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INSTITUCIÓN
EDUCATIVA INEM
JOSÉ FÉLIX DE
RESTREPO
MEDELLÍN
Año 2014
Departamento (dependencia):
Guía
Tema:
Matemáticas (Procesos Numéricos)
X
Taller
Evaluación
TEORIA GENERAL DE ECUACIONES POLINOMICAS
Grado
XI
Secciones
Equipo de planeación responsable: Nelson Uribe.
10
TEORIA GENERAL DE ECUACIONES POLINOMICAS
Ecuación polinómica: Es el resultado de igualar a cero un polinomio. Es decir, sea P  x  
un polinomio cualquiera decimos que P  x   0 es una ecuación polinómica.
n
a x
i 0
i
i
Solución de una ecuación: Es un conjunto de valores que satisfacen a la ecuación. Los valores
que satisfacen a la ecuación son los ceros del polinomio equivalente, los cuales se denominan
raíces de la ecuación.
Lema fundamental del álgebra: Toda ecuación polinómica de grado " n " posee al menos una raíz
real ó compleja.
Teorema fundamental del álgebra: Toda ecuación polinómica de grado " n " posee " n " y sólo
" n " raíces.
Axiomas:
 Si una ecuación polinómica real entera posee una raíz compleja, su conjugada también es
raíz de la ecuación.
 Si una ecuación polinómica racional entera posee una raíz irracional, su conjugada también
es raíz de la ecuación.
Ecuación degradada: Es la ecuación correspondiente al cociente que resulta de dividir la ecuación
original entre una de sus raíces.
Raíces múltiples: Es aquella que es raíz de la ecuación original y de por lo menos una de sus
ecuaciones degradadas.
Grado de multiplicidad de una raíz: Es el número de veces que un valor es raíz de una ecuación.
Teorema del residuo: Si se tiene un polinomio P(x) y se divide entre x-a el residuo de la división es
P(a).
Teorema del factor: En un polinomio P(x), x-a es un factor si y solo si a es una raíz de la ecuación
P(x)=0.
Problemas fundamentales de la teoría general de ecuaciones: En el estudio de la teoría general
de ecuaciones existen varios problemas fundamentales, entre los cuales tenemos:
1. Dadas las raíces de una ecuación y su coeficiente principal, hallar la ecuación.
2. Dada la ecuación y algunas condiciones iniciales de las raíces, hallar las demás raíces de la
ecuación.
3. Dada las raíces de la ecuación, hallar dicha ecuación mediante la relación entre las raíces y
los coeficientes de la ecuación.
4. Transformar una ecuación en otra cuyas raíces mantienen una relación con las raíces de la
ecuación original.
5. Hallar la naturaleza de las raíces de una ecuación.
6. Hallar los límites o intervalo de acotación de las raíces reales de una ecuación.
7. Hallar las raíces racionales de una ecuación polinómica cualquiera.
8. Hallar raíces irracionales de una ecuación polinómica cualquiera.
Abordaremos a partir del problema 5. Las faltantes serán producto de investigación individual.
PROBLEMA FUNDAMENTAL No. 5: Hallar la naturaleza de las raíces de una ecuación.
Consiste en determinar la naturaleza de las raíces de una ecuación, es decir, determinar si las
raíces son reales o complejas; y si las reales son positivas, negativas o nulas.
Regla de los signos de Descartes:
 Toda ecuación polinómica racional entera tendrá tantas raíces positivas como cambio de
signos posee la ecuación ordenada, o éste disminuido de dos en dos.
 El número de raíces negativas será siempre igual al número de cambio de signo que posee
la transformación de la ecuación (P(-x)) cuyas raíces son las opuestas de las raíces de la
ecuación original; o este disminuido de dos en dos, es decir, el número de raíces positivas
de la ecuación transformada cuyas raíces son las opuestas de la ecuación original.
 El número de raíces nulas será siempre igual al exponente del término de menor grado que
contenga la ecuación.
 El número de posibles raíces complejas, será siempre igual a aquel que hace que se
cumpla el teorema fundamental del álgebra.
Ejemplo 1: Hallar la naturaleza de las raíces de P  x   x7  6x6  3x5  8x4  3x3  4x2  0
Actividad N° 1. Hallar la naturaleza de las raíces de:
1. P  x   x6  8x5  7 x4  32 x3  31x2  40 x  25  0 .
2. P  x   x4  3x2  4  0
3.
P  x   x 4  4 x3  6 x 2  4 x  1  0
4. P  x   x5  3x4  25x3  75x2  0
PROBLEMA FUNDAMENTAL No. 6: Hallar los límites o intervalo de acotación de las raíces reales
de una ecuación.
Este problema consiste en determinar el intervalo de acotación de las raíces reales de una
ecuación polinómica, el cual está definido por dos números reales que definen los límites de dichas
raíces en la ecuación. Para esto usamos el teorema de Laguerre el cual estable que: Li  x  Ls
Límite Superior
 Ls  : es el menor entero positivo que al dividir el polinomio representativo de la
ecuación, hace que todos los coeficientes del cociente y el resto sean no negativos.
Límite Inferior  Li  : es el menor entero positivo que hace los coeficientes del cociente y resto que
resulta de dividir la ecuación transformada, cuyas raíces son las opuestas de la original, sean no
negativos.