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UNIVERSIDAD MARIANO GÁLVEZ DE GUATEMALA.
FACULTAD DE CIENCIAS DE LA ADMINISTRACIÓN.
MAESTRÍA EN ADMINISTRACIÓN Y GESTIÓN DEL RECURSO HUMANO.
CURSO MODELOS PARA LA TOMA DE DECISIONES.
INVESTIGACION: TEORIA DE PROBABILIDADES.
FECHA: 15 MARZO DEL 2105.
ALUMNOS:
JORGE CORTEZ
2728-07-11883
BLADEMIR MENDEZ.
2728-96-2594
Introducción.
Esta investigación presenta brevemente los principios de la teoría de la
probabilidad. Dicha teoría representa una de las herramientas matemáticas más
importantes para la física, en especial para la teoría de la Mecánica Cuántica, así
como en los desarrollos de la Física Estadística. La teoría de la probabilidad se
presenta en forma de apuntes esquemáticos y sin demostraciones.
El concepto de probabilidad nace con el deseo del hombre de conocer con certeza
los eventos futuros. Es por ello que el estudio de probabilidades surge como una
herramienta utilizada por los nobles para ganar en los juegos y pasatiempos de la
época. El desarrollo de estas herramientas fue asignado a los matemáticos de la
corte.
Con el tiempo estas técnicas matemáticas se perfeccionaron y encontraron otros
usos muy diferentes para la que fueron creadas. Actualmente se continúo con el
estudio de nuevas metodologías que permitan maximizar el uso de la computación
en el estudio de las probabilidades disminuyendo, de este modo, los márgenes de
error en los cálculos.
Teoría de probabilidades.
La teoría de la probabilidad es la parte de las matemáticas que estudia los
fenómenos aleatorios estocásticos. Estos deben contraponerse a los fenómenos
determinísticos, los cuales son resultados únicos y/o previsibles de experimentos
realizados bajo las mismas condiciones determinadas, por ejemplo, si se calienta
agua a 100 grados Celsius a nivel del mar se obtendrá vapor. Los fenómenos
aleatorios, por el contrario, son aquellos que se obtienen como resultado de
experimentos realizados, otra vez, bajo las mismas condiciones determinadas
pero como resultado posible poseen un conjunto de alternativas, por ejemplo, el
lanzamiento de un dado o de una moneda. La teoría de probabilidades se ocupa
de asignar un cierto número a cada posible resultado que pueda ocurrir en un
experimento aleatorio, con el fin de cuantificar dichos resultados y saber si un
suceso es más probable que otro.
Muchos fenómenos naturales son aleatorios, pero existen algunos como el
lanzamiento de un dado, donde el fenómeno no se repite en las mismas
condiciones, debido a que la características del material hace que no exista una
simetría del mismo, así las repeticiones no garantizan una probabilidad definida.
En los procesos reales que se modelizan mediante distribuciones de probabilidad
corresponden a modelos complejos donde no se conocen a priori todos los
parámetros que intervienen; ésta es una de las razones por las cuales la
estadística, que busca determinar estos parámetros, no se reduce inmediatamente
a la teoría de la probabilidad en sí. (wikipedia, 2015)
Concepto de espacio muestral, evento y probabilidad de un evento.
En la teoría de probabilidades, el espacio muestral o espacio de muestreo
(denotado E, S, Ω o U) consiste en el conjunto de todos los posibles resultados
individuales de un experimento aleatorio.
Por ejemplo, si el experimento consiste en lanzar dos monedas, el espacio de
muestreo es el conjunto {(cara, cara), (cara, cruz), (cruz, cara) y (cruz, cruz)}. Un
evento o suceso es cualquier subconjunto del espacio muestral con estructura de
σ-álgebra,1 llamándose a los sucesos que contengan un único elemento sucesos
elementales. En el ejemplo, el suceso "sacar cara en el primer lanzamiento", o
{(cara, cara), (cara, cruz)}, estaría formado por los sucesos elementales {(cara,
cara)} y {(cara, cruz)}. (Castañeda, 2010)
Eventos mutuamente excluyentes. Regla de adición
Un evento mutuamente excluyente es uno en el que la aceptación de una
alternativa automáticamente excluye otras posibles alternativas. Un ejemplo
común de esto es lanzar una moneda. La moneda caerá de cara o cruz. Debido a
que la moneda que caiga de cara significa que no caerá de cruz, lanzar una
moneda es un evento mutuamente excluyente. Es o de un lado o del otro, no
pueden ser ambos.
Leyes. El campo de las leyes es muy consciente de los eventos mutuamente
excluyentes. Si bien esto es verdad en muchos crímenes, un escenario común
sería recibir una multa por exceso de velocidad. La persona excedió el límite de
velocidad o no. Este es un ejemplo simple, pero por lo general todo el fundamento
de culpable o inocente se basa en un evento mutuamente excluyente, y por eso la
importancia de un testigo. Si puede probarse que el acusado estaba haciendo algo
más a la hora del crimen, no puede ser el culpable (en muchos casos).
Regla general de la adición de probabilidades para eventos no mutuamente
excluyentes
Si A y B son dos eventos no mutuamente excluyentes (eventos intersecantes), es
decir, de modo que ocurra A o bien B o ambos a la vez (al mismo tiempo),
entonces se aplica la siguiente regla para calcular dicha probabilidad:
El espacio muestral (S) corresponde al conjunto universo en la teoría de
conjuntos Ejemplos ilustrativos
1) Sea A el suceso de sacar un As de una baraja estándar de 52 cartas y B sacar
una carta con corazón rojo. Calcular la probabilidad de sacar un As o un corazón
rojo o ambos en una sola extracción.
Solución:
A y B son sucesos no mutuamente excluyentes porque puede sacarse el as de
corazón rojo. (Buenas Tareas)
Eventos independientes. Regla de multiplicación.
Dos eventos son independientes si la ocurrencia de cualquiera de ellos no afecta
la probabilidad de que ocurra el otro.
La regla de la multiplicación para eventos independientes:
P= Pa x Pb
Ejemplos:
Calcula la probabilidad de obtener un numero par aL tirar un dado y de obtener un
sol al tirar una moneda.
Pa=(1,2,3,4,5,6)
Pb=Moneda(águila)(sol)
Pa=3/6
(2,4,6)
Pb=1/2
La probabilidad de Yoloh de pasar matemáticas es de 3/4 mientras que la
probabilidad de Daniel es de 2/3
¿Cual es la probabilidad de que el examen sea aprobado por uno de los dos?
Y=3/4
PY=1/1 - ¾
D=2/3
PY=4 - 3 / 4 = ¼
PD= 1/1 - 2/3= 3 - 2 / 3 =1/3
P=PY x PD =1/4 - 1/3 =1/12
P=1/1 -1/12= 11/12=0.91
(Blog de matematicas, 2011)
Eventos dependientes. Regla probabilidad condicional.
Como la probabilidad está ligada a nuestra ignorancia sobre los resultados de la
experiencia, el hecho de que ocurra un suceso, puede cambiar la probabilidad de
los demás. El proceso de realizar la historia clínica, explorar y realizar pruebas
complementarias ilustra este principio.
La probabilidad de que ocurra el suceso A si ha ocurrido el suceso B se denomina
probabilidad condicionada y se define
Esta definición es consistente, es decir cumple los axiomas de probabilidad.
Cuando ocurre un suceso cambia el espacio muestral, por eso cambia la
probabilidad. A veces es más fácil calcular la probabilidad condicionada teniendo
en cuenta este cambio de espacio muestral.
Ejemplo:
Se sabe por estudios previos que el 0,1% de la población tiene problemas
vasculares. Un estudio sobre individuos con problemas vasculares revela que el
20% de ellos son placas de ateroma. Si el 10% de los individuos con placas de
ateroma están expuestos a muerte súbita por desprendimiento de trombos ¿qué
probabilidad tiene un individuo cualquiera de estar expuesto a muerte súbita por
desprendimiento de trombos de una placa de ateroma?
A1 = {problemas vasculares}; A2 = {placas de ateroma}; A3 = {expuesto a muerte
súbita por....}
p (A1) = 0,001; p (A2|A1) = 0,20; p (A3|A1 Ç A2) = 0,1
p (A1 Ç A2 Ç A3) = 0,001 x 0,20 x 0,1 = 0,000002
(Salud Madrid, 2015)
Probabilidades conjuntas y marginales.
PROBABILIDAD CONJUNTA Y MARGINAL
Definición de Probabilidad Conjunta: Cuando dos o más variables tienen
comportamientos conjuntos lo cual es igual a Definición de Probabilidad Marginal:
Comportamiento de una variable sin considerar otra.
Para la variable aleatoria Y:
lo cual es igual a
Similarmente se hace para la variable aleatoria X
probabilidad Conjunta a partir de las probabilidades Marginales función de
distribución de probabilidad: Buenas Tareas. (25 de 04 de 2014).
PROBABILIDAD CONJUNTA:
La que da la probabilidad de la intersección de dos eventos. La tabla de
probabilidad conjunta proporciona un resumen de la información de probabilidad.
PROBABILIDAD MARGINAL:
Se ubica a los márgenes de la tabla de probabilidad conjunta y brinda la
probabilidad de cada evento por separado.
P (B|H) = 0.24/0.80 = 0.30 P (B|M)= 0.03/0.20 = 0.15
Diagrama de árbol para cálculo de probabilidades
Es una representación gráfica que muestra los resultados posibles de una serie de
experimentos y sus respectivas probabilidades.
EJEMPLO:
En una bolsa se han colocado 4 pelotas blancas y 3 negras, y en una segunda
bolsa 3 blancas y 5 negras. Se saca una pelota de la primera bolsa y sin verla, se
mete en la segunda. ¿Cuál es la probabilidad de que la pelota que se saque de
esta última sea negra?
(hispavista, 2015)
Diagrama de Árbol de Probabilidades.
Un diagrama de árbol es una herramienta que se utiliza para determinar todos los
posibles resultados de un experimento aleatorio. En el cálculo de la probabilidad
se requiere conocer el número de objetos que forman parte del espacio muestral,
estos se pueden determinar con la construcción de un diagrama de árbol.
El diagrama de árbol es una representación gráfica de los posibles resultados del
experimento, el cual consta una serie de pasos, donde cada uno de los pasos
tiene un número finito de maneras de ser llevado a cabo. Se utiliza en los
problemas de conteo y probabilidad.
Para la construcción de un diagrama en árbol se partirá poniendo una rama para
cada una de las posibilidades, acompañada de su probabilidad. Cada una de
estas ramas se conoce como rama de primera generación.
En el final de cada rama de primera generación se constituye a su vez, un nudo
del cual parten nuevas ramas conocidas como ramas de segunda generación,
según las posibilidades del siguiente paso, salvo si el nudo representa un posible
final del experimento (nudo final).
Hay que tener en cuenta que la construcción de un árbol no depende de tener el
mismo número de ramas de segunda generación que salen de cada rama de
primera generación y que la suma de probabilidades de las ramas de cada nudo
ha de dar 1.
Existe un principio sencillo de los diagramas de árbol que hace que éstos sean
mucho más útiles para los cálculos rápidos de probabilidad: multiplicamos las
probabilidades si se trata de ramas adyacentes (contiguas), el ejemplo de alumna
de la primera facultad, o bien las sumamos si se trata de ramas separadas que
emergen de un mismo punto, el ejemplo de encontrar un alumno.
Ejemplos
Una universidad está formada por tres facultades:



La 1ª con el 50% de estudiantes.
La 2ª con el 25% de estudiantes.
La 3ª con el 25% de estudiantes.
Las mujeres están repartidas uniformemente, siendo un 60% del total en cada
facultad.
¿Probabilidad de encontrar una alumna de la primera facultad?
¿Probabilidad de encontrar un alumno varón?
pero
también podría ser lo contrario.
(wikipedia, 2015)
Teorema de bayes.
En la teoría de la probabilidad el teorema de Bayes es un resultado enunciado por
Thomas Bayes en 17631 que expresa la probabilidad condicional de un evento
aleatorio A dado B en términos de la distribución de probabilidad condicional del
evento B dado A y la distribución de probabilidad marginal de sólo A.
En términos más generales y menos matemáticos, el teorema de Bayes es de
enorme relevancia puesto que vincula la probabilidad de A dado B con la
probabilidad de B dado A. Es decir que sabiendo la probabilidad de tener un dolor
de cabeza dado que se tiene gripe, se podría saber (si se tiene algún dato más), la
probabilidad de tener gripe si se tiene un dolor de cabeza, muestra este sencillo
ejemplo la alta relevancia del teorema en cuestión para la ciencia en todas sus
ramas, puesto que tiene vinculación íntima con la comprensión de la probabilidad
de aspectos causales dados los efectos observados.
Sea
un conjunto de sucesos mutuamente excluyentes y
exhaustivos, y tales que la probabilidad de cada uno de ellos es distinta de cero
(0). Sea B un suceso cualquiera del que se conocen las probabilidades
condicionales
expresión:
. Entonces, la probabilidad
viene dada por la
donde:
Son las probabilidades a priori.

es la probabilidad de

son las probabilidades a posteriori
en la hipótesis
.
Aplicaciones:
El teorema de Bayes es válido en todas las aplicaciones de la teoría de la
probabilidad. Sin embargo, hay una controversia sobre el tipo de probabilidades
que emplea. En esencia, los seguidores de la estadística tradicional sólo admiten
probabilidades basadas en experimentos repetibles y que tengan una confirmación
empírica mientras que los llamados estadísticos bayesianos permiten
probabilidades subjetivas. El teorema puede servir entonces para indicar cómo
debemos modificar nuestras probabilidades subjetivas cuando recibimos
información adicional de un experimento. La estadística bayesiana está
demostrando su utilidad en ciertas estimaciones basadas en el conocimiento
subjetivo a priori y el hecho de permitir revisar esas estimaciones en función de la
evidencia empírica es lo que está abriendo nuevas formas de hacer conocimiento.
Una aplicación de esto son los clasificadores bayesianos que son frecuentemente
usados en implementaciones de filtros de correo basura o spam, que se adaptan
con el uso Como observación, se tiene y su demostración resulta trivial.
.
(wikipedia, 2015)
Bibliografía.
Blog de matematicas. (09 de 06 de 2011). Recuperado el 11 de 03 de 2015, de
http://mateconangelesuic.blogspot.com/2011/06/eventos-independientesregla-de-la.html
Buenas Tareas. (25 de 04 de 2014). Recuperado el 09 de 03 de 2015, de
http://www.buenastareas.com/ensayos/Probabilidad-Conjunta-yMarginal/651883.html
hispavista. (09 de 03 de 2015). Recuperado el 09 de 03 de 2015, de
http://metodosunoydos.galeon.com/enlaces2221651.html
Salud Madrid. (2015). Recuperado el 11 de 03 de 2015, de
http://www.hrc.es/bioest/Probabilidad_15.html
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http://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_de_la_probabilidad
wikipedia. (10 de 02 de 2015). Recuperado el 09 de 03 de 2015, de
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http://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Bayes
Buenas Tareas. (s.f.). Recuperado el 10 de 03 de 2015, de
http://www.buenastareas.com/ensayos/Regla-General-De-La-AdiciónDe/5662260.html
Castañeda, L. B. (2010). wikipedia. Recuperado el 10 de 03 de 2015, de
http://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_muestral