Download segunda semana - Eduardo Javier Pozo

LOS NÚMEROS REALES
Un número real es un número que se puede representar por una expresión decimal infinito.
Los números naturales son casos particulares de los números reales. Ellos son 1,2, 3,…,n,… y se notan por  . Así,
  1,2,3,4,...n...
Los números enteros están constituidos por los números naturales, el cero y los negativos de los naturales (los
enteros positivos, el cero y los enteros negativos). Los enteros constituyen un caso particular de los números reales y
se denotan por  . Así,
  ...,3,2,1,0,1,2,3,...
Se dice que un número es racional cuando se puede expresar como la razón de dos enteros, es decir de la forma
donde p y q son enteros y q  0. Los racionales se denotan por
Q=
p
,
q
Q, Así,
p

p  , q  , q  0

q

Los números racionales están formados por los enteros , los fraccionarios, tales como
2  43 8
,
, , los decimales
5 17 9
1
1
2
= 0,3̂ ,  0,25 ,
 0,6̂ y los decimales positivos y negativos con un
4
3
3
128
347
número finito de dígitos, tales como 3,47 =
, -0,0128 = 
.
10000
100
periódicos, tales con 0,333…=
Los números reales que no son racionales, es decir aquellos que solo tienen una representación decimal infinita, se
denominan irracionales y se denotan por I. Ejemplo de de números irracionales son
2  1,4142... ,
  3,14159... de esta manera, todo número real puede ser calificado como racional o irracional.
El conjunto que resulta de unir los números racionales y los números irracionales lo denominamos el conjunto de los
números reales y lo denotaremos por R
Las relaciones entre algunos conjuntos de números, se presenta en el siguiente diagrama lineal:
CLASIFICACIÓN DE LOS NÚMEROS
COMPLEJOS
REALES
RACIONALES
FRACCIONARIOS
ENTEROS NEGATIVOS
IMAGINARIOS
IRRACIONALES
ENTEROS
CERO
NATURALES
EL SISTEMA DE LOS NUMEROS REALES
El sistema de los números reales puede definirse, como un campo ordenado completo, y procederemos a revisar los
axiomas que así lo definen y también formalizar las propiedades que estos números poseen.
Un campo es un conjunto S con dos operaciones, la suma ( + ) y la multiplicación ( x ) que permiten que dos
elementos de S sean sumados o multiplicados.
El conjunto de los reales cumplen con los siguientes axiomas:
Sean a, b, c elementos del conjunto de los reales.
1.- De Clausura ( Por definición)
a + b y a. c
Son números reales
2.- Asociativos
a + b +c = ( a + b ) + c = a + ( b + c )
a.b.c = (a.b ) .c = a.( b.c )
3.- Conmutativos
a +b=b+a
y
a.b. = b.a
4.- De Identidad
Existen los elementos 0 y 1 que siendo únicos cumplen que:
a+0=a
y
a.1 = a
A estos elementos se les conoce como: neutro o idéntico aditivo e idéntico multiplicativo respectivamente.
5.- De Simetría
Para cualquier a elemento de los reales, existe un único elemento, el –a, tal que:
a + (-a) = (-a ) + a = 0
Para cualquier a elemento de los reales, diferente de cero, existe un único elemento, el a
1
tal que:
a.a 1  a 1.a  1
Estos elementos reciben el nombre de inverso aditivo e inverso multiplicativo
6.- Distributivos
a ( b + c ) = a.b + a.c
(b + c) a = b.a + c.a
Enunciamos a continuación una serie de teoremas o leyes que se cumplen en el conjunto de los números reales:
a.- a.0 = 0
b.- Si a.b =0 entonces a = 0 o b = 0
c.- Si a.c = b.c entonces a = b
1
d.- Si a.b = 1 entonces a = b
e.- Si a + b = 0 entonces a = -b
o b= a
o b = -a
a
no está definida
0
0
g.=0
si a  0
a
f.-
h.- a(-b) = - (a.b)
i.- (-a ) (-b) = ab
j.k.l.m.n.-
ñ.-
a
= c si y solo si a = b.c
b
a 0 =1
a
c
=
si y solo si a.d = b.c
b d
a
ad  bc
c
+
=
b d
bd
 a  c  ac
   =
 b  d  bd
a a
a
 a 

 
  

b b
 b 
b
1
OPERACIONES FUNDAMENTALES CON NÚMEROS RELATIVOS
Suma de números relativos
Respecto de la suma o adición de números relativos podemos considerar cuatro casos: sumar dos números
positivos; sumar dos números negativos; sumar un positivo con otro negativo, y sumar el cero con un número
positivo o negativo.
1) Suma de dos números positivos
Para sumar dos números positivos se procede a la suma aritmética de los valores absolutos y al resultado se
le antepone el signo +:
(+ 4) + (+ 2) = + 6
La suma de dos números positivos se puede representar del siguiente modo:
+
6
+
4
+
2
4
32
10
+
1
+
2
+
3
+
4+
5
+
6
+
7
2) Suma de dos números negativos
Para sumar dos números negativos se procede a la suma aritmética de los valores absolutos y al resultado se
le antepone el signo –:
(– 4) + (– 2) = – 6
La suma de dos números negativos se puede representar del siguiente modo:
6
4
2
7
65
43210
+
1
+
2
+
3
+
4
3)
Suma de un número positivo y otro negativo
Para sumar un número positivo y un número negativo primero se busca la diferencia aritmética de los valores
absolutos de ambos números, y al resultado se le antepone el signo del número mayor. Cuando los dos
números tienen igual valor absoluto y signos distintos, la suma es cero:
(+ 6) + (1 – 2) = + 5
(– 6) + (+ 2) = – 4
(– 6) + (+ 6) = 0
(+ 6) + (– 6) = 0
La suma de un número positivo y otro negativo se puede representar de los siguientes modos:
Representación gráfica de la suma de un número positivo y un número negativo, donde el número positivo
tiene mayor valor absoluto que el negativo:
+
4
+
6
2
3210 +
1+
2+
3+
4+
5
Representación gráfica de la suma de un número positivo y un número negativo, donde el número negativo tiene
mayor valor absoluto que el positivo:
4
6
+
2
54321 0+
1
+
2+
3
Representación gráfica de la suma de un número positivo y un número negativo, donde el valor absoluto de
ambos números es igual.
0
+6
-6 -5
-4
-3
-2
-6
-1
+1 +2 +3 +4 +5 +6
+6
-6
0
4) Suma de cero y un número positivo o negativo.
La suma de cero con cualquier número positivo o negativo nos dará el mismo número positivo o negativo.
Así, tenemos:
(+ 4) + 0 = + 4
(– 4) + 0 = – 4
En general:
a +0=0+a =a
Donde a puede ser positivo, negativo o nulo.
POTENCIA DE NÚMEROS RELATIVOS
La potencia de un número relativo es el producto de tomarlo como factor tantas
veces como se quiera. Si a es un número relativo cualquiera y n > 1 es un número natural, tendremos la notación a
n, que se lee a elevado a la enésima potencia e indica que a debe tomarse como factor n veces.
n veces
a n = a  a a .................a
En la notación a n = x , llamamos potencia al producto x , base al número que tomamos como factor a , y
exponente a n, que nos indica las veces que debemos tomar a como factor. La operación de hallar el producto x se
llama potenciación o elevación a potencia.
Ejemplo
45 =1024
Donde 4 es la base, 5 el exponente y 1024 la potencia.
La potencia de un número positivo siempre es positiva.
La potencia de un número negativo será positiva si el exponente es entero y par o negativa si el exponente entero
es impar.
Así:
a2 = +A
(-a)2 = +A
a3 = +A
(-a)3 = -A
PRODUCTO DE DOS POTENCIAS DE IGUAL BASE
Para multiplicar dos potencias de igual base se eleva dicha base a la potencia que resulte de la suma de los
exponentes respectivos.
Ejemplo
am  an  amn
32 34  32 4  36  729
POTENCIA DE UNA POTENCIA
Para hallar la potencia de una potencia se multiplican los exponentes y se mantiene la base primitiva.
Ejemplo
an m  a nm  anm
 22 3  223  26  64
En la división podemos enunciar tres casos de elevación a potencia de un número cualquiera.
DIVISION DE FACTORES DE IGUAL BASE.
1) Si un número cualquiera a  0 se eleva a la potencia 0 es igual a + 1:
a0 = +1
30 = +1
2) Si un número cualquiera a  0 se eleva a un exponente negativo cualquiera – m es igual al recíproco de la
potencia a m, de exponente positivo:
am 
3 2 
1
am
1
1

32 9
3) La división de dos potencias de igual base es igual a la base elevada a la potencia que dé la diferencia de
ambos exponentes:
am
 am n
an
34
32
= 34-
2
= 32 = 9
Regla General PARA SUMAR MONOMIOS
Para sumar dos o más expresiones algebraicas, se escriben unas a continuación de las otras con sus propios
signos y se reducen los términos semejantes, si los hay.
1) Sumar 5a, 6b y 8c
Escribimos unos a continuación de otros con sus propios signos, y como 5a = + 5a, 6b = + 6b y 8c = + 8c la
suma será:
5a + 6b + 8c
La Ley Conmutativa de la suma, señala que el orden de los sumandos no altera la suma. Así, 5a + 6b + 8c
es lo mismo que
5a + 8c + 6b o que 6b + 8c + 5a
2)
Sumar 3a 2 b,4ab 2, a 2 b,7ab 2,6b
3
Escribimos: 3a 2b  4ab 2  a 2b  7ab 2  6b 3
Reduciendo los términos semejantes, queda:
4a 2 b+11 a b 2+6 b 3
3) Sumar 3a y – 2b
Si algún sumando es negativo, suele incluirse dentro de un paréntesis para indicar la suma:
3a + ( – 2b )
En este caso la suma será: 3a – 2b
4) Sumar 7a, – 8b, – 15a, 9b, – 4c y 8
Escribimos:
7a + (–8b ) + (– 15a ) + 9b + (– 4c ) + 8 =
7a – 8b – 15a + 9b – 4c + 8 =
- 8a + b – 4c + 8
SUMA DE POLINOMIOS
1) Sumar a – b, 2a + 3b – c y – 4a + 5b
En esta suma suelen incluirse los sumandos entre paréntesis:
(a – b ) + (2a + 3b – c ) + (– 4a + 5b )
En seguida colocamos todos los términos de estos polinomios unos a continuación de otros, con sus propios
signos, y tendremos:
a – b + 2a + 3b – c – 4a + 5b = – a + 7b – c
En la práctica se colocan los polinomios unos debajo de otros de modo que los términos semejantes queden en
columna; luego se hace la reducción, separándolos unos de otros con sus propios signos.
La suma anterior se verifica de esta manera:
2) Sumar 3m – 2n + 4, 6n + 4p – 5, 8n – 6 y m – n – 4p
Escribimos:
Para probar la suma por el valor numérico debe encontrarse el valor numérico de los sumandos y de la suma
para los mismos valores de las letras (que fijamos nosotros).
Si la operación está correcta, la suma algebraica de los valores numéricos de los sumandos debe ser igual al
valor numérico de la suma.
Ejemplo
Sumar 8a – 3b + 5c – d , – 2b + c – 4d y – 3a + 5b – c y probar el resultado por el valor numérico para a =
1, b = 2, c = 3, d = 4
Tendremos:
8a – 3b + 5c – d = 8 – 6 + 15 – 4 = 13
– 2b + c – 4d =
– 4 + 3 – 16 = – 17
– 3a + 5b – c
= – 3 + 10 – 3
= 4
5a
+ 5c – 5d=
5
+ 15 – 20 =
0
La suma de los valores numéricos de los sumandos es 13 – 17 + 4 = 0, igual al valor numérico de la suma, que
también es cero.
RESTA
La resta o sustracción tiene por objeto, dada una suma de dos sumandos (minuendo) y uno de ellos
(sustraendo), hallar el otro sumando (resta o diferencia), con lo que resulta evidente que la suma del
sustraendo y la diferencia tiene que ser el minuendo.
Si de a (minuendo) queremos restar b (sustraendo), la diferencia será a – b. En efecto:
será la diferencia si sumada con el sustraendo b reproduce el minuendo a :
a –b
a –b +b =a
Por regla general, para restar se escribe el minuendo con sus propios signos y a continuación el
sustraendo con los signos cambiados, y luego se reducen los términos semejantes, si los hay.
EJERCICIOS
1.
5a, 7a
R. 12a
2.
– 11m, 8 m
R. –3m
3.
9ab, – 15ab
R. –6ab
4.
– x y, – 9x y
R. 10xy
5.
–3a, 4b
R. 4b - 3a
6.
1
2
a, b
2
3
1
2
R. a - b
2
3
7.
a, – b, c
R. a – b + c
8.
3
3
mn, - mn
8
4
R.
9.
a, – b, 2c
R. a - b + 2c
3
mn
8
10. – 7a, 8a, – b
R. a - b
11. x 2, – 3x y, – 4y 2
R. x2 –3xy –4y2
12.
1 2
3
x, y , x
2 3
4
13. 3a,
1
1
b,4,b, a,6
2
2
2
1
R. y - x
3
4
R.
5
1
a- b+ 2
2
2
14. m3,4m2n,5m3,7mn2,4m2n,5m3
R. m3 – 8m2n – 7mn2
15. 8a2b,5ab2,a2b,11ab2,7b3
R. -+9a2b –6ab2 –7b3
16. a, – 3b, – 8c , 4b , – a, 8c
R. b
17. 9x , – 11 y , – x , – 6y , 4z, – 6z
R. 8x –17y –2z
18.
3 2 2
1
1
x , xy , y 2 , xy , x 2 ,5 y 2
4
3
3
3
19. 7a2,5ab,3b2,a2
7
16 2
R. x 2 - xy +
y
4
3
R. 3b2 + 5ab - 8a2
20. m, n
R. m+n
21. – 3a, 4b
R. 4b –3a
22. – 6, 9
R. 3
23. m, – n
R. m-n
24. 5 b, – 6a
R. 5b –6a
EJERCICIOS
Encuentra la suma de:
1. m + n – p ; – m – n + p
R. 0
2. 5x – 7y + 8; – y + 6 – 4x ; 9 – 3x + 8y
R. – 2x +23
3. a + b – c ; 2a + 2b – 2c ; – 3a – b + 3c
R. 2b
4. ab + bc + cd ; – 8ab – 3bc – 3cd ; 5ab + 2bc + 2cd
R. – 2ab
5. – 7x – 4y + 6z ; 10x – 20y – 8z ; – 5x + 24y + 2z
R. – 2x
6. – am + 6mn – 6s – am – 5mn; – 2s – 5mn + 3am
R. am – 4mn – 85
7. 6m – 3n ; – 4n + 5p ; – m – 5 p
R. 5m – 7n
8. 8a + 3b – c ; 5a – b + c ; – a – b – c ; 7a – b + 4c
R. 19a + 3c
9. p + q + r ; – 2p – 6q + 3r ; p + 5q – 8r
R. – 4r
10. a – b ; b – c ; c + d ; a – c ; c – d ; d – a ; a – d
R. 2a
11. 7a – 4b + 5c ; – 7a + 4b – 6c
R. – c
EJERCICIOS
De:
1. x 2 + y 2 – 3x y restar – y 2 + 3x 2 – 4x y
R. – 2x 2 + x y + 2y 2
2. y 5 – 9y 3 + 6y 2 – 31 restar – 11y 4 + 31y 3 – 8y 2 – 19y
R. y 5 + 11y 4 – 40y 3 + 14y 2 + 19y – 31
3
3
2
2
2
2
3
3. 5m – 9n + 6m n – 8mn restar 14mn – 21m n + 5m – 18
R. 27m 2n – 22mn 2 – 9n 3 + 18
3
2
2
2
4. a – a b restar de 7a b + 9ab
R. a 3 – 8a 2b – 9ab 2
5. ab + 2ac – 3cd – 5de restar – 4ac + 8ab – 5cd + 5de
R. – 7ab + 6ac + 2cd – 10de
6. x + y – z restar – x – y + z
R. 2x + 2y – 2z
3
2
2
7. x – x + 6 restar 5x – 4x + 6
R. x 3 – 6x 2 + 4x
4
3
4
3
2
2
4
4
8. x + 9xy – 11y restar – 8x y – 6x y + 20y
R. x + 8x 3y + 6x 2y 2 + 9x y 3 – 31y 4
9. a – b restar b – a
R. + 2a – 2b
10. m 2 – n 2 – 3mn restar – 5m 2 – n 2 + 6mn
R. – 6m 2 – 9mn