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4º ESO (Opción B) Dpto de Matemáticas- I.E.S. Montes Orientales (Iznalloz)-Curso 2011/2012
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------TEMAS 7 y 8.- TRIGONOMETRÍA. VECTORES Y RECTAS
1.- RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO AGUDO.
4 Calcula las r.t. de α tomando el triángulo rectángulo pequeño y
tomando el grande. ¿Qué observas? ¿Cómo son esos triángulos?
5 Resuelve los siguientes triángulos rectángulos:
a) Un ángulo mide 30º y el cateto opuesto a él mide 4 cm
b) La hipotenusa mide 26 cm y el cateto menor 10 cm.
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DEL ÁNGULO

seno de α =





coseno de α




tangente de


sen α =
α
cateto opuesto
hipotenusa
6 Desde un barco se ve el punto más alto de un acantilado con un
ángulo de 74º con la horizontal. Sabiendo que la altura del
acantilado es de 200 m, ¿a qué distancia se halla el barco del pie
del acantilado?
7 Un árbol de 25 m de alto proyecta una sombra de 30 m de
larga. Encontrar el ángulo de elevación del Sol en ese momento.
cateto contiguo
= cos α =
hipotenusa
8 Desde el lugar donde me encuentro, veo el punto más alto de
una torre con un ángulo de 32º con la horizontal.
Si me acerco 15 m, el ángulo es de 50º. ¿Cuál es la altura de la
torre?
cateto opuesto
α = tg α =
cateto contiguo
9 Saúl y Víctor, situados a 70 metros de distancia uno de otro,
ven un globo situado entre ellos y en el mismo plano vertical bajo
ángulos de elevación de 25º y 70º. Halla la altura del globo y la
distancia del globo a cada uno de ellos.
Razones trigonométricas con la calculadora
Las r.t. de un ángulo agudo también se pueden hallar con la
calculadora científica usando las teclas sin , cos y tan
Así, por ejemplo, para calcular sen 30º tecleamos
30 sin y obtenemos 0.5 . Luego sen 30º = 0,5
De igual forma se calcula el coseno y la tangente usando las
teclas cos y tan.
En algunas calculadoras, en lugar de teclear 30 sin , se hace
al revés, pulsando primero sin y luego 30.
También se puede calcular el ángulo α conocido el valor de
sen α , cos α o tg α.
Por ejemplo, si queremos hallar el ángulo agudo α que
cumple sen α = 0,5 tecleamos
0.5 SHIFT sin y obtenemos 30 ; luego α = 30º
De igual forma se hace si nos dan cos α
las teclas cos y tan.
o
tg α , usando
11 El perímetro de un octógono es 96 cm. Halla los radios de la
circunferencia inscrita y circunscrita.
EJERCICIOS PARA EL ALUMNO
1 Halla con tu calculadora las siguientes r.t. redondeando a las
milésimas: a) sen (2π/5 rad)
b) tg 75,4º
c) cos (84º20´45")
2 Calcula el ángulo agudo x que cumple:
a) sen x = 2/5
b) cos x = 3/11
c) tg x = 2
3 Calcula los ángulos que forma la diagonal de un rectángulo
de 110 x 60 con cada uno de sus lados.
4 El tobogán de un parque tiene una longitud de 2,9 m y forma un
ángulo de 40° con el suelo ¿Qué altura tendrá la escalerilla?
5 Desde la orilla de un río se ve un árbol en la otra orilla bajo un
ángulo de 40º, y si se retrocede 4 m se ve bajo un ángulo
de 28º. Calcula la altura del árbol y la anchura del río.
6 Desde un cierto punto del terreno se mira a lo alto de una
montaña y la visual forma un ángulo de 35º con el suelo.
Al acercarse 200 m hacía la montaña, la visual forma 50º con el
suelo. Halla la altura de la montaña.
EJERCICIOS DE CLASE
1 Dado un rectángulo de 5 cm de altura y 13 cm de
diagonal, halla las r.t. del ángulo que forma la diagonal con la
base del rectángulo
2 Halla con tu calculadora las siguientes r.t. redondeando a
las milésimas:
a) sen (3π/5 rad) b) tg 84,5º
c) cos (65º35´40")
3 Calcula el ángulo agudo x que cumple:
a) sen x = 1/3
b) cos x = 3/8
10 Calcula el área de un pentágono regular de 24 m de apotema.
c) tg x = 5
7 Dos edificios distan entre sí 150 m . Desde un punto que está
entre los dos edificios, las visuales a los puntos más altos de éstos
forman con la horizontal ángulos de 35º y 20º, respectivamente.
Halla la altura de los edificios, si sabemos que los dos miden lo
mismo.
8 Hallar el área de un pentágono regular de 30 dm de perímetro.
Del libro (Tema 7): 21, 23, 74 y 80
-1-
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-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------2.- RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO CUALQUIERA.
Las r.t. de un ángulo cualquiera α se deducen a partir de las
r.t. de un ángulo agudo estudiadas en el apartado anterior.
Veamos cómo:
1º) Trazamos una circunferencia de radio 1 y cuyo centro es
el origen de coordenadas (esta circunferencia se llama
circunferencia goniométrica o trigonométrica).
La circunferencia queda dividida en 4 cuadrantes
sen α = b
Entonces se define:
cos α = a
tg α =
b
a
El signo de las r.t. de un ángulo depende del cuadrante en el que
esté dicho ángulo. Observa:
Y
b
Y
P(a,b)
P(a,b)
1
α
1
X
X
a
a
cos α = a > 0
b
α
cos α = a < 0
sen α = b > 0
sen α = b > 0
Y
2º) Dibujamos el ángulo de forma que el vértice sea el origen
de coordenadas y el lado inicial la parte positiva del eje X (se
dice que estamos dibujando el ángulo en posición normal)
El lado final del ángulo corta a la circunferencia en un punto
P(a,b)
Y
α
a
α
X
1
P(a,b)
cos α = a < 0
a
X
1
b
b
cos α = a > 0
sen α = b < 0
P(a,b)
sen α = b < 0
EJERCICIOS DE CLASE
1 Usando la definición halla las r.t. de los ángulos:
0º , 90º , 180º y 270º
Usando la definición de las r.t. vistas en el apartado anterior :
sen α =
cateto opuesto
hipotenusa
cos α =
cateto contiguo
hipotenusa
tg α =
cateto opuesto
cateto contiguo
b
=
=
1
a
=
1
2 Indica en qué cuadrante está el ángulo α en los siguientes
casos:
b) sen α < 0 , cos α > 0
a) sen α y cos α son negativos
c) cos α < 0 , tg α < 0
=b
d) sen α = 0,6 , cos α = 0,8
e) tg α = - 0,75 , sen α = 0,8
= a
3 Dibuja en posición normal, indica en qué cuadrante está el
ángulo α y halla sus r.t. con la calculadora redondeando a las
milésimas en los siguientes casos:
b
a) α = 150º
a
b) α = 4 π/5 rad c) α = 2580º d) α = 19 π/3 rad
EJERCICIOS PARA EL ALUMNO
Esta misma definición se usa para calcular las r.t. de un
ángulo cualquiera.
Del libro (tema 7): 10 , 11 , 49 y 55
Es decir, para calcular las r.t. de cualquier ángulo, se dibuja
en posición normal. El lado final del ángulo corta a la
circunferencia goniométrica en un punto P(a,b)
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
3.- RELACIÓN ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS.
2) Relación entre el seno, coseno y tangente:
Demostración:
sen α
= tg α
cos α
sen α
b
=
= tg α
cos α
a
EJERCICIO DE CLASE
1 Calcula las demás r.t. de α en los casos:
a) cos α = 3/4 , α ∈ IV cuadrante
sen α = b
, cos α = a
, tg α =
2
2
b
a
b) sen α = -2/3 , α ∈ III cuadrante
2
c) sen α =
Teorema de Pitágoras: a + b = 1 = 1
1) Relación entre el seno y el coseno:
Demostración:
2
2
2
2
2
2
sen α + cos α = 1
2
, π/2 < α < π
d) cos α = -1/5 , 180º < α < 270º
EJERCICIOS PARA EL ALUMNO
2
sen α + cos α = (sen α) + (cos α) = b + a = 1
2
5
Del libro (tema 7): 52 y 61
-2-
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-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------4.- VECTORES EN EL PLANO.
Y
Un vector es un segmento con un origen y un extremo.
Lo podemos representar con una letra minúscula y una
flechita encima:
3
5
v = (3,-4)
4
| v | = 5 unidades
También se puede representar con 2 letras mayúsculas, que
indican el origen y el extremo, y una flechita encima:
X
Los vectores que miden 1 se llaman vectores unitarios.
El vector nulo
0
= (0,0) tiene módulo 0
Vector determinado por dos puntos
Dados dos puntos A(a , a ) , B(b , b ) , entonces
1
2
1
2
AB
Componentes de un vector
Y
v
tiene dos componentes (v , v )
1
2
Las componentes nos indican el desplazamiento que hay que
hacer (en horizontal y en vertical) para ir desde el origen del
vector al extremo
Cualquier vector
Ejemplos:
b2 - a2
a1
del vector AB
Ejemplo: Si A(3,4) ,
dist(A,B) = |
X
AB
|=
4
Ejemplo: Si A(2,5) ,
v = (3,-4)
X
Módulo de un vector
v = (v1 , v2) , el módulo del vector se
2+6 5 +7
M(
,
)
2
2
2
1
=
25
=5.
+ v
v = (3,-4)
25 = 5 .
→
B(6,7) , entonces el punto medio de AB es
M( 4 , 6)
EJERCICIOS DE CLASE
2 Si
3 + (-4)
=
1 Dibuja el vector v = (-3,2) y cuyo origen es el punto A(4,-1).
Indica cual es el extremo
2
2
El módulo de un vector nos indica lo que mide dicho vector,
es decir, la distancia del origen al extremo
|v | =
(-4)2 + 32
Vectores equivalentes o equipolentes
Se dice que dos vectores son equivalentes cuando tienen las
mismas componentes. En este caso, los vectores tienen el mismo
módulo, la misma dirección y el mismo sentido
y se calcula por la fórmula
2
= (-1-3 , 7-4) = (-4,3)
a + b1 a2 + b2
M( 1
,
)
2
2
3
Ejemplo: El módulo del vector
B(-1,7) , entonces
Coordenadas del punto medio de un segmento AB
Dado un segmento AB, con A(a , a ) , B(b , b ) , el punto
1
2
1
2
medio M del segmento AB se calcula por la expresión:
Y
v
b1
La distancia de A a B es 5 unidades
4
|v | =
X
Observa que la distancia entre los puntos A y B es igual al módulo
3
2
b1 - a1
AB
v = (4,3)
representa por | v |
A
a2
Y
Dado un vector
B
b2
La primera componente (v ) nos indica el desplazamiento
1
sobre la horizontal (es positiva si el desplazamiento es hacía
la derecha y negativa si es hacía la izquierda)
La segunda componente (v ) nos indica el desplazamiento
2
sobre la vertical (es positiva si el desplazamiento es hacía
arriba y negativa si es hacía abajo)
= (b - a , b - a )
1
1
2
2
es
El vector mide 5 unidades
AB
= (-5,-2) y B(3,6) ¿cuáles son las coordenadas de A?
3 Dado el triángulo de vértices A(1,3) , B(4,7) , C(-3,6), calcula el
perímetro y el punto medio de cada lado.
EJERCICIOS PARA EL ALUMNO
Del libro (tema 8): 1 , 6 , 39 a) , 40 a) , 68 a)
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-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------5.- OPERACIONES CON VECTORES.
Suma de vectores
Dados dos vectores
u = (u1 , u2)
Multiplicación de un número por un vector
v = (v1 , v2) .
,
El vector suma se calcula por la fórmula
u+v
= (u + v , u + v )
1
1
2
2
Dado un número k y un vector
de k por
v
Ejemplos:
v = (v1 , v2) . El vector producto
k.v
se calcula por la fórmula:
3.(2,5) = (6,15)
= (k. v
, k. v )
2
1
-2.(1,-7) = (-2,14)
Interpretación geométrica:
Ejemplo:
(2,7) + (3,4) = (2+3 , 7+4) = (5,11)
Cálculo gráfico de la suma de vectores:
Fíjate que se puede hacer de dos formas y las dos dan como
resultado el mismo vector
El vector k.v es paralelo a v con el mismo sentido (si k > 0)
y con sentido contrario (si k < 0)
Método del paralelogramo
Base ortonormal
j
i
= (0,1) son vectores
j
= (1,0) ,
i
Los vectores
,
}
perpendiculares y unitarios. Se dice entonces que {
Resta de vectores
i
v = (v1 , v2) .
,
El vector resta se calcula por la fórmula
u -v
Ejemplo:
,
de la forma:
→
A = (Ax , Ay) = Ax.(1,0) + Ay.(0,1)
A
=A .
x
j
u = (u1 , u2)
i
Dados dos vectores
j
forman una base ortonormal.
Cualquier vector se puede expresar en función de los vectores
+A .
y
= (u - v , u - v )
1
1
2
2
(3,8) - (7,2) = (3 - 7 , 8 - 2) = (-4,6)
Cálculo gráfico de la resta de vectores
u = (3 , 7) = 3.
j
i
Por ejemplo:
+ 7.
EJERCICIO DE CLASE
1 Dados los puntos A(2,-3) , B(1,-5) , C(3,4) calcula los vectores:
Vector opuesto
Dado un vector
u = (u1 , u2) , su vector opuesto es
d)
BA
+2
BC
AB
b) -3.
e)
AC
- 5.
c) -5.
CA
f) El opuesto de
AB
EJERCICIOS PARA EL ALUMNO
- u = (- u , - u )
1
AB
BC
a) 2.
2
1 Dados los puntos A(7,-2) , B(4,-1) , C(5,2) calcula los vectores:
Ejemplo: El opuesto de (3,-5)
es (-3,5)
Interpretación geométrica del opuesto
AB
BA + 2 BC
a) 2.
d)
BC
e) AC
b) -3.
c) -5.
- 5.
AB
f) El opuesto de
representación:
-4-
u = (2 , 5)
,
v = (4 , 1)
j
i
2 Expresa en función de los vectores {
CA
} y haz la
w = (1 , 6)
AB