
 a b
 a b
 a 2b 3
 a 2b 3
1
6.
3
8 6 12  8  3 6 12 2 2 4
x y    x  3  y  3  x y
27
3
 27 
De igual forma, toda cantidad expresada en potencia con exponente fraccionario se puede escribir
en forma de raíz así: el denominador del exponente será el índice del radical y el numerador
constituirá el exponente del sub-radical.
2
Ejemplo: Dado a 3 b

4
3
2
3
expresar los términos bajo un radical y con un exponente positivo
Solución: a b

4
3

3
a2
3
b4
3
a2
b4
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4
||Debemos recordar que a
1
n
es una potencia con exponente fraccionario, y que se define como la
raíz enésima de a , es decir: a
1
n

n
a . Por lo que, una potencia de exponente fraccionario es
igual a una raíz cuyo radicando es la base elevada al numerador del exponente y cuyo índice es
igual al denominador del exponente fraccionario, es decir: a
2
4
5
m
n
 n am
6
5
Por ejemplos las potencias: 10 3 , 3 4 , 42 5 , 7 6 , 9 7 se pueden expresar en radicales, así:
4
35 ,
5
42 4 ,
6
75 ,
7
3
10 2 ,
96 .
2.7 PROPIEDADES DE LAS RAÍCES
Debido a que las raíces pueden convertirse a potencias de exponente fraccionario, cumplen con
todas las propiedades de potencias a partir de las cuales se pueden deducir las siguientes
propiedades de raíces:
n
1) Multiplicación de raíces de igual índice:
a n b 
n
ab Se multiplican las bases y se
conserva el índice.
n
2) División de raíces de igual índice:
3) Raíz de raíz:
n m
a 
nm
n
a

b
a
Se dividen las bases y se conserva el índice.
b
n
a Para obtener raíz de raíz se multiplican los índices y se conserva la
base.
4) Raíz de una potencia cuyo exponente es igual al índice:
n
a n  a Exponente e índice se
anulan entre sí, por lo tanto desaparece el radical y la base queda aislada. Es decir, la potencia n
de la raíz n de un número es igual al número mismo.
Para elevar un radical a una potencia basta elevar el radicando a dicha potencia, así:
5) Propiedad de amplificación:
n
az 
a
n
z
m

nm
azm
 a
n
m

n
am
Tanto el índice como el exponente de la
potencia pueden amplificarse por un mismo valor.
6) Ingreso de un factor dentro de una raíz: a n b 
n
a n b (con la restricción que a  0 si n es
par). Para introducir un factor dentro de una raíz se coloca el factor dentro del radical como potencia
con exponente igual al índice y multiplicando a los demás factores.
Observación: las propiedades anteriores son válidas solamente en el caso de que las raíces
estén definidas en el Conjunto de los Números Reales.
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5
Otras propiedades que se requieren en las operaciones con radicales son las siguientes:
7) Radical a su más simple expresión: un radical está en su más simple expresión cuando la
cantidad que se halla bajo el signo radical es entera y de menor grado posible.
8) Simplificación de radicales: simplificar un radical es reducirlo a su más simple expresión.
PRÁCTICA Nº1
I. Expresa las siguientes potencias bajo un radical y con exponente positivo:
2
1) 9 3
1
2
5

12
13) 4

1
4
x

6


4
3
5
3
3
2
y z
10) a
2
3
2
3

r



1
4

2
5
1
2
b

5
3
1
s
4
3
a s

4)
1
2
y

15) 32 a
2
5

1
4
5
4
4 x a

5
7)  128  7
11) x
6
5
a 3 xy
18)
2
1
5
2
17) x 4 y 8 z 6

5
14)
3
3) 3 5 x 5 y 5 z 5
6) m 5 n10 p 15
5) 2 3 m 3 n 3
9) 27 m n
2
3
4
2) x
2
7
4
4
8) 49a b c
z
3
4
1
5

b

2
3

16)  2 x

3
2
12) 3m
4
3
n





6

1
2
1
3
5
1
1
2
19) 10m
1
2

2
5
5n

 2 5 2 2
20)  5 3 m 3 n 3 




1
5
II. Expresa los siguientes radicales en potencias con exponentes fraccionarios:
3)
6)
16a 2b 4 c 6
7) 5m 4 25m n
10)
3m5 n3
2)
5) 7 3 b
9)
5
2
x 2n y n
2
n
m  n
2xy 
15 3
1)
4
3
4
2
8
11)
4
4
27 x 7 y 9
4)
1
x
8)
3 4 12 8 4
m ns
2
12)
3
m11n 7 s 5
III. Aplique las propiedades de las raíces y resuelva los siguientes radicales:
4
1)
3
ab xy
2)
4)
3
a 3b 3
5)
b 4 amplifique por 3
7)
10)
5
3
3
mn 2 amplifique por 2
3
3x
50
4
7
3)
27
8
6)
3
8)
16a 4
9)
3 4
11)
3
3
216
125
12)
x 2 m 3 x m  3 3 x 9  3m
4 5 3
10a 2
2xy 2
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6
2.8 INTRODUCCIÓN DE FACTORES EN UNA RAÍZ
Para introducir factores en una raíz se eleva el radicando a una potencia igual al índice de la raíz y
luego se multiplica por el radicando dado. Para verificar lo expresado se introducen los factores
dentro del símbolo radical, así: a n b  n a b
n
Por ejemplos:
a) 2m
4 3
3m
Solución:
b)
2m 4 3 3m 
3
2m  3m
2m 4 3 3m 
3
8m12 3m 
2m 4 3 3m 
3
24 m13
4 3
Se introducen los factores dentro del signo radical con un
exponente igual al índice.
Se resuelve la potencia.
Se resuelve el producto.
3 2 8 3 2
a
abc
2
3
Solución:
3 2 8 3 2
a
abc 
2
3
2
3 2 8 3 2
 a  abc
2  3
Se introducen los factores dentro del signo
radical con un exponente igual al índice.
3 2 8 3 2
a
abc 
2
3
9 48 3 2 
a  a b c
4 3

Se resuelve la potencia.
3 2 8 3 2
a
abc 
2
3
72 7 2
a b c  6a 7 b 2 c
12
Se resuelve el producto y se simplifica.
2x 3x 
c) 2 x 3x 
d) 3a 3 ab 
3
e)
a  b
f)
4m 3 2m2 
g)
x  1
22  x 2  3  x 
2
3a ab 
3
a b 
3
2
12 x 3
33  a 3  a  b  3 27a 4b
3
a  b a  b
2
4m 2m
x2

x 1
4x 3x 
3
2

3
64m 2m  


x  1  x  2  
 x 1 
2
3
2
128m5
x  1 x  2  x  1x  2 
Si el coeficiente aparece con un signo menos
coeficiente sin el signo menos
3
2
x 1
x 2  3x  2
, y el índice de la raíz es par, se introduce el
, conservándose éste delante del radical.
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7
a)  2a ab  
2a ab
2
5
b)  5 x  
2
x  


3
4
a

ab
a  b  
3
 4a 3b
2
25x 
c)  2a 4 8ab   4 2a  8ab
d)  a  b 
4a ab 
 
2
 25 x

16a 8ab
4
  4 128a 5b3
3
 a 
  
a

b


a  b a  
 a 2  ab
2
1
2
1
 1
 1
e) 
2     2    2  
 
2
4
2
 2
 4
PRÁCTICA Nº2
I. Introduce la cantidad dada bajo el signo radical:
1) 3 5
m3
5) 2
n
m2
n3
9) ax  b 
13) 7mn
3 3
ax  b 
7amn
17) a  b  a  b
3
2
4)
mn 2
8) x  y 3 x  y
3) x y
6) 4 3 2
7) m n
10) 2 4 6
11) 3m n 3 mn
14) a
18)
m 1
2
3
2
am  2
2 3 23 2
ab ab
3
15) 2a

2x
12) a  b 
2
2
3a x
19) 5 a  b
2
3 2 33 2
ab a
2
xy 2
2) 7 3 3
2

16)
a

2
3
a  b 
2

ab ab
ab ab
2
20) 5 x y 3 3xy
2
3.9 SIMPLIFICACIÓN DE RADICALES
Simplificar un radical es reducirlo a su más mínima o simple expresión. Un radical está reducido a su
más simple expresión cuando la cantidad sub-radical o radicando es entera y del menor grado
posible. Para simplificar un radical se:
1. Se descompone el coeficiente numérico de la cantidad sub-radical en factores primos con sus
respectivos exponentes.
2. Se iguala la potencia de la cantidad sub-radical a un exponente igual a la raíz o a un múltiplo de
ésta. Si de esta potencia no resulta un cociente exacto, entonces se descompone en factores
equivalentes.
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8
Por ejemplos:
1) Simplificar
1
25 x 3 y 7 z 4
5
Solución:
1
1 2 2
25 x 3 y 7 z 4 
5  x  x  y6  y  z4
5
5
Se descompone el coeficiente numérico en
factores primos divisibles por el índice, y el
coeficiente literal en potencias divisibles
también por el índice de la raíz.
1
1
25 x 3 y 7 z 4  5 xy 3 z 2  xy
5
5
Se extrae la raíz de las cantidades racionales
y se simplifica a la mínima expresión.
1
25 x 3 y 7 z 4  xy 3 z 2 xy
5
Cuando el índice de la raíz y el exponente del radicando poseen algún factor común, se pueden
simplificar reduciendo el orden de la raíz y el exponente del radicando. Por ejemplo:
2) Simplificar
Solución:
4
9x 2
4
9x2 
4
9x 2  34  x 4
4
9x 2  32 x 2
Se simplifica los exponentes fraccionarios.
4
9x 2 
Se expresa en forma de raíz.
4
32  x 2
2
1
Se descompone el radicando en factores primos.
2
Se expresa las potencias con exponentes fraccionarios.
1
3x
Ejemplos resueltos, cuando la cantidad sub-radical contienen factores cuyos exponentes son
divisibles por el índice.
40  2 2  2  5  2 10
3) Simplificar
40 Solución:
4) Simplificar
25 y 3 Solución:
5) Simplificar
6)
3
2a 4 Solución:
25 y 3  52  y 2  y  5 y y
3
2a 4  3 2a 3  a  a 3 2a
13
1
1
1
160 x 7 y 9 z 13  3 23 2 25x 6 xy 9 z 12 z  2 x 2 y 3 z 4 3 2 25xz  x 2 y 3 z 4 3 20 xz
4
4
4
2
7)
a  b a  b  a  b a  b
8)
x 2  2 xy  y 2 
2
x  y 
2
 x y
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9
9)
a 4b 4  b 4 c 4 
4
4
b 4 a 4  c 4   b 4 a 4  c 4 
Ejemplos resueltos, cuando los factores de la cantidad sub-radical y el índice tienen un divisor
común.
1) Simplificar
6
2) Simplificar
15
6
9
6
a b c Solución:
10
5
a b Solución:
6
6
9
6
15
a b c  a b c
3
6
9
3
a b  a b
10
12
6
5
10
3
2
6

1
5 15

1
9 6
3
6
6
6
9
6
1
2
3
2
 a b c  a b c  b ac3
10
15
5
15
2
3
1
1
3
 a b  a b  3 a 2b
1
2
64a b  2 a b  2 a b  2 a b  2b a a  2ab2 a
9
6
3)
3
12
6
6
9
12
1
2
2
Los ejemplos anteriores han sido resueltos en forma más conveniente utilizando los exponentes
fraccionarios, para dividir el índice y los exponentes de los factores por un divisor común y de esta
manera obtener otro radical equivalente al dado.
PRÁCTICA Nº3
I. Simplifica los siguientes radicales:
1) 3 12
4)
33
256 x 8 y 6 z 10
2
7)
1
x  2 xy  y 2
2
125
2)
5)
 x  y  x
10)
4x
2


16
x

y
x2  y2
13)
3
2
0,256 a 3b 3
 y2 
3)
2
4 x 2  8 xy  4 y 2
x  y 
8)
200m3 x n5 x
9)
3
12)
1 3
64a 4 b 5
2ab
15)
4
81
625 x 8 y 4
6)
a  b
11) 5
14)
3
4096 m8 n10 p12
3
0,125 x 7 y 9
147 a 3b 2 x  2
3.10 REDUCCIÓN DE RADICALES SEMEJANTES
Se conoce como reducción de radicales a la suma o la resta algebraica de radicales, siempre
atendiendo a la ley de los signos.
Para reducir dos o más radicales es necesario que sean semejantes. Dos o más radicales son
semejantes si tienen el mismo índice y la misma cantidad sub-radical. Por ejemplos, los siguientes
radicales son radicales semejantes: 4 3 , 6 4 3 y 5 4 3
Material de Álgebra. Elaborado por la Profesora: Xenia Batista ([email protected]) I. P. T. Veraguas, 2014
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Si los radicales son semejantes se reducen, según el signo, los coeficientes de las raíces y se les
coloca la misma raíz.
Sean a, b, c  R, n  Z
 a n b  c n b  a  c  n b .
Por ejemplos:
1. Reducir 5 3 7  3 3 7
Solución:
5 3 7  3 3 7  5  33 7
Se reducen los coeficientes y se conserva la misma raíz.
5 3 7  33 7  8 3 7
2. Reducir  8 x 4 3 x  6 x 4 3 x
8
8
Solución:
 8 x 4 3x 8  6 x 4 3x 8   8 x  6 x  x 2 4 3
Se reducen los coeficientes
conserva la misma raíz.
y
se
 8 x 4 3x 8  6 x 4 3x 8   2 x 3 4 3
Además, existen operaciones de reducción en las que se requieren simplificar las raíces, ya que en
la expresión original los radicales no son semejantes, por ejemplo:
8 5 2
3. Reducir
Solución:
85 2 
22  2  5 2
8 5 2  2 2 5 2
Se simplifica las raíces que lo permitan, para lograr
expresiones con raíces semejantes.
Se procede como el caso anterior
8  5 2  2  5 2
Se suman términos semejantes
8 5 2 7 2
También, existen operaciones con radicales que no se pueden reducir. En ese caso, por ejemplo la
expresión:
3
3
3
6 se deja expresada la operación o se calcula sus aproximaciones decimales
para poder sumar sus resultados.
3.11 REDUCCIÓN DE RADICALES AL MÍNIMO COMÚN ÍNDICE
Para reducir varios radicales a índice común, se encuentra el mínimo común múltiplo (m. c. m.) de
los índices; éste será el índice común, luego se divide el común índice por el índice de cada uno de
los radicales; el resultado de esta división es el exponente al que se eleva el subradical respectivo.
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Por ejemplos:
3
5 y
1. Reducir los radicales
2 a índice común.
Solución: Tenemos que el mínimo común múltiplo (m. c. m.) de las raíces es 6; ya que sus
índices son: 2
y 3 ; luego 6  2  3 y 6  3  2 , por lo tanto los radicales dados se
transforman en:
5  6 53  6 125 ;
2. Reducir los radicales
3
a 2 bc 4 ,
4
3
ab 3 c ,
2  6 2 2  6 4 los cuales tienen el mismo índice.
6
x 2 yz y
12
m3 n 2 p 5 a índice común.
Solución: El m. c. m. de los índices es: 12 ; luego 12  3  4 , 12  4  3 , 12  6  2 y
12  12  1, por lo tanto:
a 2bc 4  12 a 2bc 4   12 a 8b 4 c16
4
3
4
ab3c  12 ab3c   12 a 3b 9 c 3
6
x 2 yz  12 x 2 yz   12 x 4 y 2 z 2
12
m3 n 2 p 5  12 m3 n 2 p 5
3
2
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