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TEMA 0: HERRAMIENTAS MATEMÁTICAS DE LA
FÍSICA
0. NOTACIÓN ...........................................................................2
1. MAGNITUDES EN FÍSICA......................................................3
1.1 Magnitudes escalares ........................................................3
1.2 Magnitudes vectoriales ......................................................3
Características de un vector ............................................................ 3
1.3 Operaciones con vectores ..................................................4
Resta de vectores ......................................................................4
Suma o composición de vectores .................................................4
1.4 Descomposición de un vector en sus componentes ...........5
Funciones trigonométricas: seno, coseno y tangente .....................5
Teorema de Pitágoras ................................................................5
Componentes de un vector..........................................................6
2. SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES............................7
3. REPRESENTACIÓN GRÁFICA ................................................7
4. ECUACIÓN DE UNA RECTA. PENDIENTE DE UNA RECTA .......8
EJERCICIOS ...........................................................................10
I.E.S CAURA (Coria del Rio)
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0. NOTACIÓN
A lo largo del curso vamos a utilizar algunos símbolos que nos resultaran de
especial utilidad.

Definición de incremento (∆)
∆ se lee incremento y se pone al lado del símbolo de la magnitud a la que
incrementa. Por ejemplo cuando un cuerpo se mueve desde una posición
inicial (𝑥𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 ) a otra final (𝑥𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 ) el incremento de la posición se
representa:
∆𝑥 = 𝑥𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 − 𝑥𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙
Tal y como se muestre en el siguiente ejemplo, este símbolo matemático se
puede emplear sobre cualquier magnitud.
Ejemplo 1  Un recipiente de agua se calienta durante 5 minutos.
Inicialmente se encuentra a una temperatura de 20 ºC y después de
calentarlo su temperatura es de 33 ºC. ¿Cuál es el incremento de la
temperatura del agua?
Matemáticamente el incremento en la temperatura del agua se representa:
∆T = Tfinal − Tinicial = 33 ºC − 20 ºC = 13 ºC

Letras del alfabeto griego
En Física se suelen representar con cierta frecuencia determinadas
magnitudes con las letras del alfabeto griego:
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1. MAGNITUDES EN FÍSICA
Magnitud física es toda propiedad de los sistemas físicos susceptible de ser
medida. Podemos definir dos tipos de magnitudes Físicas:
1.1 Magnitudes escalares
Son aquellas magnitudes que quedan perfectamente descritas mediante un
número y una unidad. Ejemplos de estas magnitudes son la masa,
temperatura, energía, tiempo, longitud, etc.
Matemáticamente nos referiremos a las unidades de una magnitud física
mediante corchetes ([]). Por ejemplo, si decimos que la unidad del tiempo
(t) es el segundo (s), matemáticamente esto se expresa de la siguiente
forma:
[t] = s
Si decimos que la masa (m) se mide en kilogramos (kg), matemáticamente
se expresaría:
[m] = kg
1.2 Magnitudes vectoriales
Son aquellas magnitudes que para ser descritas necesitan además de un
número y una unidad, la dirección y el sentido que tienen. Ejemplos de
estas magnitudes son la velocidad, aceleración, fuerza, etc.
Las magnitudes vectoriales se representan mediante unas herramientas
matemáticas llamadas vectores. Las magnitudes vectoriales se representan
colocando una flecha sobre la letra que designa su módulo. Por ejemplo, el
vector fuerza se representa con 𝐅⃗, mientras que el vector aceleración se
⃗⃗.
representa con 𝐚

Características de un vector
Un vector es un segmento orientado con las siguientes características:
-Punto de aplicación: es el punto donde se sitúa el vector.
-Dirección: es la recta en la que está situado el vector.
-Sentido: indica hacia donde señala el vector. En una misma dirección
existen dos sentidos posibles.
-Módulo: es el valor numérico de la magnitud que representa el vector y se
indica mediante la longitud del vector.
Gráficamente los vectores se representan con flechas:
⃗⃗
𝐀
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1.3 Operaciones con vectores

Suma o composición de vectores
Se llama composición a la suma de vectores.
Supongamos que queremos sumar los siguientes vectores perpendiculares:
+
⃗A⃗
⃗⃗
B
La suma de los vectores ⃗A⃗ y ⃗B⃗ es otro vector ⃗S⃗ = ⃗A⃗ + ⃗B⃗ obtenido de la
siguiente forma:
⃗⃗ haciendo coincidir el origen de B
⃗⃗ a continuación de A
⃗⃗ con
1) Ponemos B
el extremo de ⃗A⃗.
⃗⃗
B
⃗A⃗
2) Unimos el origen de ⃗A⃗ con el extremo de ⃗B⃗ obteniendo el vector suma (⃗⃗
S)
tal y como se muestra:
⃗⃗
B
⃗⃗
A

S⃗⃗
Resta de vectores
Supongamos que queremos restar los siguientes vectores:
⃗A⃗
⃗⃗
B
-
⃗⃗⃗ seguimos los siguientes
⃗⃗ − B
Para dibujar la diferencia de dos vectores A
pasos:
⃗⃗ haciendo coincidir el origen de −B
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ a continuación de A
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
1) Ponemos −B
con el extremo de ⃗A⃗.
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
−B
⃗A⃗
2) Unimos el origen de ⃗A⃗ con el extremo de ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
−B obteniendo el vector resta
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
−B
⃗⃗) tal y como se muestra:
(R
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⃗⃗
⃗⃗
1.4 Descomposición de un vector en sus componentes
 Funciones trigonométricas: seno, coseno y tangente
Para poder descomponer un vector en sus componentes primero
necesitamos conocer algunos conceptos de trigonometría. Las funciones
trigonométricas que necesitamos conocer se definen como el cociente entre
dos lados de un triángulo rectángulo. Se denomina triángulo rectángulo a
aquel en el que uno de sus ángulos es de 90º:
Hipotenusa (H)
𝛼
Cateto opuesto (C.O)
90º
Cateto contiguo (C.C)
En un triangulo rectángulo a sus tres lados se los denomina de la siguiente
forma:
-Se llama hipotenusa (H) al lado mayor del triángulo rectángulo.
-Se denominan catetos a los lados del triángulo que forman un ángulo de
90 grados. Un triángulo rectángulo tiene dos catetos que están referidos al
ángulo de la siguiente forma:
Cateto opuesto (C.O): es el lado opuesto al ángulo (𝛼 ).
Cateto contiguo (C.C): es el lado adyacente al ángulo (𝛼 ).
Teniendo en cuenta todo lo anterior podemos definir las siguientes
funciones trigonométricas de un ángulo
𝛼:
-Seno: es la relación entre la longitud del cateto opuesto y la hipotenusa.
sin 𝛼 =
Cateto Opuesto C. O.
=
Hipotenusa
H
-Coseno: es la relación entre la longitud del cateto contiguo y la
hipotenusa.
cos 𝛼 =
Cateto Contiguo C. C.
=
Hipotenusa
H
-Tangente: es la relación entre la longitud del cateto opuesto y el contiguo.
tan 𝛼 =
Cateto Opuesto C. O.
=
Cateto Contiguo C. C.
 Teorema de Pitágoras
El teorema de Pitágoras establece que en un triángulo rectángulo el
cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual a la suma de los
cuadrados de las longitudes de los dos catetos. Matemáticamente:
H 2 = (C. O. )2 + (C. C. )2
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 Componentes de un vector
Descomponer un vector consiste en encontrar otros vectores (normalmente
dos) cuya suma nos dé el vector inicial. Existen infinitas formas de
descomponer un vector en dos diferentes y todas son válidas. Sin embargo,
nosotros nos vamos a centrar en una que resulta especialmente útil llamada
composición normal o rectangular. En esta composición los vectores
obtenidos (componentes) con perpendiculares entre sí.
Si tenemos un vector ⃗A⃗ que forma un ángulo 𝛼 con la horizontal, sus
⃗⃗⃗⃗⃗x ,A
⃗⃗⃗⃗⃗y ) son aquellas que completan un triangulo
componentes rectangulares (A
rectángulo tal y como se muestra en la siguiente figura:
Eje X
⃗A⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
Ay
𝛼
⃗⃗⃗⃗⃗
Ax
Eje Y
Como se puede ver la suma de las componentes (⃗⃗⃗⃗⃗
Ax y ⃗⃗⃗⃗⃗
Ay ) nos da el vector
⃗A⃗. Utilizando las definiciones de seno y coseno podemos hallar el valor del
módulo de las componentes del vector ⃗A⃗:
Ax
→ A × cos 𝛼 = Ax
A
Ay
sin 𝛼 =
→ A × sin 𝛼 = Ay
A
cos 𝛼 =
Dando la vuelta a las ecuaciones anteriores obtenemos las expresiones de
⃗⃗:
las componentes del vector A
Ax = A × cos 𝛼
Ay = A × sen 𝛼
Ejemplo 2  Calcula las componentes de un vector que forma un ángulo de
60º con el eje horizontal y cuyo módulo es de 50 cm.
Gráficamente la situación que tenemos es la siguiente:
X
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⃗A⃗
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Tal y como hemos visto, aplicando las definiciones de coseno y seno sacamos las
componentes del vector:
Ax = A × cos α = 50 cm × cos 60° = 25 cm
Ay = A × sin α = 50 cm × sin 60° = 43′3 cm
2. SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES
Tanto la Física como la Química son ciencias experimentales que emplean el
método científico para descubrir las leyes que rigen los fenómenos
naturales. La medida constituye una parte esencial del método
experimental. En este proceso se trata de determinar el valor de
determinadas magnitudes. Para medir una magnitud necesitamos
compararla con un patrón de medida. Una unidad es el patrón de medida de
una determinada magnitud.
Existe un sistema de unidades que es utilizado internacionalmente. Se trata
de un sistema de siete unidades, con estas unidades o combinaciones de las
mismas podemos caracterizar la medida de cualquier magnitud.
Magnitud
Nombre
Símbolo
Longitud
Metro
m
Masa
Kilogramo
kg
Tiempo
Segundo
s
Intensidad eléctrica
Amperio
A
Intensidad luminosa
Candela
cd
Temperatura
Kelvin
K
Cantidad de sustancia
mol
mol
3. REPRESENTACIÓN GRÁFICA
Una gráfica es una representación de datos numéricos mediante puntos y
líneas para ver la relación que guardan entre sí. Se representan los valores
en dos ejes cartesianos perpendiculares entre sí.
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Supongamos que la posición de un coche en función del tiempo viene dada
por los datos de la siguiente tabla:
Posición (km)
4
9
14
24
34
Tiempo (h)
0
1
2
4
6
Para dibujar la gráfica del movimiento del coche, representamos cada
pareja de valores con un punto y los unimos con una línea:
40
Posición (km)
35
30
25
20
15
10
5
0
0
1
2
3
4
5
6
Tiempo (h)
En este caso vemos que obtenemos una línea recta.
4. ECUACIÓN DE UNA RECTA. PENDIENTE DE UNA RECTA
En este apartado vamos a aprender a calcular la ecuación de una recta a
través de su gráfica. En general la ecuación de una recta es:
y = mx + 𝑛
donde:
- x e y representan las variables que se representan en la gráfica.
- m es la pendiente de la recta.
-n representa el punto de corte de la recta con el eje Y.
Supongamos que tenemos la siguiente gráfica de una recta y queremos
hallar su ecuación:
40
𝐏𝟐 (𝒙𝟐 , 𝐲𝟐 )
35
30
Eje Y
25
∆𝒚
𝐏𝟏 (𝒙𝟏 , 𝐲𝟏 )
20
15
∆𝒙
𝒏
10
5
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
Eje X
Para calcular la ecuación de una recta solo tenemos que hallar el valor de
dos parámetros: la pendiente (m) y el punto de corte con el eje Y (n).
Procedemos de la siguiente forma:
1. 𝒏 viene dado por el punto de corte de la recta con el eje Y. En este caso
𝒏 = 15
2. La pendiente (m) se calcula aplicando su definición:
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𝒎=
∆𝑦 𝒚𝟐 − 𝒚𝟏
=
∆𝑥 𝒙𝟐 − 𝒙𝟏
Para calcular los incrementos nos fijamos en dos puntos de la recta (P1 y P2
en la figura). Sustituyendo los valores obtenemos (ver gráfica):
𝒎=
29 − 20
′
28−1
=
9
=5
1′8
Por lo tanto la ecuación de la recta viene dada por:
𝑦 = 5𝑥 + 15
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EJERCICIOS

Vectores
1. Con los siguientes vectores:
Realiza gráficamente las siguientes sumas:
+
,
+
,
+
,
+
,
+
,
+
,
+
,
+
Realiza gráficamente las siguientes restas:
-
+
,
-
y-
-
,-
+
,
-
,-
-
,-
+
,
-
,-
-
2. Calcula y dibuja las componentes del vector ⃗A⃗ con módulo A = 5 cm en
los siguientes casos:
⃗⃗ forma un ángulo de 45º con el eje X.
a) Cuando A
b) Cuando ⃗A⃗ forma un ángulo de 90º con el eje X.
c) Cuando ⃗A⃗ forma un ángulo de 180º con el eje X.
⃗⃗ forma un ángulo de 225º con el eje X.
d) Cuando A
e) Cuando ⃗A⃗ forma un ángulo de 270º con el eje X.

Unidades
3. Pasa a unidades del sistema internacional las siguientes magnitudes:
a) 90 km/h.
b) 0’53 mg
c) 40 cm
d) 100 Mm
e) 3 h

Representación gráfica
4. Representa gráficamente los datos de la siguiente tabla. ¿Qué tipo de
gráfica obtienes?
Tiempo (s)
0
1
2
3
4
Velocidad (m/s)
0
3
6
9
12
5. Representa gráficamente los datos de la siguiente tabla. ¿Qué tipo de
gráfica obtienes?
Tiempo (s)
0
1
2
3
4
5
Posición (m)
2
6
12
20
30
42
6. Representar gráficamente la siguiente recta y=3x-2. Para ello calcula las
coordenadas de un par de puntos de la recta.
7. Representar gráficamente la siguiente recta y=-5x+2. Para ello calcula
las coordenadas de un par de puntos de la recta.
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8. Calcula la ecuación de la recta que se representa en la siguiente gráfica:
25
Posición (m)
20
15
10
5
0
0
1
2
3
4
Tiempo (s)
9. Calcula la ecuación de la recta que se representa en la siguiente gráfica:
14
Velocidad (m/s)
12
10
8
6
4
2
0
0
1
2
3
4
5
Tiempo (s)
10. Calcula la ecuación de la recta que se representa en la siguiente gráfica:
0
-2
0
1
2
3
4
Posición (m)
-4
-6
-8
-10
-12
-14
-16
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Tiempo (s)
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