Download cinematica

cinemática
• Es la parte de la mecánica clásica que estudia el
movimiento de los cuerpos sin tener en cuenta las causas
que lo producen limitándose, esencialmente, al estudio de
la trayectoria en función del tiempo. En consecuencia, los
conceptos básicos de la cinemática son el tiempo, conjunto
de todos los instantes posibles, y el espacio, conjunto de
todas las posiciones posibles.
• En cinemática se utiliza un sistema de coordenadas para
describir las trayectorias y se le llama sistema de referencia.
• La cinemática es un caso especial de geometría diferencial
de curvas, en el que todas las curvas se parametrizan de la
misma forma: con el tiempo.
Movimiento rectilíneo y uniforme
Es la parte de la mecánica clásica que estudia el movimiento de los cuerpos
sin tener en cuenta las causas que lo producen limitándose, esencialmente, al
estudio de la trayectoria en función del tiempo.
Posición .-La posición x del móvil se puede relacionar con el tiempo t
mediante una función x=f(t).
Desplazamiento.-Supongamos ahora que en el tiempo t, el móvil se encuentra
en posición x, más tarde, en el instante t' el móvil se encontrará en la posición
x'. Decimos que móvil se ha desplazado Dx=x'-x en el intervalo de tiempo
Dt=t'-t, medido desde el instante t al instante t'.
Velocidad.-La velocidad media entre los instantes t y t‘y esta definida por
Ecuaciones del movimiento.
Sabemos que la velocidad es constante.
Cálculo del espacio recorrido.
Sabiendo que la velocidad es constante y según la definición de velocidad:
1.
Tenemos:
; 2.
; despejando términos:
integrando:
; realizando la integral:
Donde
es la constante de integración, que corresponde a la posición del móvil
para
. Si en el instante
, el móvil esta en el origen de coordenadas,
entonces
. Esta ecuación determina la posición de la partícula en
movimiento en función del tiempo.
Cálculo de la aceleración
Según la ecuación del movimiento y la definición tenemos:
1.
2.
Esto es:
Sabiendo que la velocidad no varia con el tiempo, tenemos:
La aceleración es nula, como ya se sabia
Movimiento rectilíneo uniformemente
acelerado
• El Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (MRUA)
o Movimiento rectilíneo uniformemente variado (MRUV)
es aquél en el que un móvil se desplaza sobre una recta con
aceleración constante. Esto implica que en cualquier intervalo
de tiempo, la aceleración del móvil tendrá siempre el mismo
valor. Por ejemplo la caída libre de un móvil, con aceleración
de la gravedad constante.
ELEMENTOS del M.U.V.):
• Móvil: Es todo cuerpo que es capaz de moverse.
• Trayectoria: Es la línea que describe un cuerpo es su desplazamiento.
• Velocidad: Es la variación de la posición de un cuerpo por unidad de
tiempo.
• Velocidad-Media: Es la velocidad constante que hubiera tenido que llevar
el móvil para recorrer la misma distancia y en el tiempo en que lo hizo con
movimiento variado.
• Velocidad-Instantánea: Es la velocidad media en un intervalo muy corto.
• Aceleración: Es la variación que experimenta la rapidez por unidad de
tiempo.
• Tiempo máximo: Es el tiempo que trascurre desde el momento en que un
móvil inicia un movimiento uniformemente retardado, hasta que detiene.
• Desplazamiento máximo: Es el desplazamiento alcanzado por un móvil
desde el momento que se inicia el movimiento uniformemente retardado
hasta que se detiene
Aceleración
• La aceleración es la magnitud física que mide la tasa
de variación de la velocidad respecto del tiempo. Es
una magnitud vectorial con dimensiones de
longitud/tiempo² (en unidades del sistema
internacional se usa generalmente [m/s²]). No debe
confundirse la Velocidad con la aceleración, pues son
conceptos distintos, acelerar no significa ir más
rápido, sino cambiar de velocidad a un ritmo dado.
Aceleración media e instantánea
La aceleración media e
instantáneas representada
como la pendiente de la
recta tangencial de las
curva de representación
velocidad-tiempo.se
define la aceleración
media como la relación
entre la variación o cambio
de velocidad de un móvil
el tiempo empleado en
dicho cambio de velocidad
Aceleración instantánea es representada como
la pendiente de la recta tangente de la curva
de representación velocidad-tiempo
Formulas de M.R.U.V.
Donde v0 es la velocidad del móvil en el
instante inicial. Por tanto, la velocidad
aumenta cantidades iguales en tiempos
iguales.
La ecuación de la posición es:
Si al observar el móvil por primera vez se encontraba en reposo, la velocidad
inicial es nula, y las fórmulas del m.r.u.v. se reducen a:
que deberán emplearse cuando no haya velocidad inicial.
CAIDA LIBRE DE LOS CUERPOS
Este fenómeno se debe a la atracción que la
tierra ejerce sobre los cuerpos próximos a su
superficie y que recibe el nombre de gravedad.
Esto es sólo un caso particular de una
propiedad general de la materia denominada
gravitación universal. En el vacío, todos los
cuerpos caen con movimiento uniformemente
acelerado, siendo la aceleración la misma por
todos los cuerpos en un mismo lugar de la
tierra, independientemente de su forma o de la
sustancia que los compone.
El espacio que recorre
el pedrusco lo hace, en
cambio, a ritmo
parabólico, [esto es,
que depende del
cuadrado del tiempo]
de forma mucho más
rápida. En el dibujito
de antes, vemos cómo
el espacio que recorre
la piedra aumenta
según el tiempo.
Aceleración de la gravedad
Es interesante destacar que cada vez que la piedra
cae, tomando el tiempo con nuestro cronómetro,
esta tarda 2,47 segundos en tocar la superficie del
agua.. ¿Cómo es posible? Sencillamente, como ya
se dijo, la trayectoria de la caída libre es recta,
movimiento rectilíneo y la variación de la
velocidad que sufren ambos cuerpos es la misma.
Tanto la piedra como cualquier objeto, arrojados
con la misma velocidad inicial y desde la misma
altura, caen mediante un movimiento rectilíneo
acelerado.
Ejemplo1
•
LAS CAJAS DE EINSTEIN
Supongamos que nos encontramos
encerrados en una caja colocada
sobre la superficie terrestre. En su
interior, sentimos la fuerza
gravitacional de la Tierra que nos
atrae al suelo, al igual que todos los
cuerpos que se encuentran a nuestro
alrededor. Al soltar una piedra, ésta
cae al suelo aumentando
continuamente su velocidad, es decir
acelerándose a razón de 9.81 metros
por segundo cada segundo, lo que
equivale, por definición, a una
aceleración de 1 g. Por supuesto, en el
interior de la caja la fuerza que actúa
sobre un cuerpo es proporcional a su
masa gravitacional.
ejemplo2
•
supongamos que la caja es lo
suficientemente grande para hacer el
siguiente experimento: colóquense dos
canicas en cada extremo del
compartimiento, como se indica en la
figura 27. Como las canicas se hallan
también en caída libre, permanecen
fijas, flotando, para los ocupantes de la
caja. Sin embargo, las trayectorias de
ambas no son exactamente rectas
paralelas, sino rectas que convergen al
centro de la Tierra. En consecuencia,
vistas desde la caja, las dos canicas no
están estrictamente fijas, sino que
parecen acercarse lentamente una a
otra. Este efecto casi imperceptible no
ocurriría si la caja estuviera en el espacio
extraterrestre, lejos de todo influjo
gravitacional, ya que las dos canicas
permanecerían exactamente donde se
colocan.
Caída totalmente vertical
El movimiento del cuerpo en caída libre es vertical con velocidad creciente
(movimiento uniformemente acelerado con aceleración g). La ecuación de
movimiento se puede escribir en términos la altura
Donde:
.Son la aceleración y la velocidad verticales.
. Es la fuerza de rozamiento fluido dinámica(que es creciente con la velocidad).
Si se desprecia en una primera aproximación la fuerza de rozamiento, cosa
que puede hacerse para caídas desde pequeñas alturas de cuerpos
relativamente compactos, en las que se alcanzan pequeñas velocidades la
solución de la ecuación diferencial (1) para las velocidades y la altura
vienen dada por:
Donde v0 es la velocidad inicial, para una
caída desde el reposo v0 = 0 y h0 es la
altura inicial de caída.
movimiento circular
Se basa en:
Eje de jiro: es la línea alrededor de la cual se realiza la rotación, este eje puede
permanecer fijo o variar con el tiempo, pero para cada instante de tiempo, es el eje de la
rotación.
Arco angular: partiendo de un eje de giro, es el ángulo o arco de radio unitario con el
que se mide el desplazamiento angular. Su unidad es el radian.
Velocidad angulares: Es la variación de desplazamiento angular por unidad de tiempo
Aceleración angular: es la variación de la velocidad angular por unidad de
tiempo
Momento de inercia: es una cualidad de los cuerpos que resulta de multiplicar
una porción de masa por la distancia que la separa al eje de giro.
Momento de fuerza: o par motor es la fuerza aplicada por la distancia al eje
de giro.
Velocidad tangencial:es definida como la velocidad real del objeto
que efectúa el movimiento circular, Si llamamos VT a la velocidad
tangencial, a lo largo de la circunferencia de radio r, tenemos que:
Fuerza centrípeta
Dada la masa del móvil, y basándose en la segunda ley de newton (F=ma)
se puede calcular la fuerza centrípeta a la que está sometido el móvil
mediante la siguiente fórmula:
Movimiento circular uniforme
• Un movimiento circular uniforme es aquél cuya velocidad angular w es
constante, por tanto, la aceleración angular es cero. La posición angular
q del móvil en el instante t lo podemos calcular integrando q -q0=w(t-t0)
o gráficamente, en la representación de w en función de t.
Las ecuaciones del movimiento
circular uniforme son análogas a
las del movimiento rectilíneo
uniforme
Movimiento circular uniformemente
acelerado
Un movimiento circular
uniformemente acelerado es
aquél cuya aceleración a es
constante. Dada la aceleración
angular podemos obtener el
cambio de velocidad angular w w0 entre los instantes t0 y t,
mediante integración, o
gráficamente.
Dada la velocidad angular w en
función del tiempo, obtenemos el
desplazamiento q -q0 del móvil
entre los instantes t0 y t,
gráficamente (área de un rectángulo
+ área de un triángulo), o
integrando
Las fórmulas del movimiento circular uniformemente acelerado son análogas
a las del movimiento rectilíneo uniformemente acelerado.
Despejando el tiempo t en la segunda ecuación y sustituyéndola en la
tercera, relacionamos la velocidad angular ω con el desplazamiento θ-θ0
Movimiento curvilíneo
Supongamos que el movimiento tiene lugar en el plano XY, Situamos un
origen, y unos ejes, y representamos la trayectoria del móvil, es decir, el
conjunto de puntos por los que pasa el móvil. Las magnitudes que describen
un movimiento curvilíneo son:
Vector posición r en un instante t.
Como la posición del móvil cambia con el
tiempo. En el instante t, el móvil se encuentra
en el punto P, o en otras palabras, su vector
posición es r y en el instante t' se encuentra en
el punto P', su posición viene dada por el
vector r'. Diremos que el móvil se ha
desplazado Dr=r’-r en el intervalo de tiempo
Dt=t'-t. Dicho vector tiene la dirección de la
secante que une los puntos P y P'.
Vector velocidad
El vector velocidad media, se define
como el cociente entre el vector
desplazamiento Dr y el tiempo que
ha empleado en desplazarse Dt.
El vector velocidad media tiene la
misma dirección que el vector
desplazamiento, la secante que une
los puntos P y P1 cuando se calcula
la velocidad media <v1> entre los
instantes t y t1.
El vector velocidad en un instante, es el límite
del vector velocidad media cuando el intervalo
de tiempo tiende a cero.
Como podemos ver en la figura, a medida que
hacemos tender el intervalo de tiempo a cero,
la dirección del vector velocidad media, la
recta secante que une sucesivamente los
puntos P, con los puntos P1, P2....., tiende
hacia la tangente a la trayectoria en el punto
P.
En el instante t, el móvil se encuentra en P y
tiene una velocidad v cuya dirección es
tangente a la trayectoria en dicho punto.
Vector aceleración
En el instante t el móvil se encuentra en P y
tiene una velocidad v cuya dirección es
tangente a la trayectoria en dicho punto. En el
instante t' el móvil se encuentra en el punto P'
y tiene una velocidad v'.
El móvil ha cambiado, en general, su velocidad
tanto en módulo como en dirección, en la
cantidad dada por el vector diferencia Dv=v’-v.
Se define la aceleración media como el cociente entre el vector cambio de velocidad Dv y
el intervalo de tiempo Dt=t'-t, en el que tiene lugar dicho cambio
En resumen:
Y la aceleración a en un instante
Ecuación de la aceleración.
La única aceleración que interviene en este movimiento es la de la
gravedad, que corresponde a la ecuación:
Que es vertical y hacia
abajo
Ecuación de la velocidad
La velocidad de un cuerpo que sigue una trayectoria parabólica se puede
obtener integrando la siguiente ecuación:
Ecuación de la posición
Partiendo de la ecuación
que establece la
velocidad del móvil con
relación al tiempo y de la
definición de velocidad,
la posición pude ser
encontrada integrando la
siguiente
Movimiento parabólico con rozamiento
La presencia en el medio de un fluido, como
el aire, ejerce una fuerza de rozamiento que
depende del módulo de la velocidad y es de
sentido opuesto a esta. En esas condiciones,
el movimiento de una partícula en un campo
gravitatorio uniforme no sigue estrictamente
una parábola y es sólo casi-parabólico. En
cuanto a la forma del rozamiento se
distinguen dos casos
Movimiento a baja velocidad
Para un fluido en reposo y un cuerpo moviéndose a muy baja velocidad, el flujo
alrededor del cuerpo puede considerarse laminar y, en ese caso, el rozamiento
es proporcional a la velocidad. La ecuación de la trayectoria resulta ser:
Donde:
: es altura inicial desde la que cae el cuerpo.
son dos parámetros que definen el problema en términos de las magnitudes
del problema.
son la masa del cuerpo que cae, la aceleración de la gravedad, el
coeficiente de rozamiento y la velocidad horizontal inicial.
Para alturas suficientemente grandes el rozamiento del aire hace que el
cuerpo caiga según una trayectoria cuyo último tramo es prácticamente
vertical, al ser frenada casi completamente la velocidad horizontal inicial