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SEMEJANZA DE TRIANGULOS
En esta sección se analizará el concepto de semejanza de triángulos, con el fin de poder
comprender su significado y aplicarlo en la solución de problemas. Antes de profundizar dicho
concepto, se interiorizará solamente el concepto de semejanza.
Para lo que se quiere realizar, es necesario el conocimiento de lo que son lados correspondientes
y lo que es proporcionalidad, para ello considere la figura que se muestra abajo en la que los
lados correspondientes son respectivamente:
c y c' (lado grande y lado grande)
a y a' (lado pequeño y lado pequeño)
b y b' (lado mediano y lado mediano)
Observe que al realizar la división entre los lados homólogos (correspondientes) el resultado que
se obtiene es 2 (dividiendo 10 entre 5, 8 entre 4 y 6 entre 3), este valor recibe el nombre de
razón y cuando la razón es igual en todos y cada uno de los lados correspondientes, se dice que
los lados son proporcionales.
El concepto de semejanza en matemática: El concepto de semejanza en matemática está muy
ligado al concepto de proporcionalidad. En esta ciencia se dice que dos objetos son semejantes
si "guardan" una proporción entre ellos. Veamos algunos ejemplos de la relación existente entre
semejanza y proporcionalidad.
1.
Un geógrafo desea determinar la distancia entre dos ciudades, para ello utiliza un
mapa. Se percata que la escala utilizada en el mapa es de 1:5000, es decir, un
centímetro en el mapa representa 5000 metros en la realidad. Luego de medir con una
regla la distancia entre las dos ciudades, obtiene que es de 3cm, lo cual representa
15000 metros en la realidad. Note que el mapa es una representación semejante a una
porción del globo terráqueo, de allí que, deba guardar una misma proporción, con el fin
de que las medidas que se tomen sobre él sean lo más cercanas a su valor real.
2.
La construcción de modelos a escala (aviones, barcos y edificios, entre otros) requiere
de una buena aplicación de los conceptos de semejanza y proporcionalidad, esto con el
fin de que la maqueta sea lo más semejante posible al objeto real, además de guardar
una proporcionalidad adecuada, en otras palabras, el tamaño de cada una de sus partes
debe estar acorde con el tamaño que el objeto tiene en la realidad.
3.
Dos fotografías de la misma persona, una de tamaño 3x4 pulgadas que luego es
ampliada a 6x8 pulgadas. Ambas son semejantes y tienen una misma proporción, ya
que una es la ampliación de la otra tanto a lo ancho como a lo largo y con una misma
razón, o sea, las divisiones de sus lados correspondientes son de igual valor.
4.
Dos anillos idénticos, cuyos diámetros son exactamente iguales, guardan la misma
proporción y semejanza entre cada una de sus partes (circunferencia, radio, área,
diámetro).
El último ejemplo refleja que siempre, dos objetos que son del mismo tamaño y forma se pueden
catalogar como semejantes. Se debe tener cuidado con la afirmación inversa, es decir, objetos de
diferente tamaño no son siempre semejantes, todo depende de que guarden o no la misma
proporción, tal es el caso de los ejemplos uno, dos y tres.
En otras palabras, para que dos
objetos sean semejantes bajo la concepción matemática, no siempre tienen que ser
iguales.Resumiendo: dos figuras son semejantes si guardan una proporción entre cada una de
sus partes respectivas.
Triángulos semejantes
Dos triángulos son semejantes si sus ángulos son, respectivamente, iguales y sus lados homólogos son
proporcionales.
Criterios de semejanza de triángulos
Para determinar si dos triángulos dados son semejantes bastaría con comprobar si verifican estas
condiciones. Pero existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triángulos son semejantes
sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus ángulos. Estos principios se conocen con
el nombre de casos de semejanza de triángulos, o también CRITERIOS DE SEMEJANZA.
I. Primer criterio AAA
Dos triángulos que tienen los tres ángulos iguales son semejantes entre sí.
II. Segundo criterio LLL
Dos triángulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre sí. El
cociente obtenido de comparar los lados homólogos entre sí recibe el nombre de
razón de semejanza.
III. Tercer criterio LAL
Dos triángulos que tienen dos lados proporcionales y el ángulo comprendido entre
ellos es igual, son semejantes entre sí.