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PRIMER AÑO MEDIO
SECTOR DE APRENDIZAJE : MATEMÁTICA
UNIDAD Nº 1
NÚMEROS
PROYECTO RED DE MATEMÁTICA
2006
PERFECCIONAMIENTO DOCENTE
1
INDICE
NÚMEROS
UNIDAD: NÚMEROS ............................................................................................................................................................ 3
1. NUMEROS NATURALES. ................................................................................................................................................ 3
TALLER N° 1 “OPERATORIA EN LOS NUMEROS NATURALES” (N) ....................................................................... 4
2.
MULTIPLOS DE UN NÚMERO: ................................................................................................................................ 5
3.
LOS DIVISORES DE UN NÚMERO: ......................................................................................................................... 6
TALLER N° 2: MÁXIMO COMÚN DIVISOR Y MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO ........................................................... 8
4.
NUMEROS PRIMOS: ................................................................................................................................................... 9
5. NUMEROS ENTEROS: ................................................................................................................................................... 10
TALLER N° 3: OPERATORIA EN EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS ENTEROS. .................................................. 11
6.
CONJUNTO DE LOS NÚMEROS RACIONALES ( Q) ......................................................................................... 14
6.1. DE LOS RESULTADOS OBTENIDOS, OBSERVAMOS TRES TIPOS DE DECIMALES: .................................... 14
A) Decimal finito: .......................................................................................................................................................... 14
B) Decimales infinitos periódicos: ................................................................................................................................. 15
C) Decimales infinitos semiperíodicos: ......................................................................................................................... 15
6.2. CONVERSIONES DECIMALES A FRACCIÓN. ...................................................................................................... 15
A) Decimales finitos a fracción: ................................................................................................................................... 15
B) Decimales periódicos a fracciones: ......................................................................................................................... 15
C) Decimales infinitos semiperiodico: .......................................................................................................................... 16
6.3. SIGNIFICADOS DE UNA FRACCIÓN. .................................................................................................................... 16
1. Como parte de un entero............................................................................................................................................ 16
2. Como operador. ......................................................................................................................................................... 16
3. Como cuociente.......................................................................................................................................................... 16
4. Como relación entre dos cantidades. ......................................................................................................................... 16
TALLER N° 4: OPERATORIA EN EL CONJUNTO DE LOS NUMEROS RACIONALES. ........................................... 17
TALLER N° 5: PROBLEMAS VERBALES: OPERATORIA CON N° RACIONALES(Q). ........................................... 19
PAUTA DE RESPUESTA TALLER N° 5 .......................................................................................................................... 21
TALLER N° 6: ATLETISMO ESCOLAR. ........................................................................................................................ 22
TALLER N° 7: COMPLETANDO CON POTENCIAS ..................................................................................................... 23
TALLER N° 8: CRECIENDO Y DECRECIENDO ............................................................................................................ 24
TALLER N° 9: ESTIMACIONES. ..................................................................................................................................... 24
TALLER N° 10: PATRONES O REGULARIDADES ....................................................................................................... 25
TALLER N° 11: SERIES .................................................................................................................................................... 25
TALLER N° 12: CUADRADOS MÁGICOS ..................................................................................................................... 26
TALLER N° 13: PERÍMETROS Y ÁREAS ....................................................................................................................... 27
TALLER N° 14: OPERATORIA EN Q .............................................................................................................................. 28
CONTROL N° 1 ................................................................................................................................................................. 30
A. $ 600 ................................................................................................................................................................................... 30
CONTROL N° 2 ................................................................................................................................................................. 31
CONTROL N° 3 - ............................................................................................................................................................... 32
7. BIBLIOGRAFIA: ........................................................................................................................................................... 33
2
U
NIDAD: NÚMEROS
La importancia de los números ha estado presente en el arte, la filosofía y, por
supuesto en la matemática desde tiempos muy remotos.
1. NUMEROS NATURALES.
Escribe los naturales que corresponden a los siguientes datos:
1. El N° de tu cédula de identidad:_________________
2. Tu edad:________________
3. La cantidad de páginas de tu cuaderno:______________
4. El número de alumnos del curso:_________________
5. Si tienes Hermanos, el lugar que ocupas entre ellos:__________
6. Tú fecha de nacimiento:_____________
Tengo que observar
7. Peso en kilos:___________
mi entorno.
8. Talla en cm.__________
9. El número de tu casa:___________
10. Anota tres ejemplos más:______________________________________________
Todos los números que has escrito son N° naturales y sirven para identificar, ordenar y
cuantificar.
TAREA 1.
Revisa el diario y recorta 6 aplicaciones de los N° Naturales en situaciones de la vida diaria.
y pégalos en tu cuaderno.
El conjunto de los números naturales es un conjunto con primer elemento, ordenado
e infinito; se denomina por N. Se expresa por extensión como:
N=
1, 2, 3, ….
Si a este conjunto agregamos el cero obtenemos
números cardinales.
N0
conjunto de los
Los números naturales se pueden representar en la recta numérica.
1
2
3
4
5
6............
Ocupamos los números naturales en múltiples situaciones de la vida diaria: cuando
pagamos cuentas como gas, teléfono, luz, en supermercado etc. en todos estos casos nobasta conocerlos, sino que también es importante saber operar con ellos, es decir: sumar,
restar, multiplicar y dividir.
3
TALLER N° 1 “OPERATORIA EN LOS NUMEROS NATURALES” (N)
¡Animo!
Tu puedes...
1. ¿Cuánto costó lo que al venderse en
$12.517 deja una pérdida de $1.318?.
2. ¿A cómo hay que vender lo que ha
costado $9.309 para ganar $ 1.315?.
3. Después de vender una casa perdiendo
$ 3.184 preste $2.006 y me quedé con
$15.184. ¿Cuánto me había costado la
casa?.
4.
El menor de 4 hermanos
tiene 21
años y cada uno le lleva 2 años al que
le sigue. ¿ Cuál es la suma de las
edades?.
5. Hallar la edad de un padre que tiene 15
años más que la suma de las edades
de 4 hijos que tienen, el 4°, 3 años, el
3°, 1 año más que el 4°, el 2° , 3 años
mas que el 3°, y el 1° tanto como los
otros juntos.
6. Para trasladarme de una ciudad a otra
una persona ha recorrido, 38 millas en
auto; a caballo 34 millas más que en
auto; en ferrocarril 316 millas más que
en auto y a caballo, y en avión 312
millas. Si todavía le faltan 516 millas
para llegar a su destino. ¿ Cuál es la
distancia entre las 2 ciudades?.
7. Un hombre que nació en 1911 se casó
a los 25 años; 3 años después nació su
primer hijo y murió cuando su hijo tenía
27 años. ¿En qué año murió?.
8. Si el minuendo es 342 y el resto 156.
¿Cuál es el sustraendo?.
9. Si el sustraendo es 36.815 y el resto
9.815. ¿Cuál es el minuendo?.
10. Tenía $918. Compré un lápiz y me
quedaron $868. ¿Cuánto me costó el
lápiz?.
11. Después de gastar $319 me quedaron
$615. ¿ Cuánto tenía al principio?.
12. Si tuviera 35 caballos más de los que
tengo tendría 216. ¿ Cuántos caballos
tiene mi hermano si el número de los
míos excede al número de los suyos en
89?.
13. El doble del menor de dos números es
618 y la suma de ambos 14.673. Hallar
el número mayor.
14. El triple de la suma de dos números es
63 y el doble del menor 20. Hallar el
mayor.
15. El menor de dos números es 12. 304 y
la diferencia entre ambos 1.897. Hallar
el mayor.
16. La suma de dos números es 150 y la
mitad del mayor es 46. Hallar el menor.
17. La diferencia de dos números es 1.400
y el doble del menor es 1.200. Hallar el
mayor.
18. El menor de dos números es 36 y el
doble del exceso del mayor sobre el
menor es 84. Hallar el mayor.
19. ¿ En cuánto excede la suma de 756 y
8.134 a la diferencia entre 5.234 y
1.514.?
20. Al vender una casa en $12.138 gano
$1.815. ¡ Cuánto me había costado la
casa?.
21. Si Pedro tuviera 12 años menos tendría
48 años, y si Juan tuviera 13 años más
tendría 23 años. ¿ Cuánto más joven
es Juan que Pedro?.
22. A nació en 1941, B nació en 1963 y C
en 1923. ¿ En cuánto excedía en 1966
la edad de C a la diferencia de las
edades de A y B?.
23. A $ 600 cada lápiz. ¿ Cuánto pagaré
por 7 docenas?.
4
$1.080, ganando así $3 por saco. ¿
Cuántos sacos compré?.
28. Tenía $25.760. Compré víveres por
valor de $ 8.540 y con el resto huevos a
$60 cada uno. ¿ Cuántos huevos
compré?.
24. Compré 115 caballos a $ 70.000; 15 se
murieron y el resto lo vendí a $80.000
cada caballo. ¿ Gané
o perdí y
cuánto?.
25. Se compraron 84 metros cuadrados de
terreno a $ 3.000 el metro, y se venden
a $ 60.000 la docena de metros. ¿
Cuánto se gana?.
29. Si 19 sombreros cuestan $57.000. ¿
Cuántos sombreros podría comprar con
$108.000?.
26. Si 14 libros cuestan $84.000. ¿Cuánto
me cuestan 9 libros?.
27. Compro cierto número de sacos de
azúcar por $675 y luego los vendo por
30. ¿ Cuántos sacos tendrá una partida de
víveres que compré por $144.000 si al
revender 12 de esos sacos por $72.000
gano $ 2.000 en cada uno?.
PAUTA DE RESPUESTAS TALLER N° 1:
1) $ 13.835
7) 1966
13) 14.364
19) En 5.170
2) $ 10.624
8) 186
14) 11
20) $ 10.323
25) $ 168.000 26) $ 54.000
3) $ 20.374
9) 46.630
15) 14.201
21) 50 años
4) 96 años
10) $ 50
16) 58
22) 21 años
5) 43 años
11) $ 934
17) 2.000
23) $50.400
27) 135
28) 287
29) 36
6) 1.364 millas
12) 92
18)78
24)
Perdí
$50.000
30) 36.
2. MULTIPLOS DE UN NÚMERO:
En una familia se consumen 3 kilos de
plátanos a la semana. ¿Cuántos kilos
se consumen en un mes, en un año?
MULTIPLO: Es el resultado de multiplicar un N° natural dado por otro N° natural.
Ejemplo :
1. Escriba los primeros 20 múltiplos de los siguientes N°:
5:
2:
2.
4, 8, 12, 16 .....son múltiplos de:_____
6, 12, 18, 24,.....son múltiplos de:____
¿Cómo determinar el múltiplo más pequeño de entre varios múltiplos?
Problema:
En una ciudad hay tres líneas de micros A, B, C que tienen paradero común en la
moneda. Un micro A pasa por la moneda cada 12 minutos, una micro B pasa cada 6 minutos
5
y una micro C pasa cada 24 minutos. ¡ Si a las 6 de la mañana, tres micros una de cada
recorrido parten desde la moneda. ¿A qué hora volverán a coincidir en el mismo lugar?
Solución:
Cada micro pasa por el paradero de la moneda en los siguientes minutos:
Micro A: 12, 24, 36, 48,.....
Micro B : 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48,....
Micro C: 24, 48, 72,.....
En el minuto 24 coinciden los 3 micros, pero también coinciden en el minuto 48.
Lo importante es encontrar el menor de los múltiplos:
En este caso es 24.
Por lo tanto, si los micros coincidieron a las 6 de la mañana, volverán a coincidir a las 6 de la
mañana con 24 minutos.
El Mínimo Común Múltiplo de dos o más números es el menor de los
múltiplos comunes, y se escribe en forma abreviada M.C.M.
3. LOS DIVISORES DE UN NÚMERO:
¿ Cómo saber cuándo un
N° es divisible por otro?
Roberto tiene un rollo de alambre que mide 18 metros de largo y lo quiere dividir en trozos
iguales sin que sobre ninguno.(Considera sólo N° Naturales).
Para ello dispone de una huincha sin graduar de 1 metro. ¿De qué longitud podrán ser
los trozos de alambre?
Solución:
18 : 1 = 18
18 : 2 = 9
18 : 3 = 6
18 : 6 = 3
18 : 9 = 2
18 : 18 = 1
Entonces los trozos pueden ser de 1, 2, 3, 6, 9 , 18 metros respectivamente.
Divisor de un N°: Es aquel N° que divide exactamente al N° dado tal que la división da resto
cero
6
Criterios de divisibilidad: Un número es divisible…….
Por
Condición
2
Ejemplo
3
123.011.196
Si la suma de sus cifras es un múltiplo de 3.
4
5
6
8
9
10
11
25
Escribe un número que sea divisible por 2, 3, 4, 5, 6, 9, 25, 50, a la vez._________________
¿Cómo determinar cuál es el
máximo común divisor entre 2 o
más números?.
Luis tiene dos tablones de madera y decide construir un estante para colocar sus libros.
Uno de los tablones mide 480 cm. y el otro mide 240 cm. Quiere cortarlos en pedazos que
midan lo mismo y sean lo más largo posibles sin que sobre algo. ¿Cuánto medirá cada
parte?. ¿Cuántos pedazos obtiene de cada tablón?
El Máximo Común Divisor de dos o más N° es el mayor de los divisores comunes y se
escribe en forma abreviada m.c.d.
7
TALLER N° 2: MÁXIMO COMÚN DIVISOR Y MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO
I). Encuentre el M. C. D. de los siguientes
números:
a) 20 y 80
b) 54, 76, 114 y 234
c) 464, 812 y 870
d) 910, 490 y 560
II) Encuentre el m.c.m. de los siguientes
números:
a) 4 y 6
b) 5,10 y 15
c) 7, 14, 21, 35 y 70
d) 3, 5, 15, 21, 42
III) Encuentre lo pedido.
a) El M.C.D. de dos números es 2 y el m.c.m.
16. Hallar el producto de los dos números.
b) El m.c.m. de dos números es 450 y el
M.C.D. 3. Si uno de los números es 18. ¿
Cuál es el otro número?
c) El m.c.m. de dos números primos entre si
es 240. Si uno de los números es 15. ¿
Cuál es el otro?
IV) Resuelva los siguientes problemas:
1) Un padre da a un hijo $ 80.000, a otro $
75.000 y a otro $ 60.000 para repartir entre
los pobres, de modo que todos den a cada
pobre la misma cantidad. ¿ Cuál es la
mayor cantidad que podrán dar a cada
pobre y cuántos los pobres socorridos?.
2) Dos cintas de 36 m. y 48 m. de largo cada
una, se quieren dividir en pedazos iguales
y de la mayor longitud posible. ¿ Cuál será
la longitud de cada pedazo?.
3) ¿Cuál será la mayor longitud de una
medida con la que se puedan medir
exactamente tres dimensiones de 140 m,
560 m y 800 m?
4) Se tienen 3 cajas que contienen 1.600 Kg.,
2.000 Kg. y 3.392 Kg. de jabón
respectivamente. El jabón de cada caja
está dividido en bloques del mismo peso y
el mayor posible. ¿ Cuánto pesa cada
bloque y cuántos bloques hay en cada
caja?
5) Un hombre tiene tres rollos de billetes de
banco. En uno tiene U$ 4.500, en otro U$
5.240 y en el tercero U$ 6.500. Si todos los
billetes son iguales y de la mayor
denominación posible. ¿Cuánto vale cada
billete y cuántos billetes hay en cada rollo?
6) Una persona camina un número exacto de
pasos andando 650 cm, 800 cm. y 1000
cm.¿ Cuál es la mayor longitud posible de
cada paso?
7) ¿Cuál es la mayor longitud de una regla
con la que se puede medir exactamente el
largo y el ancho de una sala que tiene 850
cm. de largo y 595 cm. de ancho ?
8) Hallar la menor distancia que se puede
medir exactamente con una regla de 2, de
5 ó de 8 cm. de largo.
9) ¿Cuál es la menor capacidad de un
estanque que se puede llenar en un
número exacto de minutos por cualquiera
de tres llaves que vierten: la 1ª, 12 litros
por minuto? la 2ª, 18 litros por minuto y la
3ª, 20 litros por minuto ?
10) ¿Cuál será la menor longitud de una varilla
que se puede dividir en pedazos de 8 cm, 9
cm ó 15 cm. de longitud sin que sobre ni
falte nada y cuántos pedazos de cada
longitud se podrían sacar de esa varilla ?
11) Hallar el menor número de chocolates
necesarios para repartir entre tres cursos
de 20 alumnos, 25 alumnos ó 30 alumnos,
de modo que cada alumno reciba un
número exacto de chocolates y cuántos
chocolates recibirá cada alumno del 1er,
2do y 3er curso.
12) Tres galgos arrancan juntos en una
carrera en que la pista es circular. Si el
primero tarda 10 segundos en dar una
vuelta, el segundo 11 segundos y el tercero
12 segundos. ¿Al cabo de cuántos
segundos pasarán juntos por la línea de
salida y cuántas vueltas habrá dado cada
uno en ese tiempo?
13) Tres aviones salen de una misma ciudad,
el 1ero cada 8 días, el 2do cada 10 días y
el 3ero cada 20 días. Si salen juntos de
ese aeropuerto el día 2 de enero. Indique
cuáles serán las dos fechas más próximas
en que volverán a salir juntos. (El año no
es bisiesto)
8
PAUTA DE RESPUESTA TALLER N° 2:
I). a) 20
b) 2 c) 58 d) 70
II) a)12
b) 30
c) 210
d) R. 210
III) a) 32
b) 75 c) 16
IV) 1). $ 5.000 y 43 pobres
2) 12 m.
3) 20 m.
4) 16 kg., 1ª 100 b, 2ª 125 b, 3ª 212 b.
5) U$ 20, 1º 225 b, 2º 262 b, 3º 325
b.
6) 50 cm.
7) 85 cm.
8) 40 cm.
9)180 litros.
10) 360 cm, 45 de 8 cm, 40 de 9 cm y 24 de 15 cm.
11) 300 chocolates 12) 660 segundos u 11 minutos. 1ero 66 vueltas, 2do 60 vueltas,
3ero 55 vueltas.
13) 11 de febrero y 23 de marzo.
4. NUMEROS PRIMOS:
Forma para descubrir los N° primos entre 1 y 100:
Criba de Eratóstenes.
Procedimiento:
Encierra en un círculo todos los números primos que tú conoces y tarja sus respectivos
múltiplos(números compuestos):
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
Escribe los números que quedaron sin tarjar, corresponden a los números primos.
Numero Primo: Es aquel número entero positivo distinto de 1 que sólo es divisible por 1 y
por si mismo.
NOTA: ¿Porqué distinto de 1? Porqué no se puede descomponer en factores distintos?.
"Cuál es el único primo par"; ¿Qué hago con el resto de los pares?.
Los números que NO son primos se llaman Números Compuestos.
Ejercicios:
1. Determina si son primos o compuestos los siguientes N°s:
a) 345
b)181
c)34511
2. Un N° Primo ¿Puede terminar en cero?, ¿y en 3? Justifica tu respuesta.
9
5. NUMEROS ENTEROS:
Para representar ciertas situaciones de la vida diaria no son suficiente los N°
naturales, por lo que se hace necesario ampliar el campo numérico.
Por ejemplo.
1. Si tienes $5.000 y debes pagar $7.000 lo que te queda por pagar es $2.000. En
matemática se representa por –2000
2.
En la Antártida las temperaturas son bajo cero, estas se representas con signos
negativos: por ej.: -5 grados, -20 grados.
El conjunto de los números enteros se denota por Z, es un conjunto ordenado e
infinito, sin primer elemento, y por extensión se expresa como:
Z = ......  4,3,2,1,0,1,2,3,4,5.....

Los N° enteros sirven para:
1. Expresar situaciones o estados: deber – tener, temperatura, línea de tiempo, altitud de
un lugar, etc.
2. Expresar variaciones o desplazamientos: Subir – bajar, perder- ganar, avanzar –
retroceder, etc.
“Trabaja para que cuando
te llegue la inspiración te
encuentre”
10
TALLER N° 3: OPERATORIA EN EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS ENTEROS.
¡Dispone tu actitud positivamente y usa con energía el asombroso potencial de tu
inteligencia! Expresa tus ideas con entusiasmo, escuchando y respetando a los demás.
Orienta tu voluntad para hacer las cosas bien ¡Continua creciendo, construyendo y
aprendiendo!
TRABAJO EN GRUPOS DE CUATRO
☺☺☺☺
Revisamos nuestros aprendizajes.
Mapa conceptual
I.- Completa el mapa con los conceptos claves:
Ordenar
Negativos
Dividir
Cero
Restar
Multiplicar
Los Números
Identificar
Positivos
Cuantificar
Comparar
>, <, =
Operar
Sumar
11
II.- Ubica en la recta numérica.
-10
III.- Escribe < ; > ; = según corresponda
0
-3 ___ 4
2,3 ___ -5
1,7 ___ 1,70
-25 ___ -6
-17 ___ 17
2,4 ___ 12
1/3 ___ 2/6
37 ___ 10
-1,2 ___ -10/4
10
-4 ; 4 ; 3/4 ; -1/2 ; -0,25 ; -3 ; 2 ; 5,5 ; 1 ; -1 ; 5,5
IV.- Resuelve:
(-2) + 3 = _______
______
(-8) - (-10) =
e) Nació en Atenas, el año 340 a.c.
______________
4 + (-7) = _______
______
(-9) - 8
f) Tiene una deuda de $2.500
__________________
(-8)+(-3)= _______
______
-(-7) - (-4) =
=
V.- Completa, escribiendo el número que falta
en cada operación:
200 - ____ = 38
15 + 9 = _______
______
15 - 9
5 · ____ = -35
=
____ + 57 = -18
-64 : ____ = 16
17 + (15 - 3 + 4) = _____________________
-193 + ____ = 200
____ · -3/4 = 2/7
102 - (24 - 15) = ______________________
____ - 104 = 93
27 : -1/3 = ____
17 - [ (-12) - 8 + (7 - 4)] = _______________
-78 - ____ = -34
-0,16 : 0,4 = ____
17 + [ (-12) - 8 - (7 - 4)] = _______________
3,8 - (-1,5) = ____
1,02 · -0,2 = ____
VI.- Resuelve y completa:
-1,02 + ____ = 2
____ : 0,5 = -0,75
a+b -a-b a-b
b-a
a+b
VII.- Resuelve y completa:
a
b
7
8
·
-3
4
-20
-10
14
48
8
-4
0
-3
12
-10
-12
15
-100
-15
1
-1
5
VIII.- Expresa con números las siguientes
afirmaciones:
a) Quince metros bajo el nivel del mar _____
b) Veinte grados sobre cero _____________
IX.- En el cuadrado mágico, los números de
cada columna, fila y diagonal deben sumar la
misma cantidad. Encuentra los sumandos
que faltan:
c) Bajó de peso cinco Kg ________________
-10
d) Obtiene una ganancia de $7.600
______________
-2
-2
4
6
-5
-4
-8
12
X.- Resuelve:
-4 - (3 + 1) : -1 = ____
(13 · 4) : (7 - 5) = ____
0 : (3 + 1) · 20 = ____
-
{ - [ (20 – 25 ) ] } = ____
- [-5 -4 ·(-8) + 12] = ____
XI.- Inversiones 2002.
Por cada $100 invertidos el 2 de Enero, ¿cuánto habría ganado (o perdido) hasta el 30 de Diciembre?
Rentabilidad año 2002.
A. Dólar
7
B. Acciones
-10
C. Depósito plazo fijo
3
D. Ahorro a la vista
E. Fondos Mutuos
4
-13
F. Fondos Mutuos Int.
4
G. Cuenta Fija AFP
H. Cuenta variable AFP
5
8
1.- ¿Qué significado tiene?
a) Invertir $100 en B __________
b) Invertir $100 en C __________
c) Invertir $100 en G __________
2.- Mirando el gráfico, expresa en números.
¿Qué ocurre si?
a)Juanito invierte $ 100 en A y $100 en B
_________________________________
b) María invierte $300 en F.
_________________________________
c) Invierto $100 en D y $100 en F.
_________________________________
d) Compro $400 en H y vendo $200 en E.
_________________________________
e) ¿Qué significa para ti?
5 (-10) + 2 · 4 + 3 (-4) = (-54)
13
5. Conjunto de los números racionales ( Q)
Ampliación del conjunto Z
Al analizar
situación:
la operación inversa de la multiplicación
A
DIVIDENDO
:
B
=
DIVISOR
nos encontramos con la siguiente
C
CUOCIENTE
Para que el resultado este en el conjunto Z, el dividendo debe ser múltiplo del divisor.
Por ejemplo:
32 : 4 = 8 ya que 4 * 8 = 32,
obedece que 32 es múltiplo de 4.
Pero ¿ Qué sucede si esto no ocurre? Por ejemplo 27 : 5 =? .
Obviamente, el resultado No es un número entero. Aquí se crea la necesidad de
ampliar el conjunto Z al conjunto de los números racionales.
Q= {
a
b
/ a , b  Z , b  0}
¿Por qué b  0? La división por cero es indeterminada.(No se puede dividir por cero?.
Q es el conjunto formado por todos los números que pueden escribirse en la forma
b  0.
Donde
a
b
a
con
b
numerador
denominador
Debes recordar que todo numero racional se puede expresar de 2 maneras: como
fracción y como decimal:
1
 1 : 2  0,5 .
Ejemplo:
2
Ejemplo: Calcular el decimal que corresponde a:
a) 4/5=
b) 2/3=
c) 1/6=
d) 3/7=
6.1. DE LOS RESULTADOS OBTENIDOS, OBSERVAMOS TRES TIPOS DE DECIMALES:
A) Decimal finito:
Estos tienen un número finito de cifras detrás de la coma.
4
Por ejemplo:
= 0,8.
5
Calcular el decimal que corresponde :
14
a) 1/5
b)3/4
c) 1/8
d) 3/5
B) Decimales infinitos periódicos:
Estos decimales tienen una o más cifras que se repiten sucesivamente en el mismo
orden. Estas cifras que se repiten se llaman PERIODO y se indican con una raya sobre la o
las cifras que lo forman.
Ejemplo: 0,6666666... = 0, 6
Calcular el decimal y señala el período de :
a) 7/9
b) 3/11
c) 4/7
C) Decimales infinitos semiperíodicos:
Estos decimales tienen una o más cifras antes del período, llamadas anteperiodo.
Ejemplo: 0,166666666 = 0,1 6
anteperiodo 1,
periodo 6
Calcular el decimal y señala el anteperiodo y el periodo de:
a) 5/18
b)7/12
c)5/36
d) 3/22
6.2. CONVERSIONES DECIMALES A FRACCIÓN.
A) Decimales finitos a fracción:
Para ello la parte decimal se coloca como numerador y el denominador una potencia
de 10, con tantos ceros como cifras decimales tenga el número. Si la fracción resultante se
puede simplificar debe hacerlo:
Ejemplo:
0, 6 =
6 3

10 5
Ejercicios:
Transforma a fracción los siguientes decimales:
a) 0,25 =
b)0,008 =
c)0,125=
d)0,75=
e)0,5=
e)0,6=
B) Decimales periódicos a fracciones:
Para transformar un decimal periódico a fracción, se coloca como numerador el
período y en el denominador un número constituido por tantas cifras nueve como sea el
número de cifras del período.
6
2
Ejemplo 0,6 =
=
9
3
Ejercicios:
Transforma a fracción los siguientes decimales:
a) 0, 36 =
b) 0,12
c) 0, 09 =
15
C) Decimales infinitos semiperiodico:
Para transformar un decimal semiperiodico a fracción utilizamos la siguiente formula:
27  2 25 5
AP  A


0AP =
Ejemplo: 0, 2 7 =
90
90 18
9P0 A
9P
= Tantos nueve como cifras tenga el periodo.
0A
= Tantos ceros como cifras tenga el anteperiodo.
Ejemplo: Transforma a fracción los siguientes decimales
a) 0,4 6
b) 0, 3 2 7
c) 0 , 0 0 81 =
6.3. SIGNIFICADOS DE UNA FRACCIÓN.
1. Como parte de un entero.
Por ejemplo:
Un niño ha leído 50 páginas de un libro. Si el libro tiene 250 páginas ¿Qué fracción del libro
ha leído?.
50
250
El niño ha leído
del libro.
2. Como operador.
Por ejemplo:
Si en curso los 3/5 de los estudiantes son niñas. ¿Cuántas niñas hay, si el total de
estudiantes es 45?
3
5
de 45 se calcula multiplicando :
3
por 45 = 27.
5
Luego hay 27 niñas en el curso.
3. Como cuociente.
En esta interpretación la fracción
equivalencia entre
4
se ve como una división, estableciéndose la
5
4
y 0,8 en una acción de reparto.
5
4. Como relación entre dos cantidades.
Para expresar la proporción entre dos cantidades. Por ejemplo si en un zoológico por cada
2
dos mamíferos hay cinco aves, la relación que existe entre ellos es. .
5
16
TALLER N° 4: OPERATORIA EN EL CONJUNTO DE LOS NUMEROS RACIONALES.
Resolver registrando el proceso:
3
15.
En una botella hay
litro de aceite
3 2 5
4
  
1.
y en otra 0,3 litro de aceite. ¿Cuánto
5 3 6
aceite hay en total?.
16.
El producto 0,5 * 01 es igual a:
1
1
4 3 
2.
2
6
17.
El cuociente 0,8 : 0,02 es igual a:
6 4 2
* * 
3.
18.
La
lechera
despacha
al
8 5 3
supermercado 18 cajones de
mantequilla de 25 Kg. cada uno. La
12 6
mantequilla esta envasada en
: 
4.
18 9
1
paquetes de
de Kg. ¿Cuántos
4
5
paquetes se despacharon?.
30 : 
5.
6
19.
Pablo gasta en un paseo de curso
18
1
*12 
6.
de su dinero. Si le quedan $84.
8
4
¿Cuánto llevaba al salir?.
3
 
 0,06
4
7.
0,12 +
8.
__
0,27 - 1 =
9.
4
de 1800 es:
5
10.
2
3
de de 120 es:
3
5
11.
15% de 8.000 es:
12.
(0,5 + 2 ) *
13.
1
18 : ( 1 - ) =
2
14.
3
4
20.
Tengo tres fracciones cuya suma es
5
3
8
38 . La primera es
y la
8
4
1
segunda es 13 .
¿ Cuál es la
2
tercera?.
21.
La señora María usa diariamente
1
para el consumo familiar 1 litro de
2
leche, calcula:
A) El consumo semanal.
B) El consumo en el mes de Mayo.
C) El consumo anual.
22.
En la lechera se llenaron hoy 6850
bolsas litreras de leche, 2850 bolsas
1
de
litro y 3640 envases de 0,25
2
litros. ¡ Cuántos litros de leche se
envasaron?.
23.
20% de 35.000 es:
24.
El 18% de 4500 es:
4

5
de té valen $132. Entonces el
costo de
1
Kg. de té es:
8
17
29.
25.
2
1
5
(7  5  12 ) * 27 
9
6
18
26.
1
1 1
(4  )(5  ) * 
4
5 18
27.
1 1
1
1 28

( 2  1 ) : (3  2 ) :
3 6
4
8 129
28.
Cuál es la fracción irreducible que
corresponde a los siguientes
porcentajes:
12% =
18%=
25%=
30%=
45%=
10%=
75%=
20%=
Encontrar la expresión decimal de
los siguientes racionales, que tipo
de decimal es :
7
4
12
a) 
b) 
c)
9
5
60
8
d)
90
30.
1
1 3
(0,8 : )(0,5   ) 
5
2 4
31.
0,5 :
32.
1
7
3,125 - 2 : 0,5  0,2 *1 
2
8
33.
(-2
PAUTA DE RESPUESTA TALLER N° 4:
2
2
281
23
1)
2)
3)
4) 1 5) 36 6)27 7)
3
5
300
30
11)1200
12) 2
18) 1800 paquetes
22) 9185 litros.
3
9
28)
;
;
25
50
29) a) 0,7
13) 36
19) 112
23) $7.000
1
3
;
;
4
10
14) 22
1
 * 3 
 0,3
10
1
)* (0,8)*(-8)=
2
8
11
1
15) 1
2 20
8) -
9) 1440
10) 48
16) 0,05
17) 40
3
8
24) 810
9
3
;
;
20
4
20) 16
b) 0,8 c) 0,2 d) 0,08
1
1
21) a) 10 1 , b) 46 , c) 547
litros.
2
2
25) 3 26) 1 27) 1
1
1
;
10
5
1
30) 1 31) 4 32) - 1
33) 16
2
“Ahora
a seguir
trabajando con
los racionales”
18
TALLER N° 5: PROBLEMAS VERBALES: OPERATORIA CON N° RACIONALES(Q).
1. Si un curso está compuesto por 23
hombres y 15 mujeres, entonces ¿cuál
13. Isabel recorre 2/7 de una pista de
es la fracción que representa el número
atletismo en un minuto, Magdalena 5/9
de hombres del curso?
y Soledad 7/11 en el mismo tiempo.
¿Cuál es el orden de llegada a la meta
después de una vuelta?
2. Un matrimonio decide pasar su luna de
miel en Concepción, durante 4 días.
¿Cuál es la fracción de semana que
14. ¿ Qué fracción del día falta cuando
duró su luna de miel?
son las 3 de la tarde?.
3. ¿Qué fracción del día ha transcurrido
cuando son las siete de la tarde?
15.
¿Cuántos tercios hay en 3
unidades?.
4. ¿Qué fracción representa el trabajo
diario de un obrero que labora 8 horas
diarias?
16.
5. ¿Cuántos octavos hay en 5 unidades?.
¿Cuántos quintos en 3 unidades?
17.
6. ¿Qué fracción de un siglo son 40 años?
7. En un curso de 45 alumnos, 25
practican básquetbol. ¿Qué fracción
representa a los que no practican ese
deporte?
8. Antonio de demora 13/20 de hora en
hacer una tarea y Rodrigo 4/15 de hora
en hacer la misma actividad. ¿Quién se
demora menos?
9. Si me como 3/8 de un pastel. ¿Qué
parte del pastel quedó?
10. Un camionero destina 3/8 del día
para trabajar, 1/6 para descanso y
alimentación, y 7 horas para dormir.
¿Cuántas horas de tiempo libre para
practicar un deporte le quedan?
11. José tiene 12 3/5 años y Manuel 15
1/6 años. ¿Cuál es la diferencia de sus
edades?
12. Si en un curso 5/13 representa la
fracción de varones, ¿cuál es la
fracción de mujeres del curso?
Anota una fracción equivalente a 2
1
51
. Simplifica la fracción
.
3
57
Representa en la recta numérica el
9
racional
.
5
18.
Ordena en forma decreciente las
3 3
7
,
y
fracciones
.
4 7
9
19.
La diferencia de dos números es
11
5
. Si el número mayor es ¿ Cuál es
12
3
el número menor?.
20.
Calcula la mitad de los
4
2
de los
5
3
de 60.
21.
¿ Cuántos tornillos de 0,045 m. De
largo se pueden hacer con una barra
de fierro de 1,08 m.?.
22.
Señala dos números que están
entre 0,2 y 0,3.
3
de la edad
5
de Roberto. Si Roberto tienen 30 años,
¿ Qué edad tiene Ximena?.
23.
La edad de Ximena es
19
24. Gaste la tercera parte de mi dinero
en un supermercado, luego gasté la
mitad de lo que me quedaba. Si al
llegar al supermercado tenía $ 12.000.
¿ Cuánto me quedó?.
25.
En un curso hay 5 niñas por cada 3
niños. Si hay 20 niñas en la clase, ¿
Cuántos niños hay ei no hay ausentes
ese día?.
26. ¿ Cuál es el producto de los 5
primeros números primos?
5
del de
12
un cuaderno. Si el lápiz vale $ 75.
¿Cuánto vale un cuaderno?.
27.
El precio de un lápiz es
28.
Una fábrica produce 537 objetos en
2
tres días. El primer día produce
del
7
3
total y el último
. ¿Cuántos objetos
13
se realizaron el segundo día?.
7
la edad de
18
su madre. Si esta última tiene 72 años.
¿Cuál es la edad de María?.
29.
La edad de María es
30.
La superficie de un sitio es 350 m 2 .
8
Si
se ocupa para edificar una casa
25
y el resto para jardín. ¿ Cuántos m 2
son para jardín?.
31. Pablo recibe por un trabajo $10.286,
que piensa distribuir de la siguiente
1
1
forma:
en juguetes,
en
4
3
implemento para su bicicleta y el resto
en una cuenta de ahorros. ¿Cómo
distribuye su dinero Pablo?.
32.
Un estanque contiene agua hasta
3
las
partes de su capacidad. Si se le
5
echan 36 m 3 más de agua, se llena.
¿Cuál es la capacidad del estanque?.
33. Una persona debe llegar de una
ciudad a otra distante 456 Km. Si un
5
día viajan los
de dicha distancia y al
6
otro día la mitad del resto. ¿Cuánto le
falta por recorrer?.
34.
Del total de alumnos que egresaron
1
de un liceo;
decidió no postular a la
5
educación superior. Si 92 alumnos
prosiguieron sus estudios. ¿Cuántos
alumnos egresaron?.
35.
Una persona recibe $ 3.840, lo que
3
representa los
de una herencia. Si
25
1
otra persona debe recibir
de la
4
misma herencia. ¿Cuánto recibe?.
36.
Si en lugar de comprar un cuaderno
3
con los
de lo que tengo, compro otro
5
2
con los
, ahorro $330. ¿Cuánto
7
dinero tengo?.
1
37. Ana gastó
de sus ahorros en
5
comprar un pastel que costó $1.250.
¿Cuánto dinero tenía ahorrado Ana?.
7
20
de una empresa, su hijo Antonio es
3
dueño de los
y su hija Eugenia
25
9
posee los
de la misma empresa. ¿A
50
qué fracción corresponden el resto de
las acciones?.
38.
El Sr. Ramírez es dueño de los
20
3
5
de su capacidad y tiene 2.520 litros de
agua. ¿Cuál es la capacidad total?
39.
Un estanque está lleno hasta los
40.
Pérez es dueño de los
2
de una
7
7
de la superficie de un terreno
9
están construidos y los 84 m 2
restantes, constituyen el patio. ¿Cuál
es la superficie del terreno?.
43.
Los
44.
1
y Hernández del
9
resto. Si la parcela se vende por $
12.600.000. ¿Cuánto recibe cada uno?.
De una parcela de 500 hectáreas
3
1
se cultivan
, se arrienda
y lo
20
10
restante se vende a $ 5.000 la
hectárea.
¿Cuánto se recibe en la venta?.
5
de un
7
2
libro y esta semana ya he leído los
5
de lo que faltaba. Si aún me faltan por
leer 60 páginas. ¿Cuántas páginas
tiene el libro?.
45.
Con los $ 6.500 que tenía compró
libros por $1.500 y gasté en un
7
cuaderno los
del resto. ¿Cuánto me
10
queda?.
parcela. García de
41.
La semana pasada leí los
2
de las gallinas de un campesino
5
1
son blancas,
son negras y las 20
3
restantes pintadas. ¿Cuántas gallinas
tenía en total?.
42.
3
2
más los
de una pieza de
7
9
tela son 164 metros. Hallar la longitud
de la pieza.
46.
Los
PAUTA DE RESPUESTA TALLER N° 5
1) 23/38
2) 4/7
3) 19/24
4)1/3
5)40 , 15
6)2/5
7) 4/9
8)Rodrigo
17
9)5/8
10)2horas
11) 2
12) 8/13
13) Soledad, Magdalena, Isabel 14) 3/8
30
3
3
15) 9
18) 7/9, , 3/7 19)
20) 16
21) 24
23) 18
24)4.000
4
4
25) 12 niños
26) 2.310
27)180
28) 260 aprox.
29)28
30) 238 m 2
31) 2571,5 32) 90 m3 33) 38 34)115
35) 8.000
36) 462
37) 6250
38) 7/20
39) 4.200
40) 3.600.000 ;
1.400.000; 7.600.000
41) 350
42) 50
43) 378 m 2 44) 1.875.000
45) 1.500
46) 252m.
21
TALLER N° 6: ATLETISMO ESCOLAR.
Arturo, Boris, Carlos y Daniel son cuatro atletas que se preparan con dedicación para
competir en los diversos torneos escolares de la Región.
En general entrenan los lunes, martes, jueves y viernes, dejando los días restantes para
competir en las carreras de 100 m. y 200 m. planos; que son en las cuales más se destacan.
En el siguiente cuadro se muestra el tiempo empleado en los entrenamientos de una semana
y las marcas logradas en las competencias llevadas a cabo los días miércoles (100 m),
sábado (100 m.) y Domingo (200 m.)
Lunes
Martes
Miércoles Jueves Viernes Sábado
Arturo
12,24 seg.
12,01 seg.
1
2
3
5
hora
h
h
h
4
5
4
6
Boris
13,18 seg. 5
13,2 seg.
1
1
1
h
h
h
h
2
3
6
4
Carlos
13,01 seg.
12,96 seg.
3
1
3
7
h
h
h.
h.
4
5
4
12
Daniel
12,84 seg. 2
12,53 seg.
2
3
1
h
h
h
h.
3
4
5
6
Basándote en los datos de la tabla resuelve las siguientes interrogantes:
Domingo
24,12 seg.
26,47 seg.
25,83 seg.
25,03 seg.
i)
¿Cuántos minutos entrenó cada atleta el día jueves?
ii)
¿Quién entrenó mayor cantidad de horas el día martes?
iii)
¿Cuánto tiempo entrenaron en la semana Arturo, Boris, Carlos y Daniel,
respectivamente?
iv)
¿Cuánto tiempo entrenó Carlos antes de la primera competencia?
v)
¿Cuál fue el orden de llegada a la meta en la carrera del día miércoles?
vi)
¿Cuánto tiempo corrieron en total Boris y Daniel considerando las 3 competencias en
las que participaron?
vii)
¿Cuál es la diferencia de tiempo entre la primera y la segunda competencia por parte
de Arturo y Boris?
viii)
Si los 4 atletas decidieran participar en una posta, ¿cuántos segundos demorarían en
total considerando que repiten la marca lograda en la competencia del día sábado?
ix)
Si el récord estudiantil de los 100 m planos es 11,47 seg. , ¿En cuántos segundos
deberá mejorar cada atleta para alcanzar esa marca?
x)
Si Arturo y Daniel corrieron en forma constante los 200 m planos, ¿qué tiempo
hicieron cada 50 m, respectivamente?
22
xi)
Si en la próxima carrera, Carlos se ha propuesto correr cada metro en 0,128 seg.,
¿Cuál será su tiempo cronometrado para los 100 m?
xii)
Si Daniel corriera su próxima carrera a 0,1346 segundos cada metro, ¿en cuántos
segundos recorrería 25,5 m?
TALLER N° 7: COMPLETANDO CON POTENCIAS
Completa, sobre la línea, las siguientes operaciones con potencias:
1. 311 : 38 = 34 · ___
11. 25 · (0,5)2 = 2---
2. 26 : 2 = 23 · ___
12. (0,5)3 : ___ = 2
3. 82 · 4 = 2---
13. (0,5)2 : 2-2 = 2---
4. 35 : ___ = 32 · 3
14. 3 x 108 x ___ x ___ = 105
5. ___ : 53 = 5 · 53
15. 2 x 103 x ___ x ___ = 6
6. 43 : ___ = 42 · 45
16. Jessica y Fredy están discutiendo
7. 7--- : 7--- = 7-3
8. 54 · ___ = 5-2
9. ___ · 3-4 = 3-7
10. (0,5)3 : 0,5 = ___
sobre el resultado obtenido en un
ejercicio. Mientras que Jessica señala
que el resultado es 0,5; Fredy
sostiene que es -2. ¿Qué podrías
decir de esta discusión, sabiendo que
el ejercicio es ___3 = -1/8?
Un Chiste y Algo Más
1. Juan Carlos, alumno muy chacotero pero muy aficionado a la matemática, quiso
probar cierta teoría y para esto inventó un sabroso chiste y se propuso calcular
cuántas personas llegaría a conocer dicho chiste. Lo primero fue llamar a cuatro
amigos contándoles la gracia con la condición de que sólo lo repitiesen a cuatro
personas más y así sucesivamente.
En 3 minutos estos amigos de Juan Carlos habían contado el chiste a otros cuatro
amigos, quienes también en 3 minutos ya lo habían transmitido a otras cuatro
personas y así sucesivamente. Si todos fueron cumpliendo con esta chistosa cadena,
23
¿cuántas personas, al cabo de una hora, ya conocían el chiste? * Inventa un chiste
matemático
2. Si, día a día, una planta acuática, duplica la superficie que cubre y en 20 días cubre
totalmente una piscina, ¿en cuánto tiempo se cubre esa misma piscina, si inicialmente
se tienen cuatro de estas plantas?
3. Se sabe que la población de cierto tipo de insectos se cuadruplica cada año. Si la
población en este año es de 64 insectos, calcula la población para el quinto año.
Utilizando la notación de potencias, escribe una expresión que indique el número
teórico de insectos al cabo de 10 años (se supone que todos los insectos permanecen
vivos). Determina el número de insectos hace dos años.
TALLER N° 8: CRECIENDO Y DECRECIENDO
1. Un rectángulo de cartulina de 1 mm de espesor se dobla por la mitad, sucesivamente
en 20 dobleces, ¿qué hipotética altura tiene esa cartulina doblada, después del
vigésimo doblez? Si la cartulina tiene un grosor de 0,5 mm, ¿Cuántos dobleces son
necesarios para que tenga la misma altura que tiene la otra cartulina después del
vigésimo doblez?
2. Para cubrir una terraza se utilizó una carpa cuadrada de 8 m por 8 m. Para
transportarla se usa una camioneta que tiene un espacio para transporte que mide 2
m de largo por 1 m de ancho. Si esta carpa se va doblando por la mitad, ¿cuántos
dobleces son necesarios para que quepa bien en la camioneta?
3. Si supones que demoras 1/5 segundos en escribir un 0, y 0,1 segundo en escribir un
1, ¿en la escritura de cuál de los siguientes números ocuparás más tiempo: 0,1 100 ;
10100 ; 0,1-100 ?
TALLER N° 9: ESTIMACIONES.
1. Una información de prensa de fecha 2 de junio de 1997, señala que la producción
diaria de basura en Chile es 7 000 ton. Estimar un promedio de basura por casa,
suponiendo cinco personas por casa y un total de 15 millones de habitantes.
2. Se necesita fabricar cañones de latón para estufas de combustión lenta; los cañones
deben medir 0,75 m de alto y con diámetros de 18, 20 y 24 cm.
3. ¿Cuántas planchas se necesitan para fabricar 10, 15, 22 cañones de cada medida? El
jefe de producción informó que las planchas de latón tienen 1,60 m por 2 m.
4. El grosor que alcanzan 330 hojas de papel idénticas es de 6,8 cm. ¿Cuál es el grosor
de una de esas hojas?
5. Una pelota de goma rebota hasta las 3/4 partes de la altura desde la que se la deja
caer. Si la soltamos desde una altura de 16 metros, ¿cuál es la distancia que recorre
esta pelota, una vez que toca el suelo por tercera vez?
6. Una empresa ofrece un incentivo económico a sus empleados además de los sueldos.
Propone dos formas para que ellos elijan.
24
Una propuesta se inicia con $3 000 en la primera semana los que se incrementan
semanalmente en $1 000. La otra propuesta se inicia con 10 pesos en la primera
semana, y se duplica semanalmente lo recibido en la semana anterior.
¿Cuál de las dos propuestas es más conveniente si el convenio tiene
una duración de 10,12, 15, 20, 30 semanas?
TALLER N° 10: PATRONES O REGULARIDADES
1. José dispone los tarros de conserva en el supermercado en torres como la que indica
el dibujo:
2. ¿Cuántos tarros de conserva son necesarios para hacer una pila que tiene una base
de 6, 12, 16, 20 tarros?
3. Calcular la cifra de las unidades: 85 – 8; 35 – 3; conjeturar sobre esta cifra
considerando los otros dígitos.
4. Hacer un cuadro que resuma la cifra de las unidades de las segundas, terceras,
cuartas y quintas potencias de los dígitos.
5. Escribir, en un cuadrado de 3 x 3, los siguientes números: 1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, de
modo que la suma de las líneas, columnas y diagonales mayores sea la misma.
6. ¿Cuál es la cifra número 100 de la expresión decimal de la fracción 2/7?
TALLER N° 11: SERIES
Completa las siguientes series numéricas:
1. 10, 40, 90, 61, 52, 63, 94, ___
11. 10, 18, 34, 66, ___
2. 1, ___, 4, 8, 16, 22, ___, 28, 36, ___
12. 7, 9, 13, ___, 37
3. 10, 18, 34, 66, ___
13. 285, 253, 221, 189, ___
1. 7, 9, 13, ___, 37
14. 5, 10, 15, 25, 40, ___
2. 1, 2, 4, 8, 16, 22, 24, 28, 36, ___
15. 2, 3, 5, 8, 13, ___
6. 1, 0, -1, 0, ___
16. 905, 576, 329, 247, ___
7. 1, ___, 4, 8, 16, 22, ___, 28, 36, ___
17. 12, 8, 14, 7, 16, ___, ___,
8. 21, 20, 18, 15, 11, ___
18. 9, 6, 16, 10, 30, ___, 58, 34
9. 10, 40, 90, 61, 52, 63, 94, ___
19. 68,81, ___, 113, 132
10. 1, 1, 2, 3, 5, ___
20. 7, 49, 441, ___
25
TALLER N° 12: CUADRADOS MÁGICOS
1. Completa los siguientes cuadrados
mágicos:
a) La suma de filas, columnas y diagonales
da 34.
16
5
2
10
6
14
12
1
e) La suma de filas, columnas y diagonales
da 17/6.
4/3
1/6
5/12
5/6
1/2
1
7/6
1/12
2. Halla el número K, sabiendo que el
cuadrado en el cual está inscrito es mágico
y se compone de los números de 10 a 18.
k
b) La suma de filas, columnas y diagonales
da 3,4.
1,6 0.2
0.5
1
0.6 1.2
1.4
0.1
3. Completa los casilleros que faltan para
que resulte mágicos el siguiente cuadrado:
11
7
12
17
c) La suma en filas, columnas y diagonales
es la misma.
1/2
1/6
1/12
9
14
19
15
4. Construye un cuadrado mágico con los
9 primeros números pares de modo que
las filas, columnas y diagonales sumen 30.
5/12
2/3
13
18
23
3
8
1/3
d) La suma en filas, columnas y diagonales
es la misma.
25/4
5. Construye un cuadrado mágico con los
9 primeros números impares de modo que
las filas, columnas y diagonales sumen 27.
45/4
15/2
35/4
26
TALLER N° 13: PERÍMETROS Y ÁREAS
1. Si a, b y c representan los lados de un
triángulo cualquiera y h la altura
correspondiente al lado b. Completa la
tabla siguiente, donde p representa el
perímetro del triángulo y á su área.
a
b
c
h
p
á
2 cm
4 cm.
5 cm.
5 cm.
12 cm.
10 cm.
8 m..
3 cm
7 cm.
30 cm.
4 cm
12 m
12
cm.
26 m.
6 cm.
18 m2
30 cm2
42 m.
9
cm 2
64
3 cm.
3. Considerando que a y b son los lados de un
rectángulo; p su perímetro y á su área.
Completa la siguiente tabla:
a
b
p
á
14cm.
9cm
12cm.
36cm.
8m.
120m²
16cm
15cm²
3
m.
5
5
cm.
8
3
cm.
16
1
m.
6
16 m 2
Discutir sobre el último ejercicio de la tabla
anterior.
1
m.
4
2,4m.
8,6mm..
1 2
m
8
0,7m
21,6mm.
6cm
2. Completa la siguiente tabla, donde a
corresponde a la medida del lado de un
cuadrado, p a su perímetro y á su área.
a
p
á
5m.
34cm.
64cm
4,5m.
51cm.
14,2m.
4. Completa la siguiente tabla, donde r
representa el radio de la circunferencia, d su
diámetro, p su perímetro y á su área. Para
efectos de cálculos considera ¶ = 3,14.
r
d
p
á
12 cm
26cm.
81 cm 2
0,8 m
0,3m
6,28 cm.
3,4m
12,56mm²
0,8cm.
0,25 cm 2
8,4 cm.
3
m.
4
1
m.
3
1
m.
4
2
cm.
5
27
TALLER N° 14: OPERATORIA EN Q
Completa la siguiente tabla de acuerdo a los valores a, b y c dados
a
b
c
6
2
4
1
8
5
0
1
2
-3
-2
-1
-3
-1
2
2
-3
-1
-1
1
-1
-2
-1
-3
0
-1
-2
-1
0
-2
1
2
1
4
1
8
-
1
4
-
1
8
-
1
2
-
1
2
-
1
2
1
2
a - b·c
(a - b)·c
a·c - b2
a:b - a·c
28
1
4
-
0
1
4
1
2
2
3
3
4
-
2
3
0
-
1
5
0,1
-
3
4
2
3
-
1
10
0,2
0,3
-0,2 0,1
-0,3
-0,1 -2
0,2
-4
-0,2
2
0,5
-0,2
-0,1
29
CONTROL N° 1
1. Un kg. de asado cuesta $2.400. Si
compro 3/4 kg. de asado, ¿cuánto pago?
A. $ 600
B. $ 800
C. $ 1.800
D. $ 3.200
2. En un juego, Pamela tiene 120 puntos a
favor (+120) y 150 puntos en contra (-150).
¿Qué puntaje tiene Pamela en el juego?
A. 270 puntos
B. 30 puntos
C. (-30) puntos
D. (-270) puntos
3. Con una cierta cantidad de dinero a
Pedro le alcanza justo para comprar 5
dulces en el almacén. Pero un día los
dulces suben a $30 cada uno. ¿Cuántos
dulces puede comprar Pedro ahora con la
misma cantidad de dinero?
A. 5 dulces.
B. 6 dulces.
C. Menos de 5 dulces.
D. Más de 6 dulces.
4. En un mes de 31 días, Carlos trabaja
25. Si durante los días de trabajo gasta $
380 diarios en locomoción, ¿cuánto gasta
en movilizarse por razones de trabajo?
A. $ 2.280
B. $ 8.500
C. $ 9.500
D. $ 11.780
6
5. La fracción
es equivalente a:
8
1
A.
3
3
B.
4
4
C.
3
3
D.
1
6. . En el número 1.234 la cifra 1 vale:
A. 1.000
B. 100
C. 10
D. 1
7..-. ¿En cuál de las regiones, la parte
1
dibujada corresponde a ?
4
8. En un circo, un elefante mide 300 cm.
de altura y un perrito mide 37 cm. de alto
¿Cuántos centímetros más alto es el
elefante que el perrito?
A. 237 cm.
B. 263 cm.
C. 273 cm.
D. 337 cm.
9. El 30 es múltiplo de :
A. 0
B. 5
C. 60
D. 90
10. El producto de 305  123 es:
A. 37.155
B. 37.505
C. 37.515
D. 38.745
11. ¿Cuántas cartas repartió José en 24
días, si en promedio distribuyó 138 cartas
diarias?
A. 114
B. 162
C. 3.304
D. 3.312
12. El resultado de 18.492 : 23 es:
A.
8.040 y el resto es 0
B.
804 y el resto es 0
C.
84 y el resto es 0
D.
80 y el resto es 9
13. ¿Se puede efectuar la resta 13,5 – 20,
Fundamenta tu respuesta.
30
CONTROL N° 2
4
1. Si Eric simplifica la fracción
por 4,
20
¿Cuál es su equivalente?
16
1
A.
B.
20
5
16
1
C.
D.
20
80
2. Suma los siguientes números
decimales.
0,22 4,08 57,90
El resultado correcto es:
A. 62,20
B. 61,10
C. 10,09
D.9,99
3. Un jardinero compra 2 sacos de abono
para plantas en $ 18.810. Si el valor de
la compra se paga en tres cuotas
mensuales iguales, ¿cuál es el valor de
cada cuota?
A. $ 54.430
B. $ 9.405
C. $ 6.270
D. $ 627
4. En una feria, 2 kg de limones se
venden por el precio de un kg. de
manzanas. ¿Cuánto vale el kg de
limones?
Para dar solución a este problema es
necesario:
A. saber el valor de un limón.
B. dividir el precio del kg de manzanas
por el de los limones.
C. Dividir el precio de los kg de limones
por el de las manzanas.
D. Conocer el valor de un kg de
manzanas.
5. De un libro de 354 páginas, Pedro está
leyendo 12 páginas, por día. ¿Cuántas
páginas lleva leídas?
Este problema, ¿tiene solución?
A. Sí, porque se suma 354 + 12
B. Sí, porque se resta 354 – 12.
C. Sí, porque se multiplica 354 por 12.
D. No, porque falta información
6. Al multiplicar por 4 cualquier número
natural, distinto de cero, el resultado es
siempre un número:
A. par.
B. impar.
C. negativo.
D. primo.
7. El número que se debe escribir en el
recuadro es:
72.600 =
 30
A. 72.630
B. 72.570
C. 2420
D. 242
8. Un jardinero debe plantar 12 flores en
cada uno de los 9 maceteros del jardín
y lleva plantadas 72. ¿Cuántas flores
faltan por plantar?
A. 108
B. 96
C. 54
D. 36
9. Al resolver (-5) + 3, resulta:
A. 8
B. 2
C. (-2)
D. (-8)
10. ¿Cuál es el resultado de (-150)  7?
A. –1.050
B. –1057
C. 1050
D. 1057
11. Al resolver (-234) : 9, se obtiene:
A. –26
B. –20
C. 20
D. 26
4 + (-20) : (-4) =
A. 4
B. –4
C. 9
D. –1
13. ¿Qué número debe ir en el recuadro?
40 :
= -5
12.
A. 35
B. 8
C. –8
D. –35
14. ¿En qué opción están ordenadas de
menor a mayor las siguientes
1 5 3
fracciones? ,
,
4
4 4
1 3 5
A.
, ,
4 4 4
3 1 5
B.
, ,
4 4 4
5 3 1
C.
, ,
4 4 4
5 1 3
D.
, ,
4 4 4
31
CONTROL N° 3 -
 20 11
:
1. El resultado de
es:
11 10
200
 200
A.
B.
121
121
121
 121
C.
D.
200
200
1 1 1
 
1. El producto de
es:
3 4 10
3
1
A.
B.
120
120
3
1
C.
D.
120
120
1
2. Juan ha pintado
de una pared y
4
1
Pedro de ella. ¿Qué parte de la
3
pared han pintado?
7
5
A.
B.
12
12
9
8
C.
D.
12
12
2
4. Sea la operación
=
15
¿Qué fracción debe escribirse en el
recuadro?
2
2
A.
B.
5
5
2
2
C.
D.
45
45
5. ¿Cuál es el 25% de $ 60.000?
A. $ 2.400
B. $ 15.000
C. $ 41.667
D. $ 45.000
6. Si 3 alumnos insistentes de un curso
corresponden al 10%, ¿cuántos
alumnos tiene el curso?
A. 13
B. 27
C. 30
D. 110
7. Cristina ocupa 48 ovillos de hilo, para
tejer 3 chalecos de igual tamaño.
¿Cuántos ovillos necesitará para tejer 4
chalecos similares?
A. 64
B. 36
C. 16
D. 12
8. Don Antonio ganó $ 180.000 por 15
días de trabajo. ¿Cuánto dinero recibirá
si en total trabaja 60 días, en las
mismas condiciones?
A. $ 12.000
B. $ 360.000
C. $ 450.000
D. $ 720.000
9. Observa este paralelepípedo.
¿Cuál es su volumen?
A.
18 m3
B.
24 m3
C.
26 m3
D.
56 m3
10. Se desea pintar un letrero rectangular
de 3 metros de largo y 2 metros de
ancho. ¿Cuál es el área de la superficie
que se desea pintar?
A. 5 m2
B. 6 m2
C. 10 m2
D. 12 m2
11. José desea tener un promedio 6,0 en
Castellano. ¿Qué nota debe obtener en
la prueba que le falta si sus
calificaciones, hasta el momento son:
A. 5,0
B. 5,8
C. 6,0
D.7
19. La mitad de la cuarta parte de 8 es:
A. 16
B. 6
C. 2
D. 1
20. Al multiplicar 0,1 por 0,1 se obtiene:
A. 0,1
B. 0,01
C. 0,001
D. 1
32
21.-¿Cuál de los siguientes pares de
fracciones son equivalentes?
2
2
A.
y
4
8
4
2
B.
y
12
3
3
1
C.
y
6
2
2
4
D.
y
5
5
4 1 3
22.-  (  ) =
6
3 4
5
A.
12
3
B.
12
13
C.
12
21
D.
12
“Para una
buena
construcción,
buenos deben
ser sus
cimientos”
4 2 3
 
=
2 4 8
5
A.
8
9
B.
8
 15
C.
8
5
D.
14
23.-
24.-El resultado de
5 3 1
 (  ) es:
8 4 2
7
8
5
B.
8
3
C.
8
5
D.
8
7. BIBLIOGRAFIA:
A.
1. ARITMETICA: A.BALDOR
2. MATEMATICA 1° MEDIO : Mc.Graw HILL
3 Matemática. 1° MEDIO Gonzalo Rivera Lira
4
5
sectormatematica .cl
Apuntes profesores de la red
33